% Centrale 1990, Math II - sujet
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\def\stru{\vrule width0pt height7pt}
\def\vu{\overrightarrow{\stru u}}
\def\vv{\overrightarrow{\stru v}}
\def\vw{\overrightarrow{\stru w}}
\def\vi{\overrightarrow{\stru\imath}}
\def\vj{\overrightarrow{\stru\jmath}}
\def\vk{\overrightarrow k}
\def\vki{\overrightarrow{k_1}}
\let\th=\theta
\grostitre{Centrale 1990, Math. I}
%\nofoot
L'espace $E$ est un espace euclidien de dimension 3, rapport\'e \`a un rep\`ere orthonormal direct $R=(O,\vi,\vj,\vk)$, d'axes $Ox,Oy,Oz$. On appelle $S$ la sph\`ere de centre O et de rayon 1, $C$ le c\^one engendr\'e par les droites passant par O et faisant avec $Oz$ un angle $\frac\pi6$.

On se propose d'\'etudier des propri\'et\'es de l'ensemble des droites tangentes \`a $S$ et situ\'ees dans un plan tangent \`a $C$ (on dira qu'une droite $D$ est tangente \`a une surface s'il existe sur $D$ un point $M$ qui soit un point r\'egulier de la surface et tel que le plan tangent en $M$ contienne $D$).

Pour tout couple $(t,\th)$ de r\'eels, on pose
$$\eqalign{
\vu(t)&=\cos t\vi+\sin t\vj\\
\vv(t)&=-\sin t\vi+\cos t\vj\\
\vki(t)&=\frac12\vv(t)+\frac{\sqrt3}2\vk\\
A(t,\th)&=O+\cos\th\vu(t)+\sin\th\vki(t)\\
\vw(t,\th)&=\dpar{}{\th}A(t,\th)=-\sin\th\vu(t)+\cos\th\vki(t)
}$$
et on d\'esigne par $D_{t,\th}$ la droite passant par le point $A(t,\th)$ et de vecteur unitaire $\vw(t,\th)$. On note $(\Delta)$ l'ensemble des droites $D_{t,\th}$ o\`u $(t,\th)$ d\'ecrit $\R^2$.
Lorsqu'aucune confusion n'est \`a craindre, on note $\vu,\vv,\vki,\vw,A,D$ les objets pr\'ec\'edents, en omettant leurs variables $t$ et $\th$.

\partie % I
\question %1
Donner une \'equation cart\'esienne de $S$ dans $R$; \'etablir que $C$ est repr\'esent\'e dans $R$ par l'\'equation $z^2=3(x^2+y^2)$. D\'eterminer l'intersection $\Gamma$ de ces deux surfaces: nature, \'el\'ements remarquables.

\question %2
Dans cette question $t$ garde une valeur fix\'ee.

\sousquestion %2a
Montrer que, lorsque $\th$ varie, $D_{t,\th}$ reste dans un plan fixe $\Pi$ que l'on d\'efinira par un point et deux vecteurs.

\sousquestion %2b
Soit $\gamma_t$ le cercle intersection de $\Pi_t$ et de $S$. Pr\'eciser son centre, son rayon, son intersection avec $\Gamma$. Lorsque $\th$ varie, quelle est la courbe d\'ecrite par $A(t,\th)$ ?
Quel est le r\^ole de $D_{t,\th}$ par rapport \`a $\gamma_t$ ? Quelle est la signification du param\`etre $\th$ ?

\sousquestion %2c
Donner une \'equation de $\Pi_t$ dans $R$.

\questiona %3a
Montrer que $\Pi_t$ est tangent \`a $C$ le long d'une g\'en\'eratrice de $C$ que l'on pr\'ecisera.

\sousquestion %3b
Montrer qu'inversement tout plan tangent \`a $C$ est un plan $\Pi_t$ pour une valeur convenable de $t$.

\sousquestion %3c
Soient deux r\'eels $t,t'$. Quand a-t-on $\Pi_t=\Pi_{t'}$ ?

\sousquestion %3d
Une droite $D$ appartenant \`a $(\Delta)$ peut-elle \^etre situ\'ee dans deux plans tangents \`a $C$ distincts ?

\question %4
On fixera ici $t$ et $\th$.

\sousquestion %4a
Montrer que $D_{t,\th}$ est tangente \`a $S$ en $A$ et que, si $\th$ est non nul modulo $\pi$, elle est aussi tangente \`a $C$ en un point $B(t,\th)$ situ\'e sur la droite $(O,\vki)$, dont on pr\'ecisera la position.

\sousquestion %4b
Donner le plan tangent en $A$ \`a $S$ et, si $B$ existe, le plan tangent en $B$ \`a $C$. Quel angle font-ils ?

