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\begin{document}

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\lhead{Centrale 1989 Maths I M}
\rhead{page \thepage}
\cfoot{}

\noindent
\begin{tabular}{ll}
{\'E}COLE CENTRALE DES ARTS ET MANUFACTURES & {\'E}COLE SUP{\'E}RIEURE D'{\'E}LECTRICIT{\'E} \\
{\'E}COLE CENTRALE DE LYON & {\'E}COLE SUP{\'E}RIEURE D'OPTIQUE\\
\begin{minipage}{8cm}
Concours d'Admission 1989

MATH{\'E}MATIQUES I
\end{minipage}

& {\Huge M}
\end{tabular}

\bigskip
Dans tout le probl{\`e}me, $n$ d{\'e}signe un entier naturel et $Q$ le premier quadrant du plan $\R^{2}$ (muni de sa structure euclidienne naturelle), c'est-{\`a}-dire l'ensemble des couples de r{\'e}els positifs au sens large.

On appelle $S$ l'ensemble des suites r{\'e}elles $(U_{n})_{n {\geq} 0}$ v{\'e}rifiant la relation de r{\'e}currence $(\mathcal{R})$ suivante :
\begin{center}
pour tout $n {\geq} 1$, $U_{n+1} = \dfrac{1}{2} \left(U_{n}^{2} + U_{n-1}^{2}\right)$
\end{center}
et telles, de plus, que l'on ait : $U_{0} {\geq} 0$ et $U_{1} {\geq} 0$.

On associe {\`a} tout {\'e}l{\'e}ment $(x, y)$ de $Q$ la suite $U(x, y)$ appartenant {\`a} $S$ d{\'e}finie par $U_{0} = x$ et $U_{1} = y$.

Le terme de rang $n$ de $U(x, y)$ sera not{\'e} $U_{n}(x, y)$ ou, si aucune ambigu{\"i}t{\'e} n'est possible, par $U_{n}$.

Enfin, $\lambda$ d{\'e}signant un {\'e}l{\'e}ment de $\Rbarre$, $E_{\lambda}$ d{\'e}signera l'ensemble des {\'e}l{\'e}ments $(x, y)$ de $Q$ tels que la suite $U(x, y)$ ait pour limite $\lambda$.

\textit{La partie IV ne d{\'e}pend que de la partie I.}

\medskip
\begin{center}\textbf{Premi{\`e}re partie : G{\'e}n{\'e}ralit{\'e}s}\end{center}

\medskip
\begin{itemize}
\item[I.1.a)] D{\'e}terminer les suites constantes appartenant {\`a} $S$.
\begin{itemize}
\item[b)] Quelles sont les limites possibles finies ou infinies d'une suite appartenant {\`a} $S$ ?
\item[c)] Montrer que, si une suite appartenant {\`a} $S$ a trois termes cons{\'e}cutifs {\'e}gaux, c'est une suite constante.
\item[d)] Montrer que, si une suite appartenant {\`a} $S$ a deux termes cons{\'e}cutifs {\'e}gaux {\`a} $1$, c'est une suite constante.
\item[e)] Que peut-on dire d'une suite appartenant {\`a} $S$ dont un terme autre que les deux premiers est nul ?
\end{itemize}

\item[I.2.] Soit une suite $(U_{n})_{n {\geq} 0}$ appartenant {\`a} $S$ et \textit{non constante}.
\begin{itemize}
\item[a)] Comparer les signes de $U_{n+1} - U_{n}$ et de $U_{n}-U_{n-2}$ pour $n {\geq} 2$.
\item[b)] Montrer que, s'il existe $N {\geq} 1$ tel que $U_{N+1}$ soit sup{\'e}rieur ou {\'e}gal {\`a} $U_{N-1}$ et {\`a} $U_{N}$, la suite $(U_{n})_{n{\geq}0}$ est strictement croissante {\`a} partir d'un certain rang.

