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\begin{document}


\title{Matrices de Hadamard}
% ENSI physique M/P-C2 1991

\maketitle



\section{Propri{\'e}t{\'e}s {\'e}l{\'e}mentaires de $\h_n$}

\subsection{}
Si $N_2= \begin{pmatrix} 1&1\\1&-1 \end{pmatrix}$ il vient
$P_{N_2}(X) = X^2 - 2$, on a donc deux valeurs propres $\pm \sqrt 2$.
Les vecteurs propres associ{\'e}s sont (colin{\'e}aires {\`a})
$ \begin{pmatrix} 1\\ \sqrt 2-1 \end{pmatrix}$ et
$ \begin{pmatrix} -1\\ \sqrt 2+1 \end{pmatrix}$: ils
sont orthogonaux (normal\dots la matrice est sym{\'e}trique).

\subsection{}
Commen{\c c}ons par $\sh_2$, en notant que l'oppos{\'e} d'une matrice
de \textsc{Hadamard} l'est encore.
On trouve les solutions
$\pm N_2$ et $ \pm \begin{pmatrix} 1&-1\\-1&-1 \end{pmatrix}$ (les
quatre premi{\`e}res colonnes
possibles sont essay{\'e}es, la deuxi{\`e}me en d{\'e}coule).

En retirant la condition de sym{\'e}trie, on trouve les
solutions suppl{\'e}mentaires
$\pm \begin{pmatrix} 1&1\\-1&1 \end{pmatrix}$ et
$ \pm \begin{pmatrix} 1&-1\\1&1 \end{pmatrix}$

\subsection{}
Les valeurs propres d'un {\'e}l{\'e}ment  $A\in\h_2$ sont, en respectant
l'ordre de
l'{\'e}num{\'e}ration pr{\'e}c{\'e}dente
$$
   \pm \sqrt2 \text{   si  } A\in\sh_2, \qquad
   \pm (1\pm i) \text{   sinon  }
$$

\subsection{}

Par la th{\'e}orie g{\'e}n{\'e}rale,  $S_A$ est un c{\^o}ne et $C_A$
une conique
(d'ailleurs, {\'e}tymologiquement, c'est l'intersection de $S_A$ et du
plan $z=1$).

Quand $A\in \sh_2$ on a $b=c=\pm 1$. Quand $A\notin \sh_2$ on a $b+c=0$.
Ceci aide {\`a} s{\'e}rier les cas:
\begin{itemize}
    \item $x^2 + 2 x y - y^2 =\pm 1$ est une hyperbole et $x^2 + 2 x y -
y^2 = \pm z^2$ reste un c{\^o}ne
(il admet une base circulaire en cherchant bien)
    \item De m{\^e}me pour $x^2 - 2 x y - y^2 =1$ et $x^2 + 2 x y - y^2 =
z^2$ et la matrice oppos{\'e}e.
    \item Laissons maintenant le cas sym{\'e}trique: on trouve des cas
plus simples
    $x^2+y^2=1$ donne un cercle ! $-x^2-y^2=1$ est $\emptyset$,
    $x^2+y^2=z^2$ est un c{\^o}ne de r{\'e}volution et  $-x^2-y^2=z^2$ un
point.
\end{itemize}

\subsection{Caract{\'e}risation des {\'e}l{\'e}ments de $\h_n$}
\subsubsection{}
L'inverse de $A$ est $\dfrac1n{}^tA $ et son d{\'e}terminant est
$\pm \sqrt {\det A\det {}^t A} = \pm \sqrt{n^n} = \pm  n^{n/2}$.

{\`A} ce stade, on se doute qu'il y a peu de matrices de \textsc{Hadamard}
en dimension 3 !!!
cf. partie II.
\subsubsection{}
L'inverse de $A$ a des coefficients en $\pm 1/n$, ce n'est donc pas une
matrice de \textsc{Hadamard};
en revanche, sa transpos{\'e}e v{\'e}rifie la relation de d{\'e}finition
(la question pr{\'e}c{\'e}dente prouve que $A$ et ${}^t A$
\textbf{commutent}).


