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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% numérotation
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\renewcommand{\labelenumi}{\theenumi )}
\renewcommand{\labelenumii}{\theenumii )}
\renewcommand{\labelenumiii}{(\theenumiii )}

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% nouvelles commandes maths
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\K{\mbox{I\hspace{-.15em}K}}
\def\R{\mbox{I\hspace{-.15em}R}}
\def\N{\mbox{I\hspace{-.15em}N}}
\def\Z{\mathbb{Z}}
\def\C{\mathbb{C}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\U{\mathbb{U}}
\def\ch{\textnormal{ch}}
\def\sh{\textnormal{sh}}
\def\th{\textnormal{th}}
\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dlim{\displaystyle\lim}
\def\dsum{\sum\limits}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% abréviations
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\dse{développable en  série entière }
\def\DSE{développement en  série entière }
\def\DSF{développement en  série de Fourier }
\def\ED{ équation différentielle }
\def\fct{ fonction }
\def\fcts{ fonctions }
\def\Mq{Montrer que }
\def\mq{montrer que }
\def\RdC{rayon de convergence }
\def\SE{ série entière }
\def\ssi{ si et seulement si }
\def\sev{sous-espace vectoriel }
\def\ev{espace vectoriel }
\def\evs{espaces vectoriels }
\def\sevs{sous-espaces vectoriels }
\def\evn{espace vectoriel normé }
\def\d{\mathrm{d}}
\def\ie{\leqslant }
\def\se{\geqslant }
\def\nl{\newline}
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% mise en page
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24pt \oddsidemargin -8mm \textwidth 180mm \textheight 250mm
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% en tête et pied de page
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\rhead{\small page \thepage}\chead{} \lhead{}
\cfoot{}\pagestyle{fancy}

%début-------------------------------------------------------
\begin{document}

\begin{center}
\large{\textbf{ESIM Maths Appliqu\'ees 1990}}\\
Acc\'{e}l\'{e}ration de convergence (m\'{e}thode de Richardson)
\end{center}

Soit $(S_{n})_{n\in \N}$, $(T_{n})_{n\in \N}$, $(C_{n})_{n\in \N}$, les suites r\'{e}elles d%
\'{e}finies par les relations de r\'{e}currence (1) suivantes~($x$
d\'{e}signe un r\'{e}el strictement sup\'{e}rieur \`{a} 1) : \nl
(1) \ \ $S_0=\dfrac12 \left(x-\dfrac1x \right)$, $C_0=\dfrac12
\left(x+\dfrac1x \right)$, $C_{n+1}=\sqrt{\dfrac{1+C_n}{2}}$,
$S_{n+1}=\dfrac{S_n}{C_{n+1}}$ et $T_n=\dfrac{S_n}{C_{n}}$
\vspace*{-2mm}
\section*{Partie I}
\vspace*{-2mm}
\begin{enumerate}
    \item On pose $\varphi =\ln x$, montrer que pour tout naturel $n$, on a
    $S_n=2^n\sh \dfrac{\varphi}{2^n}$ et $T_n=2^n\th \dfrac{\varphi}{2^n}$~;
    en d\'{e}duire que les suites $(S_n)_{n\in \N}$ et $(T_n)_{n\in \N}$ sont adjacentes et
    convergent vers $\ln x$. De plus, pour tout entier naturel
    $n$, \mq $T_n\ie \ln x\ie S_n$