On {\'e}tablirait de m{\^e}me que, s'il existe $N {\geq}1$ tel que $U_{N+1}$ soit inf{\'e}rieur ou {\'e}gal {\`a} $U_{N-1}$ et {\`a} $U_{N}$, la suite $(U_{n})_{n{\geq}0}$ est strictement d{\'e}croissante {\`a} partir d'un certain rang. La d{\'e}monstration correspondante n'est pas demand{\'e}e.
\item[c)] D{\'e}terminer les limites des suites $U(x, y)$ pour $x = \sqrt{2}$, $y = 0$ et pour $x = 2$, $y = 0$.
\end{itemize}

\item[I.3.] Soit une suite $(U_{n})_{n{\geq}0}$ non constante, appartenant {\`a} $S$ ; on suppose de plus que, quel que soit $N$, la suite $(U_{n})_{n{\geq}N}$ n'est ni strictement croissante, ni strictement d{\'e}croissante.

\textit{On ne cherchera pas, dans cette question {\`a} d{\'e}montrer l'existence de telles suites.}

Montrer que les deux suites $(U_{2n})_{n{\geq}0}$ et $(U_{2n+1})_{n{\geq}0}$ sont strictement monotones et de sens contraire.
Montrer que la suite $(U_{n})_{n {\geq}0}$ converge vers $1$.
On pourra montrer que $U_{0}$ et $U_{1}$ sont distincts et envisager les deux cas $U_{0} < U_{1}$ et $U_{0} > U_{1}$.

\item[I.4] {\'E}tablir, pour une suite $(U_{n})_{n {\geq}0}$ \textit{non constante} appartenant {\`a} $S$, l'{\'e}quivalence des propri{\'e}t{\'e}s suivantes :
\begin{itemize}
\item[a)] II existe un entier $N {\geq} 0$ tel que $U_{N} {\geq} 1$ et $U_{N+1} {\geq}�1$.
\item[b)] La suite $(U_{n})_{n{\geq}0}$ est strictement croissante {\`a} partir d'un certain rang.
\item[c)] La suite $(U_{n})_{n{\geq}0}$ tend vers $+{\infty}$.
\end{itemize}
On pourra, pour cela, {\'e}tablir que, si une suite $(U_{n})_{n{\geq}0}$ v{\'e}rifie la propri{\'e}t{\'e} a), tous ses termes sont, {\`a} partir d'un certain rang, strictement sup{\'e}rieurs {\`a} $1$.

\item[I.5.] {\'E}tablir de m{\^e}me, pour une suite $(U_{n})_{n {\geq}0}$ de $S$ \textit{non constante}, l'{\'e}quivalence des propri{\'e}t{\'e}s suivantes :
\begin{itemize}
\item[a)] II existe un entier $N {\geq} 0$ tel que $U_{N}$ et $U_{N+1}$ soient inf{\'e}rieurs au sens large {\`a} $1$.
\item[b)] La suite $(U_{n})_{n{\geq}0}$ est strictement d{\'e}croissante {\`a} partir d'un certain rang.
\item[c)] La suite $(U_{n})_{n{\geq}0}$ tend vers z{\'e}ro.
\end{itemize}

\item[I.6] Montrer que $E_{0}$, $E_{1}$, $E_{+{\infty}}$ sont non vides. Quelle est leur r{\'e}union ?
\end{itemize}

\medskip
\begin{center}\textbf{Deuxi{\`e}me partie}\end{center}

\medskip
\textit{Dans cette partie, on montre que $E_{1}$a moins deux {\'e}l{\'e}ments.}

\medskip
Pour $(x, y) \in Q$, on d{\'e}signe par $\lambda(x, y)$ la limite dans $\Rbarre$ de $U(x, y)$.
\begin{itemize}
\item[1.] Comparer $\lambda(x, y)$ et $\lambda(x', y')$ dans l'hypoth{\`e}se o{\`u} $(x, y)$ et $(x', y')$ v{\'e}rifient : $x {\leq} x'$ et $y {\leq} y'$.

