\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage{amsfonts, amsmath, amssymb, mathrsfs}
\setlength{\topmargin}{-20mm}
\setlength{\oddsidemargin}{-15mm}
\setlength{\textwidth}{18.5 cm}
\setlength{\textheight}{25 cm}
\parindent=0pt
\begin{document}

%Source : m91wc2e



%Num{\'e}rotation
\renewcommand{\labelenumi}{\arabic{enumi}\r{})}
\renewcommand{\labelenumii}{\alph{enumii})}

%Macros
\renewcommand{\leq}{\,\leqslant\,}
\renewcommand{\geq}{\,\geqslant\,}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\segment}[2]{\left [ #1, #2 \right ]}
\newcommand{\set}[1]{\left \{ #1 \right \}}
\newcommand{\ouvert}[2]{\left ] #1, #2 \right [}
\newcommand{\scal}[2]{\left(#1 \vert #2\right)}
\newcommand{\norme}[1]{\left \| #1 \right \|}
\newcommand{\somme}[3]{\sum_{#1}^{#2}\limits{#3}}
\newcommand{\interieur}[1]{\mathring{#1}}
\newcommand{\adherence}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\binf}[2]{\inf_{#1}\limits #2}
\newcommand{\limitarrow}[3]{\xrightarrow{#1 \to #2} #3}



\begin{center}
CONCOURS D'ENTR{\'E}E DES ING{\'E}NIEURS DE LA VILLE DE PARIS

ouvert le 22 avril 1991
\end{center}

\begin{center}
DEUXl{\`E}ME {\'E}PREUVE DE MATH{\'E}MATlQUES

Dur{\'e}e : 4 heures - coefficient : 6
\end{center}

N . B : On signale aux candidats que la notation tiendra compte du soin et de la clart{\'e} de la r{\'e}daction.

On s'efforcera de traiter les questions dans l'ordre.

Dans tout le probl{\`e}me, $E$ d{\'e}signe un espace vectoriel norm{\'e}, dont la norme est not{\'e}e $\norme{\ }$.

Si $u$ et $v$ sont deux {\'e}l{\'e}ments de $E$, le segment $\segment{u}{v}$ est l'ensemble des vecteurs $tu + (l - t)v$, o{\`u} $t$ est un r{\'e}el tel que $0 {\leq} t {\leq} 1$.

$C$ {\'e}tant une partie de $E$, $C$ est dite convexe si et seulement si, pour tout couple $(u,v)$ d'{\'e}l{\'e}ments de $C$, le segment $\segment{u}{v}$ est contenu dans $C$.

\underline{\textbf{Partie I :}}
\begin{enumerate}
\item %I.1
Soit $C$ une partie convexe de $E$, $n$ un entier tel que $n {\geq} 2$.

Montrer que 
$\forall (u_{1}, u_{2}, {\dots}, u_{n}) \in C^{n}, \forall (\alpha_{1}, \alpha_{2}, {\dots}, \alpha_{n}) \in \left(\R_{+}\right)^{n}$ tel que $\somme{i=1}{n}{\alpha_{i}} = 1$, la combinaison lin{\'e}aire $\somme{i=1}{n}{\alpha_{i} u_{i}}$ est un {\'e}l{\'e}ment de $C$.

\item %I.2
Dans cette question, $n$ est un entier strictement positif, et $u_{1}, u_{2}, {\dots}, u_{n}$ un $n$-uplet d'{\'e}l{\'e}ments de $E$, fix{\'e}.
\begin{enumerate}
\item %I.2.a) 
Montrer que l'ensemble des vecteurs {\'e}gaux {\`a} $\somme{i=1}{n}{\alpha_{i} u_{i}}$, o{\`u} les $(\alpha_{i})_{1{\leq}i{\leq}n}$ sont des r{\'e}els positifs ou nuls, v{\'e}rifiant $\alpha_{1} + \alpha_{2} + {\dots} + \alpha_{n} = 1$ est une partie convexe de $E$, qu'on notera $C_{0}$.

$C_{0}$ est appel{\'e}e enveloppe convexe de la famille $\set{u_{1}, u_{2}, {\dots}, u_{n}}$.

Cette d{\'e}finition sera utilis{\'e}e dans la suite du probl{\`e}me.

\item %I.2.b
Montrer que l'enveloppe convexe de $\set{u_{1}, u_{2}, {\dots}, u_{n}}$ est la plus petite partie convexe de $E$ contenant $\set{u_{1}, u_{2}, {\dots}, u_{n}}$.
\end{enumerate}

\item %I.3
Exemples :

$E$ est l'espace vectoriel $\R^{2}$ muni de la base canonique, compos{\'e}e des vecteurs $e_{1} = (1, 0)$ et $e_{2} = (0, 1)$.
\begin{enumerate}
\item %I.3.a) 
D{\'e}terminer l'enveloppe convexe des vecteurs $(-1, 2)$, $(-1, -1)$, $(- 1, 3)$, $(1, 1)$.
On fera une figure et on justifiera la r{\'e}ponse.
\item %I.3.b
D{\'e}terminer l'enveloppe convexe des vecteurs $(1, -2)$, $(-2, -3)$, $(1, 1)$, $(-1, 0)$.
L{\`a} encore, on fera une figure et on justifiera avec soin la r{\'e}ponse.
\end{enumerate}

\item %I.4
Dans cette question, $n$ est un entier fix{\'e}, tel que $n {\geq} 2$, $E$ est un espace vectoriel euclidien de dimension $n$, dont le produit scalaire sera note $\scal{\ }{\ }$.
La norme utilis{\'e}e sur $E$ est la norme euclidienne associ{\'e}e.

