\documentclass[11pt]{article}
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\begin{document}


%En-t{\^e}te et pied de page
\lhead{ESIM 1992 M et P', Maths 1}
\rhead{page \thepage}
\cfoot{}

%Num{\'e}rotation
\renewcommand{\labelenumi}{\arabic{enumi}.}
\renewcommand{\labelenumii}{\textit{\alph{enumii}.}}

%Macros
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\segment}[2]{\left [ #1, #2 \right ]}
\newcommand{\somme}[3]{\sum_{#1}^{#2}\limits{#3}}
\newcommand{\ouvert}[2]{\left ] #1, #2 \right [}
\newcommand{\ouvdroite}[2]{\left [ #1, #2 \right [}
\newcommand{\integ}[4]{\displaystyle{\int_{#1}^{#2}#3 \, d#4}}
\newcommand{\Argsh}[1]{\,\mathrm{Argsh} #1}




\begin{center}
SESSION DE 1992

\smallskip
\rule{15mm}{1pt}

\bigskip
\textbf{Options M et P'}

\smallskip
\rule{15mm}{1pt}

\bigskip
\textbf{{\Large {\'E}PREUVE DE MATH{\'E}MATIQUES I}}

DUR{\'E}E : 4 heures

\smallskip
\rule{15mm}{1pt}
\end{center}

\textit{L'{\'e}preuve est compos{\'e}e de deux probl{\`e}mes ind{\'e}pendants qui peuvent {\^e}tre abord{\'e}s dans un ordre quelconque.}

\textit{La pr{\'e}cision des solutions et la clart{\'e} de la mise en page seront des {\'e}l{\'e}ments essentiels dans l'appr{\'e}ciation des copies. En particulier aucune d{\'e}monstration comportant l'application d'un th{\'e}or{\`e}me d'interversion de limites ne sera prise en compte en l'absence de son {\'e}nonc{\'e} exact.}

\bigskip
\begin{center}{\large PREMIER PROBL{\`E}ME}\end{center}

\medskip
Pour tout r{\'e}el $\alpha$ et tout r{\'e}el $x$ on note : $f_{\alpha}(x) = \somme{n=1}{+{\infty}}{\dfrac{x^{n}}{n^{\alpha}}}$.

L'objet du probl{\`e}me est l'{\'e}tude de $f_{2}$.

\medskip
\begin{center}\textbf{Partie 1}\end{center}

\smallskip
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Donner suivant les valeurs de $\alpha$ l'ensemble de d{\'e}finition $D_{\alpha}$ de $f_{\alpha}$.
\item Pourquoi l'application $f_{\alpha}$ est-elle ind{\'e}finiment d{\'e}rivable sur $\ouvert{-1}{1}$ ?
\end{enumerate}

\item {\'E}tude de la continuit{\'e} et de la d{\'e}rivabilit{\'e} {\`a} droite en $-1$ :
\begin{enumerate}
\item Pour quelles valeurs de $\alpha$, $f_{\alpha}$ est-elle continue {\`a} droite en $-1$ ?
\item Pour $\alpha > 1$, {\'e}tudier la d{\'e}rivabilit{\'e} de $f_{\alpha}$ {\`a} droite en $-1$.
\item Calculer $f'_{2}(-1)$ (nombre d{\'e}riv{\'e} {\`a} droite de $f_{2}$ en $-1$).
\end{enumerate}

\item {\'E}tude de la continuit{\'e} et de la d{\'e}rivabilit{\'e} {\`a} gauche en $1$ :
\begin{enumerate}
\item Pour quelles valeurs de $\alpha$, $f_{\alpha}$ est-elle continue {\`a} gauche en $1$ ?
\item Si $1 \notin D_{\alpha}$, montrer que $\lim_{\substack{x \to 1 \\ <}}\limits {f_{\alpha}(x)} = +{\infty}$.
\item Pour $\alpha > 2$, {\'e}tudier la d{\'e}rivabilit{\'e} de $f_{\alpha}$ {\`a} gauche en $1$.
\end{enumerate}

\item \begin{enumerate}
\item {\'E}tudier le signe de $f'_{\alpha}$ sur $\ouvert{-1}{1}$ lorsque $\alpha > 1$.
\item Exprimer $f_{1}(x)$ et $x f'_{2}(x)$ {\`a} l'aide de fonctions classiques sur $\ouvdroite{-1}{1}$.
\item Calculer la limite {\`a} gauche en $1$ de $f'_{2}$.
\end{enumerate}

\item  Calcul de $f_{2}(1)$ et $f_{2}(-1)$ :

