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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% nouvelles commandes maths
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\def\K{\mbox{I\hspace{-.15em}K}}
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\def\dsum{\sum\limits}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% abr\'eviations
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\dse{d\'eveloppable en  s\'erie enti\`ere }
\def\DSE{d\'eveloppement en  s\'erie enti\`ere }
\def\DSF{d\'eveloppement en  s\'erie de Fourier }
\def\ED{ \'equation diff\'erentielle }
\def\fct{ fonction }
\def\fcts{ fonctions }
\def\Mq{Montrer que }
\def\mq{montrer que }
\def\RdC{rayon de convergence }
\def\SE{ s\'erie enti\`ere }
\def\ssi{ si et seulement si }
\def\sev{sous-espace vectoriel }
\def\ev{espace vectoriel }
\def\evs{espaces vectoriels }
\def\sevs{sous-espaces vectoriels }
\def\evn{espace vectoriel norm\'e }
\def\d{\mathrm{d}}
\def\ie{\leqslant }
\def\se{\geqslant }
\def\nl{\newline}
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% mise en page
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% en t\^ete et pied de page
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\rhead{ \small page \thepage}\chead{} \lhead{}
\cfoot{}\pagestyle{fancy}

%d\'ebut-------------------------------------------------------
\begin{document}


\section*{\centering{ENSI M 1989 Maths 2}}

 La base canonique de $\R^p$ (p entier
$\geq 2$) est not\'ee $(e_l,e_2, ...,e_p)$. Tout endomorphisme de
$\R^p$ est identifi\'e \`a sa matrice dans la base canonique de $\R^p$
et $M_p$ d\'esigne l'alg\`ebre des matrices carr\'ees d'ordre p \`a
coefficients r\'eels.

On d\'esigne par S l'ensemble des matrices $H = (H_{ij})$ de Mp dont
tous les \'el\'ements $H_{ij}$, sont positifs  ou nuls et v\'erifient
$\forall i\in \{1,2,..,p\}$, $\sum\limits_{j=1}^pH_{ij} = 1$. On
note $I$ la matrice identit\'e, 0 la matrice nulle  de $M_p$ et U la
matrice de $M_p$ dont tous les coefficients sont \'egaux \`a 1 enfin E
le sous-espacce vectoriel  de $M_p$ engendr\'e par I et U.

\subsection*{I ETUDE ALGEBRIQUE DE E}

\begin{enumerate}
%--1--
\item
\begin{enumerate}
%--1a-----
\item Montrer que $(I,U)$ est une base de E.

%--1b)--
\item Pour $n \in \N$, calculer $U^n$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
%--2a-----
\item Montrer que E est une sous-alg\`ebre de l'alg\`ebre $M_p$.
%--2b--
\item  Soit $A = \alpha I+\beta U$  un \'el\'ement de E. Pour $n \in
\N$, d\'eterminer les composantes de $A^n$ dans la base $(I,U)$ en
fonction de $\alpha,\beta$ et $n$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
%--3a-----
\item Soit A un \'el\'ement de E inversible dans $M_p$ et $\varphi$
l'endomorphisme de E qui \`a toute matrice M de E associe AM.
Prouvcr que $\varphi$  est un automorphisme et en d\'eduire que
$A^{-1}$ est \'el\'ement de E.
%--3b--
\item  Pour $A = \alpha I+\beta U$ donner les conditions portant
sur $\alpha$ et $\beta$ pour que A soit inversible. D\'eterminer
alors les composantes de $A^{-1}$  dans la base $(I,U)$
%--3c--
\item  En d\'eduire, pour $n \in \Z$ l'expression de $A^n$ dans
cette base .
\end{enumerate}
\item soit $A = \alpha I+\beta U$ un \'el\'ement de E o\`u $\beta\neq 0$
\begin{enumerate}
%--4a-----
\item  D\'eterminer un polyn\^ome P \`a coefficients r\'eels de la forme
$P = X^2 + \gamma X + \delta$ tel que $P(A) = 0$. Prouver
l'unicit\'e d'un tel polyn\^ome
%--4b----
\item  Soit Q un polyn\^ome \`a coefficients r\'eels, montrer que $Q(A)
= 0$ si et seulement si $P$ divise $Q$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

