\input math3.sty

\def\titrecentre#1{\centerline{\tenxb #1}\vskip1mm}
\def\F#1{{\cal F}_#1}
\def\G{{\cal G}(f)}
\def\D{{\cal D}(f)}
\def\E #1{{\cal E}(#1)}
\def\col#1#2{\pmatrix{#1_1(#2)\\#1_2(#2)\\\vdots\\#1_n(#2)}}
\def\num#1{\leqno\kern9mm(#1)}
%\nofoot

\titrecentre{ECOLE CENTRALE DES ARTS ET MANUFACTURES
\hfill
ECOLE SUPERIEURE D'ELECTRICITE}

\titrecentre{ECOLE CENTRALE DE LYON\hfill
ECOLE SUPERIEURE D'OPTIQUE}
\medskip
\titrecentre{Concours d'Admission 1976}
\medskip

\titrecentre{MATHEMATIQUES I}
\medskip

%\grostitre{Probl\`eme sur les d\'ecompositions des fonctions de deux
%variables}

On d\'esigne par $\F1$ l'espace vectoriel complexe des
applications (ou fonctions) du corps des r\'eels $\R$ dans le
corps des complexes $\C$, par $\F2$ l'espace vectoriel complexe
des applications (ou fonctions) de $\R^2$ dans $\C$.

\'Etant donn\'e un \'el\'ement $(f, a)$ de $\F2\times \R$, on
note $f(a,.)$ [respectivement $f(.,a)$] l'\'el\'ement de $\F1$
d\'efini par $\forall x\in \R,\,x\mapstochar \longrightarrow
f(a,x)$ [respectivement, $\forall x\in \R,\,x\mapstochar
\longrightarrow  f(x,a)$].

\'Etant donn\'e un \'el\'ement $f$ de $\F2$, on d\'esigne par
$\D$ [respectivement $\G$] le sous-espace vectoriel de $\F1$ dont
une famille g\'en\'eratrice est $\bigl(f(a,.)\bigr)_{a\in \R}$
[respectivement $\bigl(f(.,a)\bigr)_{a\in \R}$].

Les parties II et III sont ind\'ependantes, mais la partie III
utilise la notation $\E f$ vue dans la partie II.

\Partie %I
\question %1
Soit $f$ un \'el\'ement de $\F2$.
\sousquestion %1a
On suppose $\D$ de dimension finie $\ell $ strictement
sup\'erieure \`a 0. Montrer
qu'il existe $(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_\ell)\in \F1^\ell $ et $(a_1,a_2,\dots,a_\ell)\in \R^\ell $ tels que
l'on ait:
$$
\forall (x,y)\in \R^2\quad f(x,y)=\sum_{i=1}^{i=\ell }\alpha_i(x)f(a_i,y)\>.
$$
\sousquestion %1b
D\'emontrer que $\D$ et $\G$ sont simultan\'ement soit de
dimension finie (et que dans ce cas ils ont m\^eme dimension),
soit de dimension infinie. Cette dimension commune, finie ou
infinie, est not\'ee $r(f)$; on l'appelle rang de $f$. On
montrera que $r(f)=0$ caract\'erise la fonction nulle.

\questiona %2a
Soit $f\in \F2$ et $(p,q)\in \C^2$. On pose, pour tout
\'el\'ement $(x,y)$ de $\R^2$, $g (x, y)=e^{px+qy}f(x,y)$.
Montrer que l'on a $r(g)=r(f)$.

\sousquestion %2b
Quel est le rang de la fonction d\'efinie sur $\R^2$ par
$f(x,y)=P (x+y)$, o\`u $P$ est un polyn\^ome non nul de $\C[X]$,
de degr\'e $n$ ?

\sousquestion %2c
Quel est le rang de $f$ d\'efinie sur $\R^2$ par $f(x, y)=e^{xy}$
?

\question %3
On d\'esigne par $\Phi $ le sous-ensemble des fonctions de $\F2$
de rang fini et par $\Phi^*$ cet ensemble $\Phi $ priv\'e de la
fonction nulle.