Soit $g$ la fonction $2\pi$-p{\'e}riodique d{\'e}finie sur $\R$ par :
$$\forall x \in \ouvdroite{0}{2\pi}, g(x) = x^{2}.$$
\begin{enumerate}
\item {\'E}noncer le th{\'e}or{\`e}me de Dirichlet.
\item En l'appliquant {\`a} la fonction $g$ au point $x = 0$, calculer $f_{2}(1)$.
\item En remarquant que $\somme{n=1}{+{\infty}}{\dfrac{1}{n^{2}}} = \somme{n=1}{+{\infty}}{\dfrac{1}{(2n)^{2}}} + \somme{n=1}{+{\infty}}{\dfrac{1}{(2n-1)^{2}}}$, calculer $f_{2}(-1)$.
\end{enumerate}

\item Construire le tableau de variation de $f_{2}$ ; puis tracer avec pr{\'e}cision la courbe repr{\'e}sentative de $f_{2}$ (choisir une unit{\'e} de 5 cm environ).
\end{enumerate}

\bigskip
\begin{center}\textbf{Partie II}\end{center}

\medskip
Dans cette partie, $a_{0}$ est un r{\'e}el positif et $(a_{n})_{n{\geq}1}$ est une suite de r{\'e}els strictement positifs telle que la s{\'e}rie enti{\`e}re $\somme{n{\geq}0}{}{a_{n} x^{n}}$ ait un rayon de convergence {\'e}gal {\`a} $1$.
Lorsqu'elle existe, on note $g(x)$ la somme de cette s{\'e}rie.
De plus, pour tout $n \in \N$, on d{\'e}signe par $S_{n}$ la somme $\somme{k=0}{n}{a_{k}}$.

\begin{enumerate}
\item On suppose dans cette question que $\somme{n{\geq}0}{}{a_{n}}$ converge et on note $R_{n} = \somme{k=n+1}{+{\infty}}{a_{k}}$.
\begin{enumerate}
\item Donner le rayon de convergence de $\somme{n{\geq}0}{}{S_{n} x^{n}}$ et la somme de cette s{\'e}rie enti{\`e}re sur son intervalle ouvert de convergence.
\item En d{\'e}duire que : $\forall x \in \ouvert{-1}{1}, \dfrac{g(x) - g(1)}{x-1} = \somme{n=0}{+{\infty}}{R_{n} x^{n}}$.
\end{enumerate}

\item On suppose dans cette question que $\somme{n{\geq}0}{}{a_{n}}$ diverge et que $(b_{n})_{n \inÊ\N}$ cst une suite {\'e}quivalente {\`a} $(a_{n})_{n \in \N}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\somme{n{\geq}0}{}{b_{n} x^{n}}$ a un rayon de convergence {\'e}gal {\`a} $1$.
\item Prouver que
$$\lim_{\substack{x \to 1 \\ <}}\limits{\dfrac{\somme{n=0}{+{\infty}}{b_{n}x^{n}}}{\somme{n=0}{+{\infty}}{a_{n}x^{n}}}} = 1.$$
\end{enumerate}

\item D{\'e}duire des questions II.1. et II.2. que lorsque $x$ tend vers $1$ par valeurs inf{\'e}rieures :
$$\somme{n=1}{+{\infty}}{\dfrac{x^{n}}{n^{2}}} = \dfrac{\pi^{2}}{6} + (1-x) \ln{(1-x)} + o\left [(1-x) \ln{(1-x)}\right ].$$
\end{enumerate}

\bigskip
\begin{center}DEUXI{\`E}ME PROBL{\`E}ME\end{center}

\medskip
\textbf{Notations :} $a$ est un r{\'e}el strictement positif.

\hspace{15mm}$(\rho_{n})_{n \inÊ\N}$ d{\'e}signe une suite de fonctions continues sur $\segment{0}{a}$ v{\'e}rifiant les trois propri{\'e}t{\'e}s suivantes :
\begin{enumerate}
\item[i.] $\forall n \inÊ\N, \forall x \in \segment{0}{a}, \rho_{n}(x) {\geq} 0$ ;
\item[ii] $\forall n \in \N, \integ{0}{a}{\rho_{n}(x)}{x} = 1$ ;
\item[iii] Pour tout $\alpha \in \ouvert{0}{a}$, la suite $(\rho_{n})_{n \in \N}$ converge uniform{\'e}ment vers la fonction nulle sur $\segment{\alpha}{a}$.
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\item \textit{Exemple 1.}

Montrer que la suite $(\varphi_{n})_{n \in \N}$ d{\'e}finie par :
$$\forall x \in \segment{0}{1}, \forall n \in \N, \varphi_{n}(x) = (n+1) (1-x)^{n}$$
v{\'e}rifie les propri{\'e}t{\'e}s i., ii. et iii. avec $a=1$.

