%%%%%%%%%%%%%%% X 1991 M' MATH II ENONCE %%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\razqnofalse

%\title{\'Etude d'une s\'erie enti\`ere et des prolongements}
\title{X 1991, Math. II (adapt\'e)}

%Le but principal de ce probl\`eme est d'\'etudier la somme d'une
%s\'erie enti\`ere et de la relier \`a une expression int\'egrale.
%La partie I est consacr\'ee \`a des pr\'eliminaires.
\vskip-2mm
\Partie[Des sommes de Riemann pour une int\'egrale g\'en\'eralis\'ee.]
\vskip-2mm

On consid\`ere une fonction $\varphi $ d\'efinie sur l'intervalle
$]0,+\infty [$, continue, r\'eelle, d\'e\-croissante, strictement
positive.

\question % I.1.
On suppose que $\varphi $ est int\'egrable sur $]0,+\infty [$.
%%l'int\'egrale $\int_0^{+\infty }\varphi (x)\dx$ est convergente.

\sousquestion % a.
Montrer que la s\'erie $\sum_{n=1}^{+\infty }h\varphi (nh)$ est
convergente pour tout $h>0$.

\sousquestion % b.
D\'eterminer la limite de sa somme lorsque $h$ tend vers 0.

\question % I.2.
On suppose seulement que $\varphi $ est int\'egrable sur $]0,1]$.
%%l'int\'egrale $\int_0^1\varphi (x)\dx$ convergente.
On d\'esigne par $E(x)$ la partie enti\`ere d'un r\'eel $x$ et on pose:
$$\eqalign{
s(x)
&=\cases{
0 &si $x\in ]0,1[$\\
\sum_{k=1}^{E(x)}\varphi (k) &si $x\in [1,+\infty [$}
\\
c_k
&=\int_{k-1}^k\varphi (t)\dt-\varphi (k), \quad \text{ pour tout $k$ de $\N^*$}
\\
C
&=\sum_{k=1}^{+\infty } c_k
\\
\psi (x)
&=s(x)-\int_0^x\varphi (t)\dt+C, \quad \text{ pour tout $x\ge 0$}
}
$$
\sousquestion % a.
D\'emontrer que $C$ existe effectivement.

\sousquestion % b.
V\'erifier que, si $\theta (x)=\dfrac{\psi (x)}{\varphi (x)}$, $|\theta (x)|\le 1$ pour
$x\in ]0,+\infty [$.
\aide
on pourra distinguer deux cas selon que $x<1$ ou $x\ge 1$.
\finaide
\vskip-2mm

\Partie[S\'erie $\sum_{n=1}^{+\infty }\dfrac{x^n}{\sqrt{n}}\>.$]
\vskip-2mm

On se propose d'\'etudier la fonction $f$ somme de la s\'erie enti\`ere:
$$
f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty }\dfrac{x^n}{\sqrt{n}}.
$$
On pose $A_n=\sum_{k=1}^n\dfrac1{\sqrt{k}}$, de sorte que l'on a
$\dfrac1{\sqrt{n}}=A_n-A_{n-1}$, pour $n\ge 2$.

\question % II.3
Pr\'eciser le rayon de convergence de cette s\'erie, ainsi que la
limite de sa somme lorsque $x$ tend vers 1 par valeurs
inf\'erieures.

\question % II.4
Montrer que, lorsque $x$ tend vers 1 par valeurs
inf\'erieures, $f(x)$ est \'equivalent \`a
$\dfrac{\sqrt{\pi }}{\sqrt{1-x}}$.
             
\aide
on pourra poser $h=-\ln x$ et consid\'erer la fonction
$\varphi (t)=\dfrac{e^{-t}}{\sqrt{t}}$.
\finaide
%%on donne la formule:
%%$$\int_0^{+\infty }e^{-u^2}\dd u=\dfrac{\sqrt{\pi }}2)$$

\question % II.5
On d\'efinit une fonction $s$ sur $[0,+\infty [$ par:
$$
s(y)=
\cases{
0 &si $y\in [0,1[$\\
\sum_{n=1}^{E(y)}\dfrac1{\sqrt{n}} &si $y\in [1,+\infty [$
}
$$
V\'erifier que l'on a
$$
f(x)=h\int_0^{+\infty }s(y)e^{-hy}\dy
$$
avec, comme plus haut, $h=-\ln x$.