 \subsection*{II VALEURS ET VECTEURS PROPRES D'UN ELEMENT DE E}

 Dans toute la suite du probl\`eme, on posera :
 $\Pi_0=\dfrac{1}{p}U$ et $\Pi_1=I-\Pi_0$, $F_0=Ker\Pi_0$ et $F_1=Ker\Pi_1$
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
%--1a--
\item  Montrer que $\Pi_0$ et $\Pi_1$ sont des projecteurs ;
pr\'eciser leurs sous-espaces propres.
%--1b--
\item  Donner les images de $\Pi_0$ et de $\Pi_1$. Expliciter une
base de $F_0$ et une base de $F_1$ en fonction des $e_j$ et du
vecteur $f =\dfrac{1}{p}(e_1+e_2+...+e_p)$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
%--2a--
\item  D\'eterminer les sous-espaces propres de U et exprimer U en
fonction de $\Pi_0$ et $\Pi_1$.
%--2b---
\item  Prouver que ($\Pi_0, \Pi_1$) est une base de E.
\end{enumerate}
\item Soit $A = \alpha I + \beta U$ un \'el\'ement de E
\begin{enumerate}
%--3a--
\item  D\'eterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres
de $A$ ainsi que les composantes de A dans la base ($\Pi_0,
\Pi_1$)
%--3b--
\item Pour $n \in \N$, donner les composantes de $A^n$ dans la
base ($\Pi_0, \Pi_1$).
\end{enumerate}
\item Soit $A = \alpha I + \beta U$ un \'el\'ement de E o\`u $\beta \neq
0$
\begin{enumerate}
%--4a--
\item   D\'eterminer les conditions sur $\alpha$ et $\beta$ pour
avoir : $A \in S$. Prouver qu'alors $\alpha$ appartient \`a
$[-1,1[$.
%---4b--
\item  Si de plus $\alpha\neq -1$, en d\'eduire la limite de la
suite $(A^n)$.

\item Si $\alpha = -1$ et $A \in S$, montrer que n\'ecessairement
$\beta = 1$ et $p = 2$. Etudier alors le comportement de $A^n$
lorsque n tend vers l'infini.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{III APPLICATION A LA RESOLUTION DE SYSTEMES
DIFFERENTIELS}

Soit $A = \alpha I + \beta U$ un \'el\'ement donn\'e de E. On se propose
d'\'etudier les solutions sur $\R$ du syst\`eme diff\'erentiel : $X'=AX$
o\`u $t\rightarrow X(t)$ est une application de classe $C^1$ sur
$\R$ \`a valeurs dans $\R^p$
\begin{enumerate}
%--1--
 \item
 Soit X une application de $\R$ dans $\R^p$. Pour tout nombre r\'eel t, on \'ecrit
 $X(t)$ sous la forme unique $ X(t) = Y(t) + Z(t)$ o\`u $Y(t)$ et
$Z(t)$ appartiennent respectivement \`a $F_0$ et \`a $F_1$. On
admettra que l'application X est de classe $C^1$ sur $\R$ si et
seulement si Y et Z le sont.

 Montrer que X est solution du syst\`eme diff\'erentiel  $X' = AX$
 si et seulement si les applications Y et Z sont solutions de
 syst\`emes diff\'erentiels que l'on pr\'ecisera.
%--2)--
\item
 Pour tout \'el\'ement $a$ de $\R^p$, on note $X_a$ l'unique solution de $X' =
AX$ telle que $X(0) = a$.
\begin{enumerate}
%--2a--
\item On \'ecrit $a$ sous la forme $a = b + c$ o\`u $b$ et $c$
appartiennent respectivement \`a  $F_0$ et \`a $F_1$. Calculer $Y_b$
et $Z_c$, et en d\'eduire $X_a$
%--2b--
\item Un nombre r\'eel t \'etant fix\'e , v\'erifier que l'application
$a\rightarrow X_a(t)$
  est un endomorphisme de $\R^ p$  que l'on note $R(t)$. Ainsi
$X_a(t) = R(t)a$. Prouver que $R(t)$ est un \'el\'ement de E et
exprimer ses composantes dans la base ($\Pi_0, \Pi_1$)) puis dans
la base $(I,U)$.
\end{enumerate}

%--3--
\item Application num\'erique :
  A matrice de S, p = 3, $\alpha=\dfrac{2}{3}$,  $a = X(0) =\begin{pmatrix}
  1\cr
  -1\cr
  2\cr
  \end{pmatrix} $

 Supposons $t=2$, calculer le vecteur $X(2)$, l'erreur sur la valeur
absolue des composantes \'etant inf\'erieure \`a $10^{-3}$
\end{enumerate}

\subsection*{IV ETUDE DES ELEMENTS DE S}

 \begin{enumerate}
 \item

 \begin{enumerate}
%--1a--
 \item  Montrer que H admet 1
pour valeur propre
%--1b--
\item Montrer que toute valeur propre de H est de module au plus
\'egal \`a 1.
 \end{enumerate}

 \item
 \begin{enumerate}
%--2a--
 \item Soit $\lambda$ unc valeur propre de H,
montrer qu'il existe un entier k ($1\ie k\ie p$) tel que
:$|\lambda-H_{kk}|\ie 1-H_{kk}$
%--2b--
\item On suppose alors $\forall i \in \{1,2,..,p\},H_{ii}>0$, que
 peut-on dire des valeurs propres de H autres
que 1?
%--2c--
\item En d\'eduire alors qu'il existe un disque ferm\'e
 centr\'e sur un $H_{ii}$ particulier qui contient toutes les valeurs propres
de la matrice H et qui est inclus strictement dans le disque ferm\'e
de centre O et de rayon 1.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}


\end{document}