\item[2.] On consid{\`e}re deux couples $(x, y)$ et $(x', y')$ {\'e}l{\'e}ments de $Q$.
On suppose de plus que $U(x, y)$ converge vers $1$.
\begin{itemize}
\item[a)] Montrer que, si l'on a pour un entier $N$ :
$$U_{N-1}(x, y) + \varepsilon {\leq} U_{N-1}(x', y') \hbox{ et } U_{N}(x, y) + \varepsilon {\leq} U_{N}(x' y')$$
alors, pour tout $n {\geq} N$, on a : $U_{n}(x, y) + \varepsilon {\leq} U_{n}(x', y')$.
\item[b)] Donner la valeur de $\lambda(x', y')$ dans les deux cas suivants :
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $x {\leq} x'$, $y {\leq} y'$ et $(x, y) {\neq} (x', y')$.
\item[$\bullet$] $x {\geq} x'$, $y {\geq} y'$ et $(x, y) {\neq} (x', y')$.
\end{itemize}
\end{itemize}

\item[3. a)] Montrer qu'il existe un r{\'e}el $a > 0$ borne sup{\'e}rieure de l'ensemble des $x {\geq} 0$ tels que $\lambda(x, 0)$ soit nul.
\begin{itemize}
\item[b)] Que dire de $\lambda(x, 0)$ pour $0 {\leq} x < a$ ?
\item[c)] D{\'e}terminer la valeur d{\'e}cimale approch{\'e}e {\`a} $10^{-2}$ pr{\`e}s par d{\'e}faut de $a$.

On justifiera la m{\'e}thode employ{\'e}e.
\end{itemize}

\item[4. a)] Montrer que, pour tout $n$, la fonction $x \mapsto U_{n}(x, 0)$ est continue.
\begin{itemize}
\item[b)] Montrer que, si la suite $U(a, 0)$ tendait vers z{\'e}ro, il existerait $\varepsilon > 0$ tel que la suite $U(a+\varepsilon, 0)$ tende vers z{\'e}ro ; on pourra utiliser pour cela la question (I.5).
\item[c)] Montrer de m{\^e}me que, si la suite $U(a, 0)$ tendait vers $+{\infty}$, il existerait $\varepsilon > 0$ tel que la suite $U(a-\varepsilon, 0)$ tende vers $+{\infty}$.
\item[d)] En d{\'e}duire $\lambda(a, 0)$. Que vaut $\lambda(x, 0)$ pour $x > a$ ?
\item[e)] Montrer que, pour $y > 0$, la suite $\left(U_{n}(a, y) \right)_{n{\geq}0}$ tend vers $+{\infty}$.
\end{itemize}
\end{itemize}

\medskip
\begin{center}\textbf{Troisi{\`e}me partie}\end{center}

{\'E}tude de $E_{0}$, $E_{1}$, $E_{+{\infty}}$ (\textit{Ces notations sont d{\'e}finies dans le pr{\'e}ambule})

\medskip
\begin{itemize}
\item[1.] Soit $x$ compris au sens large entre $0$ et $a$.
{\'E}tablir l'existence d'un point unique de $E_{1}$ ayant l'abscisse $x$.
On note d{\'e}sormais $\varphi(x)$ l'ordonn{\'e}e de ce point et $\Gamma$ la courbe d{\'e}crite par le point $(x, \varphi(x))$ quand $x$ varie de $0$ {\`a} $a$.

D{\'e}terminer {\`a} l'aide de $\Gamma$ les ensembles $E_{0}$, $E_{1}$, $E_{+{\infty}}$.

\item[2. a)] Montrer que $\varphi$ d{\'e}cro{\^i}t. D{\'e}terminer $\varphi(1)$ et $\varphi(a)$.
\begin{itemize}
\item[b)] {\`A} l'aide de la relation $U_{n}(x, y) = U_{n-1}\left(y, \dfrac{x^{2}+y^{2}}{2}\right)$, {\'e}tablir, pour $x \in \segment{0}{a}$, la relation $x^{2} + \varphi^{2}(x) = 2 \varphi\left [\varphi(x)\right ]$.
\item[c)] Calculer $\varphi(0)$, $\varphi\left(\dfrac{a^{2}}{2}\right)$.
\end{itemize}

\item[3. a)] Soit $y$ compris au sens large entre $0$ et $\varphi(0)$.
Montrer qu'il existe un point unique de $E_{1}$ d'ordonn{\'e}e $y$. On notera $\psi(y)$ l'abscisse de ce point.
\begin{itemize}
\item[b)] Montrer que $\varphi$ est strictement d{\'e}croissante.
\item[c)] Montrer que $\varphi$ est continue.
\end{itemize}

\item[4. a)] {\'E}tudier les variations de $x^{2} + \varphi^{2}(x)$ pour $x \in \segment{0}{a}$.
En d{\'e}duire que $\Gamma$ est situ{\'e}e dans une couronne circulaire que l'on pr{\'e}cisera.