\sousquestion %a)
Montrer l'\'equivalence des propositions suivantes:
$$
\leqalignno{
&f\in \Phi^* &\quad(A)\\
&\hbox{Il existe au moins un entier $n$ strictement positif et
$2n$ fonctions}
&\quad(B)\\
&u_1,u_2,\dots,u_n,v_1,v_2,\dots v_n,
\hbox{ \'el\'ements de $\F1$ tels que l'on ait:}\\
&\forall (x,y)\in \R^2\quad f(x,y)=\sum_{i=1}^{i=n}u_i(x)v_i(y)
&\qquad(1)
\\
}
$$
$\Phi $ est donc un sous-espace vectoriel de $\F2$. Une relation
telle que $(1)$ constituera une d\'ecomposition de $f$, et $n$ sera
la longueur de cette d\'ecomposition.

\sousquestion %b
Montrer que la plus petite longueur d'une d\'ecomposition d'un
\'el\'ement $f$ de $\Phi^*$ est \'egale \`a $r(f)$. Toute
d\'ecomposition de $f$ de longueur $r(f)$ sera dite minimale.

\sousquestion %c
\'Etablir que si la relation $(1)$ est une d\'ecomposition
minimale pour $f\in \Phi^*$, alors $\{u_1,u_2,\dots, u_n\}$ et
$\{v_1,v_2,\dots, v_n\}$ sont respectivement des bases de $\G$ et
$\D$.

\sousquestion %d
Montrer que si $\{u_1,u_2,\dots,u_n\}$ et $\{v_1,v_2,\dots,v_n\}$
sont des syst\`emes libres dans $\F1$, la relation $(1)$
repr\'esente une d\'ecomposition minimale de $f$.

\sousquestion %e
D\'emontrer que, la relation $(1)$ \'etant minimale, pour que la relation
$$
\forall (x,y)\in \R^2\quad f(x,y)=\sum_{i=1}^{i=n}s_i(x)t_i(y)
\num2
$$
soit aussi minimale, il faut et il suffit qu'il existe dans $\MM
nC$ une matrice $A$ r\'eguli\`ere telle que l'on ait
$$
\forall (x,y)\in \R^2\quad\col sx=A\col ux\>\hbox{et}\>
\col ty=(~A)^{-1}\col vy
\num3
$$
\question %4
D\'emontrer que si $f$ est de classe $m$ (c'est-\`a-dire
poss\`ede des d\'eriv\'ees partielles jusqu'\`a l'ordre $m$
inclus et que ces d\'eriv\'ees partielles sont continues), dans
toute d\'ecomposition minimale telle que $(1)$, les fonctions
$u_1, u_2,\dots, u_n$, $v_1, v_2,\dots, v_n$, sont de classe $m$.

\question %5
On suppose que $f$ est une fonction polyn\^ome de deux variables
$x$ et $y$ r\'eelles, que l'on peut \'ecrire
$$
f(x,y)=\sum_{i=0}^{i=k}P_i(x)y^i=\sum_{j=0}^{j=h}Q_j(y)x^j
=\pmatrix{1&y&\cdots&y^k}M\pmatrix{1\\x\\\vdots\\x^h}
\>,$$
o\`u les $P_i$ et $Q_j$ sont des polyn\^omes de $\C[X]$
et $M$ une matrice complexe.
D\'emontrer que le rang de $f$ est \'egal au rang du syst\`eme
$(P_0, P_1,\dots P_k)$, au
rang du syst\`eme
$(Q_0, Q_1,\dots, Q_h)$, et au rang de la matrice $M$.

\Partie %II

On suppose que l'\'el\'ement $f$ de $\Phi $ est une fonction
sym\'etrique, c'est-\`a-dire que l'on a: $\forall (x,y) \in
\R^2\, f(x,y)= f(y,x)$. $\G$ et $\D$ se confondent alors en un
m\^eme sous-espace vectoriel de $\F1$ not\'e $\E f$.

