\documentclass[10pt,twoside]{article}
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\usepackage{amsmath, amsfonts, amssymb, mathrsfs}
\usepackage[french]{babel}

%   REDEFINITIONS :
%
\DeclareMathOperator{\tghyp}{th} \DeclareMathOperator{\cotg}{cotg} 
\DeclareMathOperator{\sinhyp}{sh} 
\DeclareMathOperator{\tang}{tg}\DeclareMathOperator{\Ker}{Ker} 
\DeclareMathOperator{\Img}{Im}\DeclareMathOperator{\Arctg}{Arc\,tg} 
\DeclareMathOperator{\Arccos}{Arc\,cos}\DeclareMathOperator{\Log}{Log} 
\DeclareMathOperator{\Arcsin}{Arc\,sin} \DeclareMathOperator{\coshyp}{ch} 
\DeclareMathOperator{\pgcd}{pgcd} 
\def\qqs{\forall\,}\def\existe{\exists\,}
\newcommand{\acco}[1]{\left\{#1\right\}} % donne {.......}
\newcommand{\pare}[1]{\left(#1\right)}
\newcommand{\croc}[1]{\left[#1\right]}
\newcommand{\abs}[1]{\left\lvert#1\right\rvert}
\newcommand{\trema}[1]{\"#1}
\newcommand{\virg}{\raise1.5pt\hbox{,}\ }
\newcommand{\pnt}{\raise1.5pt\hbox{.}\ }
\def\jfrac#1#2{\raisebox{2pt}{$#1$}/\raisebox{-2pt}{$#2$}}
\def\dbind#1{_{_#1}}  %Passage direct en indice d'indice
\def\existe{\exists\,}
\def\qqsoit{\forall\,}
\newcommand{\CNS}{con\-di\-tion n\'e\-ces\-saire et suf\-fi\-sante}
\newcommand{\CR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\CC}{\mathbb{C}}
\newcommand{\CK}{\mathbb{K}}
\newcommand{\CN}{\mathbb{N}}
\newcommand{\CZ}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\CQ}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\Id}{\mathbb{I}}
\newcommand{\NI}{\noindent}
\newcommand{\RD}[1]{\mathcal{#1}}
\newfont{\cmmd}{rsfs10 at 12pt}
%\newfont{\cmmd}{callig15 at 15pt}
\def\rd#1{\uppercase{\text{\cmmd #1}}}
\newcommand{\eg}[1]{\og #1\fg\,}
\newcommand{\MG}[1]{\marginpar{#1}}
\newcommand{\NOTE}[1]{(\footnote{#1})}
\newcommand{\GM}{\mathfrak{M}}
\newcommand{\accol}[2]{\left\{\begin{array}{#1}#2\end{array}\right.}
\def\citation#1{\nobreak\bigbreak  {\hbox to \hsize{\hfill\let\\=\cr\null%
 \hfill\vbox{\halign{\it##\hfill\cr#1\hfill\crcr}}}}}
%Mode math : Mettre dans #1 les indications de centrage l/c/r et dans #2 le contenu de
%l'accolade. La syntaxe est par exemple $\accol{ccr}{a&b&c\\d&e&f}$.