    \item Donner, sous forme de tableau, les valeurs de $S_n$, $T_n$ et
    $S_n-T_n$ lorsque $n$ est \'{e}l\'{e}ment de $[0, 10]$ et que
    $x=2$
\end{enumerate}
\vspace*{-2mm}
\section*{Partie II}
\vspace*{-2mm} Dans cette partie, on consid\`{e}re les suites $
\left( \dfrac{a S_n+b T_n}{a+b}\right)_n$ et $(a,b)\in \R^2$
o\`{u} $(S_n)_{n\in \N}$ et $(T_n)_{n\in \N}$ sont d\'{e}finies
par les relations (1)

\begin{enumerate}
    \item Montrer que les suites $(W_n)_{n\in \N}$ telles que $a+b$ non nul et
    $Wn=\dfrac{aS_n+b T_n}{a+b}$ sont convergentes vers $\ln x$ et donner un
    \'{e}quivalent de $\ln x- W_n$. Montrer qu'il existe un choix de $a$ et de $b$,
    un r\'{e}el $\lambda$ et une suite not\'{e}e $u_n$ correspondant \`{a} ce choix
    tels que $u_n-\ln x\sim \dfrac{\lambda}{16^n}$, pr\'{e}ciser $a$, $b$, et
    $u_n$
    \item Donner sous forme de tableau les valeurs de $S_n$, $T_n$ et $u_n$ pour
    $n$ \'{e}l\'{e}ment de $[1, 4]$ et $x$ r\'{e}el \'{e}gal \`{a} 2. Expliquer les
    r\'{e}sultats de la derni\`{e}re colonne de ce tableau en utilisant
    l'\'{e}quivalent de $u_n -\ln x$
\end{enumerate}
\vspace*{-2mm}
\section*{Partie III}
\vspace*{-2mm} Dans cette partie, on acc\'{e}l\`{e}re la
convergence de la suite $(S_n)_{n\in \N}$ par la m\'{e}thode de
Richardson. On est ainsi conduit \`{a} construire les 3 suites
$(x_n)_{n\in \N}$, $(y_n)_{n\in \N}$, $(z_n)_{n\in \N}$
v\'{e}rifiant~:
$$x_n=\dfrac{4S_{n+1}- S_n}{3}, ~y_n=\dfrac{16x_{n+1}- x_n}{15},
~x_n=\dfrac{64y_{n+1}- y_n}{63}$$

\begin{enumerate}
    \item En utilisant le d\'{e}veloppement limit\'{e} de $\sh x$ \`{a} l'ordre
    9 au voisinage de 0, montrer qu'il existe des constantes $\alpha$,
    $\beta$,$\gamma$ telles que~: $x_n=\ln x+\dfrac{\alpha}{16^n}+\dfrac{\beta}{64^n}
    +\dfrac{\gamma}{256^n}+o(\dfrac{1}{256^n})$, puis des constantes $\alpha'$, $\beta'$
     telles que $y_n=\ln x+\dfrac{\alpha'}{64^n}
    +\dfrac{\beta'}{256^n}+o(\dfrac{1}{256^n})$, ainsi qu'une constante $\alpha''$
    telle que $z_n= \ln x+\dfrac{\alpha''}{256^n}+o(\dfrac{1}{256^n})$, on ne demande
    pas de d\'{e}terminer les valeurs des constantes $\alpha$,
    $\beta$,$\gamma$, $\alpha'$, $\beta'$, $\alpha''$.
    \item Lorsque $x$ est \'{e}gal \`{a} 2, donner sous forme de tableau,
     lorsque $n$ est \'{e}l\'{e}ment de [1, 4] les valeurs
     correspondantes des suites $x_n$, $y_n$, $z_n$, calcul\'{e}es
     \`{a} partir de celles de $S_n$. Expliquer pourquoi $z_1$ donne
     une valeur approch\'{e}e de $\ln 2$ avec 8 d\'{e}cimales.
    \item Ecrire un programme permettant d'obtenir le tableau
demand\'{e} au IIIb)
\begin{tabular}{|c|c|ccc}
\hline
$n$ & $S_n$ & $x_n$ & $y_n$ & $z_n$  \\
\hline
1 &  &  &  &  \\
\hline
2 &  &  &  & \\
\cline{1-4}
3 &  &  &  & \\
\cline{1-3}
 4 &  &  & & \\
 \cline{1-2}
\end{tabular}

\end{enumerate}
\end{document}





c))
