%%%%%%%%%%%%%% ESIM 1987 MATH II - ENONCE %%%%%%%%%%%%%%%
% realise par Robert Cabane 19 rue de Lyon 33000 Bordeaux
% email: rcabane@free.fr
% 19 rue de Lyon 33000 BORDEAUX
% Format: PLAIN TEX
% collections de macros
\input math2.sty
\input tabvar.sty
% mise en page (a rectifier si besoin)
\input frpage.sty
\def\ps{0}\def\tpic{1}\def\emtex{2}\def\wmf{3}
% Graphismes: quatre methodes sont proposees:
% Postscript, emTeX, TPIC
% Indications:
%           |  ps | tpic |  emtex | wmf
% dvips     |  *  |  *   |   *    |
% dviscr    |     |      |   *    |
% dvihplj   |     |      |   *    |
% dvipm     |     |      |   *    |
% dviwin    |     |  *   |   *    |  *  % pas encore au point
% dviwindo  |     |  *   |        |  ?
% dviview   |  *  | emul | emul   |  ?
% xdvi      |     |  *   |        |
% xdvik     |  *  |  *   |        |
% xdvi+gs   |  *  |  *   |        |
% textures  |  *  |      |        |
% Ajuster la ligne suivante en cons\'equence (choix: \ps, \tpic, \emtex)
\let\grmethod=\ps
% Attention ! Pour le Postscript les figures (fichiers independants)
% devront etre accessibles au moment d'imprimer.
\ifx\grmethod\ps % recourir a l'inclusion Postscript directe
\input epsf.tex
% macro d'inclusion de graphique
% \dessin{nom}{unite longueur}{taille}
\def\dessin#1#2#3{\epsfxsize#2\multiply\epsfxsize #3\epsfbox{#1.eps}}
\else
\ifx\grmethod\wmf % Inclusion directe WMF - \`a revoir
%\def\wmfbox(#1,#2,#3){\parindent0mm\setbox13=\hbox to #2{%
%\special{isoscale #1,#2}}\leavevmode\raise#3\box13}
\else % inclusion de graphiques vectoriels (ne marche pas sur MAC)
\input vect3.sty
\input dashbox.sty
\linethickness{0.4pt}
\def\dessin#1#2#3{\unitlength#2\input #1.txp
}
\ifx\grmethod\emtex\UseEMspecials\else\UseTPICspecials\fi
\fi
\fi
%
\long\def\coteacote#1#2{\smallskip
\setbox1=\hbox{#2}\hbox{\vbox{\advance\hsize-\wd1\advance\hsize-1mm
#1}\hskip1mm\vbox{\hsize\wd1\box1}}}
%
% Quelques macros de plus
%
% integrales pas trop grandes ni trop petites
\everydisplay{\textstyle}\let\int=\INT
% fonctions elliptiques
\def\sn{{\rm sn}}
\def\cn{{\rm cn}}
\def\dn{{\rm dn}}
\def\dM{\overrightarrow{{\rm d}M}}
% VERBATIM
\newskip\verbskip\verbskip4mm
\let\oldpar=\par
\def\verb{\begingroup\tt\catcode`\"=12\catcode`\:=12\catcode`\;=12
\catcode`\^=12\catcode`\_=12\catcode`\$=12\catcode`\!=12\catcode`\?=12
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\normalbaselineskip\verbskip\baselineskip\verbskip
\obeylines\obeyspaces}
{\obeyspaces\gdef {\ }\catcode`^^J=\active\let^^J=\medskip}
\let\endverb=\endgroup

\grostitre{Ovales de Cassini et fonctions elliptiques}
\centerline{\eightit Auteur: Robert Cabane
\qquad {\eighttt (rcabane@free.fr)}
\hfil\hfil
\the\day/\the\month/\the\year
}
\input upsnum.tex
%
% Macros UPS - pied de page
%
\catcode`\@=11\font\@upstt=cmtt10
\footline={\@upstt\hfil m87fm2c.tex\ - page
\the\count0\ifodd\count0\hfill\fi}
\catcode`\@=12\ifx\numerodepage\undefined\else\count0=\numerodepage\fi
%
\partietitre{Ovales de Cassini} %I

\question %1
Voici l'\'equation de $\Gamma _c$:
$$
((x-\ell )^2+y^2)((x+\ell )^2+y^2)=4\ell ^2c^2=(x^2+y^2+\ell ^2-2\ell x)(x^2+y^2+\ell ^2+2\ell x)
=(x^2+y^2+\ell ^2)^2-4\ell ^2x^2
$$
soit enfin: \encadre{\'Equation de $(\Gamma _c):
(x^2+y^2+\ell ^2)^2=4\ell ^2(x^2+c^2)$.}

On peut d'ailleurs r\'esoudre cette \'equation en
$x^2$. On la d\'eveloppe:
$$
\eqalign{
x^4+2x^2(y^2-\ell ^2)+(y^2+\ell ^2)^2&-4\ell ^2c^2=0\\
&\Longrightarrow
x^2=\ell ^2-y^2\pm \sqrt{(\ell ^2-y^2)^2-(\ell ^2+y^2)^2+4\ell ^2c^2}
=\ell ^2-y^2\pm 2\ell \sqrt{c^2-y^2}\\}
$$
o\`u il appara\^\i t que la valeur maximale de $x^2$ est obtenue
seulement pour $y=0$, et vaut $\ell ^2+2\ell c$.