\newcommand{\ssi}{si, et seulement si,}
%\newcommand{\oaf}{$\m@th\braceld\leaders\vrule\hfill\bracerd$}
%\newcommand{\surarc}[1]{\mathop{\vbox{\ialign{##\crcr\noalign{kern3\p@}\oaf\crcr
%\noalign{\kern3\p@\nointerlineskip}$\hfill\displaystyle{#1}\hfill$\crcr}\limits}}}
\newcommand{\egaldef}{\stackrel{{\scriptscriptstyle{d\acute{e}f}}}{=}}
\def\etplus{\raisebox{-3pt}{\text{\small*}}\raisebox{0.5pt}{\text{\tiny+}}}   %Pour R^{+*}
\newcommand{\mq}[1]{montr{#1} que}
\newcommand{\Mq}[1]{Montr{#1} que}
\newcommand{\mqp}[1]{montr{#1} qu'}
\newcommand{\Mqp}[1]{Montr{#1} qu'}
\newcommand{\resp}[1]{respective{#1}}
\newcommand{\ev}{espace vectoriel}
\newcommand{\eev}{espaces vectoriels}
\newcommand{\sev}{sous-espace vectoriel}
\newcommand{\ssev}{sous-espaces vectoriels}
\newcommand{\cad}{c'est-\`a-dire}
\newcommand{\pbar}{\rule[-1pt]{0.4pt}{9pt}}   % pbar signifie p(etite) barre
\newcommand{\dpbar}{\pbar\,\pbar}       % dpbar signifie d(ouble) p(etite) barre
\def\cadre#1{\vbox{\hrule\hbox{\vrule\vbox spread 2pt{\vfil\hbox spread 2pt{\hfil#1\hfil}\vfil}\vrule}\hrule}}
\newcommand{\norme}[1]{\,\dpbar\,#1\,\dpbar\,}
\newcommand{\subord}[1]{\pbar\,\pbar\,\pbar\ #1\,\pbar\,\pbar\,\pbar\,}
\newcommand{\scal}[2]{<#1,\,#2>}
\newcommand{\ioo}[2]{\left]\,#1\,;\,#2\,\right[} % Intervalle ouvert � gauche et � droite, ad lib.
\newcommand{\iofm}[2]{\left]\,#1\,;\,#2\,\right]}
\newcommand{\ifmo}[2]{\left[\,#1\,;\,#2\,\right[}
\newcommand{\fleche}[1]{\overrightarrow{\vphantom{M}#1}}
%\renewcommand{\longmapsto}{\,\epsfbox{d:/tex/fleches.1}\,}
%\renewcommand{\longrightarrow}{\,\epsfbox{d:/tex/fleches.2}\,}
\newcommand{\etc}[1]{#1\,\dots\,#1}
\newenvironment{marges}[2]{\begin{list}{}{%
\setlength{\topsep}{0pt}%
\setlength{\leftmargin}{0pt}%
\setlength{\rightmargin}{0pt}%
\setlength{\listparindent}{\parindent}%
\setlength{\itemindent}{\parindent}%
\setlength{\parsep}{0pt plus 1pt}%
\addtolength{\leftmargin}{#1}%
\addtolength{\rightmargin}{#2}%
}\item }{\end{list}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\newcommand{\ifmfm}[2]{\left[\,#1\,;\,#2\,\right]}
\def\indic#1{[\,{\em Indication~: #1}\,]}
\newcommand{\dsp}{\displaystyle}
\renewcommand{\le}{\leqslant}
\renewcommand{\ge}{\geqslant}
%Trois points SW-NE
\def\adots{\mathinner{\mkern2mu\raise1pt\hbox{.}
\mkern3mu\raise4pt\hbox{.}\mkern1mu\raise7pt\hbox{.}}}
\newcommand{\bloc}[4]{\begin{pmatrix}#1&#2\\#3&#4\end{pmatrix}}
\def\sr#1{\ensuremath\rd s_{#1}}
\def\ser#1{\acco{#1_n}_{n\in\CN}}
\def\serent#1{\acco{#1_nx^n}_{n\in\CN}}
\def\iun{\ioo{-1}1\,}
\def\ndsn{_{n\in\CN}}
\def\som{\dsp\sum\limits_{k=0}^{+\infty}}
%\newcommand{}{}
%\newcommand{}{}
%\newcommand{}{}
