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\begin{document}


%Source m79umpe
\renewcommand{\labelenumi}{\arabic{enumi}\r{}}


%Macros
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E.N.S. SEVRES \& ULM 1979
\begin{center}\textbf{{\'E}PREUVE PRATIQUE DE MATH{\'E}MATIQUES}\end{center}

\begin{center}\textsc{G{\'e}n{\'e}ralit{\'e}s -- Notations -- Rappels}\end{center}


L'objet du probl{\`e}me est l'{\'e}tude d'une m{\'e}thode d'approximation des valeurs propres et des vecteurs propres d'une matrice sym{\'e}trique r{\'e}elle.

Un entier $n > 1$ {\'e}tant fix{\'e} une fois pour toutes, le terme {\og}matrice{\fg} d{\'e}signe \textit{dans toute la suite} une matrice \textit{carr{\'e}e} d'ordre $n$ {\`a} {\'e}l{\'e}ments \textit{r{\'e}els}.
On note $\mathscr{A}_{n}$ l'ensemble de ces matrices.

Si $A$ est une matrice, on note $(A)_{i,j}$ l'{\'e}l{\'e}ment de $A$ qui est {\`a} la $i$-{\`e}me ligne et {\`a} la $j$-{\`e}me colonne.
La notation $A = (a_{i,j})$ signifie que $(A)_{i,j} = a_{i,j}$.


On utilise {\'e}galement les notations suivantes :
\begin{itemize}
\item[] $\transpose{A}$ : matrice transpos{\'e}e de la matrice $A$ ($\left(\transpose{A}\right)_{i,j} = (A)_{j,i}$).
\item[] $\kro{i}{j}$ : symbole de \NomPropre{Kronecker} ($\kro{i}{j} = 1$ si $i = j$, $\kro{i}{j} = 0$ si $i {\neq} j$.
\item[] $I = �\kro{i}{j}$.
\item[] $\Diag{d_{i}} = D$ o{\`u} $(D)_{i,j} = \kro{i}{j} d_{i}$.
\item[] Une matrice $A$ est sym{\'e}trique si $A = \transpose{A}$.
\item[] Une matrice $U$ est orthogonale si $\transpose{U} U = U \transpose{U} = I$.
\item[] Le terme {\og}norme matricielle{\fg} d{\'e}signe toute application $\varphi : \mathscr{A}_{n} \rightarrow \R_{+}$ telle que :
\begin{enumerate}
\item[\textit{(i)}] Pour toutes $A, B \in \mathscr{A}_{n}$, on a $\varphi(A+B)  \leq  \varphi(A) + \varphi(B)$.
\item[\textit{(ii)}] Pour toute $A \in \mathscr{A}_{n}$, l'{\'e}galit{\'e} $\varphi(A) = 0$ implique $A = 0$.
\item[\textit{(iii)}] Pour toute $A \in \mathscr{A}_{n}$ et tout $\alpha \in \R$, on a $\varphi(\alpha A) = \abs{\alpha} \varphi(A)$.
\item[\textit{(iv)}] Pour toutes $A, B \in \mathscr{A}_{n}$, on a $\varphi(AB)  \leq  \varphi(A) \varphi(B)$.
\end{enumerate}
\end{itemize}


On note $\absdeux{v}$ la norme euclidienne d'un {\'e}l{\'e}ment de $\R^{n}$:

\centerline{$\absdeux{v} = \left(\somme{i=1}{n}{v_{i}^{2}}\right)^{1/2}$}

et on pose, pour $A \in \mathscr{A}_{n}$

\centerline{$\normedeux{A} = \sup{\set{\absdeux{Av} ; v \in \R^{n}, \absdeux{v} = 1}}$}

l'application $\normedeux{\cdot}$ ainsi d{\'e}finie {\'e}tant une norme matricielle.


