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\begin{document}


%En-t{\^e}te et pied de page
\lhead{Navale 92 Maths 2 (et ESTP 1975)}
\rhead{page \thepage}
\cfoot{}

%Num{\'e}rotation
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\arabic{enumi}. --}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\textit{\alph{enumii}.}} }

%Macros
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\somme}[3]{\sum_{#1}^{#2}\limits{#3}}
\newcommand{\produit}[3]{\prod_{#1}^{#2}\limits{#3}}
\newcommand{\limite}[3]{\lim_{#1 \to #2} \limits #3}


\begin{flushright}
{\'E}COLE NAVALE

\medskip
\rule{2cm}{1pt}

\medskip
Concours 1992

\medskip
\rule{2cm}{1pt}
\end{flushright}

\vspace{1cm}
\begin{center}
\textbf{\textit{Deuxi{\`e}me composition de math{\'e}matiques}}

\medskip
\rule{2 cm}{1pt}

\medskip
Dur{\'e}e : 3 heures
\end{center}


\bigskip
\begin{center}\textbf{I.}\end{center}

\medskip
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que si $(u_{n})$ est une suite strictement positive telle que la s{\'e}rie de terme g{\'e}n{\'e}ral $u_{n}$ diverge, et si la suite $(v_{n})$ converge vers $l$, alors la suite $w_{n} = \dfrac{\somme{p=0}{n}{u_{p} v_{p}}}{\somme{p=0}{n}{u_{p}}}$
converge vers $l$.

\item La convergence de $w_{n}$ entra{\^i}ne-t-elle celle de $v_{n}$ ?
\end{enumerate}

\item D{\'e}terminer $\limite{n}{+{\infty}}\left [{\produit{p=1}{n}{\left(1 + \dfrac{1}{p}\right)}}\right ]^{1/n}$.

\item \begin{enumerate}
\item Montrer que si $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont deux suites strictement positives {\'e}quivalentes telles que les s{\'e}ries de termes g{\'e}n{\'e}raux $u_{n}$ et $v_{n}$ divergent  alors les sommes partielles $S_{n} = \somme{p=0}{n}{u_{p}}$ et $S'_{n} = \somme{p=0}{n}{v_{p}}$ sont des suites {\'e}quivalentes.

\item En d{\'e}duire que un {\'e}quivalent de $\somme{k=1}{n}{\dfrac{1}{k}}$.
\end{enumerate}

\item Montrer plus pr{\'e}cis{\'e}ment que $\gamma_{n} = \somme{k=1}{n}{\dfrac{1}{k}} - \ln{n}$ tend vers une limite $\gamma$ que l'on ne cherchera pas {\`a} calculer. Pr{\'e}ciser le sens de variation de $\gamma_{n}$ et l'encadrer par deux entiers cons{\'e}cutifs, calculer $\gamma_{100}$ et $\gamma_{1000}$.

{\'E}crire un programme en Pascal permettant le calcul de $\gamma_{n}$.

\item \begin{enumerate}
\item Montrer que si $u_{n}$ est le terme g{\'e}n{\'e}ral d'une s{\'e}rie positive et que pour $n {\geq} 1, \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}} = 1 - \dfrac{\lambda}{n} + v_{n}$ o{\`u} $v_{n}$ est le terme g{\'e}n{\'e}ral d'une s{\'e}rie absolument convergente, alors :

$\ln{\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}} = -\dfrac{\lambda}{n} + w_{n}$ o{\`u} $w_{n}$ est le terme g{\'e}n{\'e}ral d'une s{\'e}rie absolument convergente.

\item En d{\'e}duire qu'il existe $A > 0$ tel que $u_{n}$ est {\'e}quivalent {\`a} $\dfrac{A}{n^{\lambda}}$.