Montrer que $\varphi$ est d{\'e}rivable en $0$ et d{\'e}terminer $\varphi'(0)$.
\begin{itemize}
\item[b)] {\'E}tablir, pour $x \in \segment{0}{a}$, l'in{\'e}galit{\'e} $\varphi(x) {\geq} \sqrt{ax -x^{2}}$.

On pourra comparer les suites $U(a, 0)$ et $U\left(x, \sqrt{ax -x^{2}}\right)$.

Qu'en r{\'e}sulte-t-il pour le comportement de $\varphi$ au voisinage de $a$ ?
\item[c)] En admettant que $\varphi$ est d{\'e}rivable pour $x = 1$, calculer $\varphi'(1)$.
\item[d)] Tracer la repr{\'e}sentation graphique de $\varphi$.
\end{itemize}
\end{itemize}

\medskip
\begin{center}\textbf{Quatri{\`e}me Partie}\end{center}
 
\textit{{\'E}tude la rapidit{\'e} de croissance des suites croissantes de $S$.}
\begin{itemize}
\item[1.] Soit $(U_{n})_{n{\geq}0}$ une suite quelconque appartenant {\`a} $S$.

D{\'e}montrer, pour tout $n {\geq} 0$, les in{\'e}galit{\'e}s $\dfrac{1}{2}U_{n}^{2} {\leq} U_{n+1} {\leq} U_{n} + \dfrac{1}{2} U_{n}^{2}$.

\item[2.] Soit $(U_{n})_{n{\geq}0}$ une suite appartenant {\`a} $S$ et tendant vers $+{\infty}$.

On pose $V_{n} = \dfrac{U_{n}}{2}$ et $z_{n} = 2^{-n} \ln{[V_{n}]}$ o{\`u} $\ln$ d{\'e}signe le logarithme n{\'e}p{\'e}rien.
\begin{itemize}
\item[a)] {\'E}tablir que la suite $(z_{n})$ tend vers une limite $L$ (on se servira de la s{\'e}rie de terme g{\'e}n{\'e}ral $z_{n+1} - z_{n}$).
Cette limite d{\'e}pend de $U_{0}$ et $U_{1}$ : on ne cherchera pas {\`a} l'{\'e}valuer.
\item[b)] Les hypoth{\`e}ses restant les m{\^e}mes, {\'e}tablir la double in{\'e}galit{\'e} :
\begin{center}
$L - \dfrac{1}{2^{n}V_{n}} < z_{n} < L$ pour $n$ assez grand.
\end{center}
En d{\'e}duire un {\'e}quivalent de $U_{n}$ lorsque $n$ tend vers $+{\infty}$ (on posera $e^{L} = M$).

Que peut-on dire de la diff{\'e}rence entre $U_{n}$ et cet {\'e}quivalent ?
\end{itemize}

\item[3.] On prend $U_{0} = 2$, $U_{1} = 2$.
D{\'e}duire de ce qui pr{\'e}c{\`e}de une valeur approch{\'e}e de $L$ {\`a} $10^{-6}$ pr{\`e}s.
Quel est le nombre de chiffres dans l'{\'e}criture d{\'e}cimale de $U_{20}$ ?

\item On consid{\`e}re ici une suite $(U_{n})_{n{\geq}0}$ appartenant {\`a} $S$, non constante et tendant vers z{\'e}ro. {\'E}tablir qu'{\`a} partir d'un certain rang, on a :
$$U_{n+1} {\leq} U_{n-1}^{2}.$$

En d{\'e}duire l'existence de deux constantes $A$ et $B$ ($A > 0$ et $B > 1$) telles que, pour tout $n$, on ait $U_{n} {\leq} A . B^{-2^{n/2}}$.
\end{itemize}

\medskip
\begin{center}*** FIN ***\end{center}

\end{document}
