\documentclass{article}
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\newcommand{\GC}{\mathbbm{C}}

\def\comp #1#2{#1\circ #2}

%coordonn\'ees point-vecteur espace
\newcommand{\coordptesp}[4][]{%
#1(#2\ ;\ #3\ ;\ #4)}
\newcommand{\coordptpl}[3][]{%
#1(#2\ ;\ #3)}


\newcommand{\GR}{\mathbb{R}}


%%%%%%%%%%%segments d'entiers

\def\segN#1#2{{[\![#1,#2]\!]}}

\newcommand{\C}{\Calig{C}}




% Enfin, on peut utiliser celles qui suivent :
%\def\N{\mbox{$ I \! \! N $}}
%\let\Nit=\N
%\def\nN{\mbox{$ \N^{\ast} $}}
%\def\Z{\mbox{$ \, Z \! \! \! Z $}}
%\let\Zit=\Z
%\def\nZ{\mbox{$ \Z^{\ast} $}}
%\def\Q{\mbox{$ \, \, l \! \! \! Q $}}
%\let\Qit=\Q
%\def\R{I \! \! R}
%\let\Rit=\R
%\def\C{\mbox{$ \, \, l \! \! \! C $}}
%\let\Cit=\C
%\def\K{\mbox{$ I \! \! K \! $}}

\def\eps{\mbox{$ \varepsilon $}}
\def\vphi{\mbox{$ \varphi $}}
\def\vtheta{\mbox{$ \vartheta $}}
\def\ic{\textrm{i}}

%%%%%%%%%%%%exponentielle
\newcommand\expo[1]{\textrm{e}^{#1}}

    

\def\hfl#1#2{\smash{\mathop{\hbox to 12mm{\rightarrowfill}}
\limits^{\scriptstyle#1}_{\scriptstyle#2}}}
\def\vfl#1#2{\llap{$\scriptstyle #1$}\left\downarrow
\vbox to 6mm{}\right.\rlap{$\scriptstyle #2$}}
\def\diagram#1{\def\normalbaselines{\baselineskip=0pt
\lineskip=10pt\lineskiplimit=1pt}   \matrix{#1}}

\def\build#1_#2^#3{\mathrel{\mathop{\kern 0pt#1}\limits_{#2}^{#3}}}
\def\dessus#1^#2{\mathrel{\mathop{\kern 0pt#1}^{#2}}}
\def\dessous#1_#2{\mathrel{\mathop{\kern 0pt#1}_{#2}}}

\long\def\th#1#2{\hbox{\vtop{{\bf Th\'eor\`eme #1} : {\it #2\hfill\bs}}}}
\long\def\df#1#2{\hbox{\vtop{{\bf D\'efinition #1} : {\it #2\hfill\bs}}}}
\long\def\lm#1#2{\hbox{\vtop{{\bf Lemme #1} : {\it #2\hfill\bs}}}}
\long\def\cor#1#2{\hbox{\vtop{{\bf Corollaire #1} : {\it #2\hfill\bs}}}}
\long\def\dm{\hbox{{\it D\'emonstration} {:\hfill}}}

\def\itm#1#2{\hbox{\hbox to 5mm{\it (#1)}} \hbox {\vtop{\hsize=144mm#2\vfill\ms}\hfill}}

\def\bib#1#2{\hbox{\hbox to 10mm{[#1] :\hfill} \hfill \hbox to 144mm{\vtop{\hsize=144mm#2\vfill\ms}\hfill}}}

% Programme de math avec colonne de commentaire
\long\def\tx#1#2{\hbox{\hbox to 94mm{\vtop{\hsize=90mm#1\vfill}\hfill}
\hfill\hbox to 74mm{\vtop{\hsize=70mm#2\vfill}\hfill}}\filbreak}



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\newcommand{\sshskip}{\hskip 1mm}
\newcommand{\vecteur}[1]{%
    \overrightarrow{\rule{0em}{1.8ex} #1 \rule{0.15em}{0ex}}}
    \newcommand{\Calig}[1]{\ensuremath{\mathscr{#1}}}
    %%%%%%%%%%
    
