% X 1987 M' 1\`ere \'epreuve
% \'enonc\'e saisi par Michel Quercia (michel.quercia@prepas.org)

\input carnot.mac
\input upsnum.tex


                     %+------------------------+
                     %|  Bandeau de l'\'epreuve  |
                     %+------------------------+

\line{\bf \'ECOLE POLYTECHNIQUE\hfil OPTION M$'$}
\sv
\leftline{\bf CONCOURS D'ADMISSION 1987}
\sv
\centerline{\bf PREMI\`ERE COMPOSITION DE MATH\'EMATIQUES (4 heures)}
\sv
\centerline{\it \'Enonc\'e saisi par M. Quercia (michel.quercia\char64 prepas.org) d'apr\`es le texte original.}
\SV

                           %+-------------+
                           %|  Notations  |
                           %+-------------+

Dans tout le probl\`eme, $f$ d\'esigne une fonction \`a valeurs r\'eelles positives ou
nulles, d\'efinie, $2\pi$-p\'eriodique et continue sur~$\R$. On suppose en outre
que $f$ n'est pas la constante nulle. Pour tout entier $p\in\Z$, $c_p$ est le
coefficient de Fourier d'indice~$p$ de~$f$, soit
%
$$c_p=\dfrac1{2\pi}\dint_0^{2\pi} f(\theta)e^{-ip\theta}\,\d\theta.$$
%
Pour chaque entier $n\in\N$, on associe \`a~$f$ l'endomorphisme $A_n(f)$ de
$\C^{n+1}$ d\'efini par
%
$$A_n(f)(z) = \Bigl(\dsum_{p=0}^n c_{p-q}z_p\Bigr)_{q=0,\dots,n}
\quad\text{o\`u }z=(z_0,\dots,z_n)\in\C^{n+1}$$
%
et l'application~$H_n(f)$ d\'efinie sur~$\C^{n+1}$ par
%
$$H_n(f)(z) = \dsum_{q=0}^n\dsum_{p=0}^nc_{p-q}z_p\overline{z_q}.$$
%
Ainsi $H_n(f)(z) = (z\mid A_n(f)(z))$, o\`u $(z\mid z')$ d\'esigne le produit
scalaire sur~$\C^{n+1}$ associ\'e \`a la norme
%
$$\|z\| = \Bigl(\dsum_{p=0}^n |z_p|^2\Bigr)^{1/2}.$$
\SV


                        %+-------------------+
                        %|  Premi\`ere partie  |
                        %+-------------------+


\goodbreak\centerline{\bf I}
\sv
{\bf 1.}
V\'erifier que l'endomorphisme $A_n(f)$ est hermitien, que $H_n(f)$ est
une forme quadratique hermitienne, et qu'elle eput s'exprimer par
%
$$H_n(f)(z) = \dfrac1{2\pi}\dint_0^{2\pi} f(\theta)\Bigl|\dsum_{p=0}^n z_pe^{-ip\theta}\Bigr|^2\,\d\theta.$$
%

\sv{\bf 2.a.}
Quel est le nombre maximum de valeurs de~$\theta$ appartenant \`a~$[\,0,2\pi[$
pour lesquelles la fonction $\theta\mapsto\smash{\dsum_{p=0}^n z_pe^{-ip\theta}}$
peut s'annuler lorsque les complexes $z_p$ sont fix\'es et non tous nuls~?

{\bf 2.b.}
La forme $H_n(f)$ est-elle d\'efinie positive~?

\sv{\bf 3.a.}
Calculer la forme $H_n(1)$ obtenue en rempla\c{c}ant~$f$ par la constante~$1$
et en d\'eduire que si $m$ et $M$ d\'esignent respectivement le minimum et le maximum
de~$f$ sur~$\R$, on a, pour tout $z\in\C^{n+1}$,
%
$$m\|z\|^2 \le H_n(f)(z) \le M\|z\|^2.$$
%

{\bf 3.b.}
Dans quel cas ces in\'egalit\'es sont-elles toutes deux strictes~?

\sv{\bf 4.}
Comparer \`a $m$ et $M$ les valeurs propres de~$A_n(f)$ en distinguant le cas
o\`u~$f$ est une constante du cas contraire.
\SV

                        %+-------------------+
                        %|  Deuxi\`eme partie  |
                        %+-------------------+


\goodbreak\centerline{\bf II}
\sv
{\it Dans toute la suite du probl\`eme}, on suppose que~$f$ est de la forme
%
$$f(\theta) = a_0 + 2a_1\cos\theta + 2b_1\sin\theta$$
%
o\`u $a_0,a_1$ et $b_1$ sont des r\'eels non tous nuls tels que $f$ soit
positive ou nulle, et on note $D_n(f)$ le d\'eterminant de l'endomorphisme~$A_n(f)$.

\sv{\bf 1.a.}
Calculer $D_n(f)$ en fonction des racines~$\alpha$ et~$\beta$ du trin\^ome
$x^2 - a_0x + a_1^2 + b_1^2$ en distinguant le cas o\`u ces racines
sont \'egales et celui o\`u elles sont diff\'erentes.

{\bf 1.b.}
Exprimer le maximum et le minimum de~$f$ \`a l'aide de~$\alpha$ et~$\beta$.
On notera d\'esormais~$\alpha$ la plus grande (au sens large) des deux racines~$\alpha$ et~$\beta$.