\section{Conditions n{\'e}cessaires}
\subsection{}
Les deux valeurs possibles de $\scal{V_j}{V_k}$ sont 0 et $n$ --
ce dernier cas pour $j=k$ seulement, comme on le voit en consid{\'e}rant
le produit de matrices. Retenons que deux colonnes (distinctes)
sont orthogonales.
\subsection{Majoration de $|\fhi(A)|$}

\subsubsection{}
$\|\widetilde V\|^2 = \sum\limits_{j,k} \scal{V_j}{V_k} = n^2$;
$\|\widetilde U\|^2 = n$ par orthonormalit{\'e}.
Total:
$$
  \|\widetilde U\|.\|\widetilde V\| = n^{3/2}
$$
\subsubsection{}
Observons que $\scal{\widetilde U}{V_k}$ est la somme des coordonn{\'e}es
de $V_k$; donc
$\scal{\widetilde U}{\widetilde V} = \fhi(A)$, et par l'in{\'e}galit{\'e}
de \textsc{Cauchy-Schwarz}
$$|\fhi(A)|\le n^{3/2}$$
\subsubsection{}
$\fhi(A)$ est une somme de 1 et de $-1$, donc un entier ! Or
$n^{3/2} = n.\sqrt n$ ne peut {\^e}tre entier que si $\sqrt n$
est \textbf{rationnel}, ce
qui n'est possible que si $n$ est un carr{\'e} parfait (par le thm
de \textsc{Gauss}, hmmm ?).

Autrement dit, si $n$ n'est pas un carr{\'e} parfait il n'existe pas de
matrice $A\in\h_n$ telle que
$|\fhi(A) | = n^{3/2}$.
\subsubsection{Exemple:}
La condition  $T(A)=-4$ impose les coefficients diagonaux.
Pour avoir $\fhi(A)=4^{3/2}$, c'est {\`a} dire maximal, on va s'efforcer
de prendre un maximum de coordonn{\'e}es positives. Ainsi on tr{\'e}buche
sur
la solution suivante, qui marche:
$$
   A = \begin{pmatrix}
   													-1&1&1&1 \\
                1&-1&1&1 \\
                1&1&-1&1  \\
                1&1&1&-1
          \end{pmatrix}
          \qquad
          \fhi(A) = 12 - 4 = 8
$$
\subsection{C.N. pour que $\pmb \h_n$ soit non vide}

\subsubsection{}
Essayons de comprendre, avec le cas simple de $\Delta_1 =
\diag(-1,1,\dots,1)$.

Changer $A$ en $\Delta_1.A$ revient {\`a} changer tous les signes de
la premi{\`e}re ligne.

Plus g{\'e}n{\'e}ralement, $\Delta_2$ va changer les signes des colonnes
et $\Delta_1$
va r{\'e}gir les signes des lignes. On peut donc facilement ne mettre que
des +1 sur
la premi{\`e}re colonne, par choix de $\Delta_1$. {\`A} quoi sert
alors $\Delta_2$ ?
Mais {\`a} faire la premi{\`e}re ligne, pardi ! D{\'e}taillons
le proc{\'e}d{\'e}:
\begin{itemize}
    \item
    On prend pour $\Delta_1$ les signes de la premi{\`e}re
colonne, \textsl{i.e.}
    $\Delta_1 = \diag(V_1)$;
    \item
    On a donc une matrice $C = \Delta_1.A$ dont la premi{\`e}re colonne
est $\widetilde U$,
    et qui est encore de \textsc{Hadamard} car $\Delta_1$ est orthogonale:
    $$ {}^tC.C =   {}^t( \Delta_1.A). \Delta_1.A = {}^tA. {}^t
\Delta_1. \Delta_1.A
    = {}^tA. A =n I_n$$
    \item
    On fait le m{\^e}me coup en prenant pour $\Delta_2$ les signes de
la premi{\`e}re ligne\dots de $C$ !
\end{itemize}
Alors $B = \Delta_1.A.\Delta_2$ est normalis{\'e}e. Le couple
$(\Delta_1, \Delta_2)$  n'est pas unique,
car son oppos\'e marche aussi (forc{\'e}ment).
\subsection{}
On suppose $A$ donc normalis{\'e}e.
\subsubsection{}
Prenons $2\le k\le n$, alors $0=\scal{V_1}{V_k} = \sum\limits_{j=1}^n
a_{j,k}$, avec
les $a_{j,k}$ qui valent $\pm 1$: il y a forfc{\'e}ment autant de 1 que de
$-1$, ergo
$n$ est pair.

Par ailleurs, $\fhi(A) = \scal{\widetilde U}{\widetilde V}
= \scal{V_1}{\sum V_k} = \|V_1\|^2 = n$
\subsubsection{}
On classe donc les indices en fonction des coefficients des colonnes 2 et
3.

