\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[french]{babel}
\setlength{\textwidth}{17 cm}
\setlength{\textheight}{22 cm}
\setlength{\topmargin}{-10 mm}
\setlength{\oddsidemargin}{-5 mm}
\usepackage{amsfonts,amsmath,amssymb}
\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancy}
\parindent=0pt
\begin{document}


%En-t{\^e}te et pied de page
\lhead{Mines-Ponts 1975 M et P Maths II}
\rhead{page \thepage}
\cfoot{}

%Source Mines-Ponts 1975 m75mc2e

%Num{\'e}rotation
\renewcommand{\labelenumi}{\arabic{enumi}\r{}) }
\renewcommand{\labelenumii}{\alph{enumii} - }

%Macros
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\matrice}[1]{\begin{pmatrix} #1 \end{pmatrix}}
\newcommand{\set}[1]{\left \{ #1 \right \}}
\newcommand{\ouvdroite}[2]{\left [ #1, #2 \right [}
\newcommand{\ouvert}[2]{\left ] #1, #2 \right [}



\begin{center}CONCOURS COMNUN MINES, PONTS {\dots} 1975 \end{center}

\begin{center}OPTIONS M ET P' - {\large 2}EME EPREUVE DE MATHEMATIQUES\end{center}

\begin{center}{\small (DUREE : 4 HEURES)}\end{center}

\begin{center}\rule{2cm}{1pt}\end{center}

Cette {\'e}preuve commune aux candidats des options M et P' comporte 3 pages.

\begin{center}\rule{2cm}{1pt}\end{center}

Les deux parties du probl{\`e}me sont ind{\'e}pendantes l'une de l'autre.

\begin{center}\underline{PARTIE I}\end{center}

On consid{\`e}re l'{\'e}quation du second degr{\'e}
$$z^{2} - bz + c = 0 \leqno{(1)}$$

dont les coefficients $b$ et $c$ sont dans $\Z$ et v{\'e}rifient $b^{2} - 4c < 0$ ;

$\alpha$ {\'e}tant l'une des racines de cette {\'e}quation, on d{\'e}signe par $\Z_{\alpha}$ l'ensemble des nombres complexes $z = p + q \alpha$ o{\`u} $p$ et $q$ appartiennent {\`a} $\Z$.
On d{\'e}signe {\'e}galement par $\Q_{\alpha}$ l'ensemble des nombres complexes $w = u + v \alpha$ o{\`u} $u$ et $v$ appartiennent {\`a} $\Q$.

\begin{enumerate}
\item %Question I.1�
Montrer que $\Z_{\alpha}$ est un sous-anneau de $\C$.
Que peut-on dire de la deuxi{\`e}me racine de l'{\'e}quation $(1)$ ?

\item %Question I.2�
Soit $f$ l'application de $\Z_{\alpha}$ dans $\Z$ d{\'e}finie par

\centerline{$f(p+q\alpha) = p^{2} + b p q + c q^{2}$.}

Montrer que

\centerline{$f(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$}

\centerline{$f(xy) = f(x) f(y)$.}

\item %Question I.3�
Soit $G_{\alpha}$ l'ensemble des {\'e}l{\'e}ments de $\Z_{\alpha}$ qui sont inversibles dans $\Z_{\alpha}$. Montrer que $G_{\alpha}$ est un groupe pour la multiplication.
Quelle est l'image de $G_{\alpha}$ par $f$ ? En d{\'e}duire que si $x = p + q \alpha$ est un {\'e}l{\'e}ment de $G_{\alpha}$, on a l'in{\'e}galit{\'e} :

\centerline{$q^{2} (4c - b^{2}) {\leq} 4$.}

En discutant suivant les valeurs attribu{\'e}es {\`a} $b$ et {\`a} $c$, d{\'e}terminer tous les {\'e}l{\'e}ments de $G_{\alpha}$.

\item %Question I.4�
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\Q_{\alpha}$ est un sous-corps de $\C$.