    \renewcommand{\theenumi}{\arabic{enumi}}
\renewcommand{\labelenumi}{\ovalbox{\theenumi.}}
\renewcommand{\thesection}{%
\Roman{section}}
    %%%%%%%%%%%%%%%    
\begin{document}

\begin{center}
\textsc{Notations et objectif du probl\`eme}
\end{center}


On d\'esigne par $\C_n$ l'ensemble des configurations $P=(A_1, \ A_2,\dots ,\ A_n)$ constitu\'ees de $n$ points, distincts ou non, du plan orient\'e. Dans tout le probl\`eme, $n$ est un entier sup\'erieur ou \'egal \`a $3$.

Lorsque les points $A_1, \ A_2,\dots ,\ A_n$ ne sont pas align\'es, on dit que $P=(A_1, \ A_2,\dots ,\ A_n)$ est un \textit{polygone}, dans le cas contraire, on dit que la configuration $P$ est \textit{aplatie}.

L'ensemble des polygones, \'el\'ements de $\C_n$, est not\'e $\Calig{P}_n$ ; en particulier l'ensemble des \textit{triangles} est not\'e $\Calig{P}_3$, l'ensemble des \textit{quadrilat\`eres} est not\'e $\Calig{P}_4$.

On dit qu'un polygone $P=(A_1, \ A_2,\dots ,\ A_n)$ est \textit{r\'egulier}, s'il existe une rotation $r$ telle que $r(A_j)=A_{j+1}$ si $1\leq j\leq n-1$ et $r(A_n)=A_1$.

On sait qu'une telle rotation est unique, qu'une mesure de son angle est de la forme $\frac{2k\pi}{n}$ o\`u $1\leq k\leq n-1$ ; son centre est appel\'e centre de $P$.


Le choix d'une origine $O$ et d'une base orthonorm\'ee directe permet d'identifier le plan \`a l'ensemble $\GC$ des nombres complexes en associant \`a tout point $A$ de coordonn\'ees $\coordptpl{x}{y}$ son affixe $z \ = \ x+\ic y$. \'A toute configuration $P=(A_1, \ A_2,\dots ,\ A_n)$ est ainsi associ\'ee bijectivement un \'el\'ement $u=(z_1, \ z_2,\dots,\ z_n)$ de $\GC^n$  qu'on appellera encore affixe de $P$ ; inversement, on dira que $P$ est l'image de $u$. 

On d\'esigne par $d$ l'op\'erateur de \textit{d\'ecalage} qui \`a toute configuration $P=(A_1, \ A_2,\dots ,\ A_n)$ associe $(B_1, \ B_2,\dots ,\ B_n)$ o\`u, pour tout \'el\'ement $K\in \segN{1}{n-1}$, $B_k$ est le milieu du segment $\left[A_k,\ A_{k+1}\right]$, et o\`u $B_n$ est le milieu du segment $\left[A_n, \ A_1\right]$.

\hspace{1cm} Dans toute la suite on note $D$ et $M$ les endomorphismes du $\GC-$espace vectoriel $\GC^n$ d\'efinis par les relations : $$ D(z_1,\ z_2,\dots,\ z_n)=(z_2,\ z_3,\dots,\ z_n,\ z_1)\ ;\qquad M=\frac12(I+D),$$
o\`u $I$ d\'esigne l'application identique de $\GC^n$.

Dans ces conditions, pour toute configuration $P$ d'affixe $u$, les configurations $d(P)$ et $m(P)$ admettent pour affixes respectives $D(u)$ et $M(u)$.

\hspace{1cm} L'objectif du probl\`eme est d'\'etudier l'op\'eration $m$ de passage aux milieux. Dans le partie \large I.\normalsize, on examine l'effet du passage aux milieux sur la barycentration, ainsi que la compatibilit\'e avec les similitudes. 

