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\begin{document}

%Source  m85xm1e

%Macros
\renewcommand{\leq}{\,\leqslant\,}
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%Num{\'e}rotation
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\arabic{enumi}.}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\textit{\alph{enumii}}.}}


{\'E}COLE POLYTECHNIQUE \hfill {\Large OPTION M'}

CONCOURS D'ADMISSION 1985

\begin{center}\textbf{{\large PREMI{\`E}RE COMPOSITION DE MATH{\'E}MATIQUES} (4 heures)}\end{center}

\begin{center}$\blacklozenge$\end{center}

Dans tout le probl{\`e}me, $\mathscr{E}$ est un espace vectoriel \textit{r{\'e}el} de dimension finie $n {\geq} 2$.
Pour tout couple $(A, B)$ d'endomorphismes de $\mathscr{E}$, on note $AB$ le compos{\'e} $A \circ B$.
Pour tout entier $i {\geq} 0$, $A^{i}$ est l'endomorphisme de $\mathscr{E}$ d{\'e}fini par r{\'e}currence par $A^{i+1} = A^{i} A$ avec $A^{0} = I$, automorphisme identique de $\mathscr{E}$ ; pour tout polyn{\^o}me $P(X) = \somme{i=0}{n}{\alpha_{i} X^{i}}$ d'une variable, {\`a} coefficients r{\'e}els, $P(A)$ d{\'e}signe l'endomorphisme $\somme{i=0}{n}{\alpha_{i} A^{i}}$.

L'image et le noyau de $A$ sont respectivement not{\'e}s $\im{A}$ et $\ker{A}$.
Si $\mathscr{F}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathscr{E}$ tel que $\mathscr{F}$ contienne l'image $A(\mathscr{F})$ qu'en donne $A$, on dit que $\mathscr{F}$ est \textit{stable} par $A$.
Enfin, s'il existe un entier $q > 0$ tel que $A^{q} = 0$, on dit que $A$ est  \textit{nilpotent} et le plus petit de ces entiers $q$ s'appelle \textit{indice de nilpoence} de $A$.


\begin{center}\textbf{I}\end{center}

Dans toute cette partie, $L$ est un endomorphisme nilpotent de $\mathscr{E}$ et on note $p$ son indice de nilpotence.

\begin{enumerate}
\item %I.1)
\begin{enumerate}
\item %I.1.a)
Soit $i$ un entier positif ou nul. Montrer que l'{\'e}galit{\'e} $\ker{L^{i}} = \ker{L^{i+1}}$ {\'e}quivaut {\`a} l'{\'e}galit{\'e} $\im{L^{i}} = \im{L^{i+1}}$ et qu'elle entra{\^i}ne $\im{L^{j}} = \im{L^{i}}$ pour tout $j \geq i$.

\item %I.1.b)
Montrer que si $\ker{L^i}$ est diff{\'e}rent de $\mathscr{E}$, alors il est aussi diff{\'e}rent de $\ker{L^{i+1}}$.

\item %I.1.c)
Montrer que la dimension du noyau de $L^i$ cro{\^i}t strictement avec l'exposant $i$ sur l'ensemble des entiers de l'intervalle $\segment{0}{p}$.
En d{\'e}duire que $L^n=0$, et que, si $p=n$, la dimension du noyau de $L^{i}$ est {\'e}gale {\`a} $i$ pour tout entier $i$ de l'intervalle $\segment{0}{n}$.
\end{enumerate}

\item %I.2)
Dans cette question, on suppose qu'il existe un entier $h$ de l'intervalle $\segment{1}{n-1}$ tel que $L^h$ soit de rang $n-h$.

\begin{enumerate}
\item %I.2.a)
{\'E}tablir que pour tout entier $j$ de $\segment{1}{h}$, le rang de $L^{j}$ est $n-j$.

\item %I.2.b)
Pour tout entier $i\geq 0$, {\'e}tablir une relation entre les dimensions des sous-espaces $\im{L^i}$, $\im{L^{i+1}}$ et $\im{L^i} \cap \ker{L}$.

\item %I.2.c)
Quel est l'indice de nilpotence de $L$ ?
\end{enumerate}

\item %I.3)
Dans cette question, on suppose le rang de $L$ {\'e}gal {\`a} $n-1$.

\begin{enumerate}
\item %I.3.a)
Soit $\mathscr{F}$ un sous-espace vectoriel de $\mathscr{E}$ stable par $L$ et de dimension $r\geq 1$ ; on note $M$ la restriction de $L$ {\`a} $\mathscr{F}$.