Soit $a$ un vecteur fix{\'e} de $E$, $c$ un r{\'e}el fix{\'e}.

Montrer que les ensembles $H$, $F$, $G$ dont les d{\'e}finitions suivent, sont convexes.

\centerline{$H = \set{x \mbox{ tel que } x \in E \mbox{ et } \scal{a}{x} = c}$}

\centerline{$F = \set{x \mbox{ tel que } x \in E \mbox{ et } \scal{a}{x} {\geq} c}$}

\centerline{$G = \set{x \mbox{ tel que } x \in E \mbox{ et } \scal{a}{x} {\leq} c}$}

\item %I.5
Dans cette question, $E$ est un espace vectoriel r{\'e}el norm{\'e} quelconque.
\begin{enumerate}
\item %I.5.a)
$C$ {\'e}tant une partie convexe de $E$, montrer que l'adh{\'e}rence $\adherence{C}$ de
$C$ est convexe.
\item %I.5.b
$C$ {\'e}tant une partie convexe de $E$, montrer que l'int{\'e}rieur $\interieur{C}$ de $C$ est convexe.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\underline{\textbf{Partie II :}}

$C$ {\'e}tant une partie convexe non vide de $E$, un {\'e}l{\'e}ment $x$ de $C$ est appel{\'e} point extr{\'e}ma1 de $C$ si et seulement si il n'existe aucun couple $(u, v)$ d'{\'e}l{\'e}ments de $C$ et aucun r{\'e}el $t \in \ouvert{0}{1}$ tels que : $u {\neq} v$ et $x = tu + (1-t)v$.

\begin{enumerate}
\item %II.1
Soient $u$ et $v$ deux {\'e}l{\'e}ments de $E$. Quels sont les points extr{\'e}maux du segment $\segment{u}{v}$ ?
\item %II.2
Dans cette question, $E$ est l'espace vectoriel $\R^{2}$, muni de la base canonique, et $C$ est l'ensemble des vecteurs $(x, y)$ tels que $x^{2} + y^{2} {\leq} 1$.
\begin{enumerate}
\item %II.2.a)
V{\'e}rifier que $C$ est convexe.
\item %II.2.b
D{\'e}terminer les points extr{\'e}maux de $C$.
\end{enumerate}

\item %II.3
$E$ est un espace vectoriel r{\'e}el norm{\'e} quelconque, $n$ un entier strictement positif.

Soient $u_{0}$, $u_{1}$, {\dots}, $u_{n}$ des vecteurs de $E$ tels que les vecteurs $u_{1} - u_{0}$, $u_{2}-u_{0}$, {\dots}, $u_{n} - u_{0}$ soient lin{\'e}airement ind{\'e}pendants.
$C$ est l'enveloppe convexe de $\set{u_{0}, u_{1}, {\dots}, u_{n}}$.
Montrer que les points extr{\'e}maux de $C$ sont $u_{0}$, $u_{1}$, {\dots}, $u_{n}$.

\item %II.4
Dans cette question, $n$ est un entier, tel que $n {\geq} 2$, et $E$ est l'espace vectoriel $\mathscr{M}_{n}(\R)$.

$C$ est l'ensemble des matrices de $\mathscr{M}_{n}(\R)$ de coefficients $(a_{i,j})$ tels que :

\centerline{$\forall i, j \in \set{1, 2, {\dots}, n}, a_{i,j} {\geq} 0$
et $\forall i \in \set{1, {\dots}, n}, \somme{j=1}{n}{a_{i,j}} = 1$, \quad $\forall j \in \set{1, {\dots}, n}, \somme{i=1}{n}{a_{i,j}} = 1$.}

\begin{enumerate}
\item %II.4.a)
Montrer que $C$ est une partie convexe de $E$, stable pour le produit des matrices.

\item %II.4.b)
Soit $A$ une matrice {\'e}l{\'e}ment de $C$, de coefficients $(a_{i,j})$.
Montrer que s'il existe un couple d'indices $(i, j)$ tel que $0 < a_{i,j} < 1$, $A$ n'est pas un point extr{\'e}mal de $C$.

\item %II.4.c
En d{\'e}duire l'ensemble des points extr{\'e}maux de $C$.

\item %II.4.d
Soit $A$ une matrice {\'e}l{\'e}ment de $C$, inversible, et dont l'inverse appartient {\`a} $C$.
Montrer que $A$ est un point extr{\'e}mal de $C$.