La partie \Large II.\normalsize est consacr\'ee aux propri\'et\'es du passage aux milieux dans le cas des polygones r\'eguliers, qui jouent un r\^ole fondamental pour l'ensemble du probl\`eme. Dans la partie \large III.\normalsize, on \'etudie la bijectivit\'e du passage aux milieux. Enfin dans la partie \large IV.\normalsize, on caract\'erise les polygones dont la forme est stable par passage aux mileux.
\begin{center}
\Large I.\normalsize- \textsc{Effet de la barycentration et compatibilit\'e avec les similitudes du plan.}


\end{center}

\vspace{0.2cm}

Pour toute transformation affine (bijective) $t$ du plan, et pour toute configuration $P=(A_1, \ A_2,\dots ,\ A_n)$ on note $tP$ la configuration $(A_1', \ A_2',\dots ,\ A_n')$ o\'u $A_j'=t(A_j)$.
\begin{enumerate}
	\item \textbf{Isobarycentre de $m(P)$ ; compatibilit\'e avec les translations.}
	Soit $P=(A_1, \ A_2,\dots ,\ A_n)$  une configuration et $G$ l'isobarycentre de $P$, d\'efini par la relation :
	$$ \vecteur{GA_1}+\vecteur{GA_1}+\cdots+\vecteur{GA_n}=\vecteur{0}.$$
\begin{enumerate}
	\item D\'eterminer l'isobarycentre de $m(P)$.
	\item Soit $t$ une translation du plan. Comparer $m(tP)$ et $tm(P)$. D\'eterminer l'isobarycentre de $m(tP)$.
\end{enumerate}
	
	\item \textbf{Interpr\'etation dans $\GC^n$.}
	On note $e_0$ l'\'el\'ement de $\GC^n$ d\'efini par la relation $e_0=(1,\ 1,\dots,\ 1)$ et $H$ l'hyperplan de $\GC^n$ d'\'equation :
	$$ z_1+z_2+\cdots+z_n=0.$$
\begin{enumerate}
	\item Montrer que $\GC^n=\GC e_0\oplus H$ et expliciter les projecteurs associ\'es \`a cette d\'ecomposition en somme directe. Montrer que les sous-espaces vectoriels $\GC e_0$ et $H$ sont stables par l'endomorphisme $M$.
	\item soit $P$ une configuration d'affixe $u=(z_1,\ z_2,\dots,\ z_n)$. D\'eterminer l'affixe $\lambda$ de l'isobarycentre $G$ de $P$. Caract\'eriser g\'eom\'etriquement les configurations $P$ telles que $u\in H$ et celles qui v\'erifient la relation $u=\alpha e_0$ avec $\alpha\in \GC$.
\end{enumerate}
	
	\item \textbf{Compatibilit\'e avec les similitudes.}
	
	Soit $P=(A_1, \ A_2,\dots ,\ A_n)$ une configuration d'affixe $u=(z_1,\ z_2,\cdots,\ z_n)$. On note $\overline{P}$ la configuration d'affixe $\overline{u}=(\overline{z_1},\ \overline{z_2},\cdots,\ \overline{z_n})$ et, pour tout nombre complexe $a$, on note $aP$ la configuration d'affixe $au==(az_1,\ az_2,\cdots,\ az_n)$.
\begin{enumerate}
	\item Par quelles transformations g\'eom\'etriques simples du plan, $\overline{P}$ et $aP$ se d\'eduisent-elles de $P$ ?
	\item Comparer $m(\overline{P})$ et $\overline{m(P)}$, ainsi que $m(aP)$ et $am(P)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\large II.\normalsize- \textsc{Polygone des milieux d'un polygone r\'egulier et similitudes directes.}
\end{center}

\hspace{1cm} Dans toute la suite du probl\`eme, on note $\omega$ la racine $n$-i\`eme du l'unit\'e d\'efinie par la relation $\omega=\left(\displaystyle \expo{\frac{2\ic \pi}{n}}\right)$.

