% ENSI 1992 PH - M : fonctions de BESSEL
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\grostitre{ENSI PH-M 1992}

\partietitre{$a$ et $b$}

\let\t=\theta

\para{1.a)}
$a(x,\t+\pi) = \cos(x \sin(\t+\pi)) = \cos (-x\sin\t) = a(x,\t)$ donc
\encadre{$a$ est $\pi-$p\'eriodique.}
De m\^eme $b$ est $2\pi-$p\'eriodique.

Ce n'est pas demand\'e mais $a$ est paire et $b$ impaire (par rapport 
\`a $\t$).

b) \'Etude sans probl\`emes majeurs, en utilisant les sym\'etries.
Je me contente du graphe (mais il faut un tableau de variation).
\smallskip

\centerline{\scaledpicture 180mm by 90mm (graphe scaled 600) }

\para{2.a)}
Classiquement ($\sin^{2p}\t \; d\t = -\sin^{2p-1}\t \; 
d(\cos\t)\dots$) on trouve
$I_p = \dfrac{2p-1}{2p} I_{p-1}$ (c'est plus pratique qu'entre $p$ et 
$p+1$) d'o\`u
\reponse{$I_p = \dfrac{(2p)!}{4^p (p!)^2}\pi$}
\para{2.b)}
ATTENTION ! L'\'enonc\'e pr\'ecise bien qu'il s'agit des fonctions de 
la variable
r\'eelle $\t$, et non pas de $x$. On a d'ailleurs la convergence 
normale sur $\R$, puisque
$$
  \left| (-1)^n\dfrac{x^{2n} \sin^{2n}\t}{(2n)!} \right| \le 
\dfrac{x^{2n} }{(2n)!}
  \qquad\hbox{terme g\'en\'eral d'une s\'erie num\'erique convergente
  (de somme $\ch x$).}
$$
\para{2.c)}
On en d\'eduit la convergence uniforme de la s\'erie de fonctions (de 
$\t$) ce qui autorise \`a int\'egrer
terme \`a terme dans la suite d'\'egalit\'es suivante, o\`u
l'on remplace cos par son d\'eveloppement en s\'erie enti\`ere:
$$
  \dfrac1\pi \Int_0^\pi \cos(x\sin\t) \;d\t =
  \dfrac1\pi \Int_0^\pi \Sum_{n=0}^{+\infty } (-1)^n\dfrac{x^{2n} 
\sin^{2n}\t}{(2n)!} \;d\t =
  \Sum_{n=0}^{+\infty } (-1)^n\Int_0^\pi \dfrac{x^{2n} 
\sin^{2n}\t}{\pi (2n)!}\;d\t
$$
et cela donne bien
$$
  \Sum_{n=0}^{+\infty }\dfrac{(-1)^n x^{2n} I_n}{\pi (2n)!} =
  \Sum_{n=0}^{+\infty }\dfrac{(-1)^n }{(n!)^2} \dfrac{x^{2n}}{2^{2n}}
$$
\para{2.c)}
Compte tenu de $$
   \cos^2 t = \dfrac{1+\cos 2t}2 \qquad \sin^2 t = 1 - \cos^2 t
$$
il vient, changeant $x$ en $2x$ et utilisant le c),
$$
  \dfrac1\pi \Int_0^\pi \cos^2(x\sin\t) \;d\t =
  \dfrac1{2\pi} \Int_0^\pi (1+\cos(2x\sin\t) )\;d\t =
  \dfrac12 + \dfrac12\Sum_{n=0}^{+\infty }\dfrac{(-1)^n }{(n!)^2} x^{2n}
  = 1 + \dfrac12\Sum_{n=1}^{+\infty }\dfrac{(-1)^n }{(n!)^2} x^{2n}
$$
$$
  \dfrac1\pi \Int_0^\pi \sin^2(x\sin\t) \;d\t =
  -\dfrac12\Sum_{n=1}^{+\infty }\dfrac{(-1)^n }{(n!)^2} x^{2n}
  = \dfrac{x^2}2 - \dfrac{x^4}8 +\dots
$$
\para{3.a)}
Pour exploiter la sym\'etrie autour de $\pi/2$ on fait le changement
de variable $t= \pi-\t$, qui
transforme chacune de ces deux int\'egrales en son oppos\'e:
elles sont donc toutes deux nulles [l'\'ecrire !]
\para{3.b)}
Les fonctions $a$ et $b$ (de $\t$, \`a $x$ fix\'e) sont $\cal C^1$ 
par morceaux,
continues, et $2\pi-$p\'eriodiques, le th\'eor\`eme de Jordan-Dirichlet permet
donc d'affirmer qu'elles sont \'egales \`a la somme de leurs s\'eries 
de FOURIER.

