%%%%%%%%%%%%%% ESIM 1987 MATH II - CORRIGE %%%%%%%%%%%%%%%
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%\input frpage.sty

\def\sn{{\rm sn}}
\def\cn{{\rm cn}}
\def\dn{{\rm dn}}
                
\grostitre{E.S.I.M. 1987, Option M - \'Epreuve de math\'ematiques II}
\input upsnum.tex

\titrecentre{Introduction}

On consid\`ere un plan euclidien orient\'e $\cal E$, muni d'un rep\`ere
orthonormal $\cur R=(O,\vec i,\vec j)$. Les coordonn\'ees polaires d'un
point $M$, relatives \`a $\cur R$, seront not\'ees $(\rho ,\theta )$.

Lorsque le temps intervient, il s'agit d'un r\'eel positif non nul.
La vitesse alg\'ebrique d'un point mobile est la mesure alg\'ebrique
de son vecteur vitesse sur la tangente orient\'ee.
\bigskip

\centerline{\it Les deux parties du probl\`eme sont totalement
ind\'ependantes}

\partietitre{Ovales de Cassini} %I

On donne deux points $F$ et $F'$ de $\cal E$, de coordonn\'ees
cart\'esiennes respectives $(\ell ,0)$ et $(-\ell ,0)$, $\ell $ \'etant un nombre
r\'eel strictement positif. Pour tout nombre r\'eel $c>0$ on note
$(\Gamma _c)$ l'ensemble des points $M$ de $\cal E$ tels que
$d(M,F).d(M,F')=2\ell c$, en posant $d(M,F)=\|\overrightarrow{MF}\|$.

On posera $k=\frac{2c}{\ell }$.

\question %1
Donner une \'equation cart\'esienne de $(\Gamma _c)$.

\question %2
On d\'esigne par $(\rho ,\theta )$ les coordonn\'ees polaires, relatives \`a
$\cur R$, d'un point $M$ de $(\Gamma _c)$.

\sousquestion %2a
Dans chacun des cas $k<1$, $k=1$, $k>1$ exprimer $\rho ^2$ en
fonction de $\theta $.

Montrer que si $k\ge 1$ on peut repr\'esenter $(\Gamma _c)$
par une seule \'equation polaire de la forme $\rho =f(\theta )$. Lorsque
$k<1$, prouver que $(\Gamma _c)$ est r\'eunion de deux courbes $(\Gamma _c')$
et $(\Gamma _c'')$, chacune d'entre elles \'etant repr\'esent\'ee par une
\'equation polaire $\rho =f(\theta )$.

\sousquestion %2b
\'Etudier, \`a partir des \'equations polaires pr\'ec\'edentes, les
variations de $\rho $ en fonction de $\theta $.

\sousquestion %2c
D\'eterminer les points de $(\Gamma _c)$ o\`u la tangente est dirig\'ee par
le vecteur $\vec i$ et ceux o\`u la tangente est dirig\'ee par
le vecteur $\vec j$.

{\it Indication:} On sera amen\'e \`a discuter de la position de
$k$ par rapport aux nombres $1$ et $2$.

\question %3
Montrer que chaque courbe $(\Gamma _c)$ est soit le support d'un arc
param\'etr\'e de classe $\cur C^1$, soit la r\'eunion des supports de
deux arcs param\'etr\'es de classe $\cur C^1$.

\sousquestion %3a
Calculer la courbure en un point $M$ de $(\Gamma _c)$ de
coordonn\'ees polaires $(\rho ,\theta )$, en fonction de $\rho $,
$\ell $, et $k$.

\sousquestion %3b
En d\'eduire l'\'etude des points d'inflexion de $(\Gamma _c)$.

\question %4
Repr\'esenter graphiquement les diff\'erentes formes des courbes
$(\Gamma _c)$.

%%%%%%%%%%%%%%%%% PARTIE II %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\partietitre{De la lemniscate aux fonctions elliptiques} %II
Soit $(\Gamma )$ l'arc param\'etr\'e du plan $\cal E$
repr\'esent\'e par l'\'equation polaire $\rho =\sqrt{\cos 2\theta }$, $\theta $ variant
entre $-\frac{\pi }4$ et $\frac{\pi }4$.

\question %1
D\'eterminer les tangentes \`a $(\Gamma )$ aux points de param\`etres
$\theta =\pm \frac{\pi }4$.

En choisissant 10cm comme unit\'e sur les axes, repr\'esenter $(\Gamma )$.

\question %2
On note $s$ l'abscisse curviligne le long de $(\Gamma )$, compt\'ee dans
le sens des $\theta $ croissants et de sorte que le point $A$ de
coordonn\'ees polaires $\theta =0,\rho =1$ v\'erifie $s=0$. On utilise comme
nouveau param\`etre $u=u(\theta )=\tan \theta $, $u\in [-1,1]$. Soit $f$ la
fonction r\'eelle d\'efinie sur $[-1,1]$ par la relation
$s(\theta )=f(u(\theta ))$ ($\theta $ variant entre $-\frac{\pi }4$ et $\frac{\pi }4$).

