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\begin{document}




%Num{\'e}rotation
\renewcommand{\labelenumi}{\arabic{enumi}. }
\renewcommand{\labelenumii}{\textit{\alph{enumii}.} }


%Macros
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\renewcommand{\leq}{\,\leqslant\,}
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E.N.S. d e LYON

Option Math - Math 1

\textbf{{\Large PREMI{\`E}RE COMPOSITION DE MATH{\'E}MATIQUES}} \hfill
\textsc{Dur{\'e}e :} 4 heures

\bigskip
Dans tout le probl{\`e}me, $p$ d{\'e}signe un nombre entier premier et $\F_{p}$ le corps $\Z/p\Z$ des entiers modulo $p$.

On propose ici une {\'e}tude des polyn{\^o}mes irr{\'e}ductibles modulo $p$, c'est-{\`a}-dire {\`a} coefficients dans $\F_{p}$.

On montre, en particulier, que pour tout nombre premier $p$ et tout nombre entier $n$, il existe un polyn{\^o}me irr{\'e}ductible unitaire sur $\F_{p}$ de degr{\'e} $n$ \textit{sans qu'on sache fournir explicitement un tel polyn{\^o}me}.
On {\'e}tudie {\'e}galement une formule d'inversion de \NomPropre{M{\"o}bius} qui permet de d{\'e}nombrer l'ensemble de ces polyn{\^o}mes.

\begin{center}PARTIE I : Calculs en caract{\'e}ristique $p$\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Question I.1
Montrer que $\binom{p}{i} \egmodulo{p}{0}$ pour $0 < i < p$ o{\`u} $\binom{p}{i}$ d{\'e}signe le coefficient binomial, coefficient de $X^{i}$ dans le d{\'e}veloppement du bin{\^o}me $(X+1)^{p}$.

\item %Question I.2
Soit $K$ un corps commutatif contenant le corps $\F_{p}$ ; d{\'e}duire de la question pr{\'e}c{\'e}dente que $(x+y)^{p} = x^{p} + y^{p}$ pour $x, y \in�K$ puis que $R\left(x^{p^{n}}\right) = R(x)^{p^{n}}$ pour tout $x \in K$, pour tout $n \in \N$ et tout polyn{\^o}me $R$ \textit{{\`a} coefficients dans $\F_{p}$}.
\end{enumerate}


\begin{center}PARTIE II : L'anneau-quotient $k[X]/(Q)$ \end{center}

Dans cette partie, $k$ d{\'e}signe un corps commutatif quelconque. $Q$ un polyn{\^o}me {\`a} coefficients dans $k$, de degr{\'e} ${\geq} 1$, et $(Q)$ l'id{\'e}al de $k[X]$ engendr{\'e} par $Q$.

On d{\'e}finit une relation d'{\'e}quivalence $\RR$ sur $k[X]$ par 
$R \mathop{\RR} S \quad \mathop{=}^{def}\limits \quad R - S \in (Q)$ ; on note $A = k[X] / (Q)$ l'ensemble des classes d'{\'e}quivalence modulo $\RR$ et $\classe{R}$ la classe de $R \in k[X]$ ($\classe{R} \in A$).

\begin{enumerate}
\item %Question II.1
\begin{enumerate}
\item %II.1.a
V{\'e}rifier (rapidement) que les lois suivantes sont bien d{\'e}finies et conf{\`e}rent {\`a} $A = k[X]/(Q)$ une structure d'alg{\`e}bre sur $k$, commutative et unitaire :

\hfill$\classe{R} + \classe{S} = \classe{R+S}$ ;\hfill $\classe{R} \times \classe{S} = \classe{R \times S}$ ;\hfill 
$\lambda \classe{R} = \classe{\lambda R}$ \hfill et \hfill $(R, S \in k[X]$, $\lambda \in k$) \hfill

V{\'e}rifier {\'e}galement que l'application $\lambda \in k \mapsto \classe{\lambda} \in�A$ est un morphisme injectif qui permet d'identifier le corps $k$ {\`a} un sous-anneau de $A$.

\item %II.1.b
Montrer que tout {\'e}l{\'e}ment de $A$ s'{\'e}crit $R(\classe{X})$ o{\`u} $R$ est un polyn{\^o}me \textit{{\`a} coefficients dans $k$}.

\item %II.1.c
Expliciter une base de $A$ en tant qu'espace vectoriel sur $k$ ; quelle est la dimension de cet espace vectoriel ?
\end{enumerate}

\item %Question II.2
\begin{enumerate}
\item %II.2.a
Caract{\'e}riser les {\'e}l{\'e}ments $R \in�k[X]$ tels que $\classe{R} \in A$ soit inversible dans $A$.
\item %II.2.b
En d{\'e}duire une condition n{\'e}cessaire et suffisante, portant sur le polyn{\^o}me $Q$, pour que $A = k[X]/(Q)$ soit un corps.
{\`A} titre d'exemple, quels sont les corps parmi $\F_{2}[X]/\left(X^{2}+X+1\right)$, $\F_{11}[X]/\left(X^{2}+1\right)$, $\F_{13}[X]/\left(X^{2}+1\right)$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}PARTIE III : Les facteurs irr{\'e}ductibles de $X^{p^{n}} - X$\end{center}

Dans cette partie, $Q$ d{\'e}signe un polyn{\^o}me \textit{irr{\'e}ductible} de $\F_{p}[X]$ de degr{\'e} $d$ ; on note $K$ le corps $\F_{p}[X]/(Q)$ et $\classe{X}$ la classe de $X$ dans ce quotient.
\begin{enumerate}
\item %Question III.1
Quel est l'ordre du groupe multiplicatif $K^{*} = K \setminus \set{0}$ ? En d{\'e}duire que $y^{p^{d}-1} = 1$, $\forall y \in K^{*}$.

