% m88hp1e.tex : sujet Enset 1988 P'
% tap\'e par M. Quercia (quercia@cal.enst.fr)
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\def\q#1{\leftskip=0pt\par\noindent{\bf#1 }}
\def\sq#1{\par\noindent\hskip-\parindent\hbox to \parindent{\it#1.\hss}\ignorespaces}
\def\ret{\par\advance\leftskip2\parindent}

\centerline{\Gros\bf Enset 1988 section A2 (P$'$)}\SV
{\it(Les questions pr\'ec\'ed\'ees d'un ast\'erisque sont consid\'er\'ees comme \'etant
plus difficiles)}% que les autres
\sv

                         %+-----------------+
                         %|  Pr\'eliminaires  |
                         %+-----------------+

\centerline{\bf I. Pr\'eliminaires}\sv

On consid\`ere un groupe commutatif $G$ not\'e additivement.
Une fonction $f$ de~$G$ dans~$\C$ est dite {\it de type positif\/}
si, quel que soit $n\ge 1$ et quels que soient $a_1,\dots,a_n$ dans~$\C$,
$x_1,\dots,x_n$ dans~$G$,
$$\dsum_{p=1}^n\dsum_{q=1}^n a_p\overline{a_q}f(x_p-x_q)\quad
\text{est un r\'eel} \ge 0.
\leqno(1)$$

\q 1 Soit $f$ une fonction de type positif~:
\ret
\sq a Montrer que $f(0)$ est r\'eel~$\ge 0$.
\sq b Montrer que $af(x) + \overline af(-x)$ est r\'eel pour tout~$a\in\C$
      et tout~$x\in G$.
      En d\'eduire qu'on a $f(-x) = \overline{f(x)}$ pour tout~$x\in G$.
\sq c En prenant $n=2$ dans~$(1)$, et en choisissant $a_1$ et $a_2$
      judicieusement, montrer que l'on a~$|f(x)|\le f(0)$ pour tout~$x\in G$.
\sv

\q 2 On appelle {\it caract\`ere\/} de~$G$ tout homomorphisme du groupe~$G$
dans le groupe multiplicatif des nombres complexes de module~$1$.
Une fonction~$h$ de~$G$ dans~$\C$ est donc un caract\`ere si l'on a
pour tout~$x,y\in G$,
$$|h(x)| = 1\qquad\text{et}\qquad h(x+y) = h(x)h(y).
\leqno(2)$$
\ret
\sq a Montrer que tout caract\`ere est une fonction de type positif\par\noindent
      $\Bigl($on pourra utiliser l'identit\'e~:
      $\dsum_{p=1}^n\dsum_{q=1}^n \alpha_p\beta_q =
       \bigl(\dsum_{p=1}^n\alpha_p\bigr)\bigl(\dsum_{q=1}^n\beta_q\bigr)\Bigr)$.
\sq{*b} Montrer par r\'ecurrence, en utilisant~$(2)$, que $n+1$ caract\`eres
      distincts $h_1,\dots,h_n$ et~$h$ sont n\'ecessairement lin\'eairement
      ind\'ependants sur~$\C$.
\sv

\q 3 Soient $E$ un ensemble et $f_1,\dots,f_n$ des fonctions de~$E$ dans~$\C$.
\ret
\sq{*a} On suppose qu'il existe $n$ points distincts $x_1,\dots,x_n$ de~$E$
      tels que, pour $1\le i,j\le n$, la matrice carr\'ee ${A = (f_i(x_j))}$,
      d'ordre~$n$, soit r\'eguli\`ere. Soit~$f_{n+1}$ une fonction de~$E$ dans~$\C$
      telle que, pour $1\le i,j\le n+1$, la matrice carr\'ee ${B = (f_i(x_j))}$,
      d'ordre~$n+1$, soit singuli\`ere pour tout choix de~$x_{n+1}$
      dans~$E$. Montrer qu'alors $f_{n+1}$ est combinaison lin\'eaire
      de~$f_1,\dots,f_n$.

\sq b Montrer par r\'ecurrence que les fonctions $f_1,\dots,f_n$ sont
      lin\'eairement ind\'ependantes sur~$\C$ si et seulement s'il existe
      $n$ points $x_1,\dots,x_n$ de~$E$ tels que la matrice carr\'ee
      $(f_i(x_j))$, d'ordre~$n$, soit r\'eguli\`ere.
\sv

\q4 Soient $h_1,\dots,h_n$ $n$ caract\`eres distincts du groupe~$G$,
$\lambda_1,\dots,\lambda_n$ des nombres complexes
et~$f = \lambda_1h_1 + \dots + \lambda_nh_n$.
\ret
\sq a Montrer que, si les $\lambda_k$ sont r\'eels $\ge 0$, alors
      $f$ est une fonction de type positif. Donner, dans le cas o\`u $G= \R$,
      un exemple de fonction de type positif r\'eelle, non constante.