Les quatre {\'e}quations proviennent en fait des autres produits
$$
  \scal{V_1}{V_1} = n \qquad
  \scal{V_1}{V_2} = 0 \qquad
  \scal{V_1}{V_3} = 0 \qquad
  \scal{V_2}{V_3} = 0 \qquad
$$
qui se traduisent par:
$
 \begin{cases}
   x + y + z + t &= n \\
   x + y - z - t &= 0 \\
   x - y + z - t &= 0 \\
   x - y - z + t &= 0
\end{cases}
$.

On en d{\'e}duit que $4x=n $ et donc $4\mid n$.

\subsection{Valeurs propres d'une H-matrice sym{\'e}trique}

\subsubsection{}
\'Etant sym{\'e}trique r{\'e}elle, $A$ est diagonalisable dans une
base orthonormale.

Matriciellement, on traduit: $f_{A,\R}\circ f_{A,\R} = f_{A,\R}\circ
f_{A,\R}^* = n \text{ id}$.
\subsubsection{}
Au vu de ce polyn{\^o}me annulateur, on retrouve que $f_{A, \R}$ (c{\`a}d
$A$, dammit)
est diagonalisable, et que son spectre est inclus dans $\{-\sqrt n, \sqrt
n\}$.

$f_{A,\R}$ poss{\`e}de EXACTEMENT deux valeurs propres distinctes,
car s'il n'y en n'avait qu'une l'endomorphisme serait une homoth{\'e}tie !
et {\c c}a se saurait.
\subsubsection{}
Soient $\mu_1, \mu_2$ les ordres de multiplicit{\'e} des deux valeurs
propres ci-dessus.
On a la trace:
$$
   T(A) = \mu_1\times \sqrt n - \mu_2\times\sqrt n = \sqrt n(\mu_1-\mu_2)
$$
Or $|T(A)| \le  n$ puisque les coefficients diagonaux sont des $\pm 1$ !
donc
 $|\mu_1 - \mu_2|\le  \sqrt n$.
{\c C}a n'a l'air de rien, mais pour $n$ grand cela prouve que les deux
espaces propres sont \textsl{quasiment}
de m{\^e}me dimension ($\sqrt n = o(n/2)$) et cela joue pour des
applications (les matrices que
nous {\'e}tudions ont leur r{\^o}le dans les t{\'e}l{\'e}communications
-- multiplexage, etc\dots)

% Correction des parties III et IV
{\small La suite du probl{\`e}me montre que l'ensemble des dimensions  $n$
pour lesquelles il existe des matrices de \textsc{Hadamard} est stable
par produit.

Plus fin, le th{\'e}or{\`e}me de \textsc{Agayan-Sarukhanyan} dit que s'il
existe des matrices
de Hadamard d'ordre $4p$ et $4q$ alors il en existe d'ordre $8pq$.

On en a donc en dimensions $2^k$. On en construit une en dimension 12, et
donc
il y en a aussi en dim $3.2^{k+2}$. En dimension
2, 4, 8 et 12, il n'y en a qu'une (normalis{\'e}e). Il y en a plus en dim
16, 20, 24 and 28.
La plupart des autres dimensions (multiples de 4) sont des
probl{\`e}mes ouverts\dots
Actuellement la plus petite dimension d{\'e}battue est 428 (puis
716, 764\dots). {\`A} vos crayons ! :=)}

\section{Fabrication de H-matrices de taille $4n$}
\subsection{}
On voit sur la matrice d'une combinaison lin{\'e}aire que la famille $\{I,
P, \dots, P^{n-1}\}$
est libre:
$$
 P =
  \begin{pmatrix}
       0 & 1 & 0 &\dots & 0 \\
      0 & 0 & 1 &\dots & 0 \\
        \vdots & & \dots & \ddots& \vdots \\
        0 & \dots & &  0 & 1 \\
        1 & 0 & \dots && 0
 \end{pmatrix}\qquad
 \sum_{k=0}^{n-1} \lambda_k P^k =
 \begin{pmatrix}
        \lambda_0 & \lambda_{1} & \dots && \lambda_{n-1} \\
        \lambda_{n-1} & \lambda_0 & \dots && \lambda_{n-2} \\
        \vdots & \dots & \ddots& \ddots & \vdots \\
        \lambda_2 & \dots &  & \lambda_0& \lambda_1 \\
        \lambda_1 & \lambda_2 & \dots & & \lambda_0
 \end{pmatrix}
$$
Par ailleurs $P^n=I$ comme on le voit par son action sur les vecteurs de
base
($p$ r{\'e}alisant une permutation circulaire), donc les puissances de
$P$ d'ordre sup{\'e}rieur
font partie des pr{\'e}c{\'e}dentes et
\reponse{
 $\{I, P, \dots, P^{n-1}\}$ est une base de $\mc{A}(P)$.
}
Pour le dire autrement, le polyn{\^o}me minimal de $P$ est $x^n - 1$
(programme MP).