\questiona %1a
Montrer qu'il existe une matrice $A$ sym\'etrique dans $\MM nC$, et une seule,
telle que l'on ait:
$$
\forall (x,y)\in \R^2\quad
f(x,y)=\pmatrix{u_1(x)&u_2(x)&\dots&u_n(x)}A\col uy
$$
\sousquestion %1b
En d\'eduire qu'il existe une d\'ecomposition minimale de $f$ de la forme
$$
\forall (x,y)\in \R^2\quad f(x,y)=\sum_{i=1}^{i=n}w_i(x)w_i(y)
\num4
$$
\question %2
D\'eterminer, pour la fonction polyn\^ome $f$ d\'efinie par
$\forall (x,y)\in \R^2\quad f(x,y)=(x+y)^m$, $m$ entier strictement
positif, une d\'ecomposition minimale telle que $(4)$.

\Partie %III

Soit $\cal A$ le sous espace vectoriel de $\F1$ form\'e des
fonctions $g$ de $\F1$ de classe infinie et poss\'edant la
propri\'et\'e suivante: la fonction $f$ de $\F2$ d\'efinie sur
$\R^2$ par $f(x, y)=g(x+y)$ est de rang fini, qui sera par
d\'efinition celui de $g$. $\E f$ sera alors \'egalement not\'e
$\E g$.

\question %1
D\'eterminer les fonctions $g$ de rang 1. On montrera qu'une
telle fonction ne prend jamais la valeur z\'ero.

\questiona %2a
Montrer que la fonction $g$ de $\F1$, d\'efinie sur $\R$ par
$g(x)=e^{\alpha x} P (x)$,
$P$ \'etant un polyn\^ome non nul \`a coefficients complexes de degr\'e
$p$ et $\alpha $ un
\'el\'ement de $\C$, appartient \`a $\cal A$, et est de rang $p+1$.

\sousquestion %b
$��, ��,\dots,�$ d\'esignant $k$ nombres complexes distincts,
$P_1,P_2,\dots, P_k$
d\'esignant des polyn\^omes non nuls de $\C[X]$, on consid\`ere la fonction
$h$ de $\F1$ d\'efinie par
$$
\forall x\in \R\quad h(x)=\sum_{i=1}^{i=k}e^{\alpha_ix}P_i(x)
\num5
$$
\'Etablir que $h$ appartient \`a $\cal A$ et que son rang est \'egal
\`a $\sum_{i=1}^{i=k}1+\deg(P_i)$.

(On pourra utiliser la propri\'et\'e suivante apr\`es l'avoir
justifi\'ee: si, pour tout $x$ r\'eel, les $k$ polyn\^omes $Q_1$,
$Q_2$,\dots, $Q_k$ de $\C[X]$ satisfont \`a la relation
$\sum_{i=1}^ke^{\alpha_ix}Q_i(x)=0$, alors ils sont tous nuls.)

\question %3
Soit $g\in \cal A$, $g$ de rang $p>1$.
On consid\`ere une d\'ecomposition minimale
$$
g(x+y)=\sum_{i=1}^{i=p}u_i(x)v_i(y)
\>.
$$
\sousquestion %a
Montrer que l'on a: $g'\in \cal A$ et $\E{g'}\subset \E g$, $g'$ d\'esignant
la d\'eriv\'ee de $g$.

\sousquestion %b
Montrer qu'il existe un complexe $\alpha $, \'eventuellement nul,
tel que la fonction d\'efinie sur $\R$ par $x\mapstochar
\longrightarrow e^{\alpha x}[g'(x)+\alpha g(x)]$ soit un
\'el\'ement de $\cal A$ de rang strictement inf\'erieur \`a $p$.

\sousquestion %c
En d\'eduire que toute fonction $g$ de $\cal A$ est de la forme
$(5)$.

\sousquestion %d
Soit $g\in \F1$, $g$ continue et telle que la fonction de $\F2$
d\'efinie sur $\R^2$ par $(x,y)\mapstochar \longrightarrow
g(x+y)$ soit de rang fini. D\'emontrer que $g$ est de classe
infinie. (On pourra consid\'erer une primitive de $g$).

\bye
