% Navale 1989, \'enonc\'e Maths-1

\input pb.mac

\line{\bf \'ECOLE NAVALE\hfil\bfsl Premi\`ere composition de math\'ematiques}
\line{\bf Concours 1989\hfil\rm Dur\'ee : 3 heures}
\sv
\centerline{\it \'Enonc\'e saisi par Michel Quercia ({\sltt michel.quercia\char64prepas.org})
d'apr\`es le texte original.}\sv
{\it Les deux parties peuvent \^etre trait\'ees ind\'ependamment.}

\partie{I}{PARTIE I}

Soit~$(a_n)_{n\ge 0}$ une suite de nombres r\'eels. On note $s_n =
a_0+\dots+a_n$ les sommes partielles de la s\'erie de terme g\'en\'eral~$a_n$.

\qq Comment exprime-t-on la convergence de la s\'erie $\dsum_{n=0}^\infty a_n$
en utilisant la suite~$(s_n)_{n\ge 0}$~?

\sv
On dit que la s\'erie de terme g\'en\'eral $a_n$ converge en moyenne (ou au sens de
C\'esaro) si la suite $(S_p)_{p\ge 1}$ converge, o\`u $S_p$ est d\'efini par~:
$S_p = \dfrac1p\dsum_{n=0}^{p-1}s_n$.
La limite est appel\'ee somme au sens de C\'esaro de la s\'erie de terme
g\'en\'eral~$a_n$.

\sv\qq\sq Montrer que la s\'erie : $u=1-1+1-1+\dots$ de terme g\'en\'eral $u_n=(-1)^n$
converge en moyenne et calculer sa somme au sens de C\'esaro.

\sq M\^emes questions pour la s\'erie : $v=1+0+0-1+0+1+0+0-1+0+\dots$ de terme
g\'en\'eral $v_n$ tel que~:
$$v_n = 1 \text{ si }n\equiv 0\modulo 5,\qquad
  v_n =-1 \text{ si }n\equiv 3\modulo 5,\qquad
  v_n = 0 \text{ sinon.}$$

\sv\qq On associe \`a~$u$ et~$v$ les s\'eries enti\`eres $u(x) = \dsum_{n\ge
  0}u_nx^n$ et $v(x) = \dsum_{n\ge 0}v_nx^n$, qui convergent pour~$|x|<1$.
Calculer explicitement $u(x)$ et $v(x)$ pour~$|x|<1$.
On remarquera que $v(x)$ s'\'ecrit $v(x) = (1-x^3).w(x)$ o\`u $w(x)$ est une s\'erie
enti\`ere que l'on calculera.

\sv\qq Calculer $\dlim_{x\to1} u(x)$ et $\dlim_{x\to1} v(x)$ o\`u la
variable~$x$ tend vers~$1$ par valeurs inf\'erieures~; justifier soigneusement
le calcul dans le cas de~$v(x)$.
Comparez les r\'esultats obtenus \`a ceux de la question~{\bf 2} (ceci est
conforme \`a un th\'eor\`eme g\'en\'eral d\^u \`a Frobenius).

\partie{}{PARTIE II}

On consid\`ere dans cette partie des fonctions r\'eelles d'une variable
r\'eelle. Lorsque $I\subseteq \R$ est un intervalle (fini ou infini), on note
$\c^k(I) = \c^k(I,\R)$ l'espace des fonctions $k$ fois contin\^ument d\'erivables
sur~$I$ ($k\in\N\cup\{\infty\}$). On note~$f^{(n)}$ $(n\le k$) la d\'eriv\'ee
$n$-\`eme de la fonction~$f$.
\sv
Si $I={[-a,a]}$ avec $a>0$, ou si $I=\R$, et si $(f_n)_{n\ge 0}$ est une suite
de fonctions dans~$\c^\infty(I)$, on dira que $f\in\c^\infty(I)$ est la limite
asymptotique des~$f_n$ en~$0$ si~:
$$\forall\ n\ge 0,\ \dlim_{x\to 0}\bigl|x^{-n}(f(x)-f_n(x))\bigr| = 0.$$

\qq Montrer qu'une fonction $f\in\c^\infty(I)$ est toujours la limite
asymptotique des sommes partielles de sa s\'erie de Taylor (ceci est une
\souligne{question de cours}~; on demande seulement l'\'enonc\'e pr\'ecis de la
version de la formule de Taylor qui permet d'affirmer ce qui pr\'ec\`ede).

\sv On se propose de d\'emontrer le th\'eor\`eme suivant, d\^u \`a \'Emile Borel~:
\sv
{\it Th\'eor\`eme de r\'ealisation : pour toute suite~$(a_n)_{n\ge 0}$ de nombres
r\'eels, il existe $f\in\c^\infty(\R)$ telle que~$f^{(n)}(0) = a_n$ pour
tout~$n\ge 0$.}
\sv
On se fixe donc une suite~$(a_n)_{n\ge 0}$.

\sv\qq Si~$f$ existe, quelle est sa s\'erie de Taylor au point $x=0$~?
Donner une condition suffisante portant sur la suite~$(a_n)_{n\ge 0}$ pour que
cette s\'erie converge lorsque $0<|x|<r$. Cela suffirait-il \`a d\'emontrer le
th\'eor\`eme~?
\sv
Cette condition ne sera pas suppos\'ee v\'erifi\'ee dans la suite.
\sv\goodbreak
On dit que $f\in\c^\infty(I)$ est plate au point $x_0\in I$ si
$f^{(n)}(x_0)=0$ pour tout~$n\ge 0$.