Les intersections avec les axes se trouvent ais\'ement:
$x=0\Rightarrow (y^2+\ell ^2)^2=4\ell ^2c^2 \Rightarrow y=\pm \sqrt{2\ell c-\ell ^2}$ si
$2c\ge \ell $ ($k\ge 1$) et $y=0\Rightarrow (x^2+\ell ^2)^2=4\ell ^2(x^2+c^2) \Rightarrow
x=\pm \sqrt{\ell ^2\pm 2\ell c}$ (deux de ces points existant seulement si $2c\le \ell $,
soit $k\le 1$).

\questiona %2a
Nous avons imm\'ediatement par l'\'equation cart\'esienne:
$$
(\rho ^2+\ell ^2)^2-4\ell ^2\rho ^2\cos^2\theta -4\ell ^2c^2=0
=\rho ^4-2\ell ^2\rho ^2\cos2\theta +\ell ^2(\ell ^2-4c^2)=0
\>.
$$
Le discriminant vaut $\ell ^4(k^2-\sin^22\theta )$. Distinguons trois cas.

$\bullet$\ Si $k>1$ ce discriminant est toujours strictement positif, ce
qui assure de pouvoir poser $\rho ^2=\ell ^2(\cos2\theta \pm m(\theta ))$ avec
$m(\theta )=\sqrt{k^2-\sin^22\theta }=\sqrt{k^2-1+\cos^22\theta }>|\cos2\theta |$; ainsi, il vient
sans h\'esitation
$\rho =\pm \ell \sqrt{\cos2\theta +m(\theta )}$ puisque tout autre choix de signe est
inad\'equat par rapport \`a la positivit\'e de $\rho ^2$. De plus, quand on
change $\theta $ en $\theta +\pi $, la fonction sous le radical ne change pas,
ce qui assure une sym\'etrie centrale qu'on r\'ealise aussi bien par
le signe $\pm $. Finalement, on voit qu'il suffit de repr\'esenter
$((\Gamma _c)$ ainsi:
\reponse{Si $k>1$ alors $(\Gamma _c)$ est d\'ecrite par
$\rho =\ell \sqrt{\cos2\theta +m(\theta )}$.}

En particulier, $(\Gamma _c)$ est une courbe ferm\'ee faisant un tour de
l'origine (hom\'eomorphe au cercle).

$\bullet$\ Si $k=1$, on a encore $\rho ^2=\ell ^2(\cos2\theta \pm m(\theta ))$ avec
$m(\theta )=\sqrt{1-\sin^22\theta }=|\cos2\theta |$ soit $\rho =0$ ou $\rho =\pm \ell \sqrt2\sqrt{\cos 2\theta }$.
A nouveau, le signe $\pm $ s'av\`ere inutile. On trouve ainsi
\reponse{Si $k=1$ alors $(\Gamma _c)$ est une lemniscate de Bernoulli
d'\'equation polaire
$\rho =\ell \sqrt{2\cos2\theta }$.}

$\bullet$\ Si $k<1$, on a une limitation par la condition $k^2\ge \sin^22\theta $,
soit $\theta \bmod \pi \in [-\frac12\arcsin k,\frac12\arcsin k]$. Notons que
$\frac12\arcsin k\in ]0,\frac{\pi }4[$, soit encore $\cos2\theta >0$. On a
alors
$m(\theta )=\sqrt{k^2-1+\cos^22\theta }<|\cos2\theta |$ et
$\rho =\pm \ell \sqrt{\cos2\theta \pm m(\theta )}\ne 0$. Tous les choix de signes sont possibles,
mais le signe $\pm $ le plus ext\'erieur est \'equivalent au changement
de $\theta $ et $\theta +\pi $.
Il nous reste donc
\reponse{Si $k<1$ alors $(\Gamma _c)$ est d\'ecrite par
$\rho =\pm \ell \sqrt{\cos2\theta \pm m(\theta )}$ pour $\theta \in [-\frac12\arcsin k,\frac12\arcsin k]$.}

En particulier, $(\Gamma _c)$ est apparemment l'union de quatre arcs de
courbes. Nous reviendrons sur cette affaire \`a la question 3.

\sousquestion %2b
En raison des sym\'etries par rapport aux axes, il nous suffit de
faire varier $\theta $ dans l'un des domaines $[0,\frac{\pi }2]$,
$[0,\frac{\pi }4]$ ou $[0,\frac12\arcsin k]$. Sur ces deux
derniers domaines la fonction $m$ est d\'ecroissante, de sorte
que $f_1:\theta \mapsto \cos2\theta +m(\theta )$ d\'ecro\^\i t
(l'arc se rapproche de l'origine). Dans le cas $k>1$, on examine
$f_1$ sur $[\frac{\pi }4,\frac{\pi }2]$ par d\'erivation:
$$
\eqalign{
f_1'(\theta )=-2\sin2\theta -2\frac{\cos2\theta \sin2\theta }{m(\theta )}
=&\frac{-2\sin2\theta }{m(\theta )}(\cos2\theta +m(\theta ))\le 0\\
&\Leftrightarrow
\theta =0\hbox{ ou }m(\theta )\ge -\cos2\theta \ge 0
\Leftrightarrow
k^2-\sin^22\theta \ge \cos^22\theta \hbox{, ce qui est vrai.}\\}
$$                                  
Dans le cas $k<1$, on examine $f_2:\theta \mapsto\cos2\theta -m(\theta )$ sur
$[0,\frac12\arcsin k]$. On d\'erive:
$$
f_2'(\theta )=-2\sin2\theta +2\frac{\cos2\theta \sin2\theta }{m(\theta )}
=\frac{2\sin2\theta }{m(\theta )}(\cos2\theta -m(\theta ))\ge 0
\Leftrightarrow
\theta =0\hbox{ ou }\cos^22\theta \ge k^2-\sin^22\theta \hbox{, vrai.}
$$
Cet arc de courbe s'\'eloigne donc du p\^ole.
Nous pouvons r\'esumer l'ensemble de ces r\'esultats dans des
tableaux de variations suivants (o\`u l'on distingue suivant les
valeurs de $k$, et ignore les zones d\'eduites par sym\'etries):