\subsection{}
Comme le montre l'{\'e}criture de la combinaison lin{\'e}aire ci-dessus, un
{\'e}l{\'e}ment de $\mc{A}(P)$ est sym{\'e}trique ssi les
coefficients v{\'e}rifient
$\lambda_1 = \lambda_{n-1}, \dots, \lambda_k = \lambda_{n-k}$.
\subsection{}
On suppose remplies beaucoup de conditions !  on peut construire de
telles matrices
avec des corps de base plus vastes.
\subsubsection{Produit par blocs}
Il vient
$$
 {}^t \Psi.\Psi =
   \begin{pmatrix}
      A & B & C & D \\
      -B & A & -D & C\\
      -C & D & A & -B \\
      -D & -C & B &A
   \end{pmatrix} .
      \begin{pmatrix}
      A & -B & -C & -D \\
      B & A & D & -C\\
      C & -D & A & B \\
      D & C & -B &A
   \end{pmatrix}
   =    \begin{pmatrix}
      4n I_n & 0 & 0 & 0 \\
      0 & 4n I_n & 0 & 0\\
      0 & 0 & 4n I_n & 0 \\
      0 & 0 & 0 &4n I_n
   \end{pmatrix} = 4n I_{4n}
$$
On a donc $\Psi \in \h_{4n}$.
\subsubsection{}
Cette question peut faire fr{\'e}mir, mais en v{\'e}rit{\'e} les
conditions donn{\'e}es
laissent peu de choix: il n'y a que 4 matrices de $\mc{A}(P)$ {\`a}
coefficients
valant $\pm 1$ avec 1 sur la diagonale (car $T(A)=T(B)>0$).

Comme $B=C=D$ il faut de plus que les coefficients de $A^2$ soient
divisibles par 3.

On trouve donc rapidement la solution:
$$
    \begin{pmatrix}
    1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1
    \end{pmatrix}^2 +
    3\begin{pmatrix}
    1 & -1 & -1\\-1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 1
    \end{pmatrix}^2 =
    \begin{pmatrix}
    36 & 0 & 0\\0 & 36 & 0 \\ 0 & 0 & 36
    \end{pmatrix}
$$
On a ainsi donn{\'e} une recette pour construire une matrice
de \textsc{Hadamard} d'ordre 12.

\section{M{\'e}thode de Kronecker}
$A\otimes B$ est le \textbf{produit tensoriel} de $A$ par $B$.
\subsection{}
Trivialement, $T(A\otimes B) = T(A)\times T(B)$.
\subsection{}
La question clef: il est plus habile de proc{\'e}der par blocs, comme
ci-dessus.
$$
   {}^t(A\otimes B) =
   \begin{pmatrix}
       a_{1,1} {}^t B &  a_{2,1} {}^t B & \dots  & a_{n,1} {}^t B \\
       a_{1,2} {}^t B &  a_{2,2} {}^t B & \dots  & a_{n,2} {}^t B \\
        \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \\
        a_{1,n} {}^t B &  a_{2,n} {}^t B & \dots & a_{n,n} {}^t B
   \end{pmatrix}
   \quad\text{et}\quad
   (A\otimes B) =
      \begin{pmatrix}
       a_{1,1} B &  a_{1,2}  B & \dots  & a_{1,n}  B \\
       a_{2,1}  B &  a_{2,2}  B & \dots  & a_{n,2}  B \\
        \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \\
        a_{n,1}  B &  a_{n,2}  B & \dots & a_{n,n} B
   \end{pmatrix}
$$
$$\quad\text{d'o{\`u}}\quad
   {}^t(A\otimes B).(A\otimes B) =
      \begin{pmatrix}
       (a_{1,1}^2 + \dots+a_{n,1}^2) {}^t B.B &
(a_{1,1}a_{1,2} +\dots+ a_{n,1}a_{n,2}){}^t B & \dots   \\
       (a_{1,2}a_{1,1} +\dots+ a_{n,2}a_{n,1}){}^t B& \ddots &
\dots    \\
        \vdots & \vdots & \ddots
   \end{pmatrix}
   = 2n I_{2n}
$$
compte tenu de l'orthogonalit{\'e} des colonnes de $A$ et de ${}^t B.B =
I_2$.
Donc $A\otimes B \in \h_{2n}$.
\subsection{}
Consid{\'e}rons l'ensemble $\mc D$ des dimensions pour lesquelles il
existe des matrices de \textsc{Hadamard}:
\begin{itemize}
   \item
   Il contient 2,4,12 (ce dernier nombre par la partie pr{\'e}c{\'e}dente).
   \item
   Il est stable par multiplication par 2 d'apr{\`e}s la
question pr{\'e}c{\'e}dente.
\end{itemize}
Donc il contient les puissances de 2 et leurs multiples par 12,
\textsl{ie} les $3.2^{m+2}$.