\sv\qq Montrer que la fonction $f$ d\'efinie sur~$\R$ par~: $f(x) = e^{-1/x^2}$ si
$x\ne 0$ et $f(0) = 0$, est de classe~$\c^\infty$ et est plate en $x=0$.

\sv\qq Dessiner l'allure du graphe de la fonction~$g(x) = f(x-1).f(x+1)$ (on
ne demande pas une \'etude pr\'ecise de la fonction~$g$~; on notera seulement sur
le graphique quelques valeurs ou propri\'et\'es importantes).

\sv\qq Construire une fonction~$\varphi\in\c^\infty(\R)$ telle que~:
$$\bullet\ \forall\ x\in\R,\ \varphi(x)\ge 0,\quad
  \bullet\ \forall\ x\in\R,\ \varphi(x)=\varphi(-x),\quad
  \bullet\ \varphi(x) = 0 \text{ si } |x|\ge 1,\quad
  \bullet\ \dint_{-\infty}^{\infty}\varphi(x)\,\d x = 1.$$
On supposera construite une telle fonction~; son expression explicite
  n'intervient pas dans la suite.

\sv\qq Pour~$c>1$ on note $\chi_c(x)$ la fonction caract\'eristique de
  l'intervalle (ouvert) $]{-c},c[$~; autrement dit~: $\chi_c(x) = 1$ si $|x|<c$
  et $\chi_c(x) = 0$ si $|x|\ge c$.

On pose~: $\psi_c(x) = \dint_{-\infty}^{\infty}\chi_c(x-y)\varphi(y)\,\d y$.

Montrer que $\psi_c\in\c^\infty(\R)$ et que $\psi_c(x) = 1$ si $|x|\le c-1$ et
  $\psi_c(x) = 0$ si $|x|\ge c+1$.
Dessiner l'allure du graphe de la fonction~$\psi_c$.

\sv\qq On pose $\alpha_\varepsilon(x) = \psi_2(3x/\varepsilon)$
  ($0<\varepsilon<1$).

Montrer qu'il existe des constantes $c_n\ge 0$ telles que, pour~$n\ge 0$~:
$\sup\{|\alpha_\varepsilon^{(n)}(x)|,\ x\in\R\}\le c_n/\varepsilon^n$.

Pour quelles valeurs de~$x$ a-t-on $\alpha_\varepsilon(x) = 1$~? $\alpha_\varepsilon(x) = 0$~? 

\sv On note $\|\ \|_k$ la norme associ\'ee \`a l'espace $\c^k(\R)$~:
si $f\in\c^k(\R)$ alors $\|f\|_k = \sup\limits_{0\le j\le
k}\,\sup\limits_{x\in\R}|f^{(j)}(x)|$.
 
\sv\qq D\'eduire de la question pr\'ec\'edente que~: $\forall\ n\ge 0$,
$\dlim_{\varepsilon\to0}\|\alpha_\varepsilon(x).x^{n+1}\|_n = 0$.

On utilisera pour ce faire la formule de Leibniz de d\'erivation du produit de
deux fonctions.

\sv
On choisit une suite d\'ecroissante $(\varepsilon_n)_{n\ge 0}$
($\varepsilon_n>\varepsilon_{n+1}>0$) telle que~:
$$\|\alpha_{\varepsilon_n}(x).x^{n+1}\|_n \le \dfrac1{|a_{n+1}|}\text{ si } |a_{n+1}|\ge 1,\quad
  \|\alpha_{\varepsilon_n}(x).x^{n+1}\|_n \le 1                 \text{ si } |a_{n+1}|\le 1$$
o\`u $(a_n)_{n\ge 0}$ est la suite consid\'er\'ee dans l'\'enonc\'e du th\'eor\`eme.
On pose $f(x) = a_0 + \dsum_{n=1}^\infty\alpha_{\varepsilon_{n-1}}(x).a_n.\dfrac{x^n}{n!}$.

\sv\qq Justifier cette \'ecriture en montrant que la s\'erie qui appara\^{\i}t au
  second membre converge uniform\'ement sur~$\R$.

\sv
On d\'ecompose $f$ sous la forme~: $\forall\ x\in\R,\ f(x) = f_p(x) + r_p(x)$ o\`u
$p>0$ et $f_p(x) = a_0 + \dsum_{n=1}^p\alpha_{\varepsilon_{n-1}}(x).a_n.\dfrac{x^n}{n!}$.

\sv\qq Que vaut $f_p(x)$ pour $|x|\le \varepsilon_p/3$~?

\sv\qq Montrer, en utilisant~{\bf 8} et le choix de la suite
$(\varepsilon_n)_{n\ge 0}$ que $r_p\in\c^p(\R)$ et que $r_p^{(k)}(0) = 0$ pour
$k=0,1,\dots,p$.

En d\'eduire que $f\in\c^p(\R)$ pour tout~$p\in\N$ et que $f$ permet de
d\'emontrer le th\'eor\`eme de r\'ealisation de Borel.
\SV
\centerline{\vrule width 3cm height 0.4pt}
\bye