\item {\'E}tudier la s{\'e}rie de terme g{\'e}n{\'e}ral $u_{n} = \dfrac{1 \cdot 3 \cdots (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdots (2n) (2n+2)}$.
\end{enumerate}

\item \begin{enumerate}
\item On dit que la s{\'e}rie de terme g{\'e}n{\'e}ral $u_{n}$ converge au sens de Cesaro si la suite $\sigma_{n} = \dfrac{S_{0} + S_{1} + S_{2} + {\dots} + S_{n}}{n+1}$ converge, o{\`u} $S_{n} = \somme{k=0}{n}{u_{k}}$.

Prouver que si la s{\'e}rie converge, elle converge au sens de Cesaro.

\item On suppose que la s{\'e}rie de terme g{\'e}n{\'e}ral $u_{n}$ converge au sens de Cesaro et que $\limite{n}{+{\infty}}{n u_{n}} = 0$.
Montrer que la s{\'e}rie est convergente.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\bigskip
\begin{center}\textbf{II.}\end{center}

\medskip
\begin{enumerate}
\item Soit la suite r{\'e}currente d{\'e}finie par $u_{0}$ et $(\forall n \in \N) \, u_{n+1} = u_{n} + u_{n}^{2}$.

{\'E}tudier sa convergence suivant les valeurs de $u_{0}$ et pr{\'e}ciser sa limite.

\item \begin{enumerate}
\item On suppose que la suite converge mais n'est pas stationnaire et on pose $v_{n} = -u_{n}$ ; quelle relation de r{\'e}currence v{\'e}rifie $v_{n}$ ?
Montrer que $v_{n}$ est {\'e}quivalent {\`a} $v_{n+1}$.

\item On pose $a_{n} = \dfrac{1}{v_{n}} - \dfrac{1}{v_{n-1}}$, montrer que $(a_{n})$ converge et en d{\'e}duire un {\'e}quivalent de $v_{n}$.

\item Quelle est la nature des s{\'e}ries de termes g{\'e}n{\'e}raux $v_{n}$, $\sin{\left(v_{n}^{2}\right)}$ et $\dfrac{v_{n}}{\sqrt{n}}$ ?

\item Soit $b_{n} = a_{n} - 1$. Montrer que $b_{n}$ tend vers z{\'e}ro et en trouver un {\'e}quivalent.

\item En d{\'e}duire la nature de la s{\'e}rie $t_{n} = v_{n} - \dfrac{1}{n}$.
\end{enumerate}

\item Pour quelles valeurs de $u_{0}$ la suite $(u_{n})$ tend-elle vers l'infini ?

Montrer qu'alors $u_{n}^{2}$ est {\'e}quivalent {\`a} $u_{n+1}$.

Prouver que la suite $P_{n} = \dfrac{\ln{u_{n}}}{2^{n}}$ a une limite $\lambda$ que l'on ne cherchera pas {\`a} calculer.

\item On suppose jusqu'{\`a} la fin de la partie II $u_{0}$ strictement positif.
La limite $\lambda$ est fonction de $u_{0}$ seulement. Montrer que c'est une fonction croissante de $u_{0}$, que $\lambda > 0$ et que pour tout $n \in \N$,
$\lambda - \dfrac{\ln{u_{n}}}{2^{n}} < \dfrac{1}{2^{n} u_{n}}$.

\item Quelle est la nature des s{\'e}ries de termes g{\'e}n{\'e}raux $\dfrac{1}{u_{n}}$ et $\dfrac{(-1)^{n}n}{u_{n}}$ ?
\end{enumerate}

\bigskip
\begin{center}\textbf{III}\end{center}

\medskip
\begin{enumerate}
\item {\'E}tudier la suite r{\'e}currente d{\'e}finie par $u_{0}$ et $u_{n+1} = \dfrac{1+u_{n}}{\sqrt{1+u_{n}^{2}}} - 1$.

\item {\'E}tudier les s{\'e}ries de termes g{\'e}n{\'e}raux $u_{n}^{2}$ et $u_{n}$.
\end{enumerate}

\bigskip
\begin{center}\rule{2cm}{1pt}\end{center}

\end{document}