Il vient compte tenu de la parit\'e (qui permet d'\'eviter le calcul 
de la moiti\'e des coefficients)
$$
  \alpha_n(a) = \dfrac2\pi \Int_0^\pi \cos(x\sin\t) \cos n\t\;d\t
  = \dfrac1\pi \Int_0^\pi \cos(x\sin\t+ n\t)\;d\t + \dfrac1\pi 
\Int_0^\pi \cos(x\sin\t - n\t)\;d\t
$$
On a vu ci-dessus que cette int\'egrale est nulle quand $n=2p+1$;
pour $n=2p$ il reste $J_{2p}(x) + J_{-2p}(-x)$.
De m\^eme,
$$
  \beta_n(b) = \dfrac2\pi \Int_0^\pi \sin(x\sin\t) \sin n\t\;d\t
  = \dfrac1\pi \Int_0^\pi \cos(x\sin\t - n\t)\;d\t -\dfrac1\pi 
\Int_0^\pi \cos(x\sin\t - n\t)\;d\t
$$
vaut 0 si $n$ est pair et $J_{2p-1}(x) + J_{-2p-1}(-x)$ quand $n=2p+1$.
\proclaim Lemme.
  On a $J_{-n} = (-1)^n J_n$.
\par
En effet,
$$
  J_{-n}(x) = \dfrac1\pi \Int_0^\pi \cos(x\sin\t + n\t)\;d\t
  \overbrace{=}^{\t = -t} -\dfrac1\pi \Int_0^{-\pi} \cos(x\sin t + n t)\;dt
  \overbrace{=}^{t= u-\pi} \dfrac1\pi \Int_0^{-\pi} (-1)^n \cos(-x\sin 
u + n u)\;dt
$$
ce qui donne le r\'esultat par parit\'e de cos.

Gr\^ace \`a ce lemme (et compte tenu du facteur 1/2 de $\alpha_0$ 
dans le DSF de $a$)
$$
  \cos(x\sin\t) = J_0(x) + 2\sum_1^{\infty } J_{2p}(x) \cos 2p\t \qquad
  \sin(x\sin\t) = 2\sum_1^{\infty } J_{2p+1}(x) \cos (2p+1)\t
$$
\para{3.c)}
Par combinaison lin\'eaire des \'equations ci-dessus, on trouve bien
$$
   e^{ix\sin\t} = \cos(x\sin\t) + i \sin(x\sin\t) =
   J_0(x) + 2\sum_1^{\infty } J_{2p}(x) \cos 2p\t + 2\sum_1^{\infty } 
J_{2p+1}(x) \cos (2p+1)\t
$$
et en re-rempla\c cant $2J_{2p}$ par $J_p + J_{-p}$ (resp.
$2J_{2p+1}$ par $J_{2p+1} - J_{-2p-1}$) cela donne bien
\reponse{$e^{ix\sin\t} = \Sum_{-\infty }^{+\infty } J_n(x) e^{ni\t}$}
(au sens du cours, c'est\`a dire qu'une somme partielle de cette 
s\'erie est une somme
de $-n$ \`a $n$).