%\newcommand{}{}
%\newcommand{}{}
%\newfont{\cmmd}{callig15}
%\newfont{\deft}{cmr10}\Log\coth\cotg
\newcounter{cpart}\newcounter{num}[cpart]\newcounter{sousnum}[num]\newcounter{ssnum}[sousnum]   
\newcommand{\partie}[1] {\noindent\refstepcounter{cpart}
{\large{\begin{center}\textbf{Partie\ \Roman{cpart} #1}\end{center}}}\vrule height 7mm depth0mm 
width0mm}
\newcommand{\quest}{\\\noindent\refstepcounter{num}{\textbf{\Roman{cpart}.\Alph{num}.\ }}}
\newcommand{\squest}{\refstepcounter{sousnum}{\textbf{\Roman{cpart}.\Alph{num}\thesousnum.\,}}}                 
\newcommand{\ssquest}{\refstepcounter{ssnum}{\textbf{\Roman{cpart}.\Alph{num}\thesousnum\roman{ssnum}.\,}}}

%   TEXTE :
\begin{document}\language=1\NI
\begin{center}
{\Large\sf Le th\'eor\`eme de {\sc Hardy}\,--\,{\sc Littlewood}}\bigskip\bigskip
\end{center}\vrule height 7mm depth0mm width0mm
Pour toute s\'erie $S=\ser a$ \`a termes complexes, on d\'esigne par 
$s_n=\dsp\sum\limits_{k=0}^{n}a_k$ la somme partielle de rang $n$ et 
$\sigma_n=\dfrac{1}{n+1}\dsp\sum\limits_{k=0}^{n}s_k$ la moyenne arithm\'etique des $n+1$ 
premi\`eres sommes partielles.\\\\\\
%
Dans l'ensemble des s\'eries $S$, on envisage les sous-ensembles~:\\
$\sr1$ constitu\'e des s\'eries $S$ convergentes ;\\
$\sr2$ constitu\'e des s\'eries $S$ telles que la {\bf suite} $(\sigma_n)$ converge~;\\
$\sr3$ constitu\'e des s\'eries $S$ telles que la {\bf s\'erie enti\`ere} $\serent{a}$ ait un 
rayon de convergence $\ge1$ et que $f\,:\,x\in\iun\longmapsto\som a_kx^k$ ait une limite $\ell$ 
lorsque $x\to1$ par valeurs inf\'erieures.\\\\\\
\partie{} 
%
\quest Soit la s\'erie $S_1$ de terme g\'en\'eral $(-1)^n$. Appartient-elle \`a 
$\sr1,\,\text{ \`a }\sr2,\,\text{ \`a }\sr3$ ?\\\\
\quest Soit la s\'erie $S_2$ de terme g\'en\'eral $(-1)^{n+1}n$. Appartient-elle \`a 
$\sr1,\,\text{ \`a }\sr2,\,\text{ \`a }\sr3$ ?\\\\
\quest \Mq{er} $\sr1\subset\sr2$.\\\\
\quest Soit $S\in\sr2$.\\
\squest \'Etablir la convergence, pour tout $x\in\iun$, de la s\'erie 
$\acco{(n+1)\sigma_nx^n}\ndsn$ puis de la s\'erie $\acco{s_nx^n}\ndsn$. En d\'eduire une 
expression de $\som a_kx^k$ \`a l'aide de $g(x)=\som (k+1)\sigma_kx^k$.\\
\squest \Mq{er} $S\in\sr3$ et que $f(x)\to\lim\limits_{n\to+\infty}\sigma_n$ lorsque $x\to1$.\\\\
\quest R\'esumer les r\'esultats obtenus en termes d'inclusions entre $\sr1,\,\sr2\text{ et 
}\sr3$. Comment ces r\'esultats se pr\'ecisent-ils si l'on se restreint \`a des s\'eries \`a 
termes r\'eels positifs ou nuls ?\newpage\noindent\pagestyle{empty}
\partie{}\noindent\vrule height 0.1mm depth0mm width0mm\\ 
Dans cette partie, on choisit $S\in\sr3$, de terme g\'en\'eral {\bf r\'eel} $\ser a$, telle qu'il 