$$
\vcenter{
\hbox{$\kern 4cm k>1\hskip5cm k=1\hskip 4cm k<1$}
\smallskip
\hbox{\tabvar{
\theta     &0      &\q    &\frac{\pi }4     &\q    &\frac{\pi }2\>\\
\L
\rho _1(\theta )&\ell \sqrt{1+k}&\>\d\>&\racine4{k^2-1}&\>\d\>&\ell \sqrt{k-1}\>\\
}
\quad\tabvar{
\theta     &0  &\q    &\frac{\pi }4\>\\
\L
\rho _1(\theta )&\ell \sqrt2&\>\d\>&0  \\
}
\quad
\tabvar{
\theta      &  0    &\q    &\frac12\arcsin k\>\\
\L
\rho _1'(\theta )&  0    &   -  & -\infty \\
\L
\rho _1(\theta ) &\ell \sqrt{1+k}&\>\d\>&\ell \racine4{1-k^2}\>\\
\L
\rho _2'(\theta )&  0    &   +  & +\infty \\
\L
\rho _2(\theta )&\ell \sqrt{1-k}&\>\c\>&\ell \racine4{1-k^2}\>\\
}
}}
$$
\smallskip

Aux extr\'emit\'es nous avons aussi la position des tangentes: quand
$\rho '$ est nul la tangente est orthoradiale, et au contraire avec
$\rho '=\pm \infty $ on a sans doute une tangente radiale. Nous confirmerons
ce fait ult\'erieurement, ayant \og recoll\'e\fg{} les deux morceaux.

\sousquestion %2c
Rappelons ce c\'el\`ebre r\'esultat.

\proclaim Th\'eor\`eme des fonctions implicites.
Si $\Gamma $ est une courbe plane d\'efinie par une \'equation cart\'esienne $F(x,y)=0$,
et si un point $M_0$ de coordonn\'ees $(x_0,y_0)$ est donn\'e, avec les hypoth\`eses
suivantes:

\sl $(i)$ le point $M_0$ appartient \`a $\Gamma $,

$(ii)$ la fonction $F$ est de classe $\cur C^1$ au moins sur un
voisinage de $M_0$,

$(iii)$ le point $M_0$ n'est pas un point critique pour la fonction
$F$,

alors $\Gamma $ poss\`ede au point $M_0$ une tangente (r\'eguli\`ere) not\'ee $T_{M_0}(\Gamma )$
donn\'ee par l'\'equation
$$\dpar Fx(x_0,y_0)(x-x_0)+\dpar Fy(x_0,y_0)(y-y_0)=0\>.$$

\rm
Dans le cas pr\'esent, les tangentes parall\`eles aux axes $Ox$ et
$Oy$ correspondent aux points de $(\Gamma _c)$ o\`u l'on a $\dpar Fx=0$
ou $\dpar Fy=0$ (respectivement), avec
$F(x,y)=(x^2+y^2+\ell ^2)^2-4\ell ^2(x^2+c^2)$. On trouve
$\dpar Fx=0=4x(x^2+y^2+\ell ^2-2\ell ^2)$, nul pour $x=0$ (se produit
seulement si $k>1$) et aussi pour $\rho ^2=x^2+y^2=\ell ^2$, d'o\`u
$F(x,y)=4\ell ^4-4\ell ^2(x^2+c^2)=0$, ce qui donne $x^2=\ell ^2-c^2$, soit
$x=\pm \sqrt{\ell ^2-c^2}$ et $y=\pm c$. Ceci se produit pour $\ell \ge c$ soit $k\le 2$.
Ces points v\'erifient tous $x^2+y^2=\ell ^2$, et se disposent sur un
cercle de centre O et de rayon $\ell $.

On a pareillement $\dpar Fy=4y(x^2+y^2+\ell ^2)$ qui ne peut \^etre nul
que si $y=0$, ce qu'on a \'etudi\'e \`a la premi\`ere question.

\questiona %3
$\bullet$\ Dans le cas o\`u $k>1$, l'unique param\'etrage polaire que nous avons
trouv\'e r\'epond \`a la question.