\sq{*b} R\'eciproquement, on suppose que~$f$ est de type positif.
      Montrer, en utilisant le~{\it b.\bf3}, que les $\lambda_k$ sont
      alors r\'eels positifs (on remarquera que $z\I->|z|^2$ est une
      surjection de~$\C$ sur~$\R^+$).
\SV

                     %+------------------------+
                     %|  On suppose que G = Z  |
                     %+------------------------+

\centerline{\bf II. On suppose que $G = \Z$}\sv

\q1 Montrer qu'une fonction $h$ de~$\Z$ dans~$\C$ est un caract\`ere de~$\Z$
si et seulement si elle est de la forme $n\I->e^{int}$ avec~$t\in\R$.
\sv

\q2 Soit~$\lambda$ une fonction de~$\R$ dans~$\C$, $2\pi$-p\'eriodique et
continue par morceaux, et d\'efinissons une fonction~$f$ de~$\Z$ dans~$\C$
par~:
$$f(n) = \dfrac1{2\pi}\dint_0^{2\pi}e^{-int}\lambda(t)\,\d t$$
(autrement dit, $f(n)$ est le coefficient de Fourier $c_n(\lambda)$
de~$\lambda)$.
Montrer que si $\lambda$ est $\ge 0$ sur~$\R$, alors $f$ est de type
positif sur~$\Z$.
\sv

\q3 Soit $f$ une fonction de~$\Z$ dans~$\C$ telle que
$\dsum_{n\in\Z}|f(n)| < +\infty$.
\ret
\sq a Montrer qu'il existe une fonction~$\lambda$ de~$\R$ dans~$\C$,
      $2\pi$-p\'eriodique et {\bf continue}, telle que $f(n) = c_n(\lambda)$
      pour tout~$n\in\Z$.
\sq b Montrer que, si~$f$ est de type positif, alors on a~:
      $$\dint_0^{2\pi} |\varphi(t)|^2\lambda(t)\,\d t \ge 0\leqno(3)$$
      pour tout polyn\^ome trigonom\'etrique~$\varphi$ (on rappelle que,
      par d\'efinition, un polyn\^ome trigonom\'etrique est une combinaison lin\'eaire
      (finie) de caract\`eres de~$\Z$).
\sq{*c} Montrer \`a l'aide du~{\it b.} que, si~$f$ est de type positif,
      $(3)$ est encore vrai lorsque~$\varphi$ est une fonction de~$\R$
      dans~$\C$, $2\pi$-p\'eriodique et de classe~$\c^1$.
\sq{*d} Montrer que la fonction~$f$ est de type positif (si et) seulement
      si la fonction~$\lambda$ est~$\ge 0$ sur~$\R$.
\SV

                     %+------------------------+
                     %|  On suppose que G = R  |
                     %+------------------------+

\centerline{\bf III. On suppose que $G = \R$}\sv\leftskip=0pt

On admet qu'une fonction continue~$h$ de~$\R$ dans~$\C$ est un
caract\`ere de~$\R$ si et seulement si elle est de la forme
$x\I->e^{ixt}$ avec~$t\in\R$.
\sv

\q1 Soit~$\lambda$ une fonction continue de~$\R$ dans~$\C$ telle que~:
$$\dint_{-\infty}^{+\infty}|\lambda(t)|\,\d t$$
soit finie et d\'efinissons une fonction~$f$ de~$\R$ dans~$\C$ par~:
$$f(x) = \dint_{-\infty}^{+\infty} e^{-ixt}\lambda(t)\,\d t.$$
Montrer que, si~$\lambda$ est~$\ge 0$ sur~$\R$,
alors~$f$ est de type positif sur~$\R$.
\sv

\q2 Soit $f$ une fonction continue de~$\R$ dans ~$\C$, $2\pi$-p\'eriodique
et de classe $\c^1$ par morceaux. Montrer que si tous les coefficients de
Fourier~$c_n(f)$ sont~$\ge 0$, alors~$f$ est de type positif sur~$\R$.
\sv

\q3 On se donne une fonction continue~$f$ de~$\R$ dans~$\R$
{\bf positive} et {\bf paire}, de classe~$\c^1$ par morceaux. On d\'esigne
par~$f'$ une fonction continue par morceaux \'egale \`a la d\'eriv\'ee de~$f$, l\`a
o\`u celle-ci existe.
\ret
\sq a Montrer que, si~$g$ est une fonction positive et d\'ecroissante
      de~$[0,\pi]$ dans~$\R$, alors~$\dint_0^\pi g(t)\sin kt\,\d t$
      est $\ge 0$ pour tout $k$ entier~$\ge 0$.

\sq b On suppose ici que~$f$ est p\'eriodique, de p\'eriode~$2\tau>0$,
      et que, sur l'intervalle de demi-p\'eriode $[0,\tau]$, $f$ est
      d\'ecroissante et~$f'$ est croissante. D\'eduire de~{\it a.} que
      $f$ est alors une fonction de type positif sur~$\R$
      (on pourra commencer par traiter le cas o\`u~$\tau=\pi$, puis
      ramener le cas g\'en\'eral \`a ce cas).

\sq{*c} On suppose ici que~$f$ est d\'ecroissante et~$f'$ croissante
      sur l'intervalle~$[0,+\infty[$. D\'eduire de~{\it b.} que $f$ est
      alors une fonction de type positif.
\sv

\q4 On d\'esigne par~$f$ la fonction $x\I->e^{-x^2/2}$ de~$\R$ dans~$\R$.
On suppose connu que~:
$$\dint_0^{+\infty}f(t)\,\d t = \sqrt{\dfrac\pi2},$$
que l'on notera $\alpha$ pour simplifier.
\ret
\sq a On pose, pour~$n\in\N$, $I_n=\dint_0^{+\infty} t^{2n}e^{-t^2/2}\,\d t$.
      Trouver une relation de r\'ecurrence entre~$I_n$ et~$I_{n-1}$.
      En d\'eduire qu'on a~$I_n=\dfrac{(2n)!}{n!}\,2^{-n}\alpha$.

\sq b Calculer, pour~$x\in\R$, $g(x) = \dint_0^{+\infty} \cos(xt)e^{-t^2/2}\,\d t$,
      et comparer la fonction~$g$ ainsi obtenue \`a la fonction~$f$.

\sq c D\'eduire de~{\it b.} que $f$ est une fonction de type positif.
\sv
$$\matrix{\bullet&\qquad&\bullet\cr\noalign{\sv}&\bullet\cr}$$
\bye