On rappelle que dans un espace vectoriel norm{\'e} de dimension finie, toutes les normes sont {\'e}quivalentes, et que toute suite (infinie) born{\'e}e admet au moins une valeur d'adh{\'e}rence.
Enfin, la convergence d'une suite de matrices est {\`a} comprendre comme la convergence d'une suite de points de l'espace vectoriel norm{\'e} $\mathscr{A}_{n}$.


\begin{center}
I. \textsc{R{\'e}sultats pr{\'e}liminaires} (dont certains sont {\`a} utiliser dans II)
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %I.1
Soit $A$ une matrice sym{\'e}trique, de valeurs propres $\lambda_{i}$, $1  \leq  i  \leq n$, et $\Delta A$ une matrice sym{\'e}trique.
Montrer que les valeurs propres de la matrice $A + \Delta A$ appartiennent {\`a} l'ensemble

\centerline{$\union{i=1}{n}{\set{z \in \R ; \abs{z-\lambda_{i}}  \leq  \normedeux{\Delta A}}}$}

(on pourra utiliser une matrice orthogonale $U$ telle que $\transpose{U} A U = \Diag{\lambda_{i}}$.)

\item %I.2
Montrer que l'application $A \mapsto \norme{A}$ d{\'e}finie par

\centerline{$A = (a_{i,j}) \mapsto \norme{(a_{i,j})} = \left(\somme{i,j=1}{n}{a_{i,j}^{2}}\right)^{1/2}$}

est une norme matricielle.
\item %I.3
Existe-t-il une norme $\abs{\cdot}$ sur l'espace vectoriel $\R^{n}$ telle que

\centerline{$\norme{A} = \sup{\set{\abs{Ax}; x \in \R^{n}, \abs{x} = 1}}$ ?}

Justifier votre r{\'e}ponse.

\item %I.4
Montrer que si $U$ est une matrice orthogonale, on a pour toute $A \in \mathscr{A}_{n}$

\centerline{$\norme{UA} = \norme{AU} = \norme{A}$.}

\item %I.5
Soient $p$ et $q$ deux entiers tels que $1  \leq  p < q  \leq  n$, et $\theta$ un nombre r{\'e}el. On d{\'e}finit la matrice $\Omega$ par

$(\Omega)_{i,j} = \systeme{\kro{i}{j} \mbox { si } i \notin \set{p, q} \mbox{ ou si } j \notin \set{p, q} \\
\cos{\theta} \mbox{ si }(i, j) = (p, p) \mbox{ ou } (i, j) = (q, q) \\
\sin{\theta} \mbox{ si } (i, j) = (p, q) \\
-\sin{\theta} \mbox{ si } (i, j) = (q, p)}$

Soit $A = (a_{i,j})$ une matrice sym{\'e}trique.
On lui associe la matrice sym{\'e}trique $B = (b_{i,j}) = \transpose{\Omega} A \Omega$.
Montrer que

\centerline{$\somme{i,j = 1}{n}{b_{ij,}^{2}} = \somme{i,j = 1}{n}{a_{i,j}^{2}}$.}

\item %I.6
La matrice $A$ et les entiers $p$ et $q$ {\'e}tant fix{\'e}s, on suppose $a_{p,q} {\neq} 0$.

Montrer qu'il existe un et un seul nombre r{\'e}el $\theta$ dans l'intervalle $\ouvgauche{-\dfrac{\pi}{4}}{\dfrac{\pi}{4}}$ tel que, avec les notations de 5\r{}, on ait $b_{p,q} = 0$.