\item %Question III.2
On suppose, dans cette question que $d = \deg{Q}$ divise $n$ ; d{\'e}duire de la question pr{\'e}c{\'e}dente que $\classe{X}^{p^{n}} = \classe{X}$ puis que $Q$ divise $X^{p^{n}} - X$.

\item %Question III.3.
On suppose, dans cette question, que $Q$ divise $X^{p^{n}} - X$.
\begin{enumerate}
\item %III.3.a
Montrer que $\classe{X}^{p^{n}} = \classe{X}$ puis que $y^{p^{n}} = y$, $\forall y \in�K$.
\item %III.3.b.
Soit $r$ le reste dans la division euclidienne de $n$ par $d$ ; montrer que : $y^{p^{r}-1} = 1$, $\forall y \in K^{*}$.
\item %III.3.c.
En d{\'e}duire que le polyn{\^o}me $Y^{p^{r}-1} - 1$ est le polyn{\^o}me nul puis que $d = \deg{Q}$ divise $n$.
\end{enumerate}

\item %Question III.4.
Montrer que le polyn{\^o}me $X^{p^{n}}-X$ est sans facteur carr{\'e} puis que : 
$X^{p^{n}} - X = \produit{d \divise n}{}{\produit{Q \in K_{p}^{d}}{}{Q}}$,
$K_{p}^{d}$ d{\'e}signant l'ensemble des polyn{\^o}mes irr{\'e}ductibles unitaires de degr{\'e} $d$ sur $\F_{p}$.
\end{enumerate}

\begin{center}PARTIE IV : D{\'e}nombrement des polyn{\^o}mes irr{\'e}ductibles\end{center}

On d{\'e}signe, dans cette partie par $I_{p}^{n}$ le nombre de polyn{\^o}mes \textit{irr{\'e}ductibles unitaires} de degr{\'e} $n$ sur $\F_{p}$.
\begin{enumerate}
\item %Question IV.1.
En utilisant le r{\'e}sultat de la question III.4., montrer que : \quad (*) $p^{n} = \somme{d \divise n}{}{d I_{p}^{d}}$.

\item %Question IV.2.
D{\'e}duire de la question pr{\'e}c{\'e}dente que $p^{d} {\geq} d I_{p}^{d}$, puis que $I_{p}^{n} {\geq} 1$, autrement dit qu'il existe au moins un polyn{\^o}me irr{\'e}ductible modulo $p$ en tout degr{\'e}.
\item %Question IV.3.
Donner les valeurs de $I_{p}^{1}$ et de $I_{p}^{n}$ pour $n$ premier.
Montrer que la formule (*) ci-dessus permet de calculer $I_{p}^{n}$ par une formule r{\'e}currente en $n$.

\item %Question IV.4.
On d{\'e}sire, dans cette question, retrouver directement la valeur de $I_{p}^{2}$ puis  {\og}expliciter{\fg} les $I_{p}^{2}$ trin{\^o}mes unitaires irr{\'e}ductibles sur $\F_{p}$.
\begin{enumerate}
\item %IV.4.a.
Donner un argument autre que celui fourni par la relation (*) permettant de calculer $I_{p}^{2}$. Expliciter les $I_{2}^{2}$ polyn{\^o}mes unitaires irr{\'e}ductibles sur $\F_{2}$.

On suppose maintenant $p {\neq}�2$.

\item %IV.4.b.
Montrer que l'ensemble des carr{\'e}s de $\F_{p}^{*}$ est un sous-groupe de $\F_{p}^{*}$ contenant exactement $(p - 1) /2$ {\'e}l{\'e}ments.

\item %IV.4.c 
En d{\'e}duire la forme des $I_{p}^{2}$ trin{\^o}mes unitaires irr{\'e}ductibles de $\F_{p}[X]$ puis de nouveau la valeur de $I_{p}^{2}$.

{\`A} titre d'exemple, on explicitera les $I_{5}^{2}$ trin{\^o}mes unitaires irr{\'e}ductibles de $\F_{5}[X]$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}PARTIE V : La formule d'inversion de M{\"o}bius\end{center}

Soit une {\'e}galit{\'e} : 
\quad  (**) \quad $f(n) = \somme{d \divise n}{}{g(d)}$, $n {\geq} 1$

o{\`u} $f$ et $g$ sont deux fonctions de $\N^{*}$ dans $\C$ ; on d{\'e}sire exprimer $g$ en fonction de $f$. Ce r{\'e}sultat sera appliqu{\'e} au calcul de $I_{p}^{n}$.