\item %II.4.e
R{\'e}ciproquement, montrer que tout {\'e}l{\'e}ment extr{\'e}mal de $C$ est une matrice inversible, dont l'inverse appartient {\`a} $C$.
En d{\'e}duire l'ensemble des matrices inversibles de $C$ dont l'inverse est dans $C$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\underline{\textbf{Partie III :}}

Dans cette partie, $E$ est un espace euclidien de dimension finie $n$, tel que $n {\geq} 2$.
Le produit scalaire pourra {\^e}tre not{\'e} $\scal{\ }{\ }$.

$C$ {\'e}tant une partie convexe, ferm{\'e}e, non vide de $E$, $u$ {\'e}tant un vecteur de $E$, on d{\'e}finit la distance de $u$ {\`a} $C$, not{\'e}e $d(u, C)$, par :
$d(u, C) = \binf{x \in�C}{\norme{u-x}}$.

On pourra noter $d$ cette distance pour abr{\'e}ger.

Dans les questions 1\r{}, 2\r{}, 3\r{}, $u$ d{\'e}signera un vecteur fix{\'e}.
La partie $C$ convexe, ferm{\'e}e, non vide de $E$ est, sauf indication contraire, fix{\'e}e dans
toute cette partie.

\begin{enumerate}
\item %III.1
Soient $x$ et $y$ deux {\'e}l{\'e}ments de $E$. Montrer que :
$$\norme{x-y}^{2} = 2 \norme{x-u}^{2} + 2 \norme{y-u}^{2} - 4 \norme{(x+y)/2 - u}^{2}. \eqno{(1)}$$

\item %III.2
Montrer que, pour tout couple $(x, y)$ d'{\'e}l{\'e}ments de $C$,

\centerline{$\norme{x-y}^{2} {\leq} 2 \norme{x-u}^{2} + 2 \norme{y-u}^{2} - 4 d^{2}$ o{\`u} $d = d(u, C)$.}

\item %III.3
\begin{enumerate}
\item %III.3.a)
Montrer qu'il existe une suite $(x_{n})$ d'{\'e}l{\'e}ments de $C$ telle que :

\centerline{$\norme{x_{n} - u} \limitarrow{n}{+{\infty}} d = d(u, C)$.}

\item %III.3.b)
Montrer que la suite $(x_{n})$ est une suite de Cauchy.

\item %III.3.c)
Montrer qu'il existe un unique vecteur $x$ de $C$ tel que : $\norme{x-u} = d(u, C)$.
\end{enumerate}

On vient d'{\'e}tablir que, si $u$ est un vecteur de $E$, il existe $x$ unique dans $C$ tel que :
$\norme{x-u} = d(u, C)$.

On pose $x = proj_{C}(u)$, et on appelle projection sur $C$ l'application qui {\`a} $u$ associe $x$. Cette d{\'e}finition est valable pour toute la suite.

\item %III.4
Dans cette question, $u$ n'appartient pas {\`a} $C$, et on pose $x = proj_{C}(u)$.

Soit $y$ un {\'e}l{\'e}ment de $C$. En remarquant que :

$\forall t \in \segment{0}{1}, \norme{x-u} {\leq} \norme{(1-t)x + ty - u}$,
montrer que :
$$\scal{y-x}{x-u} {\geq} 0. \eqno{(2)}$$

R{\'e}ciproquement, montrer que si $x$ est un {\'e}l{\'e}ment de $C$, tel que

$\forall y \in C, \scal{y-x}{x-u} {\geq} 0$, alors : $x = proj_{C}(u)$.

\item %III.5
Dans cette question, $C$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
\begin{enumerate}
\item %III.5.a
V{\'e}rifier que $C$ est convexe et ferm{\'e}.
\item %III.5.b
Montrer que la projection sur $C$ d{\'e}finie en III.3\r{}) est la projection orthogonale sur $C$.
\end{enumerate}

\item %III.6
$C$ d{\'e}signe toujours une partie convexe, ferm{\'e}e, non vide de $E$, et $u$ est un {\'e}l{\'e}ment de la fronti{\`e}re de $C$.

On appelle $(u_{n})$ une suite de vecteurs n'appartenant pas {\`a} $C$, tels que :

\centerline{$\forall n \in \N^{*}, \norme{u - u_{n}} < \dfrac{1}{n}$.}

\begin{enumerate}
\item %III.6.a)
Montrer que, $\forall n \in \N^{*}$, il existe un vecteur $x_{n}$ de $C$, et un vecteur unitaire $v_{n}$ tels que :

\centerline{$\forall y \in C, \scal{y-x_{n}}{v_{n}} {\geq} 0$.}

\item %III.6.b)
Montrer que, de la suite $(v_{n})$, on peut extraire une sous-suite convergente $(v_{\varphi(n)})$, dont on appellera la limite $v$.

\item %III.6.c)
En d{\'e}duire qu'il existe un vecteur unitaire $v$ de $E$ tel que :
$\forall y \in C, \scal{y-u}{v} {\geq} 0$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}FIN DE L'{\'E}NONC{\'E}\end{center}
\end{document}
