\documentclass[10pt, t1]{article}
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\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb, mathrsfs,verbatim}
\usepackage[french]{babel}

%   REDEFINITIONS :
%
\DeclareMathOperator{\tghyp}{th}
\DeclareMathOperator{\cotg}{cotg} \DeclareMathOperator{\sinhyp}{sh}
\DeclareMathOperator{\tang}{tg}\DeclareMathOperator{\Ker}{Ker}
\DeclareMathOperator{\Img}{Im}\DeclareMathOperator{\Arctg}{Arc\,tg}
\DeclareMathOperator{\Arccos}{Arc\,cos}\DeclareMathOperator{\Log}{Log}
\DeclareMathOperator{\Arcsin}{Arc\,sin} \DeclareMathOperator{\coshyp}{ch}
\DeclareMathOperator{\pgcd}{pgcd}
\newcommand{\acco}[1]{\left\{#1\right\}} % donne {.......}
\newcommand{\pare}[1]{\left(#1\right)}
\newcommand{\croc}[1]{\left[#1\right]}
\newcommand{\CR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\CC}{\mathbb{C}}
\newcommand{\CK}{\mathbb{K}}
\newcommand{\CN}{\mathbb{N}}
\newcommand{\CZ}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\CQ}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\Id}{\mathbb{I}}
\newcommand{\NI}{\noindent}
\newcommand{\RD}[1]{\mathcal{#1}}
\newfont{\cmmd}{rsfs10 at 15pt}
\def\rd#1{\uppercase{\text{\cmmd #1}\,}}
\def\dbind#1{_{_#1}}  %Passage direct en indice d'indice
\newcommand{\eg}[1]{\og #1\fg\,}
\newcommand{\MG}[1]{\marginpar{#1}}
\newcommand{\NOTE}[1]{(\footnote{#1})}
\newcommand{\GM}{\mathfrak{M}}
\newcommand{\accol}[2]{\left\{\begin{array}{#1}#2\end{array}\right.}
\def\citation#1{\nobreak\bigbreak  {\hbox to \hsize{\hfill\let\\=\cr\null%
 \hfill\vbox{\halign{\it##\hfill\cr#1\hfill\crcr}}}}}
%Mode math : Mettre dans #1 les indications de centrage l/c/r et dans #2 le contenu de
%l'accolade. La syntaxe est par exemple $\accol{ccr}{a&b&c\\d&e&f}$.
\newcommand{\ssi}{si, et seulement si,}
%\newcommand{\oaf}{$\m@th\braceld\leaders\vrule\hfill\bracerd$}
%\newcommand{\surarc}[1]{\mathop{\vbox{\ialign{##\crcr\noalign{kern3\p@}\oaf\crcr
%\noalign{\kern3\p@\nointerlineskip}$\hfill\displaystyle{#1}\hfill$\crcr}\limits}}}
\newcommand{\egaldef}{\stackrel{{\scriptscriptstyle{d\acute{e}f}}}{=}}
\newcommand{\trema}[1]{\"#1}
\newcommand{\mq}[1]{montr{#1} que}
\newcommand{\Mq}[1]{Montr{#1} que}
\newcommand{\mqp}[1]{montr{#1} qu'}
\newcommand{\Mqp}[1]{Montr{#1} qu'}
\newcommand{\resp}[1]{respective{#1}}
\newcommand{\ev}{espace vectoriel}
\newcommand{\eev}{espaces vectoriels}
\newcommand{\sev}{sous-espace vectoriel}
\newcommand{\ssev}{sous-espaces vectoriels}
\newcommand{\cad}{c'est-\`a-dire}
\newcommand{\somme}[3]{\sum_{#1}^{#2}{#3}}
\newcommand{\integ}[4]{\int_{#1}^{#2}\!{#3}\text{d}#4}
\newcommand{\pbar}{\rule[-1pt]{0.4pt}{9pt}}   % pbar signifie p(etite) barre
\newcommand{\dpbar}{\pbar\,\pbar}       % dpbar signifie d(ouble) p(etite) barre
\def\cadre#1{\vbox{\hrule\hbox{\vrule\vbox spread 2pt{\vfil\hbox spread 2pt{\hfil#1\hfil}\vfil}\vrule}\hrule}}
\newcommand{\norme}[1]{\,\dpbar\,#1\,\dpbar\,}
\newcommand{\subord}[1]{\pbar\,\pbar\,\pbar\ #1\,\pbar\,\pbar\,\pbar}
\newcommand{\scal}[2]{<#1,\,#2>}
\newcommand{\ioo}[2]{\left]\,#1\,;\,#2\,\right[} % Intervalle ouvert à gauche et à droite, ad lib.