\item \textit{Exemple 2.}
\begin{enumerate}
\item Calculer suivant la parit{\'e} de $n \in \N$ : $W_{n} = \integ{0}{\pi/2}{\cos^{n}{t}}{t}$.
\item {\'E}tudier le sens de variation de la suite $(W_{n})_{n \in \N}$ et en d{\'e}duire que $W_{n}$ est {\'e}quivalent {\`a} $W_{n+1}$ quand $n$ tend vers $+{\infty}$.
\item Calculer $W_{2p} W_{2p+1}$ et en d{\'e}duire un {\'e}quivalent de $W_{n}$ sous la forme $A n ^{-\frac{1}{2}}$ avec $A \in \R_{+}^{*}$.
\item On d{\'e}finit la suite $(\psi_{n})_{n \in \N}$ par :
$$\forall n \in \N, \forall x \in \segment{0}{\dfrac{\pi}{2}}, \psi_{n}(x) = \dfrac{1}{W_{n}} \cos^{n}{x}.$$

Montrer qu'elle v{\'e}rifie les propri{\'e}t{\'e}s i., ii. et iii. avec $a = \dfrac{\pi}{2}$.
\end{enumerate}

\item Soit $f$ une fonction continue sur $\R$ et {\`a} valeurs dans $\R$.

Pour tout $n \in \N$ on pose : $\forall x \in \R, f_{n}(x) = \integ{0}{a}{f(x-t) \rho_{n}(t)}{t}$.
\begin{enumerate}
\item Si $K$ est une partie compacte de $\R$, justifier l'uniforme continuit{\'e} de $(x, t) \mapsto f(x-t)$ sur $K \times \segment{0}{a}$.
\item Prouver que pour tout $\alpha \in \ouvert{0}{a}$ et pour tout $x \inÊ\R$ :
$$f_{n}(x) -f(x) = \integ{0}{\alpha}{\left [f(x-t)-f(x)\right ] \rho_{n}(t)}{t} + \integ{\alpha}{a}{\left [f(x-t)-f(x)\right ] \rho_{n}(t)}{t}.$$
\item D{\'e}montrer que la suite $(f_{n})$ converge uniform{\'e}ment vers $f$ sur tout compact de $\R$. [On pourra utiliser 3.a. et 3.b.].
\end{enumerate}

\item \textit{Applications :}
\begin{enumerate}
\item $g$ est continue sur $\segment{0}{1}$ et v{\'e}rifie $g(1) {\neq} 0$.

Donner un {\'e}quivalent de $u_{n} = \integ{0}{1}{g(t) t^{n}}{t}$.

\item $g$ est continue sur $\segment{0}{\dfrac{\pi}{2}}$ et v{\'e}rifie $g(0) {\neq} 0$.

Donner un {\'e}quivalent de $v_{n} = \integ{0}{\pi/2}{g(t) \cos^{n}{t}}{t}$.
\end{enumerate}

\item Soient $b$ et $c$ deux r{\'e}els tels que $b < c$ et $h$ une application de classe $C^{1}$ sur $\segment{b}{c}$ {\`a} valeurs dans $\R$.
\begin{enumerate}
\item Si $h'$ ne s'annule pas sur $\segment{b}{c}$, expliquez bri{\`e}vement pourquoi $h$ est un diff{\'e}omorphisme de classe $C^{1}$ de $\segment{b}{c}$ sur un intervalle $I$ que l'on pr{\'e}cisera suivant le signe de $h'$.

Rappelez alors l'expression de la d{\'e}riv{\'e}e de $h^{-1}$.
\item On suppose que $h' > 0$ sur $\segment{b}{c}$ et que $0 = h(b) < h(c) {\leq} 1$.

En effectuant le changement de variables $u = \dfrac{h(t)}{h(c)}$, donner un {\'e}quivalent de $\integ{b}{c}{\left [h(t)\right ]^{n}}{t}$ de la forme $\dfrac{B}{n} \left [h(c)\right ]^{n}$ avec $B \in \R^{+}$.

[On pourra utiliser la question 4.a.]
\end{enumerate}

\item \textit{Applications :}
\begin{enumerate}
\item Donner un {\'e}quivalent de $x_{n} = \integ{0}{t}{\left [\Argsh{x}\right ]^{n}}{x}$.
\item Calculer la limite de $y_{n} = \integ{0}{n}{\left(1 - \dfrac{t}{n}\right)^{n} e^{\alpha t}}{t}$ quand $n$ tend vers $+{\infty}$ lorsque $\alpha \inÊ\ouvert{0}{1}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