\sousquestion %2a
Exprimer $f(u)$ sous la forme d'une int\'egrale sur le segment
$[0,u]$. Montrer que $\alpha =f(-1)$ et $\beta =f(1)$ existent.

\sousquestion %2b
Montrer que $f$ admet une fonction r\'eciproque, d\'efinie sur
l'intervalle $[\alpha ,\beta ]$. Cette r\'eciproque sera not\'ee $\sn$.

On d\'efinit alors deux autres fonctions r\'eelles sur $[\alpha ,\beta ]$ par
$$\cn=\sqrt{1-\sn^2}\hbox{ et }\dn=\sqrt{1+\sn^2}\>.$$

\questiona %3a
Montrer que les fonctions $\sn$, $\cn$, $\dn$ sont de classe
$\cur C^1$ sur $[\alpha ,\beta ]$, et exprimer leurs d\'eriv\'ees en fonction de
$\sn$, $\cn$, $\dn$.

\sousquestion %3b
Soit $\Delta $ la partie de $[\alpha ,\beta ]\times[\alpha ,\beta ]$ obtenue en retirant la
diagonale: $\Delta =\{(s,t)\in [\alpha ,\beta ]^2\ /\ s\ne t\}$. On se propose de d\'efinir une
fonction $\varphi $ de $\Delta $ dans $\RR$ en posant
$$
\varphi (s,t)=\frac{\dn(s)\cn(t)-\cn(s)\dn(t)}{\sn(s)-\sn(t)}
\>.$$
Justifier la d\'efinition de $\varphi $ et montrer qu'elle est de classe
$\cur C^1$ sur $\Delta $.

Comparer les deux d\'eriv\'ees partielles premi\`eres de $\varphi $,
$\dpar{\varphi }s$ et $\dpar{\varphi }t$.

Soit alors $k$ la fonction r\'eelle de deux variables r\'eelles d\'efinie par
$k(v,w)=\varphi \bigl(\frac{v+w}2,\frac{v-w}2\bigr)$. D\'eterminer
l'ensemble de d\'efinition de $k$. Montrer que $k$ est de classe
$\cur C^1$ et calculer $\dpar kw$.

\sousquestion %3c
D\'eduire de ce qui pr\'ec\`ede qu'il existe une fonction r\'eelle $\chi $
d\'efinie et continue sur $[2\alpha ,2\beta ]$, telle que l'on ait
$\varphi (s,t)=\chi (s+t)$ pour tout $(s,t)$ de $\Delta $.

\question %4
Dans les questions 5 et 6 on consid\`ere deux fonctions $u_1$ et
$u_2$ d\'efinies et de classe $\cur C^2$ sur un intervalle $J\subset \RR_+$,
\`a valeurs dans $]-1,1[$, et telles que l'on ait $|u_1(t)|\ne |u_2(t)|$
pour tout $t$ (on pourra assimiler $t$ au temps). On d\'esigne par
$M_1$ le point de $(\Gamma )$ d'abscisse curviligne $s_1=f(u_1(t))$, et $M_2$
de m\^eme. On suppose que pour tout $t$ les vitesses alg\'ebriques de $M_1$ et
$M_2$ sont oppos\'ees.

\sousquestion %4a
Montrer qu'il existe un r\'eel non nul $a$ tel qu'\`a chaque instant
l'on ait
$$
f(u_1)+f(u_2)=a\>.
$$

\sousquestion %4b
En utilisant II.3.c. d\'eduire de ce qui pr\'ec\`ede qu'il existe une
constante $\lambda $ telle que $u_1$ et $u_2$ v\'erifient l'\'equation
$$
4\lambda ^2u_1^2u_2^2+\lambda ^4(u_2-u_1)^2+4(u_1+u_2)^2-4\lambda ^2=0
\leqno\qquad(\cur F_\lambda )
$$
On pourra se servir de la question pr\'ec\'edente.

\sousquestion %4c
En posant $\sigma =u_1+u_2$ et $\pi =u_1u_2$, donner une condition sur $\sigma $ et
$\pi $.

\question %5
Soit le cercle $(\cur C)$ passant par $O,M_1,M_2$ et $\Omega $ son centre,
de coordonn\'ees cart\'esiennes $(x,y)$.

\sousquestion %5a
Donner une \'equation polaire de $(\cur C)$.

\sousquestion %5b
On suppose que $u_1$ et $u_2$ v\'erifient $(\cur F_\lambda )$. Montrer que
$\Omega $ appartient \`a une courbe $(C_\lambda )$ dont on donnera une \'equation
cart\'esienne.

\sousquestion %5c
On pose $x^2=\frac{X}{T}$ et $y^2=\frac{Y}{T}$.
Montrer que si le point de coordonn\'ees $(x,y)$ v\'erifie l'\'equation
de $(\cur C_\lambda )$ alors le point de $\RR^3$ de coordonn\'ees
$(X,Y,T)$ annule une certaine forme quadratique qu'on \'ecrira.

D\'ecomposer cette forme quadratique en somme de carr\'es de formes
lin\'eaires ind\'ependantes.

\sousquestion %5d
D\'emontrer que $(C_\lambda )$ est la r\'eunion
de deux coniques dont on pr\'ecisera la nature et les foyers.

\bye