\newcommand{\iofm}[2]{\left]\,#1\,;\,#2\,\right]}
\newcommand{\ifmo}[2]{\left[\,#1\,;\,#2\,\right[}
\newcommand{\fleche}[1]{\overrightarrow{\vphantom{M}#1}}
%\renewcommand{\longmapsto}{\,\epsfbox{d:/tex/fleches.1}\,}
%\renewcommand{\longrightarrow}{\,\epsfbox{d:/tex/fleches.2}\,}
\newenvironment{marges}[2]{\begin{list}{}{%
\setlength{\topsep}{0pt}%
\setlength{\leftmargin}{0pt}%
\setlength{\rightmargin}{0pt}%
\setlength{\listparindent}{\parindent}%
\setlength{\itemindent}{\parindent}%
\setlength{\parsep}{0pt plus 1pt}%
\addtolength{\leftmargin}{#1}%
\addtolength{\rightmargin}{#2}%
}\item }{\end{list}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\newcommand{\ifmfm}[2]{\left[\,#1\,;\,#2\,\right]}
\newcommand{\dsp}{\displaystyle}
\renewcommand{\le}{\leqslant}
\renewcommand{\ge}{\geqslant}
%Trois points SW-NE
\def\adots{\mathinner{\mkern2mu\raise1pt\hbox{.}
\mkern3mu\raise4pt\hbox{.}\mkern1mu\raise7pt\hbox{.}}}
\newcommand{\pnt}{\raise1pt\hbox{.}\ }
\newcommand{\virg}{\raise1.5pt\hbox{,}\ }
\def\jfrac#1#2{\raisebox{2pt}{$#1$}/\raisebox{-2pt}{$#2$}}

%\newcommand{}{}
%\newcommand{}{}
%\newcommand{}{}
%\newcommand{}{}
%\newcommand{}{}
%\newcommand{}{}
%\newcommand{}{}
%\newfont{\deft}{cmr10}\Log\coth\cotg

%Décompte automatique : autorise les références croisées. Mettre les étiquettes dans les
%questions parentes aussi.
\newcounter{cpart}\newcounter{num}[cpart]\newcounter{sousnum}[num]\newcounter{ssnum}[sousnum]   
\newcommand{\partie}[1] {\noindent\refstepcounter{cpart}{\large{\textbf{Partie\ \Roman{cpart}#1}}}}
\newcommand{\quest}{\noindent\refstepcounter{num}{\textbf{\thenum.\,}}}                        
\newcommand{\squest}{\refstepcounter{sousnum}{\textbf{\thenum.\thesousnum\,}}}                 
\newcommand{\ssquest}{\refstepcounter{ssnum}{\textbf{\thenum.\thesousnum\roman{ssnum}\,}}}  

%   TEXTE :
\begin{document}\language=1
\def\vt{\Theta}\def\ndz{n\in\CZ}
\def\etplus{\raisebox{-3pt}{\text{\small*}}\raisebox{0.5pt}{\text{\tiny+}}}
\def\ret{\CR^{\etplus}}
\partie{ : \'etude d'une s\'erie de fonctions}\\\\
\quest \Mq{er}, pour tout $t\in\ret$, la famille $\acco{\exp(-\pi n^2t)}_{\ndz}$ est sommable. 