\question %5
Faire un croquis en perspective repr\'esentant $S,C$, leur intersection $\Gamma$ et pour un choix de $t$ et $\th$ ($\th$ non nul modulo $\pi$), le cercle $\gamma_t$, la droite $D_{t,\th}$, les points $A$ et $B$, les droites issues de $O$ et dirig\'ees respectivement par $\vu,\vv,\vki$.

\question %6
On reprend ici la notation $(\Delta)$ d\'efinie dans le pr\'eambule.

\sousquestion %6a
Montrer que toute droite appartenant \`a $(\Delta)$ est tangente \`a $S$ et situ\'ee dans un plan tangent \`a $S$.

\sousquestion %6b
Montrer qu'inversement toute droite tangente \`a $S$ et situ\'ee dans un plan tangent \`a $C$ appartient \`a $(\Delta)$.

\partie %II

\question %1
Dans cette question, on se propose d'\'etudier les isom\'etries affines $f$ de $E$ qui transforment $\Gamma=S\cap C$ en elle-m\^eme, c'est-\`a-dire telles que $f(\Gamma)=\Gamma$. Ces isom\'etries forment manifestement un sous-groupe $G$ du groupe des isom\'etries affines de $E$, ce que l'on ne demande pas de v\'erifier.

\sousquestion %1a
Montrer qu'une isom\'etrie $f$ appartient \`a $G$ \ssi elle laisse $O$ invariant et laisse la droite $Oz$ globalement invariante.

\sousquestion %1b
Montrer qu'une isom\'etrie $f$ appartient \`a $G$ \ssi $f(S)=S$ et $f(C)=C$.

\sousquestion %1c
Toute isom\'etrie $f$ de $E$ conservant $O$ est d\'efinie dans le rep\`ere $R$ par une matrice $J_f$ d'ordre (taille) 3. Quelle doit \^etre la forme de $J_f$ pour que $f$ appartienne \`a $G$ ? Donner pour chacune des matrices $J_f$ trouv\'ees une d\'efinition g\'eom\'etrique de $f$.

\sousquestion %1d
Quelles sont les r\'eflexions (sym\'etries orthogonales par rapport \`a des plans) appartenant \`a $G$ ?
Montrer qu'elles engendrent $G$.

\question %2
Soit $f$ un \'el\'ement du groupe $G$ d\'efini ci-dessus. \'Etablir que si une droite $d$ appartient \`a $(\Delta)$ alors $f(d)$ appartient aussi \`a $(\Delta)$.

\question %3
Soient $t,t',\th,\th'$ des r\'eels.

\sousquestion %3a
\`A quelle condition a-t-on $D_{t,\th}=D_{t',\th'}$ ?

\sousquestion %3b
Donner une isom\'etrie de $E$ qui transforme, pour tout $t$ et tout $\th$, $D_{t,\th}$ en $D_{t,\th+\pi}$.

\sousquestion %3c
\'Etablir que l'on passe de $D_{t,\th}$ \`a $D_{t',\th'}$ par une rotation dont on pr\'ecisera l'axe et l'angle.

\sousquestion %3d
Donner de m\^eme une isom\'etrie de $E$, ne d\'ependant que de $t$ et $t'$, qui fasse passer de $D_{t,\th}$ \`a $D_{t',\pi-\th}$. On pourra commencer par le cas $t'=t$.

\partie %III
On suppose, dans cette partie, que $t$ d\'ecrit un intervalle ouvert non vide $I$ de $\R$. Une application $\psi$ de classe $\mathcal C^1$ de $I$ dans $\R$ \'etant donn\'ee, on notera $\Sigma_\psi$ la surface engendr\'ee par $D_{t,\psi(t)}$ lorsque $t$ d\'ecrit $I$, par $L_\psi$ et $\Lambda_\psi$ les courbes d\'ecrites par les points $A$ et $B$ correspondants.

\questiona %1a
Montrer que $\Sigma_\psi$ peut \^etre d\'ecrite par le param\'etrage suivant: \`a tout $t$ de $I$ et \`a tout $\rho$ r\'eel on associe le point $M(t,\rho)$ d\'efini par $M(t,\rho)=A(t,\psi(t))+\rho\vw(t,\psi(t))$.

\sousquestion %1b
$t$ \'etant donn\'e, pour quelle valeur de $\rho$ obtient-on le point $B$ (lorsqu'il existe) ?

\sousquestion %1c
$t$ \'etant donn\'e, \`a quelle condition le point $A$ est-il un point r\'egulier de $\Sigma_\psi$ ? Montrer qu'alors $S$ et $\Sigma_\psi$ sont tangentes en $A$.