Pour tout entier $k$ tel que $0\leq k\leq n-1$, on note $R_k$ la configuration ayant pour affixe :
$$ e_k=(1,\ \omega^k,\ \omega^{2k},\dots, \ \omega^{(n-1)k}).$$
\begin{enumerate}
	\item  \textbf{Interpr\'etation dans $\GC^n$ des polygones r\'eguliers. }
	
	
\begin{enumerate}
	\item Prouver que si $k\neq 0$ et $2k\neq n$, $R_k$ est un polygone r\'egulier de centre $O$. D\'eterminer l'isobarycentre de $R_k$. Quelle est la nature de $R_0$ et de $R_k$ lorsque $k=2n$ ?
	\item Inversement, montrer que pour tout polygone r\'egulier $P=(A_1, \ A_2,\dots ,\ A_n)$ de centre $O$, il existe un entier $k$ tel que $1\leq k\leq n-1$ et $2k\neq n$, et une similitude directe $s$, de centre $O$, tels que $P=sR_k$.
	D\'eterminer l'isobarycentre de $P$.
	
\end{enumerate}
	\item  \textbf{Polygone des milieux d'un polygone r\'egulier.}
\begin{enumerate}
	\item Pour tout entier $k$ tel que $0\leq k\leq n-1$, calculer $D(e_k)$ et $M(e_k)$.
	\item En d\'eduire que les endomorphismes $D$ et $M$ sont diagonalisables et d\'eterminer leurs valeurs propres.
	\item Prouver que, si $2k\neq n$, $m(R_k)$ se d\'eduit de $R_k$ par une similitude directe de centre $O$ dont on pr\'ecisera le rapport $\rho_k$ et une mesure $\theta_k$ de l'angle.
	\item En d\'eduire que la configuration des milieux $Q=m(P)$ d'un polygone r\'egulier $P$ est encore un polygone r\'egulier et indiquer comment $Q$ se d\'eduit de $P$.
\end{enumerate}
	\item \textbf{Caract\'erisation des polygones $P$ dont le polygone des milieux est directement semblable \`a $P$.}
	
\begin{enumerate}
	\item Soit $P=(A_1, \ A_2,\dots ,\ A_n)$ un polygone dont l'isobarycentre est $O$, d'affixe $u$.
	
	Montrer que $m(P)$ est directement semblable \`a $P$ si, et seulement si, $u$ est vecteur propre de $M$. En d\'eduire que $P$ est de la forme $P=aR_k$, o\`u $0<k\leq n-1, \ 2k\neq n$, et o\`u $a$ est un nombre complexe non nul.
	\item D\'eterminer les polygones $P$ tels que $m(P)$ soit directement semblable \`a $P$. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\large III.\normalsize - \textsc{Bijectivit\'e du passage aux milieux.}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item \textbf{Cas des triangles.}
	
\begin{enumerate}
	\item Soit $P=(A_1, \ A_2,\ A_3)$ un triangle et $G$ son isobarycentre. Construire le triangle $m(P)=(B_1, \ B_2, \ B_3)$. 
	
	Prouver que $dm(P)$ se d\'eduit de $P$ par une homoth\'etie $h$ de centre $G$ dont on indiquera le rapport $\lambda$.
	\item En d\'eduire que $m$ induit une bijection $\Calig{P}_3$. \'Etant donn\'e un triangle $Q=(B_1, \ B_2, \ B_3)$ indiquer une construction g\'eom\'etrique de l'unique triangle $P=(A_1, \ A_2, \ A_3)$ tel que $m(P)=Q$.
\end{enumerate}
	\item \textbf{Cas des quadrilat\`eres.}
	