$\bullet$\ Le cas tr\`es particulier de la lemniscate de Bernoulli ($k=1$) peut
\^etre trait\'e au moyen d'un reparam\'etrage. On a a priori l'\'equation
$\rho =\ell \sqrt{2\cos2\theta }$; on retourne le rep\`ere pour avoir l'\'equation
polaire $\rho =\ell \sqrt{2\sin2\theta }$ \'equivalente \`a l'\'equation cart\'esienne
$(x^2+y^2)^2=4\ell ^2xy$. On intersecte avec un cercle centr\'e sur
l'axe, repr\'esent\'e par $\rho =2\mu \cos\theta $. Il vient
$4\ell ^2\cos\theta \sin\theta =4\mu ^2\cos^2\theta $; $\cos\theta =0$ donne l'origine, et
autrement on a pour $-\frac{\pi }2<\theta <\frac{\pi }2$ la relation
$\mu ^2=\ell ^2\tan\theta $, soit encore
$\frac{\ell ^4}{\ell ^4+\mu ^4}=\frac1{1+\tan^2\theta }=\cos^2\theta $, qui am\`ene
$x=\rho \cos\theta =2\mu \cos^2\theta =\frac{2\mu \ell ^4}{\ell ^4+\mu ^4}$ et
$y=x\tan\theta =\frac{2\mu ^3\ell ^2}{\ell ^4+\mu ^4}$. R\'eciproquement, ce param\'etrage
rationnel d\'ecrit une part de la courbe d'\'equation
$$
(x^2+y^2)^2=\bigl[\frac{4\mu ^2\ell ^4}{\ell ^4+\mu ^4}\bigr]^2=4\ell ^2xy
$$
et on a bien param\'etr\'e l'int\'egralit\'e de $(\Gamma _{\ell /2})$ de mani\`ere
$\cur C^1$ (l'origine est obtenue avec $\mu =0$).

$\bullet$\ Enfin, dans le cas $k<1$, il faut manifestement changer de
mode de repr\'esentation.
On part de l'\'equation de $(\Gamma _c)$, de la forme
$x^2+y^2+\ell ^2=2\ell \sqrt{x^2+c^2}$ \'equivalente \`a
$y^2+(\ell -\sqrt{x^2+c^2})^2=c^2$. Cette forme est une invitation \`a
introduire un peu de trigonom\'etrie:
$$
\eqalign{
(x,y)\in (\Gamma _c)&\Longleftrightarrow y^2+(\ell -\sqrt{x^2+c^2})^2=c^2
 \Longleftrightarrow \exists \varphi \ /\ y=c\sin\varphi ,\ \ell -\sqrt{x^2+c^2}=c\cos\varphi  \\
&\Longleftrightarrow \exists \varphi \ /\ y=c\sin\varphi ,\ (\ell -c\cos\varphi )^2=x^2+c^2
\hbox{\quad car $c<\frac{\ell }2$, soit $\ell -c\cos\varphi >0$}\\
&\Longleftrightarrow \exists \varphi ,\ /\ (x,y)=(\pm \sqrt{\ell ^2-2\ell c\cos\varphi -c^2\sin^2\varphi },c\sin\varphi )\>.\\}
$$
Ce double param\'etrage (\`a cause du $\pm $) est bien de classe $\cur
C^1$ car ici la racine n'est pas nulle, $x$ ne pouvant s'annuler
(voir les intersections avec les axes \`a la premi\`ere question).

En d\'efinitive, $(\Gamma _c)$ est en ce cas
l'union des supports de deux arcs de classe $\cur C^1$.

\sousquestion %3a
Introduisons $u=\frac1\rho >0$; on a $u+u''=\frac{\rho ^2+2\rho '{}^2-\rho \rho ''}{\rho ^3}$
d'o\`u la courbure en coordonn\'ees polaires
$$
\gamma =\Frac{\rho ^2+2\rho '{}^2-\rho \rho ''}{(\rho ^2+\rho '^2)^{\frac32}}=\Frac{u^3(u+u'')}{(u^2+u'{}^2)^{\frac32}}
$$
On calcule $u+u''$:
$u(\theta )=b(\cos2\theta +\varepsilon m(\theta ))^{-1/2}$ ($b$ \'etant une constante), $u'(\theta )=
-\varepsilon \frac{\sin(2\theta )u(\theta )}{m(\theta )}$,
$u+u''=\frac{\varepsilon k^2u(\theta )}{m(\theta )^3}(2\cos2\theta +\varepsilon m(\theta ))$, tandis que
$u^2+u'^2=u^2+\frac{\sin^22\theta }{m^2}u^2=\frac{k^2u^2}{m^2}$. Au total, il
vient
\encadre{$\gamma =\frac{\varepsilon u(\theta )}{k}(2\cos2\theta +\varepsilon m(\theta ))$.}

\sousquestion %3b
La courbure ne peut s'annuler (et donner un \'eventuel point d'inflexion)
que si $m(\theta )=2\varepsilon \cos2\theta $, soit encore
$k^2-\sin^22\theta =4\cos^22\theta $ ou $k^2-1=3\cos^22\theta $. Nous n'aurons de
solution que si $k$ est compris entre 1 et 2 ($k^2-1$ valant alors
3), c'est-\`a-dire si $\ell $ est compris entre $c$ et $2c$. Le point
d'inflexion n'existe que si $u+u''$ change de signe, ce qui
exclut $k=1$ et $k=2$. En fin de compte,
\encadre{$(\Gamma_c)$ poss\`ede des points d'inflexion si, et seulement
si $c<\ell <2c$.}

Le cas $\ell =2c$ est tout \`a fait \`a part: l'origine doit-elle \^etre
compt\'ee comme point d'inflexion sur la lemniscate ?

\question %4
La fabrication avec Maple de la figure ci-dessous n\'ecessite un
peu de soin.