{\bf 1.c.}
Calculer la limite de $D_n(f)^{1/(n+1)}$ lorsque~$n$ tend vers $+\infty$.

\sv{\bf 2.}
Pour tout~$\rho\in{[-1,1]}$, on pose
%
$$I(\rho) = \dint_0^{2\pi}\ln(1-2\rho\cos\psi + \rho^2)\,\d\psi.$$
%

{\bf 2.a.}
Justifier l'existence de~$I(1)$ et de~$I(-1)$.

{\bf 2.b.}
Comparer~$I(\rho)$ et $\frac12I(\rho^2)$. En d\'eduire la valeur de~$I(\rho)$.

{\bf 2.c.}
Montrer que
%
$$\dint_0^{2\pi}\ln f(\theta)\,\d\theta = 2\pi\ln\alpha.$$
%

{\bf 2.d.}
En notant {\it dans toute la suite} $\lambda_r$ $(r=0,\dots,n)$ les valeurs propres
distinctes ou non de~$A_n(f)$, \'etablir l'\'egalit\'e
%
$$\dlim_{n\to+\infty}\dfrac1{n+1}\dsum_{r=0}^n\,\ln\lambda_r
=\dfrac1{2\pi}\dint_0^{2\pi}\ln f(\theta)\,\d\theta.$$
\SV

                       %+--------------------+
                       %|  Troisi\`eme partie  |
                       %+--------------------+

\goodbreak\centerline{\bf III}

\sv{\bf 1.}
Pour tout~$t\in{]-\frac1M,\frac1M[}$ o\`u $M$ d\'esigne le maximum de la fonction~$f$
d\'efinie dans la partie~{\bf II}, on note $A_n(1+tf)$ l'endomorphisme
de~$\C^{n+1}$ associ\'e \`a la fonction~${1+tf}$ comme $A_n(f)$
l'est \`a~$f$, et $D_n(1+tf)$ le d\'eterminant de $A_n(1+tf)$.

On consid\`ere la s\'erie enti\`ere $\dsum_{k=1}^{+\infty} p_kt^k$,
avec $p_k = \dfrac{(-1)^{k-1}}{k(n+1)}\dsum_{r=0}^n\,\lambda_r^k$.

{\bf 1.a.}
Montrer que cette s\'erie converge pour~$t\in{]-\frac1M,\frac1M[}$ et exprimer
sa somme $\Phi_n(t)$ \`a l'aide de $D_n(1+tf)$.

{\bf 1.b.}
Lorsque~$n$ tend vers $+\infty$, montrer que la fonction~$\Phi_n$ a une
limite~$\Phi$ d\'eveloppable en s\'erie enti\`ere de la variable~$t$ et exprimer les
coefficients de cette s\'erie \`a l'aide d'int\'egrales portant sur les puissances~$f^k$ de~$f$.

{\bf 1.c.}
\'Etablir pour tout entier $k\ge 1$ l'\'egalit\'e
%
$$\dlim_{n\to+\infty}\dfrac1{n+1}\dsum_{r=0}^n\,\lambda_r^k
=\dfrac1{2\pi}\dint_0^{2\pi} f^k(\theta)\,\d\theta.$$

\sv{\bf 2.}
On admet que toute fonction~$F$ \`a valeurs r\'eelles d\'efinie et continue sur
l'intervalle $[m,M]$ des valeurs de~$f$ est la limite uniforme sur cet intervalle d'une
suite de polyn\^omes d'une variable r\'eelle \`a coefficients r\'eels.
\'Etablir l'\'egalit\'e
%
$$\dlim_{n\to+\infty}\dfrac1{n+1}\dsum_{r=0}^n\,F(\lambda_r)
=\dfrac1{2\pi}\dint_0^{2\pi} F(f(\theta))\,\d\theta.$$

\sv{\bf 3.a.}
Soit~$\chi$ la fonction caract\'eristique sur~$[m,M]$ d'un intervalle non ponctuel
${[a,b]\subset{]m,M[}}$. En encadrant $\chi$ par des fonctions convenables continues
sur $[m,M]$, \'etablir l'\'egalit\'e
%
$$\dlim_{n\to+\infty}\dfrac1{n+1}\dsum_{r=0}^n\,\chi(\lambda_r)
=\dfrac1{2\pi}\dint_0^{2\pi} \chi(f(\theta))\,\d\theta.$$

{\bf 3.b.}
\'Etudier la m\^eme question dans le cas d'un intervalle r\'eduit \`a un point
$a\in{]m,M[}$.

{\bf 3.c.}
Si $a < b$, exprimer \`a l'aide d'images r\'eciproques par la fonction~$f$
la limite~$\tau$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ du rapport du nombre des
valeurs propres $\lambda_r$ de~$A_n(f)$ appartenant
\`a~$[a,b\,]$ au nombre total des valeurs propres de~$A_n(f)$, ces valeurs propres
\'etant dans les deux cas compt\'ees chacune avec son ordre de multiplicit\'e.

{\bf 3.d.}
Qu'arrive-t-il si, dans la question~{\bf III-3.c.}, on remplace
$[a,b\,]$ par $]a,b\,[$~?

{\bf 3.e.}
Calculer num\'eriquement~$\tau$ lorsque
$a_0=a=1$, $a_1=\frac12$, $b_1=0$ et~$b=\frac32$.

\bye