On peut {\'e}tendre le raisonnement {\`a} $\sh_{2^m}$, car la
construction ci-dessus donne une matrice
sym{\'e}trique pour $A\otimes B$ quand $A$ et $B$ le sont.
\subsection{}
La matrice normalis{\'e}e
$\begin{pmatrix}
   1& 1& 1& 1\\1& 1& -1& -1\\1& -1& 1& -1\\1& -1& -1& 1
\end{pmatrix}$
est clairement un contre-exemple:
les sous-matrices $2\times2$ ne sont pas proportionnelles !
donc ce n'est pas un produit direct de matrices.


\section{Extr{\'e}malit{\'e} des matrices de \textsc{Hadamard}}

\subsection{}
 $B^{-1}.A$ est une matrice orthogonale - c'est la d{\'e}composition dite
$L-R$ (enfin, {\`a} l'envers) -
 puisque c'est la matrice de $(\eps)$ dans la base canonique.

 Donc $\det A  = \pm \det B$ au signe pr{\`e}s.

\subsection{}
Le proc{\'e}d{\'e} de \textsc{Schmidt} fait que $B$ est
triangulaire sup{\'e}rieure, et donc
$$
     |\det B| = \prod_{j=1}^n| b_{j,j} | =
\prod_{j=1}^n|\scal{V_j}{\eps_j} |\le  \prod_{j=1}^n\| V_j\|
$$
vu que $b_{j,j}$ n'est autre que la coordonn{\'e}e de $V_j$ dans la
base $(\eps)$.
On a appliqu{\'e} \textsc{Cauchy-Schwarz }pour finir. Compte tenu de la
question pr{\'e}c{\'e}dente,
on en d{\'e}duit l'in{\'e}galit{\'e} de \textsc{Hadamard}:
$$
  |\det A  | \le  \prod_{k=1}^n \| V_k\|
$$

Cette in{\'e}galit{\'e} a {\'e}t{\'e} d{\'e}montr{\'e}e par
Jacques \textsc{Hadamard} {\`a} l'aide
d'une identit{\'e} "tr{\`e}s connue" (qu'il dit)
d{\^u}e {\`a}\dots \textsc{Lewis Caroll} !
Cf. http://www.univ-tln.fr/~langevin/NOTES/alice/alice.html
\subsection{}

Il r{\'e}sulte de l'in{\'e}galit{\'e} susdite que la norme d'op{\'e}rateur
de l'application multilin{\'e}aire
$$
  \Psi: (V_1, \dots, V_n) \mapsto \det (V_1, \dots, V_n)
$$
ne saurait exc{\'e}der 1, puisque $|\Psi(V_1,\dots, V_n) | \le
\|V_1\| \dots\|V_n\| $.
\medskip

Par construction, l'in{\'e}galit{\'e} est une {\'e}galit{\'e} ssi les
$V_j$ sont proportionnels aux $\eps_j$
(cas d'{\'e}galit{\'e} de \textsc{Cauchy-Schwarz}). Cela signifie que
les colonnes sont orthogonales.

Quand les coefficients de $A$ sont dans $U_2$, comme $\|V_j\|^2=n$ cela
signifie
exactement que $A\in\h_n$.\smallskip

Les matrices de \textsc{Hadamard} sont donc les cas d'{\'e}galit{\'e} de
l'in{\'e}galit{\'e} de \textsc{Hadamard} !



\end{document}
% J'ai rajout{\'e} cette question pour ma classe.

\subsection{Cas plan}\

En dimension 2, $|\det(V_1, V_2)| = \|V_1 \wedge V_2\| \le  \|V_1 \|.\|
V_2\|$
avec {\'e}galit{\'e}, comme chacun sait, quand les vecteurs sont
orthogonaux.