\verb
restart:with(plots):
# Les ovales de Cassini ext\'erieurs, en polaires
g:=(c,t)->sqrt(cos(2*t)+sqrt(4*c^2-sin(2*t)^2)):
courbe_ext:=c->plot([g(c,t),t,t=-Pi..Pi],coords=polar,color=red):
# Les petits ovales (droite et gauche): on a un param\'etrage astucieux !
px:=(c,t)->sqrt(1-2*c*cos(t)-(c*sin(t))^2):
q:=c->{[px(c,t),c*sin(t),t=-Pi..Pi],[-px(c,t),c*sin(t),t=-Pi..Pi]}:
courbe_int:=c->plot(q(c),color=red):
# La lemniscate de Bernoulli = cas-limite des petits ovales.
lemniscate:=plot(q(1/2),color=blue):
# Le cercle regroupant les points \`a tangente horizontale
cercle_horiz:=plot([1,t,t=-Pi..Pi],coords=polar,color=magenta):
# Et on dessine le tout.
display(\char`\{seq(courbe_ext(n/8),n=5..9),seq(courbe_int(n/8),n=1..3),
 lemniscate, cercle_horiz\char`\},scaling=constrained,title=`Ovales de Cassini`);
\endverb       

\centerline{\dessin{m87fm2fa}{0.9mm}{121}}

%%\vfill\eject
%%%%%%%%%%%%%%%%% PARTIE II %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\partietitre{De la lemniscate aux fonctions elliptiques} %II

\question %1
On se reportera \`a la figure ci-dessous.
Les demi-tangentes pour $\theta =\pm \frac{\pi }4$ existent car la courbe
d\'ecrite par une \'equation polaire passe alors par le p\^ole; la
tangente est alors radiale, sans qu'il y ait besoin de d\'eriver
(voir le cours).

\coteacote{La courbure au point $A$ peut se calculer par la formule vue
pr\'ec\'e\-dem\-ment mais aussi bien par d\'eveloppement limit\'e:
$$
\eqalign{z
&=\sqrt{\cos2\theta }e^{i\theta }
 =[(1-2\theta ^2+o(\theta ^2))^{\frac12}](1+i\theta -\frac{\theta ^2}2+o(\theta ^2))\\
&=1+i\theta -\frac32\theta ^2+o(\theta ^2)\\}
$$                   
ce qui donne une vitesse $\vec v=i$ et une acc\'el\'eration $\vec
a =-3$; et le rayon vaut $\frac{\|\vec v\|^3}{\det(\vec v,\vec a}
=\frac13$. Le centre de courbure a donc pour coordonn\'ees
$(\frac23,0)$.}{
\dessin{m87fm2fb}{0.5mm}{134}
}

\question %2a
Nous avons pour $-\frac{\pi }4\le \theta \le \frac{\pi }4$ le
param\'etrage suivant (o\`u $u$ d\'ecrit $[-1,1]$):
$$
\cos^2\theta =\Frac{1}{1+u^2}
\quad\Longrightarrow\quad
x=\sqrt{\Frac{1-u^2}{1+u^2}.\Frac{1}{1+u^2}}=\Frac{\sqrt{1-u^2}}{1+u^2}
\quad\hbox{et}\quad
y=ux=\Frac{u\sqrt{1-u^2}}{1+u^2}
\>.$$

On a a priori
$\bigl(\frac{\ds}{{\rm d}\theta }\bigr)^2=\rho ^2+\rho '{}^2=
\cos2\theta +\frac{\sin^22\theta }{\cos2\theta }=\frac{1}{\cos2\theta }$ soit
$\frac{\ds}{{\rm d}\theta }=\frac{1}{\sqrt{\cos 2\theta }}$, seulement pour
$\pi \in \bigl]-\frac{\pi }4,\frac{\pi }4\bigr[$.
Puis on change
de variable, obtenant
$$
\Frac{\ds}{\du}    
=\Frac{\ds}{{\rm d}\theta }.\Frac{{\rm d}\theta }{\du}
=\Frac{1}{\sqrt{\cos2\theta }}\cdot\Frac{1}{1+u^2}=\Frac1{\sqrt{1-u^4}}
\>.$$

Nous en tirons alors
$f(u)=\int_0^u\Frac{\dt}{\sqrt{1-t^4}}$. Lorsque $u$ s'approche de 1,
$f(u)$ tend vers une limite finie $\beta $ car la fonction
$t\mapsto\Frac1{\sqrt{1-t^4}}$ est int\'egrable sur $[0,1]$ (\'etant
major\'ee par $\Frac1{\sqrt{1-t}}$ qui est bien int\'egrable. On peut
donc d\'efinir $f(1)=\beta $.

\sousquestion %2b
Posons $\alpha =-\beta =\int_0^{-1}\Frac{\dt}{\sqrt{1-t^4}}$. La fonction $f$,
ayant une d\'eriv\'ee strictement positive, est certainement un
diff\'eomorphisme de $]-1,1[$ vers $]\alpha ,\beta [$. Elle est aussi continue
et strictement croissante de $[-1,1]$ sur $[\alpha ,\beta ]$. Sa r\'eciproque
existe donc sur $[\alpha ,\beta ]$; on la note $\sn$ (\og sinus elliptique\fg ).

On d\'efinit aussi les fonctions
$\cn=\sqrt{1-\sn^2}$ et $\dn=\sqrt{1+\sn^2}$. Ainsi, $(\cur L)$ se trouve
param\'etr\'ee par $x=\Frac{\cn(s)}{\dn^2(s)}$ et
$y=\Frac{\sn(s)\cn(s)}{\dn^2(s)}$, $s$ \'etant l'abscisse
curviligne.