\item Montrer que l'ensemble des matrices {\`a} coefficients dans $\Q$ d{\'e}finies par

\centerline{$M_{u,v} = \matrice{u & v \\ -vc & u+bv}$}

(o{\`u} $u$ et $v$ sont des rationnels quelconques) est un corps pour l'addition et la multiplication matricielles.
Prouver que ce corps est isomorphe au corps $\Q_{\alpha}$.
\end{enumerate}

\item %Question I.5�
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\Q_{\alpha}$ est un sous-espace vectoriel de $\C$ consid{\'e}r{\'e} comme espace vectoriel sur $\Q$.
Quelle est la dimension de ce sous-espace vectoriel ?

\item Montrer que la fonction d{\'e}finie sur $\Q_{\alpha}$ {\`a} valeurs dans $\R$

\centerline{$x \mapsto \sqrt{f(x)} = \sqrt{f(u + v\alpha)} = \sqrt{u^{2} + b u v + c v^{2}}$}

est une norme euclidienne sur l'espace vectoriel $\Q_{\alpha}$.
D{\'e}terminer le produit scalaire dont d{\'e}rive cette norme.
Que peut-on dire de la restriction {\`a} $\Q_{\alpha}$ de la fonction module sur $\C$ ?
\end{enumerate}

\item %Question I.6�
\begin{enumerate}
\item {\'E}tant donn{\'e} un {\'e}l{\'e}ment $Y$ de $\Q_{\alpha}$, $Y {\neq}�0$, montrer que $\set{Y, \alpha Y}$ constitue une base de $\Q_{\alpha}$.

\item On consid{\`e}re deux {\'e}l{\'e}ments $X$ et $Y$ dans $\Z_{\alpha}$ avec $Y {\neq}�0$.
Montrer qu'il existe un {\'e}l{\'e}ment $Q$ dans $\Z_{\alpha}$ et deux rationnels $\lambda$ et $\mu$ appartenant {\`a} l'intervalle $\ouvdroite{0}{1}$ tels que

\centerline{$X = YQ + R$ o{\`u} $R = Y\left(\lambda + \mu \alpha\right)$.}
\end{enumerate}

\item %Question I.7�
 On suppose dans cette septi{\`e}me question que $c = 1$ et $b = -1$ ;
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $X \in \Z_{\alpha}$ et pour tout $Y \in�\Z_{\alpha}$, $Y {\neq} 0$, il existe un couple $(Q, R)$ d'{\'e}l{\'e}ments de $\Z_{\alpha}$ tel que

\centerline{$X = YQ + R$ et $f(R) < f(Y)$.}

\item On donne $X = 5 + 7 \alpha$ et $Y = 3 + \alpha$.
D{\'e}terminer une solution $(Q, R)$ du probl{\`e}me pr{\'e}c{\'e}dent et montrer que cette solution n'est pas unique.

\item Soit $I$ un id{\'e}al arbitraire de l'anneau $\Z_{\alpha}$.
Montrer que cet id{\'e}al est principal.

Si le m{\^e}me id{\'e}al non nul est engendr{\'e} par deux {\'e}l{\'e}ments distincts $Z$ et $Z'$ de $\Z_{\alpha}$, quelle est la relation qui existe entre $Z$ et $Z'$ ?

\item Montrer que l'ensemble des {\'e}l{\'e}ments $X = \left(5 + 7\alpha\right) A + \left(3+\alpha\right) B$ o{\`u} $A$ et $B$ sont des {\'e}l{\'e}ments quelconques de $\Z_{\alpha}$ est un id{\'e}al.
D{\'e}terminer tous les g{\'e}n{\'e}rateurs de cet id{\'e}al.
\end{enumerate}

\item %Question I.8�
 Soit $A_{\alpha}$ l'ensemble des automorphismes $\phi$ de l'espace vectoriel $\Q_{\alpha}$ tels que

\centerline{$\phi(x y) = \phi(x) \phi(y)$}

pour tous {\'e}l{\'e}ments $x$ et $y$ dans $\Q_{\alpha}$.
D{\'e}terminer tous les {\'e}l{\'e}ments de $A_{\alpha}$.
\end{enumerate}


\begin{center}\underline{PARTIE II}\end{center}

On consid{\`e}re l'{\'e}quation du 3{\`e}me degr{\'e}
$$x^{3} - x^{2} - 2x + 1 = 0. \leqno{(2)}$$


\begin{enumerate}
\item %Question II.1�
Montrer que toutes les racines de $(2)$ sont r{\'e}elles et appartiennent {\`a} l'intervalle $\ouvert{-2}{2}$.
Soit $\theta$ l'une de ces racines, montrer que $\theta$ n'est pas rationnel et que $2 - \theta^{2}$ est une autre racine de l'{\'e}quation $(2)$.