existe $A\in\CR$ majorant la suite $(na_n)\ndsn$. Dans cette partie, on ne 
consid\'erera enfin que des polyn\^omes \`a coefficients r\'eels.\\\\
\quest\\\squest Soit $p(X)=\dsp\sum\limits_{k=1}^{d}\alpha_kx^k$ un polyn\^ome de valuation non 
nulle. \Mq{er} la s\'erie $\acco{a_np(x^n)}\ndsn$ converge pour tout $x\in\iun$ puis calculer 
$\lim\limits_{x\to1}\som a_kp(x^k)$ \`a l'aide notamment de~$\ell$ (d\'efini au pr\'eambule).\\
\squest Soit $p$ comme pr\'ec\'edemment. \Mq{er} la s\'erie $\acco{x^np(x^n)}\ndsn$ converge pour 
tout $x$ dans $\iun$ et exprimer $\lim\limits_{x\to1}\pare{(1-x)\som x^kp(x^k)}$ \`a l'aide d'un 
symbole d'int\'egration.\\\\
\quest Soit $\psi$ une fonction r\'eelle continue sur $\ifmo0{1/2}$ et sur $\ifmfm{1/2}1$, 
admettant une limite \`a gauche en $1/2$. \Mq{er}, pour tout $\varepsilon>0$, il existe des 
fonctions polynomiales $q_1$ et $q_2$ telles que 
$$\accol{l}{\forall\,x\in\ifmfm01,\,q_1(x)\le\psi(x)\le q_2(x)\\\dsp\int_{0}^{1}\pare{q_2(x)-q_1(x)}
\,\text{d}\hspace{-0.02em}x\le\varepsilon}$$ [\,{\em On pourra utiliser le th\'eor\`eme 
d'approximation polynomiale de {\sc Weierstrass.}}\,]\\\\
\quest Soit $\chi$ la fonction \'egale \`a $0$ sur $\ifmo0{1/2}$ et \`a $1$ sur $\ifmfm{1/2}1$.\\
\squest \Mq{er} la s\'erie $\acco{a_n\chi(x^n)}\ndsn$ converge uniform\'ement sur tout segment 
inclus dans $\ifmo01$.\\
\squest \Mq{er}, pour tout $\varepsilon>0$, il existe deux fonctions polynomiales $p_1$ et $p_2$ 
valant toutes deux~$0$ en $x=0$ et $1$ en $x=1$ et telles que
$$\accol{l}{\forall\,x\in\ifmfm01,\,p_1(x)\le\chi(x)\le p_2(x)\\\dsp\int_{0}^{1}\dfrac{p_2(x)-p_1(x)}{x(1-x)}
\,\text{d}\hspace{-0.02em}x\le\varepsilon}$$ \squest \'Etablir que, pour tout $\varepsilon>0$, il 
existe $\alpha\in\ioo01$ tel que $1-\alpha\le x<1$ implique $$\accol{l}{\som a_k\chi(x^k)-\som 
a_kp_1(x^k)\le(A+1)\varepsilon\\\som a_kp_2(x^k)-\som a_k\chi(x^k)\le(A+1)\varepsilon}$$ 
%
\squest Conclure quant \`a la nature de la s\'erie $S$.\\
\squest Y a-t-il convergence uniforme de $\acco{a_n\chi(x^n)}\ndsn$ sur $\ifmfm01$ ?\\\\
\quest Soit $S_3\in\sr3$, de terme g\'en\'eral $b_n$ et telle que la suite $(nb_n)$ soit 
minor\'ee. La s\'erie $S_3$ converge-t-elle ? Existe-t-il une telle s\'erie v\'erifiant en outre 
$\sup\limits\ndsn nb_n=+\infty$ ?\enlargethispage{5\baselineskip}\\\\
\quest\\
\squest Existe-t-il $S_4\in\sr3$ de terme g\'en\'eral r\'eel $c_n$ tel que $\sup\limits\ndsn 
nc_n=-\inf\limits\ndsn nc_n=+\infty$ ?\\
\squest Soit $S_5\in\sr3$, de terme g\'en\'eral {\bf complexe} de la forme O$(1/n)$ ; $S_5$ 
converge-t-elle ?
\end{document}