\begin{enumerate}
	\item Soient $P=(A_1,\ A_2,\ A_3,\ A_4)$ une configuration, $G$ son isobarycentre et $m(P)=(B_1, \ B_2,\ B_3,\ B_4)$.
	Prouver que $\vecteur{A_1A_3}=2\vecteur{B_1B_2}=2\vecteur{B_4B_3}$ ; ainsi $(B_1, \ B_2,\ B_3,\ B_4)$ est un parall\'elogramme (\'eventuellement aplati) don on indiquera le centre de sym\'etrie. Placer $P$ et $m(P)$ sur une m\^eme figure.
	\item Inversement, soient $Q=((B_1, \ B_2,\ B_3,\ B_4)$ un parall\'elogramme et $s_1, \ s_2,\ s_3,\ s_4$ les sym\'etries centrales par rapport \`a chacun des sommets. Calculer $\comp{s_2}{s_1}$ et $\comp{s_4}{s_3}$ et montrer que $\comp{s_4}{\comp{s_3}{\comp{s_2}{s_1}}}$ est l'identit\'e du plan. En d\'eduire que pour tout point $A_1$ du plan, il existe une configuration $P=(A_1, \ A_2,\ A_3,\ A_4)$ et une seule telle que $m(P)=Q$ et indiquer une construction g\'eom\'etrique des points $A_2,\ A_3,\ A_4$.
\item \textit{Exemple o\`u $Q$ est aplati et o\`u $P$ ne l'est pas.} On donne les points $B_1, \ B_2,\ B_3,\ B_4$ par leurs coordonn\'ees $\coordptpl{-3}{0},\ \coordptpl{1}{0},\ \coordptpl{3}{0}$ et $\coordptpl{-1}{0}$. Construire $P$ sachant que $A_1$ a pour coordonn\'ees $\coordptpl{-4}{1}$.
\item \textit{Exemple o\`u $Q$ est non aplati et o\`u  les sommets de $P$ ne sont pas distincts deux \`a deux.} \'Etant donn\'e  un parall\'elogramme non aplati $Q$, d\'eterminer une configuration $P=(A_1, \ A_2,\ A_3,\ A_4)$ telle que $m(P)=Q$ et $A_1=A_2$. Peut-il arriver que $A_1=A_3$ ?
\item Prouver que $m$ induit une bijection de l'ensemble des parall\'elogrammes sur lui-m\^eme. \'A cet effet, on pourra d'abord montrer que qu'\'etant donn\'e un parall\'elogramme $P=(A_1,\ A_2,\ A_3,\ A_4)$ d'isobarycentre $G$ et $m(P)=(B_1,\ B_2,\ B_3,\ B_4)$, alors $\vecteur{GA_1}=\vecteur{B_2B_1}$.
\end{enumerate}
	\item \textbf{Bijectivit\'e du passage au milieu dans le cas o\`u $n$ est impair.}
	
	On \'ecrit $n$ sous la forme $n=2p+1$ o\`u $p\geq 1$.
\begin{enumerate}
	\item D\'eterminer le noyau de l'endomorphisme $M_0$ de $H$ induit par $M$.
	\item En d\'eduire que $m$ est une bijection de $\Calig{C}_n$. Prouver que $m$ induit une bijection de $\Calig{P}_n$.
	\item Soit $Q=(B_1,\ B_2,\ \dots,\ B_{2p+1})$ une configuration d'affixe $v=(b_1, \ b_2,\ \dots,\ b_{2p+1})$ et d'isobarycentre $O$, $P=(A_1, \ A_2,\ \dots,\ A_{2p+1})$ l'unique configuration telle que $m(P)=Q$ et $u=(z_1, \ z_2,\ \dots,\ z_{2p+1})$ l'affixe de $P$. \'Ecrire le syst\`eme lin\'eaire traduisant l'\'equation $m(P)=Q$. Prouver que 
	
\begin{equation}\label{150405}
	z_1=b_1-b_2+b_3-b_4+\cdots+b_{2p+1}. \tag{1}	
\end{equation}
	Indiquer un algorithme permettant de construire g\'eom\'etriquement $A_1$, puis $P$, connaissant $Q$.
	\item \textit{Expression de l'inverse de $M_0$.} Soit $D_0$ l'endomorphisme de $H$ induit par $D$.
	