\questiona % II.6a
Montrer que $f(x)-\dfrac{\sqrt{\pi }}{\sqrt{1-x}}$ admet une
limite $L$ lorsque $x$ tend vers $1$ par valeurs inf\'erieures.

\sousquestion % 6b
Montrer que $L=(\sqrt2+1)f(-1)$.
\vskip-2mm

\Partie[Prolongement analytique de $f$.]
\vskip-2mm

\question % III.7
D\'eterminer l'ensemble des valeurs du nombre complexe $x$ pour
lesquelles la fonction $u\mapsto \dfrac1{e^{u^2}-x}$ est
int\'egrable sur $]0,+\infty [$. Sur l'ensemble ainsi mis en
\'evidence, on pose:
$$
g(x)=\dfrac{2x}{\sqrt{\pi }}\int_0^{+\infty }\dfrac{\du}{e^{u^2}-x}.
$$

\question % III.8
Montrer que $f$ et $g$ co\"\i ncident sur le disque ouvert $|x|<1$.
\aide
on pourra d\'evelopper $\dfrac1{1-xe^{-u^2}}$.
\finaide

\question % III.9
Montrer que $g(x)+\dfrac2{\sqrt{\pi }}\sqrt{\ln |x|}$ tend vers 0 lorsque $x$ est r\'eel
et tend vers $-\infty $.
\aide
on pourra poser:
$$
x=-e^{t^2},\ t\ge 0,\quad \varphi_t(u)=\dfrac1{e^{(u^2-t^2)}+1},
$$
puis minorer $\int_0^{+\infty }\varphi_t(u)\du$ par
$\int_0^{t-\varepsilon } \varphi_t(u)\du$, o\`u $\varepsilon $
est un nombre r\'eel v\'erifiant $0<\varepsilon<t$, et majorer
$\int_0^{+\infty }\varphi_t(u)\du$ en l'\'ecrivant sous la forme
$\int_0^t\varphi_t(u)\du+\int_t^{+\infty } \varphi_t(u)\du$.
Enfin, on montrera que $\int_t^{+\infty
}e^{-u^2}\du\sim_{+\infty}
\dfrac{e^{-t^2}}{2t}$. \finaide
\vskip-2mm

\partie[Comportement de $f$ sur le cercle-unit\'e.] %IV
\vskip-2mm

On suppose maintenant $x$ complexe de module 1, de la forme
$x=e^{i\theta }$ avec
$\theta \in]0,2\pi [$. On pose:
$$
\cases{
C(\theta)=\re f(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos n\theta }{\sqrt n}\\
S(\theta)=\re f(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta }{\sqrt n}}
\>.
$$
\question %10
Justifier ces d\'efinitions.
\aide
on pourra introduire les sommes
$s_p(\theta)=\sum_{n=1}^p\sin n\theta $ et $c_p(\theta)=\sum_{n=1}^p\cos n\theta $
\finaide

\questiona %11a
Trouver une constante $K$ telle que :
$$
\forall n\ge 1,\quad \sum_{k=n+1}^{2n}\frac1{\sqrt k}\sin\frac{k\pi }{4n}\ge K\sqrt n
\>.$$

\sousquestion %11b
La s\'erie
$\sum_{n\ge 1}\frac{\sin n\theta }{\sqrt n}$
converge-t-ellc uniform\'ement sur l'intervalle $[0,2\pi ]$ ?

\question %12
D\'emontrer, en utilisant une m\'ethode analogue \`a celle de la
question 8\text{$^\circ$} que
$f(e^{i\theta })=g(e^{i\theta })$ pour $\theta \in]0,2\pi [$.
En d\'eduire que
$$
C(\theta)=\frac{2}{\sqrt\pi }\int_0^\infty W_\theta (u)\du
$$
o\`u on a pos\'e:
$$
W_\alpha (u)=\frac{e^{u^2}\cos\theta -1}{e^{2u^2}-2e^{u^2}\cos\theta+1}
\>.
$$

\question %13
On fixe $é$ dans $]0,\frac{\pi }2[$. D\'eterminer les z\'eros de
$W_\theta $, et de sa deriv\'ee, le sens de variations de $W_\theta $, sa
valeur en 0 et sa limite lorsque $u$ tend vers $+\infty $. Donner une
esquisse de la courbe repr\'esentative.

\question %14
D\'eterminer la limite de $C(\theta)$ lorsque $\theta $ tend vers
0 par valeurs positives.

\bye