Montrer que pour tout entier $j$ de $\segment{1}{r}$, les noyaux de $L^j$ et de $M^j$ sont {\'e}gaux. Quel est le noyau de $L^{r}$ ?

\item %I.3.b)
Caract{\'e}riser les sous-espaces vectoriels de $\mathscr{E}$ stables par $L$ {\`a} l'aide des noyaux des endomorphismes $L^i$.
\end{enumerate}

\item %I.4)
Dans cette question, on suppose que l'indice de nilpotence $p$ de $L$ est \textit{strictement} compris entre $1$ et $n$ et on note $e$ un {\'e}l{\'e}ment de $\mathscr{E}$ tel que $L^{p-1}(e) {\neq} 0$.

\begin{enumerate}
\item %I.4.a)
{\'E}tablir que la famille $(e, L(e), \cdots, L^{p-1}(e))$ est libre ; on note $\mathscr{G}$ le sous-espace vectoriel de $\mathscr{E}$ qu'elle engendre.

\item %I.4.b)
Soient $e'$ un {\'e}l{\'e}ment du dual $\mathscr{E}^{*}$ de $\mathscr{E}$, non orthogonal {\`a} $L^{p-1}(e)$, et $\transpose{L}$ l'endomorphisme de $\mathscr{E}^{*}$ transpos{\'e} de $L$.
V{\'e}rifier pour tout entier $i {\geq} 0$ l'{\'e}galit{\'e} des endomorphismes $\transpose{(L^i)}$ et $\transpose{L}^i$, qu'on notera d{\'e}sormais $\transpose{L^{i}}$.
Quelle est la dimension du sous-espace vectoriel $\mathscr{H}^{*}$ de $\mathscr{E}^{*}$ engendr{\'e} par les $\transpose{L}^i(e')$ quand $i$ parcourt l'ensemble des entiers positifs ou nul ?
Quelle est la dimension du sous-espace $\mathscr{H}$  de $\mathscr{E}$ constitu{\'e} des {\'e}l{\'e}ments de $\mathscr{E}$ orthogonaux {\`a} tous les {\'e}l{\'e}ments de $\mathscr{H}^{*}$ ?

\item %I.4.c)
Montrer que $\mathscr{H}$ est stable par $L$ et que $\mathscr{E}$ est la somme directe de $\mathscr{G}$ et de $\mathscr{H}$.

\item %I.4.d)
Montrer que $\mathscr{E}$ est la somme directe de $s$ sous-espaces vectoriels $\mathscr{E}_{\ell}$, ($\ell = 1, {\dots}, s$) dont chacun est stable par $L$ et a pour dimension l'indice de nilpotence de la restriction de $L$ {\`a} ce m\^eme sous-espace.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{II}\end{center}

Dans toute la suite du probl{\`e}me, pour tout couple $(A, B)$ d'endomorphisme de $\mathscr{E}$, on note $\crochet{A}{B}$ l'endomorphisme $AB- BA$.

Dans cette partie II, $A$ et $B$ sont des endomorphismes \textit{non nuls} de $\mathscr{E}$ et $\alpha$ un r{\'e}el \textit{non nul} tels que 

\centerline{$\crochet{A}{B} = \alpha B$.}

\begin{enumerate}
\item %II.1
\begin{enumerate}
\item %II.1.a
Pour tout triplet $(U, V, W)$ d'endomorphismes de $\mathscr{E}$, v{\'e}rifier l'{\'e}galit{\'e}

\centerline{$\crochet{U}{VW} = \crochet{U}{V} W + V \crochet{U}{W}$.}

\item %II.1.b
Soient $P$ un polyn{\^o}me d'une variable {\`a} coefficients r{\'e}els et $P'$ son polyn{\^o}me d{\'e}riv{\'e}.
{\'E}tablir l'{\'e}galit{\'e}

\centerline{$\crochet{A}{P(B)} = \alpha B P'(B)$}

et en d{\'e}duire que, pour tout entier $k {\geq} 0$, $\ker{B^{k}}$ est stable par $A$.