\questiona %3a
Notons d'abord que comme $f$ est impaire, sn l'est aussi et les
carr\'es font que cn et dn sont paires. La monotonie de sn vient
de m\^eme, ainsi que sa positivit\'e sur $[0,\beta ]$, avec des
valeurs comprises entre 0 et 1. Il en r\'esulte que cn
d\'ecro\^\i t sur $[0,1]$, tandis que dn cro\^\i t.

La d\'eriv\'ee de sn existe par le th\'eor\`eme de d\'erivation des
fonctions r\'eciproques, et du fait que $f'(u)=\Frac1{\sqrt{1-u^4}}$ ne
s'annule pas. Pr\'ecis\'ement, on trouve
$\sn'(t)=\frac{1}{f'(\sn(t))}=\sqrt{1-\sn^4t}$ soit enfin
\encadre{$\sn'=\cn.\dn$.}

La d\'erivation des deux autres fonctions est alors facile par
composition; on trouve
\encadre{$\cn'=-\sn.\dn$ et $\dn'=\sn.\cn$.}

Les calculs pr\'ec\'edents ne sont pas a priori valables aux points
$\alpha $ et $\beta $. Cependant, nous remarquons que $\sn$ est continue en
$\beta $ (prenant la valeur 1), et que sa d\'eriv\'ee tend vers
$\sqrt{1-1^4}=0$. Le th\'eor\`eme de prolongement des fonctions de classe
$\cur C^1$ s'applique et montre que $\sn'(\beta )=0$; on trouve de m\^eme
que $\cn'(\beta )=-\sqrt2$ et $\dn'(\beta )=0$.

\sousquestion %3b
La fonction $\varphi (s,t)=\Frac{\dn(s)\cn(t)-\cn(s)\dn(t)}{\sn(s)-\sn(t)}$
est bien d\'efinie hors de la diagonale du moment que sn est
injective, ce qui est le cas par stricte monotonie. La classe
$\cur C^1$ de sn, cn, dn donne la m\^eme classe pour $\varphi $.
           
Notons $s_2=\sn(t),\>s_1=\sn(s),\>d_2=\dn(t)$ et ainsi de suite.
On a alors
$$
\eqalign{\dpar{\varphi }s
&=\Frac{(s_1-s_2)(s_1c_1c_2+s_1d_1d_2)-c_1d_1(d_1c_2-c_1d_2)}{(s_1-s_2)^2}\\
&=\Frac{s_1^2c_1c_2+s_1^2d_1d_2-s_1s_2c_2c_2-s_1s_2d_1d_2-c_1c_2d_1^2+c_1^2d_1d_2}{(s_1-s_2)^2}\\}
$$
mais les relations simplificatrices $s_1^2+c_1^2=d_1^2-s_1^2=1$ am\`enent
$$
\dpar{\varphi }s
=\Frac{-c_1c_2+d_1d_2-s_1s_2c_2c_2-s_1s_2d_1d_2}{(s_1-s_2)^2}
\>,$$
expression totalement sym\'etrique par rapport \`a $s,t$, soit
$\dpar{\varphi }s(s,t)=\dpar{\varphi }s(t,s)$. Or, $\varphi $ est
elle-m\^eme sym\'etrique, ce qui am\`ene par d\'erivation
$\dpar{\varphi }s(s,t)=\dpar{\varphi }t(t,s)$. L'\'egalit\'e des
deux d\'eriv\'ees partielles en r\'esulte.

\coteacote{
On souhaite introduire
$k(v,w)=\varphi \bigl(\frac{v+w}2,\frac{v-w}2\bigr)$, mais pour ce faire
on doit pr\'eciser le domaine de d\'efinition de $k$. En fait, les
conditions sont:
$$
\cases{\frac{v+w}2\ne \frac{v-w}2\Leftrightarrow w\ne 0\\
-\beta \le \frac{v+w}2\le \beta \\
-\beta \le \frac{v-w}2\le \beta \\}
$$
et d\'elimitent un carr\'e priv\'e de l'une de ses diagonales (ce qui
est normal puisqu'on a fait un changement de base par une
rotation d'un huiti\`eme de tour et une homoth\'etie.

Sur l'int\'erieur de ce domaine, $k$ est de classe $\cur C^1$ comme
$\varphi $, par composition. On a alors
$$
\dpar{k}w
=\frac12\Bigl[\dpar{\varphi }s\bigl(\frac{v+w}2,\frac{v-w}2\bigr)\dpar{v+w}w+\dpar{\varphi }t\bigl(\frac{v+w}2,\frac{v-w}2\bigr)\dpar{v-w}w\Bigr]
=0
$$
puisque les deux d\'eriv\'ees partielles de $\varphi $ co\"\i ncident.
}{\dessin{m87fm2fc}{0.7mm}{95}}

\sousquestion %3c
Nous en d\'eduisons que $k$ est une constante sur tout segment
\og horizontal\fg{} ($w$ constant) inclus dans son domaine de
d\'efinition (y compris sur les bords par continuit\'e).
On peut donc \'ecrire $k(v,w)=k(v,0)=\psi (v)$.
Nous avons aussi $s=\frac{v+w}2$ et $t=\frac{v-w}2$, soit encore
$v=s+t$ qui peut varier entre $-2\beta $ et $2\beta $. Finalement,
\Reponse{Il existe une fonction $\psi $ continue sur $[2\alpha ,2\beta ]$, de classe
$\cur C^1$ sur $]2\alpha ,2\beta [$,}
{impaire, et telle que l'on ait $\varphi (s,t)=\psi (s+t)$ pour tout $(s,t)$
de $\Delta $.}

Pour exprimer $\psi $, il suffit de prendre $t=0$, ce qui am\`ene
$\psi (s)=\Frac{\dn(s)-\cn(s)}{\sn(s)}$ (pour $s\ne 0$) et $\psi (0)=0$.