\medskip
Dans la suite, on d{\'e}signe par $\Q_{\theta}$ l'ensemble des r{\'e}els $x = u + v \theta + w \theta^{2}$ o{\`u} $u$, $v$, $w$ sont trois rationnels arbitraires.

Montrer que $\Q_{\theta}$ est un sous-espace vectoriel de $\R$ consid{\'e}r{\'e} comme espace vectoriel sur le corps $\Q$ des rationnels.
Quelle est la dimension de cet espace vectoriel ?
Que peut-on dire de l'ensemble des trois racines de l'{\'e}quation $(2)$ ?

\medskip
On admet que $\Q_{\theta}$ est un sous-corps du corps des r{\'e}els.

\item %Question II.2�
 On d{\'e}signe par $A_{\theta}$ l'ensemble des automorphismes $\phi$ de l'espace vectoriel $\Q_{\theta}$ qui v{\'e}rifient

\centerline{$\phi(xy) = \phi(x) \phi(y)$}

pour tous les {\'e}l{\'e}ments $x$ et $y$ de $\Q_{\theta}$ muni de sa structure de corps.
Montrer que $A_{\theta}$ est un sous-groupe du groupe des automorphismes de l'espace vectoriel $\Q_{\theta}$.

Montrer que $A_{\theta}$ est un ensemble de trois {\'e}l{\'e}ments que l'on d{\'e}signera par $\phi_{0}$, $\phi_{1}$, $\phi_{2}$ et que l'on d{\'e}finira explicitement.
Trouver les espaces propres de $\phi_{1}$, $\phi_{2}$

(On pourra supposer que $\phi_{0}$ d{\'e}signe l'automorphisme identit{\'e} de $\Q_{\theta}$ autrement dit l'{\'e}l{\'e}ment unit{\'e} de $A_{\theta}$) .


\item %Question II.3�
On consid{\`e}re les trois applications de $\Q_{\theta}$ dans lui-m{\^e}me $T_{1}$, $T_{2}$, $T_{3}$ d{\'e}finies par 
\begin{eqnarray*}
T_{1}(x) & = & \phi_{0}(x) + \phi_{1}(x) + \phi_{2}(x) ; \\
T_{2}(x) & = & \phi_{0}(x) \phi_{1}(x) + \phi_{0}(x) \phi_{2}(x) + \phi_{1}(x) \phi_{2}(x) ; \\
T_{3}(x) & = & \phi_{0}(x) \phi_{1}(x) \phi_{2}(x).
\end{eqnarray*}

\begin{enumerate}
\item Montrer que les images de ces trois applications $T_{1}$, $T_{2}$, $T_{3}$ sont incluses dans $\Q$.

\medskip
De fa{\c c}on plus g{\'e}n{\'e}rale, soit un polyn{\^o}me $P$, {\'e}l{\'e}ment de $\Q[X_{1}, X_{2}, X_{3}]$, sym{\'e}trique et homog{\`e}ne.

Montrer que l'application de $\Q_{\theta}$ dans $\Q_{\theta}$ d{\'e}finie par :

\centerline{$x \mapsto P\left(\phi_{0}(x), \phi_{1}(x), \phi_{2}(x)\right)$}

est {\`a} valeurs dans $\Q$.

\item Montrer que l'application $B$ d{\'e}finie par :

\centerline{$\forall (x, y) \in \Q_{\theta} \times�\Q_{\theta}, B(x, y) = T_{1}(xy)$}

est une forme bilin{\'e}aire sym{\'e}trique telle que la forme quadratique associ{\'e}e soit d{\'e}finie positive.

Montrer que l'application $T_{2}$ est une forme quadratique sur l'espace $\Q_{\theta}$.

Cette forme quadratique est-elle non d{\'e}g{\'e}n{\'e}r{\'e}e positive ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
$\circ$

$\circ \quad \circ$

$\circ$
\end{center}

\end{document}