	Calculer $(I+D_0)(I-D_0+D_0^2+\cdots+D_0^{2p})$. En d\'eduire $M_0^{-1}$ en fonction de $D_0$. Retrouver ainsi la formule (\ref{150405}).
\end{enumerate}
	\item  \textbf{Bijectivit\'e du passage au milieu dans le cas o\`u $n$ est pair.}
	
	\vspace{0.1cm}
		
	On \'ecrit $n$ sous la forme $n=2p$ o\`u $p\geq 2$ ; dans ces conditions $e_p=(1,\ -1,\ 1,\ -1,\ \dots,\ 1,\ -1)$. On note $F$ l'hyperplan de $\GC^n$ d'\'equation :
	$$ z_1-z_2+z_3-z_4+\cdots+z_{n-1}-z_n=0.$$
\begin{enumerate}
	\item D\'eterminer le noyau de l'endomorphisme $M_0$ induit par $M$ sur $H$. Montrer que $M_0$ stabilise $F\cap H$ et induit un automorphisme $M_{00}$ de $F\cap H$ ; en d\'eduire l'image de $M_0$.
	\item Soit $Q=(B_1,\ B_2,\ \dots,\ B_{2p})$ une configuration  d'affixe $v=(b_1,\ b_2,\ \dots,\ b_{2p})$ et d'isobarycentre $G$. Montrer que $v$ appartient \`a $F$ si, et seulement si, les isobarycentres de $(B_1,\ B_3,\ \dots,\ B_{2p-1})$ et de $(B_2,\ B_4,\ \dots,\ B_{2p})$ co\"{\i}ncident avec $G$. On note $\Calig{E}_{2p}$ l'ensemble des configurations satisfaisant \`a cette propri\'et\'e.	
	
	
	\item Prouver que, pour toute configuration $Q=(B_1,\ B_2,\ \dots,\ B_{2p})$ de $\Calig{E}_{2p}$
	
	
		\item \textit{Expression de l'inverse de $M_{00}$.} Montrer que le polyn\^ome $X^{2p}-1$ est divisible par $X^2-1$. Soit $V$ le quotient. Montrer qu'il existe un polyn\^ome $A$ de degr\'e $2p-3$ et une constante $B$ tels que $A(1+X)+BV=1$. Calculer $B$ puis $A$. Soit $D_{00}$ l'endormorphisme de $F\cap H$ induit par $D$. Prouver que $V(D_{00})=0$ ; en d\'eduire $M_{00}^{-1}$ en fonction de $D_{00}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\large IV.\normalsize - \textsc{Caract\'erisation des polygones dont la forme est stable par passage aux milieux.}
\end{center}

On munit $\GC^n$ du produit scalaire hermitien d\'efini par :

$$\left(u|u'\right)=\frac 1 n \left(\overline{z_1}z_1'+\overline{z_2}z_2'+\cdots+\overline{z_n}z_n'\right).$$
 On note $u\mapsto \left\|u\right\|$ la norme hermitienne associ\'ee.
 	\begin{enumerate}
	\item \textbf{D\'ecomposition canonique de $\GC^n$.}
\begin{enumerate}
	\item Montrer que la base $(e_0,\ e_1,\dots,\ e_{n-1})$ est orthonormale
	\item Comparer $e_{n-k}$ et $\overline{e_k}$ ; calculer $D(\overline{e_k})$ et $M(\overline{e_k})$.
	\item Pour tout entier $k$ tel que $1\leq k < \frac n 2,$ on note $E_k$ le plan vectoriel de $\GC^n$ engendr\'e par $e_k$ et $\overline{e_k}$, on note $E$ la somme des sous espaces $E_k$. Montrer que $E$ est somme directe orthogonale des plans $E_k$. 
	
	Prouver enfin que $E=H$ si $n$ est impair et $E=F\cap H$ si $n$ est pair.
	\item Prouver que, pour tout $k$, les endomorphismes $D$ et $M$ stabilisent $E_k$, et que, pour tout \'el\'ement $v$ de $E_k$,
	$$ \left\|M(v)\right\|=\rho_k\left\|v\right\|.$$

	\end{enumerate}
\item \textbf{Interpr\'etation complexe des transformations affines du plan fixant $O$.}