\questiona %4a
La vitesse de $M_1$ est en fait $\Frac{\dM}{\du}(u_1(t))u'_1(t)$, qui est de m\^eme sens que la tangente
orient\'ee \`a $(\cur L)$ parcourue dans le sens des $u$ croissants
si $u'_1(t)$ est positif, de sens contraire sinon.
On a $\Frac{\dM}{\du}=\Frac{\dM}{\ds}\Frac{\ds}{\du}
=f'(u)\overrightarrow T$, $\overrightarrow T$ d\'esignant le
vecteur tangent unitaire,
puisque $f'(u)=\frac{\ds}{du}=\|\Frac{\dM}{\du}\|$.
La condition impos\'ee oblige \`a avoir
$f'(u_1(t))u'_1(t)=-f'(u_2(t))u'_2(t)$
qui s'int\`egre en \encadre{$f(u_1)+f(u_2)=a=$constante.}

\sousquestion %4b
Posons $s_1=f(u_1)$ et $s_2=f(u_2)$. Il vient:
$a=s_1+s_2\Rightarrow \varphi (s_1,s_2)=\psi (s_1+s_2)=\psi (a)=K$
soit encore
$\dn(s_1)\cn(s_2)-\cn(s_1)\dn(s_2)=K(\sn(s_1)-\sn(s_2))=K(u_1-u_2)$
et en tenant compte de la d\'efinition des fonction cn et dn
on trouve
$\sqrt{(1-u_2^2)(1+u_1^2)}-\sqrt{(1-u_1^2)(1+u_2^2)}=K(u_1-u_2)$. On \'el\`eve au
carr\'e, soit
$$
1-u_2^2+u_1^2-u_1^2u_2^2+1-u_1^2+u_2^2-u_1^2u_2^2-2\sqrt{(1-u_1^4)(1-u_2^4)}=K^2(u_1-u_2)^2
\>,$$
ce qui se simplifie en
$$
1-u_1^2u_2^2-C(u_1-u_2)^2=\sqrt{(1-u_1^4)(1-u_2^4)}
\>,$$
et on met encore au carr\'e, ce qui donne:
$$
1+u_1^4u_2^4-2u_1^2u_2^2+C^2(u_1-u_2)^4-2C(u_1-u_2)^2(1-u_1^2u_2^2)=1-u_1^4-u_2^4+u_1^4u_2^4
\>.$$
Les termes s'arrangent et on a:
$$
(u_1^2-u_2^2)^2+C^2(u_1-u_2)^4-2C(u_1-u_2)^2(1-u_1^2u_2^2)=0
\>.$$
Ayant suppos\'e que $u_1\ne u_2$, on en tire
$$
4(u_1+u_2)^2+4C^2(u_1-u_2)^2+8Cu_1^2u_2^2-8C=0
\Longrightarrow
4\lambda ^2u_1^2u_2^2+\lambda ^4(u_2-u_1)^2+4(u_1+u_2)^2-4\lambda ^2=0
\eqno\quad(\cur F_\lambda )
$$
en ayant pos\'e $\lambda ^2=2C$, ce qu'il fallait.

\sousquestion %4c
On introduit les fonctions sym\'etriques
$\sigma =u_1+u_2$ et $\pi =u_1u_2$:
$$
\Longrightarrow
\qquad
4\lambda ^2\pi ^2+\lambda ^4(\sigma ^2-4\pi )+4\sigma ^2-4\lambda ^2
=\sigma ^2(\lambda ^4+4)-4\lambda ^2(\pi \lambda ^2+1-\pi ^2)
=0
\leqno\qquad(\cur F'_\lambda )
$$
                 
\questiona %5a
$|z-\omega |^2=|\omega |^2$ et $z=\rho e^{i\theta }$, $\omega =x+iy$ donnent
$\rho =2(x\cos\theta +y\sin\theta )$.

\sousquestion %5b
On a ici $M_i$ de coordonn\'ees polaires $(\rho _i,\theta _i)$, avec
$\rho _i^2=\cos2\theta _i$. Mais $M_i$ ($i=1,2$) se trouve
sur le cercle pr\'ec\'edent, ce qui am\`ene $\rho _i=2(x\cos\theta _i+y\sin\theta _i)$ et
$$
\cos2\theta _i=\Frac{1-u_i^2}{1+u_i^2}
=4(x^2\cos^2\theta _i+y^2\sin^2\theta _i+xy\sin2\theta _i)
=\Frac{4}{1+u_i^2}(x^2+y^2u_i^2+2xyu_i)
=\Frac{4}{1+u_i^2}(x+yu_i)^2
\>.$$
Les $u_i$ v\'erifient donc l'\'equation du second degr\'e
$(1+4y^2)u^2+8xyu+4x^2-1=0$, ayant pour somme de racine
$\sigma =\Frac{-8xy}{1+4y^2}$ et produit $\pi =\Frac{4x^2-1}{1+4y^2}$.
On reporte courageusement dans $(\cur F'_\lambda )$:
$$
\eqalign{\Frac{64x^2y^2}{(1+4y^2)^2}(\lambda ^4+4)
&=4\lambda ^2\Bigl[\Frac{4x^2-1}{1+4y^2}\lambda ^2+1-\Frac{(4x^2-1)^2}{(1+4y^2)^2}\Bigr]\\
&\Longleftrightarrow
64x^2y^2(\lambda ^4+4)=4\lambda ^2\bigl[(4x^2-1)(4y^2+1)\lambda ^2+(4y^2+1)^2-(4x^2-1)^2\bigr]
\\}
$$
ce qui est bien l'\'equation cart\'esienne d'une courbe (de degr\'e 4).