\item %I.7
On conserve les hypoth{\`e}ses et les notations de 6\r{}. Le nombre $\theta$ {\'e}tant choisi comme dans la question 6\r{}, montrer que

\centerline{$\somme{i=1}{n}{b_{i,i}^{2}} = \somme{i=1}{n}{a_{i,i}^{2}} + 2 a_{p,q}^{2}$.}

\item %I.8
Soit $\left(x^{k}\right)_{k=1}^{{\infty}}$ une suite born{\'e}e dans un espace vectoriel norm{\'e} $V$ de dimension finie, telle que
\begin{enumerate}
\item[\textit{(i)}] L'ensemble des valeurs d'adh{\'e}rence de la suite $(x^{k})$ est fini.
 \item[\textit{(ii)}] $\limite{k}{{\infty}}{\abs{x^{k+1} - x^{k}}} = 0$
\end{enumerate}

o{\`u} $\abs{\cdot}$ d{\'e}signe la norme de $V$.
Montrer que la suite $(x^{k})$ est convergente.
\end{enumerate}

\begin{center}
II. \textsc{Description et {\'e}tude de la m{\'e}thode}
\end{center}

Une matrice $A^{1}$ sym{\'e}trique {\'e}tant donn{\'e}e, on construit une suite de matrices sym{\'e}triques $(A^{k})_{k=1}^{{\infty}}$ de la fa{\c c}on suivante : la matrice $A^{k} = (a_{i,j}^{k})$ {\'e}tant suppos{\'e}e connue, on choisit l'un des couples $(p, q)$ tels que

\centerline{$\abs{a_{p,q}^{k}} = \bmax{i{\neq}j}{\abs{a_{i,j}^{k}}}$, $1  \leq  p < q  \leq  n$.}

N.B. - Pour {\'e}viter des situations triviales, on suppose \textit{dans toute la suite} qu'on a $\bmax{i{\neq}j}{\abs{a_{i,j}^{k}}} > 0$ pour tout entier $k  \geq  1$.

On note alors $\Omega^{k}$ la matrice construite comme la matrice $\Omega$ de la question I.5\r{}, le nombre $\theta$ {\'e}tant choisi dans l'intervalle $\ouvgauche{-\dfrac{\pi}{4}}{\dfrac{\pi}{4}}$ de telle facon que

\centerline{$\left(\transpose{\Omega^{k}} A^{k} \Omega^{k}\right)_{p,q} = 0$}

et on pose

\centerline{$A^{k+1} = \transpose{\Omega^{k}} A^{k} \Omega^{k}$.}

On pose enfin $U^{k} = \Omega^{1} \Omega^{2} {\dots} \Omega^{k-1}$ ($U^{1} = I$), de sorte qu'on a $A^{k} = \transpose{U^{k}} A^{1} U^{k}$.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{8}
\item %II.9
On pose, pour tout entier $k  \geq  1$,

\centerline{$A^{k} = (a_{i,j}^{k}) = D^{k} + E^{k}$, avec $D^{k} = \Diag{a_{i,i}^{k}}$.}

Montrer qu'on a $\limite{k}{{\infty}}{E^{k}} = 0$.

\item %II.10
Montrer que la suite $(D^{k})_{k=1}^{{\infty}}$ a un nombre fini de valeurs d'adh{\'e}rence.

\item %II.11
Montrer qu'on a $\limite{k}{{\infty}}{\left(D^{k+1} - D^{k}\right)} = 0$.

\item %II.12
Montrer que la suite $(A^{k})_{k=1}^{{\infty}}$ converge vers une matrice diagonale, dont les {\'e}l{\'e}ments diagonaux sont les $n$ valeurs propres de $A$.

\item %II.13
On suppose \textit{dans toute la suite} que les valeurs propres de $A^{1}$ sont distinctes.
Montrer que la suite $(U^{k})_{k=1}^{{\infty}}$ a un nombre fini de valeurs d'adh{\'e}rence.

\item %II.14
Montrer qu'on a $\limite{k}{{\infty}}{\Omega^{k}} = I$.

\item %II.15
Montrer que la suite $(U^{k})_{k=1}^{{\infty}}$ converge vers une matrice orthogonale, dont les vecteurs colonnes sont $n$ vecteurs propres associ{\'e}s aux $n$ valeurs propres de $A^{1}$.
\end{enumerate}
\end{document}
