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\let\Vec=\overrightarrow
\let\Equiv=\Leftrightarrow
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\def\mR{{\BB R}}
\def\mN{{\BB N}}
\def\mK{{\BB K}}
\def\mC{{\BB C}}
\def\mQ{{\BB Q}}
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\def\eto{\par\noindent $\bullet$\quad}
\def\Eto#1{\par\bigskip\noindent $\bullet\bullet$ {\twelvebf#1}\quad}
\def\Frac#1#2{{\dspt{{#1} \over {#2}}}}
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\def\dmash#1{{\setbox13=\hbox{#1}\dp13=0pt\box13}}

%\input catha4
\eto La question I demande beaucoup de soin dans le maniement des divers
indices; on pourra admettre le r\'esultat de a) pour traiter b).
\Eto{I.}Soit $P\in \mC[X]$, de degr\'e $n$, avec $P(x)=
b_0x^n+b_1x^{n-1}+\cdots+b_n$ de racines $\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_n$. On
note $S_k(P)=\dspt\sum_{i=1}^n\beta_i^k$ la somme de Newton d'ordre $k\in\mN^*$
de $P$ et $\sigma_k(P)$ le polyn\^ome sym\'etrique \'el\'ementaire d'ordre
$k\in[1,n]$ des racines de $P$. On note $P_i=\smash{\Frac{P}{X-\beta_i}}$, de
polyn\^omes sym\'etriques \'el\'ementaires $\sigma_k^{(i)}$ o\`u $k\in[1,n-1]$.\mnl
a) Exprimer $\sigma_k$ en fonction des $\sigma^{(i)}_j$ (o\`u $i$ est fix\'e et
$j$ varie), puis l'inverse.
On sait que \dmash{$P'=\dspt\sum_{i=1}^nP_i$}. \mnl
Montrer que l'on a les formules:
$b_0S_p+b_1S_{p-1}+\cdots+b_{p-1}S_1+p\,b_p=0$ pour $1\leq p\leq n$.\mnl
b) Montrer que l'on peut exprimer les polyn\^omes sym\'etriques \'el\'ementaires de $P$
en fonction des sommes de Newton de $P$ d'ordres $k\in[1,n]$, et
r\'eciproquement.\mnl
c) Montrer que $b_0S_{n+k}+\cdots+b_iS_{n-i+k}+\cdots+b_nS_k=0$ pour tout
$k\in\mN^*$. \mnl
\eto On voit ainsi que le polyn\^ome $P/b_0$, suppos\'e de degr\'e $n$, est
enti\`erement d\'etermin\'e par la donn\'ee de ses $\sigma_i$ ou par celle de la suite
$(S_k)_{k\in\mN^*}$ (sous r\'eserve que la suite $S_k$ v\'erifie une r\'ecurrence
lin\'eaire d'ordre $n$).
\Eto{II.}Soient $P$ et $Q$ dans $\mC[X]$ de degr\'es respectifs $n$ et $m$, de
coefficients dominants $b_0$ et $c_0$. On
suppose que les sommes de Newton sont les m\^emes: $S_k(P)=S_k(Q)$ pour tout
$k\in\mN^*$. Montrer que toute racine non nulle de $P$ est aussi racine de $Q$,
avec le m\^eme ordre. Quelle relation existe-t-il entre $P$ et $Q$?
\Eto{III.}Soient $p\in\mN^*$, ${\cal M}_p$ l'espace vectoriel des matrices
carr\'ees d'ordre $p$ sur $\mC$, $X\in{\cal M}_p$, $tr(X)$ la trace de $X$.\mnl
a) Soient $X,Y\in {\cal M}_p$. Comparer $tr(XY)$ et $tr(YX)$. Donner un exemple
(simple!) tel que $tr(XYZ)\not=tr(XZY)$.\mnl
b) Soit $f$ une forme lin\'eaire sur ${\cal M}_p$. Montrer qu'il existe une
matrice $M\in{\cal M}_p$ telle que $f(X)=tr(MX)$ pour tout $X\in{\cal M}_p$.
Montrer que si $f(XY)=f(YX)$
pour tous $X,Y\in{\cal M}_p$, il existe $\alpha\in\mC$ tel que $f(.)=\alpha
tr(.)$. On pourra utiliser une base de ${\cal M}_p$.
\Eto{IV.}On admet que toute matrice de ${\cal M}_p$ est triangulable. Soient
$k\in\mN^*$, $X\in{\cal M}_p$.\mnl
a) Soit $\lambda$ valeur propre de $X$; que peut on dire pour $X^k$? Quelle
r\'eciproque verriez vous? Que se passe-t-il si $X$ est \`a coefficients r\'eels et
si l'on ne s'int\'eresse qu'aux valeurs propres r\'eelles de $X$ et $X^k$?\mnl
b) Soient $\lambda_1,\ldots,\lambda_p$ les valeurs propres (distinctes ou non)
de $X$. Exprimer $tr(X^k)$.\mnl
c) Retrouver les r\'esultats a) et b) sans utiliser les possibilit\'es de
triangulation de $X$ et $X^k$ ( Cas complexe uniquement).\mnl
\eto Les questions V et VI sont enti\`erement ind\'ependantes et aboutissent \`a un
m\^eme r\'esultat, par deux m\'ethodes diff\'erentes.
\Eto{V.}Soient $m,n\in\mN^*$, $A\in\mC(m,n)$, $B\in\mC(n,m)$.\mnl
a) Soit $\lambda$ une valeur propre non nulle de $BA$. Est elle valeur propre
de $AB$?\mnl
b) On suppose, pour cette question seulement, que $m=n$. Montrer que si $0$ est
valeur propre de $BA$, $0$ est aussi valeur propre de $AB$.\mnl
c) Montrer, par un exemple simple, que le r\'esultat de b) est en g\'en\'eral faux
si $m\not=n$. A-t-on en g\'en\'eral $det(AB)=det(BA)$?\mnl
d) Comparer $tr(AB)$ et $tr(BA)$ puis $tr((AB)^k)$ et $tr((BA)^k)$ pour
$k\in\mN^*$.\mnl
e) Etablir une relation entre les polyn\^omes caract\'eristiques de $AB$ et
$BA$.\mnl
\Eto{VI.}Soient $A=(a_{i,j})_{\scriptstyle{1\leq i\leq m}\atop \scpt{1\leq
j\leq n}}$,
$B=(b_{i,j})_{\scpt{1\leq i\leq n}\atop \scpt{1\leq j\leq m}}$ o\`u $m,n\in\mN^*$.
\mnl
a) On suppose d'abord que $a_{i,i}=1$ pour $1\leq i\leq r$, o\`u $1\leq r\leq
inf(n,m)$, et $a_{i,j}=0$ pour les autres coefficients. Retrouver ainsi la
relation existant entre les polyn\^omes caract\'eristiques de $AB$ et $BA$.\mnl
b) Retrouver ce r\'esultat pour $A$ quelconque.


\end