\sousquestion %5c
On pose $X=4Tx^2$ et $Y=4Ty^2$, afin de rendre l'\'equation homog\`ene,
et $\mu =\lambda ^2$ pour simplifier.
Il vient:
$$
\eqalign{
XY(\mu ^2+4)&=\mu \bigl[(X-T)(Y+T)\mu +(Y+T)^2-(X-T)^2\bigr]\\
&\Longleftrightarrow
Q(X,Y,T)=\mu ^2T^2-\mu ^2TX+\mu ^2TY-2\mu TY-2\mu TX+4XY-\mu Y^2+\mu X^2=0
\>.
\\}
$$

\sousquestion %5d
On proc\`ede \`a la r\'eduction de Gauss de cette forme quadratique,
commen\c cant par les $T^2$:
$$
\eqalign{Q(X,Y,T)
&=\bigl(\mu T-\Frac{\mu +2}2X+\Frac{\mu -2}2Y\bigr)^2-\Frac{(\mu +2)^2-4\mu }4X^2-\Frac{(\mu -2)^2+4\mu }4Y^2
+\Frac{\mu ^2+4}2XY\\
&=\bigl(\mu T-\Frac{\mu +2}2X+\Frac{\mu -2}2Y\bigr)^2-\Frac{\mu ^2+4}4(X-Y)^2\\}
$$
ce qui est bien l'\'ecriture d'une forme de rang 2 et signature
$(1,1)$.
Ici il est habile de poser $\mu =2\cotan\alpha $ avec $\alpha \in ]0,\frac{\pi }2]$,
car cela donne $\mu ^2+4=\frac{4}{\sin^2\alpha }$,
$\mu +2=2\Frac{\sin\alpha +\cos\alpha }{\sin \alpha }$ et
$\mu -2=2\Frac{\cos\alpha -\sin\alpha }{\sin \alpha }$. Il vient alors:
$$\bigl[2\cos\alpha T-(\sin\alpha +\cos\alpha )X+(\cos\alpha -\sin\alpha )Y\bigr]^2=(X-Y)^2
$$
soit encore, en revenant aux notations initiales,
$$
2\cos\alpha -(\sin\alpha +\cos\alpha )4x^2+(\cos\alpha -\sin\alpha )4y^2=4\varepsilon (x^2-y^2)
\hbox{ avec }\varepsilon =\pm 1
$$
situation o\`u nous reconnaissons deux \'equations de coniques
centr\'ees \`a l'origine et ayant leurs axes de sym\'etrie confondus
avec ceux du rep\`ere.

$\bullet$\ \underbar{Cas $\varepsilon =1$:}\quad
$
2(1+\sin\alpha +\cos\alpha )x^2-2(1+\cos\alpha -\sin\alpha )y^2=\cos\alpha
\Longleftrightarrow
\Frac{x^2}{a^2}-\Frac{y^2}{b^2}=1
\>.$

Il s'agit d'une hyperbole dont les foyers sont sur l'axe $Ox$, \`a
une distance $\sqrt{a^2+b^2}$ de 0. Ici,
$$
a^2+b^2=\Frac{\cos\alpha }{2(1+\sin\alpha +\cos\alpha )}+\Frac{\cos\alpha }{2(1+\cos\alpha -\sin\alpha )}
=\Frac{\cos\alpha (2+2\cos\alpha )}{2(1+\cos^2\alpha +2\cos\alpha -\sin^2\alpha }
=\Frac12
$$
ce qui place les foyers \`a distance $\Frac{1}{\sqrt2}$ de l'origine -
et ce sont les points $F$ et $F'$ introduits au d\'ebut du probl\`eme
!

$\bullet$\ \underbar{Cas $\varepsilon =-1$:}\quad
$
2(-1+\sin\alpha +\cos\alpha )x^2+2(1-\cos\alpha +\sin\alpha )y^2=\cos\alpha
\Longleftrightarrow
\Frac{x^2}{a^2}+\Frac{y^2}{b^2}=1
\>.$

Il s'agit d'une ellipse car
ici $\sin\alpha +\cos\alpha >1$; les foyers sont toujours sur l'axe $Ox$,
\`a une distance $\sqrt{a^2-b^2}$ de 0; et
$$
a^2-b^2=\Frac{\cos\alpha }{2(-1+\sin\alpha +\cos\alpha )}+\Frac{\cos\alpha }{2(1-\cos\alpha +\sin\alpha )}
=\Frac12
$$
ce qui place encore les foyers en $F$ et $F'$.

\bye