\item {\'E}tablir l'existence d'un polyn{\^o}me $P$ non nul tel que $P(B) = 0$ et montrer que $B$ est nilpotent (on pourra utiliser l'endomorphisme $d P_{n}(B) - B P'_{n}(B)$ o{\`u} $P_{n}$ est un polyn{\^o}me non nul de degr{\'e} minimal $d$ tel que $P_{n}(B) = 0$). 
\end{enumerate}

\item %II.2
Dans cette question, on suppose que le rang de $B$ est $n-1$.
\begin{enumerate}
\item %II.2.a
Quel est le rang de $B^{n-1}$ ? Comment peut-on choisir $x$ dans $\mathscr{E}$ de fa{\c c}on qu'en posant $x_{k} = B^{n-k}(x)$ pour tout entier $k$ de $\segment{1}{n}$, la famille $\left(x_{1}, {\dots}, x_{k}\right)$ soit, pour tout $k$, une base de $\ker{B^{k}}$ ?

\item %II.2.b
Montre que $x_{1}$ est un vecteur propre de $A$, dont on notera $\lambda$ la valeur propre associ{\'e}e.
Quelle est la forme de la matrice de $A$ relative {\`a} la base $\left(x_{1}, {\dots}, x_{n}\right)$ ?
En d{\'e}duire en particulier que $\lambda -(n-1)\alpha$ est une valeur propre de $A$.

\item %II.2.c
Montrer que si $x$ est un vecteur propre de $A$, associ{\'e} {\`a} la valeur $\mu$, $B(x)$ est un vecteur nul ou un vecteur propre de $A$, dont on pr{\'e}cisera la valeur propre associ{\'e}e.

\item %II.2.d
Soit $e_{n}$ un vecteur de $A$ associ{\'e} {\`a} la valeur propre $\lambda - (n-1) \alpha$ ; pour tout entier $k$ de $\segment{1}{n}$, on pose $e_{k} = B^{n-k}(e_{n})$.
Montrer que $(e_{1}, {\dots}, e_{n})$ est une base de $\mathscr{E}$ dans laquelle $A$ se diagonalise et rappeler les expression des matrices de $A$ et $B$ relatives {\`a} cette base.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{III}\end{center}

Dans cette partie, $A$, $B$, $C$ sont trois endomorphismes \textit{non nuls} de $\mathscr{E}$ et $\alpha$ et $\beta$ deux r{\'e}els \textit{non nuls} tels que

\centerline{$\crochet{A}{B} = \alpha B$, $\crochet{A}{C} = \beta C$, $\crochet{B}{C} = A$.}

\begin{enumerate}
\item %III.1
Calculer la valeur de $(\alpha + \beta) \crochet{B}{C}$ et en d{\'e}duire que $\alpha$ et $\beta$ sont n{\'e}cessairement oppos{\'e}s.

\item %III.2
Dans cette question, on suppose que le rang de $B$ est $n-1$.
\begin{enumerate}
\item %III.2.a
Trouver num{\'e}riquement la somme des valeurs propres de $A$ et en d{\'e}duire ces valeurs propres. Quel est, en fonction de $n$, le rang de $A$ ?

\item %III.2.b
Calculer explicitement la matrice de $C$ relative {\`a} la base de $\mathscr{E}$ d{\'e}finie dans la question \textbf{II.2.d} et v{\'e}rifier que les endomorphismes $A$, $B$, $C$ ainsi d{\'e}termin{\'e}s par leurs matrices satisfont aux conditions impos{\'e}es au d{\'e}but de cette partie \textbf{III}.
Quel est le rang de $C$ ?

\item %III.2.c
Montrer que $\set{0}$ et $\mathscr{E}$ sont les seuls sous-espaces de $\mathscr{E}$ stables {\`a} la fois par $A$, $B$ et $C$.
\end{enumerate}

\item %III.3
Dans cette question, on suppose que $\alpha = 2$ et que $\set{0}$ et $\mathscr{E}$ sont les seuls sous-espaces de $\mathscr{E}$ stables {\`a} la fois par $A$, $B$ et $C$ ; aucune hypoth{\`e}se n'est faite sur le rang de $B$.
\begin{enumerate}
\item %III.3.a
Pour tout entier $i {\geq} 1$, {\'e}tablir l'{\'e}galit{\'e}

\centerline{$\crochet{B}{C} = i C^{i-1}\left(A - (i-1) I\right)$}

et en d{\'e}duire l'existence d'une valeur propre de $A$.

\item %III.3.b
Montrer que $A$ est diagonalisable et que $B$ est de rang $n-1$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\rule{5cm}{1pt}\end{center}

\end{document}