\sousquestion %1d
$t$ \'etant donn\'e, \`a quelle condition le point $B$ est-il un point r\'egulier de $\Sigma_\psi$ ? Montrer qu'alors $S$ et $\Sigma_\psi$ sont tangentes en $B$.

\question %2
On suppose dans cette seule question que $I=\R$ et que la fonction $\psi $ est constante: $\psi(t)=\mu$ pour tout $t$. La surface $\Sigma_\psi$ correspondante sera ici not\'ee $\Sigma_\mu$.

\sousquestion %2a
\'Etablir que $\Sigma_\mu$ est une surface de r\'evolution d'axe $Oz$.

\sousquestion %2b
D\'eterminer $\Sigma_{\pi/2}$ et $\Sigma_{-\pi/2}$.

\sousquestion %2c
Donner l'\'equation de $\Sigma_0$ dans le rep\`ere $R$ et pr\'eciser sa nature.

\sousquestion %2d
Quelle est la surface d\'ecrite par les droites $D_{t,\th}$ telles que le point $B(t,\th)$ n'existe pas ?

\question %3
On d\'esigne toujours par $\psi$ une application de classe $\mathcal C^1$ d'un intervalle ouvert $I$ dans $\R$. On se propose de d\'eterminer l'ensemble $\Omega$ des fonctions $\psi$ v\'erifiant la propri\'et\'e suivante: pour tout $t$ appartenant \`a $I$, le point $B$ existe et la droite $D_{t,\psi(t)}$ est tangente en $B$ \`a la courbe $\Lambda_\psi$ d\'ecrite par $B$.

\sousquestion %3a
Soit $\psi$ appartenant \`a $\Omega$. Montrer que, pour tout $t$ appartenant \`a l'intervalle $I$ de d\'efinition de $\psi$, l'on a: $(2\psi'(t)+1)\cos\psi(t)=0$.

\sousquestion %3b
On suppose encore que $\psi$ appartient \`a $\Omega$ et que, de plus, il existe $t_0$ appartenant \`a $I$ tel que $\psi'(t_0)\neq-\frac12$.
\'Etablir qu'il existe $\eps$ strictement positif tel que, pour tout $t$ v\'erifiant $|t-t_0|<\eps$, l'on ait $\cos\psi(t)=0$.
En d\'eduire que $\psi'(t_0)=0$.

\sousquestion %3c
D\'emontrer que, pour tout $\psi$ appartenant \`a $\Omega$, $\psi'$ est constante dans $I$.

\sousquestion %3d
Donner toutes les fonctions $\psi$ appartenant \`a $\Omega$.

\questiona %4a
\'Etablir que l'application $\psi_0$ qui \`a tout $t$ appartenant \`a $]0,2\pi[$ associe $-\frac t2$ est un \'el\'ement de $\Omega$.

\sousquestion %4b
Montrer que, si l'on excepte certains cas singuliers (indiquer ce qu'est alors la surface $\Sigma_\psi$), toute surface $\Sigma_\psi$ telle que $\psi$ soit \'el\'ement de $\Omega$ se d\'eduit de la surface $\Sigma_{\psi_0}$ ou d'une partie de cette surface par une isom\'etrie que l'on pr\'ecisera.

\textbf{Dans toute la suite de la partie III, on \'etudier la surface $\Sigma_{\psi_0}$ qu'on vient de d\'efinir. Au lieu de $\Sigma_{\psi_0}$, $D_{t,\psi_0(t)}$, $A(t,\psi_0(t))$, $B(t,\psi_0(t))$, $\vw(t,\psi_0(t))$, on notera $\Sigma$, $D_t$, $A(t)$, $B(t)$, $\vw(t)$; les courbes d\'ecrites par $A(t)$ et $B(t)$ seront not\'ees $L$ et $\Lambda$.}

\questiona %5a
Donner les coordonn\'ees cart\'esiennes de $A(t)$ dans le rep\`ere $R_t=(O,\vu(t),\vv(t),\vk)$ et dans le rep\`ere $R$.

\sousquestion %5b
\'Etablir que lorsque $A(t)$ est un point r\'egulier de $L$, la tangente \`a $L$ en ce point est orthogonale \`a $\Pi_t$. Que dire de l'angle de cette droite avec $Oz$ ?

\sousquestion %5c
Montrer que $L$ a un point non r\'egulier unique; le donner ainsi que sa tangente.

\sousquestion %5d
Tracer sommairement les projections de $L,S$ et $S\cap C$ sur les trois plans de coordonn\'ees de $R$; faire un croquis perspectif repr\'esentant $S,L$ et $S\cap C$.

\bye
%% Je m'arr\^ete l\`a car ensuite c'est hors programme actuel: rep\`ere de Frenet en dimension 3, plan osculateur...

\question %6
\question %7

\bye