On d{\'e}signe par $\mathfrak{F}$ l'ensemble de toutes les fonctions de $\N^{*}$ dans $\C$, muni de l'addition ordinaire des fonctions et du produit \textit{arithm{\'e}tique} d{\'e}fini par :

\centerline{$(f \star h)(n) = \somme{d \divise n}{}{f(d) h\left(\dfrac{n}{d}\right)}$, $n {\geq} 1$.}

\begin{enumerate}
\item %Question V.1.
V{\'e}rifier que $\mathfrak{F}$ est un anneau commutatif et unitaire; quel est son {\'e}l{\'e}ment unit{\'e}, que l'on notera $\chi$ ?

\item %Question V.2.
Montrer que $f \in \mathfrak{F}$ est inversible dans $\mathfrak{F}$ si et seulement si $f(1) {\neq}�0$.

\item %Question V.3.
On d{\'e}finit la fonction $\mu$ de M{\"o}bius par :

\centerline{$\systeme{\mu(1) = 1 \\
\mu(p_{1}p_{2}{\dots}p_{k}) = (-1)^{k} \mbox{ si } p_{1}, p_{2}, {\dots}, p_{k} \mbox{ sont des premiers \textit{distincts}}\\
\mu(n) = 0 \mbox{ sinon (c'est-{\`a}-dire si $n$ est divisible par un carr{\'e}).}}$}

et par $cst_{1}$ la fonction de $\N^{*}$ dans $\C$ constamment {\'e}gale {\`a} $1$.
\begin{enumerate}
\item %V.3.a.
Calculer $\mu \star cst_{1}$.
\item %V.3.b.
Soient $f$ et $g$ dans $\mathfrak{F}$, li{\'e}es par une {\'e}galit{\'e} (**) ; d{\'e}duire de ce qui pr{\'e}c{\`e}de qu'on peut exprimer $g$ en fonction de $f$ par :

\centerline{$g(n) = \somme{d \divise n}{}{\mu(d) f\left(\dfrac{n}{d}\right)}$.}
\end{enumerate}

\item %Question V.4.
En d{\'e}duire une formule exprimant $I_{n}^{p}$.
\end{enumerate}

\begin{center}PARTIE VI : De nombreux polyn{\^o}mes {\dots} mais un seul corps\end{center}

Dans cette partie, on fixe un nombre entier $n$ et on s'int{\'e}resse aux corps \textit{commutatifs} {\`a} $p^{n}$ {\'e}l{\'e}ments ; on souhaite d{\'e}montrer que deux tels corps sont isomorphes.

\begin{enumerate}
\item %Question VI.1.
Montrer l'existence d'un corps commutatif ayant $p^{n}$ {\'e}l{\'e}ments et pr{\'e}ciser sa construction.

On d{\'e}signe maintenant par $K'$ un (autre) corps commutatif {\og}abstrait{\fg} {\`a} $p^{n}$ {\'e}l{\'e}ments.
\item %Question VI.2.
\begin{enumerate}
\item %VI.2.a.
En utilisant le noyau de l'application de $\Z \rightarrow K'$ qui {\`a} $m \in \Z$ associe $m \times 1$ ($1$ est l'{\'e}l{\'e}ment unit{\'e} de $K'$), montrer l'existence d'un entier \textit{premier} $q$ tel que $qy = 0$ pour tout $y \in K'$.

\item %VI.2.b.
Montrer que $p = q$.

\item %VI.2.c.
En d{\'e}duire l'existence et l'unicit{\'e} d'un isomorphisme de corps $\sigma$ du corps $\F_{p}$ sur un sous-corps $\sigma(\F_{p})$ de $K'$.

Si Q = $\somme{i}{}{\lambda_{i} X^{i}}$ est un polyn{\^o}me {\`a} coefficients dans $\F_{p}$, on note $Q^{\sigma}$ le polyn{\^o}me $\somme{i}{}{\sigma(\lambda_{i}) X^{i}}$ {\`a} coefficients dans $\sigma(\F_{p}) \subset K'$.
\end{enumerate}

\item %Question VI.3.
Soit $y \in K'$ ; v{\'e}rifier que l'application $eval_{y}$ de $F_{p}[X]$ dans $K'$ d{\'e}finie par :

\centerline{$eval_{y}(Q) = Q^{\sigma}(y)$, $Q \in \F_{p}[X]$,}

est un morphisme d'anneaux.

\item %Question VI.4.
On fixe un polyn{\^o}me $P \in \F_{p}[X]$ irr{\'e}ductible de degr{\'e} $n$ auquel on associe le corps {\og}concret{\fg} $K = \F_{p}[X]/(P)$ ; montrer que le polyn{\^o}me $P^{\sigma}$ admet une racine dans $K'$.

\item %Question VI.5.
En d{\'e}duire l'existence d'un isomorphisme du corps $K$ sur le corps $K'$.
\end{enumerate}

\begin{center}$\bullet \quad \bullet$

$\bullet$\end{center}
\end{document}