Soit $t$ une transformation du plan dans lui-m\^eme fixant $O$, et $T$ l'application de $\GC$ dans lui-m\^eme qui \`a tout nombre complexe $z=x+\ic y$ d'image $A$ associe l'affixe $z'=x'+\ic y'$ de $A'=t(A)$.
\begin{enumerate}
	\item Prouver que les propri\'et\'es suivantes sont \'equivalentes :
\begin{description}
	\item[i)] l'application $T$ est un endomorphisme du $\GR$-espace vectoriel $\GC$ (autrement dit $t$ est affine) ;
	\item[ii)] il existe des nombres complexes $a$ et $b$ tels que, pour tout nombre complexe $z$,
	$$ T(z)=az+b\overline{z}.$$
	
	On explicitera $a$ et $b$ en fonction des coefficients de la matrice associ\'ee \`a $T$ dans le base $(1,\ \ic)$. 
\end{description}
\item Dans ces conditions, montrer que $T$ est un automorphisme si, et seulement si, $\left|a\right|\neq\left|b\right|$.
\end{enumerate}

\item \textbf{Stabilit\'e des polygones affines des polygones r\'eguliers.}

On note $\Calig{A}_n$ l'ensemble des \'el\'ements $P$ de $\Calig{P}_n$ de la forme $P=\tau R$ o\`u $R$ est un polygone r\'egulier et $\tau $ une transformation affine du plan. \'Etant donn\'es un endomorphisme $\GR$-espace vectoriel $\GC$ et un \'el\'ement $u=(z_1,\ z_2,\ \dots,\  z_n)$ de $\GC^n$, on pose $T(u)=(T(z_1),\ T(z_2),\ \dots,\ T(z_n))$. Enfin, pour tout entier $k$ tel que $1\leq k <\frac{n}{2}$, on note $S_k$ la similitude directe du $\GR$-espace vectoriel $\GC$ telle que $S_k(e_k)=M(e_k)$.
\begin{enumerate}
	\item Soit $P=(A_1,\ A_2,\ \dots,\ A_n)$ une configuration d'affixe $u=(z_1,\ z_2,\ \dots,\  z_n)$ et d'isobarycentre $O$. Montrer qu'il est \'equivalent de dire :
\begin{description}
	\item[i)] $P$ est un \'el\'ement de $\Calig{A}_n$ ;
	\item[ii)] il existe une entier $k$, o\`u $1\leq k<\frac n 2$, et des nombres complexes $\alpha$ et $\beta$ tels que :
	$$ u=\alpha e_k+\beta \overline{e_k} \qquad \mbox{et}\qquad \left|\alpha\right|\neq \left|\beta\right|.$$ \end{description}
	\item \'Etant donn\'e un entier $k$ tel que $1\leq k<\frac n 2$, montrer que pour tout \'el\'ement $u_k$ de $E_k$, il existe un endomorphisme $W_k$ du $\GR$-espace vectoriel $\GC$ et \textit{un seul} tel que $u_k=W_k(e_k)$.
	\item Prouver que pour tout \'el\'ement $P$ de $\Calig{A}_n$, $Q=m(P)$ appartient encore \`a $\Calig{A}_n$, et qu'il existe une transformation affine $t$ et une seule du plan telle que $tP=m(P)$.
	\item Inversement, soit $P$ un polygone d'affixe $u$ admettant $O$ pour isobarycentre et tel que $m(P)=tP$ o\`u $t$ est une transformation affine. Soit $T$ l'endomorphisme du $\GR$-espace vectoriel $\GC$ associ\'e \`a $t$. 
	
	Prouver d'abord que $u$ appartient \`a $E$. Montrer qu'il existe un entier $k$ tel que $u$ appartienne \`a $E_k$.
	
	\'A cet effet, on \'ecrira $u$ sous la forme $u=\sum W_k(e_k)$ o\`u $1\leq k< \frac n 2$, et on montrera que pour tout $k$, $W_kS_k=TW_k$. On en d\'eduira que si $W_j\neq 0$, $W_j$ est un automorphisme et on comparera les d\'eterminants de $T$ et de $S_j$.
	\item Prouver finalement que les \'el\'ements de $\Calig{A}_n$ sont les seuls polygones $P$ dont le polygone des milieux se d\'eduit de $P$ par une transformation affine.
	
	\end{enumerate}

\end{enumerate}
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