Pour la suite, on posera $\vt(t)=\dsp\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}\exp(-\pi n^2t)$ 
pour tout $t>0$.\\
\quest \Mq{er} la fonction $\vt$ est de classe C$^\infty$ sur $\ret$. En \'etudier les variations 
et la concavit\'e.\\
\quest D\'eterminer $\ell=\lim\limits_{t\to+\infty}\vt(t)$. La fonction $\vt-\ell$ est-elle 
int\'egrable sur $\ret$ ?\\\\
\partie{ : \'etude d'une int\'egrale auxiliaire}\\\\
Pour $t>0$ fix\'e et $x\in\CR$, on pose $f(x)=\exp(-\pi tx^2)$.\\\\
\quest \Mq{er}, pour tout $u\in\CR$, $\hat f(u)=\dsp\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\exp(-2\text{i}\pi 
ux)\ \text{d}\hspace{-0.02em}x$ a bien un sens. Calculer $\hat f(0)$. [\,{\em On pourra faire 
intervenir la fonction} {$\boldsymbol\Gamma$}.\,]\\
\quest \Mq{er} $\hat f$ est de classe C$^1$ sur $\CR$ et trouver une relation simple entre $(\hat 
f\,)'(u)$ et $u\hat f(u)$ pour $u$ r\'eel. En d\'eduire la valeur de $\hat f(u)$ pour $u$ r\'eel.\\
\quest {\bf Une \'equation fonctionnelle.} Pour $x$ r\'eel, on pose \begin{equation} 
F(x)=\dsp\sum\limits_{p=-\infty}^{+\infty}f(x+p)\tag{1}
\end{equation}
\Mq{er} $F$ est bien d\'efinie, C$^1$ et $1$\,--\,p\'eriodique sur $\CR$. Justifier l'existence 
d'une famille sommable $\acco{c_n}_{\ndz}$ telle que, pour tout $x$ r\'eel,
\begin{equation} 
F(x)=\dsp\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}c_n\exp(2\text{i}\pi nx)\tag{2}\end{equation} 
D\'eterminer la valeur des $c_n$, en utilisant $\hat f$.\\
\quest Conclure de tout cela que, pour tout $t>0$,
\begin{equation} 
\vt(t)=\dfrac{1}{\sqrt t}\vt\pare{\dfrac{1}{t}}\tag{3}
\end{equation}
En d\'eduire un \'equivalent de $\vt(t)$ lorsque $t\to0^+$.\\\\
\partie{ : une formule sommatoire}\\\\
On consid\`ere dans cette partie une fonction $f$ de classe C$^2$ de $\CR$ dans $\CC$ telle que 
$f$, $f'$ et $f''$ soient int\'egrables sur $\CR$. On d\'efinit encore $\hat f$ et $F$ \`a partir 
de $f$ comme dans la partie {\bf II}. Enfin, si $g\in\CC^\CR$, on pose 
$N(g)=\sup\limits_{x\in\CR}|g(x)|\le+\infty$ et, si $g$ est continue par morceaux et int\'egrable 
sur $\CR$, $N_1(g)=\dsp\int_{-\infty}^{+\infty}|g(x)|\ \text{d}\hspace{-0.02em}x$.\\\\
\quest {\bf \'Etude de la fonction $\hat f$.} \Mq{er} $N\pare{\hat f\,}\le N_1(f)$.\\
\quest \Mq{er} $\hat f(n)=\text{O}(1/n^\alpha)$ pour un $\alpha$ convenable et \mq{er} la famille 
$\acco{\hat f(n)}_{\ndz}$ est sommable.\\
\quest {\bf \'Etude de la fonction $F$.} Pour $x$ r\'eel et $p\in\CZ$, majorer 
$$\left\lvert f(x+p)-\dsp\int_{x+p}^{x+p+1}f(t)\ \text{d}\hspace{-0.02em}t\right\rvert$$ par une 
int\'egrale portant sur $|f'|$. En conclure\vspace{1mm} que la famille $\acco{f(x+n)}_{\ndz}$ est sommable.\\
\quest \Mq{er} $F$ est de classe C$^1$ et $1$\,--\,p\'eriodique sur $\CR$. Majorer $N(F)$ \`a 
l'aide de $N_1(f)$ et de $N_1(f')$.\newpage\noindent \quest {\bf D\'eveloppement de $F$ en s\'erie 
de {\sc Fourier}.} \Mq{er}, pour tout $x$ r\'eel, 
\begin{equation}F(x)=\dsp\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}\hat f(n)\exp{2\text{i}\pi nx} 
\tag{$2\,'$}\end{equation} \'Etablir la {\em formule sommatoire de} {\sc Poisson}~: 
$$\dsp\sum\limits_{p=-\infty}^{+\infty}f(p)=\dsp\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}\hat f(n)$$
\vrule height10mm depth0mm width0mm On ne demande pas de justifier que les r\'esultats de cette 
partie s'\'etendent au cas o\`u $f$ n'est de classe~C$^2$ que par morceaux, $f$, $f'$ et $f''$ 
\'etant toujours suppos\'ees int\'egrables.\\\\
\quest {\bf Un exemple d'application.} On choisit dans cette question $f$ d\'efinie par 
$x\in\CR\longmapsto\exp(-2\pi a|x|)$, o\`u $a>0$ est donn\'e. En appliquant \`a $f$ la formule 
($2\,'$), d\'eterminer la somme de la s\'erie 
\raisebox{-1.5pt}{$\dsp\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\cos2\pi nx}{n^2+a^2}$}. En d\'eduire la 
valeur de la somme de la s\'erie\vspace{1mm} 
\raisebox{-1.5pt}{$\dsp\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\cos2\pi nx}{n^2}$}, pour tout 
$x\in\ifmo01$\, puis pour tout $x$ r\'eel.
\end{document} 