\para{4.a)}
Le th\'eor\`eme de PARSEVAL (avec un S) s'applique effectivement car $a$ et $b$
sont continues (par morceaux) par rapport \`a la variable $\t$. On trouve
avec les notations ci-dessus
$$
  J_0(x)^2 + 2 \Sum_{p=1}^{+\infty } J_{2p}(x)^2 =
    \dfrac{\alpha_0^2}4 + \dfrac12 \sum_{n=1}^{+\infty } \alpha_n^2
     = \dfrac1{2\pi} \Int_{-\pi}^\pi a^2(x,t) \dt
     = \dfrac1\pi \Int_0^\pi \cos^2(x \sin t) \dt
$$
et
$$
  2 \Sum_{p=0}^{+\infty } J_{2p+1}(x)^2 =
    \dfrac12 \sum_{n=1}^{+\infty } \beta_n^2
     = \dfrac1{2\pi} \Int_{-\pi}^\pi b^2(x,t) \dt
     = \dfrac1\pi \Int_0^\pi \sin^2(x \sin t) \dt
$$
\para{b)}
En additionnant, on trouve
$$
  J_0^2(x) + 2 \sum_1^\infty  J_k^2(x) =
  \dfrac1\pi \Int_0^\pi \cos^2(x \sin t) \dt + \dfrac1\pi \Int_0^\pi 
\sin^2(x \sin t) \dt
  = \dfrac1\pi \int_0^\pi 1 = 1
$$
En soustrayant,
$$
  J_0^2(x) + 2 \sum_1^\infty  (-1)^k J_k^2(x) =
  \dfrac1\pi \Int_0^\pi \bigl(\cos^2(x \sin t) -\sin^2(x \sin t) \bigr)\dt
  = \dfrac1\pi \int_0^\pi (\cos 2x\sin t)\dt = J_0(2x)
$$
%
NB: la premi\`ere identit\'e permet de majorer $J_k(x)$. \goodbreak

\partietitre{Une \'equation diff\'erentielle}

\para{1.}
La fonction $(x,\t)\mapsto \cos(x\sin \t - n\t)$ \'etant visiblement
$\cal C^\infty $, son int\'egrale sur un segment fix\'e est $\cal 
C^\infty $ par
rapport \`a la variable $x$ et on obtient les d\'eriv\'ees en d\'erivant sous
le signe $\int$, d'apr\`es le th\'eor\`eme de LEIBNI(T)Z. Donc
$$
  J_n^{(k)}(x) = \dfrac1\pi \int_0^\pi \sin^k t \cos(x\sin t - n t+k\pi/2)\dt
$$
En particulier,
$J'_n(x) = -\dfrac1\pi \int_0^\pi \sin t \sin(x\sin t - n t)\dt$ et
$J''_n(x) = -\dfrac1\pi \int_0^\pi \sin^2 t \cos(x\sin t - n t)\dt$.
\para{2.a)}
On en d\'eduit en ajoutant
$$
  x^2(J''_n(x) + J_n(x)) = \dfrac1\pi \int_0^\pi x^2 \cos^2 t 
\cos(x\sin t - n t)\dt
$$
Faisons ce qu'on nous demande: exprimons gr\^ace \`a une 
int\'egration par parties
$$
  x J'_n(x) = -\dfrac1\pi \int_0^\pi x\sin(x\sin t - nt)(\sin t \dt)
  = \overbrace{\dfrac1\pi \Bigl[ {x\cos t\sin(x\sin t - nt)}\Bigr]_0^\pi}^{=0}
  - \dfrac1\pi \int_0^\pi (x\cos t- n) x\cos t\cos(x\sin t - nt) \dt
$$
En d\'eveloppant et en utilisant la relation pr\'ec\'edente, on trouve bien
l'expression voulue.
\para{2.b)}
Reste \`a prouver que la derni\`ere int\'egrale vaut bien $n^2 J_n$ !
Si cela est vrai on aura prouv\'e que $J_n$ v\'erifie $(E_n)$. Pour 
cela, \'ecrivons
habilement
$$
  \dfrac{n}\pi \int_0^\pi x\cos t \cos(x\sin t-nt)\dt
  = \dfrac{n}\pi \int_0^\pi (x\cos t-n+n) \cos(x\sin t-nt)\dt
$$
Comme $\Int_0^\pi (x\cos t-n) \cos(x\sin t-nt)\dt = \Bigl[ \sin(x\sin 
t - nt)\Bigr]_0^\pi = 0$
il reste seulement $\dfrac{n}\pi \int_0^\pi n\cos(x\sin t-nt)\dt =n^2 
J_n(x)$, cqfd.
\para{3.a)}
L'in\'egalit\'e de TAYLOR-LAGRANGE permet d'affirmer que $R_p$ est major\'e
par $\dfrac{\sup\limits_{[0,x]} |J_n^{(p+1)}|}{(p+1)!}$.

(On y parvient aussi bien avec la formule du reste int\'egral).
Or $|J_n^{(p+1)}(x)| \le \dfrac1\pi \Int_0^\pi 1 = 1$
(en majorant sin et cos par 1), donc $R_p$ tend (vigoureusement) vers 0.

Cela signifie que $J_n$ est somme d'une s\'erie enti\`ere, sa s\'erie 
de TAYLOR (Mac-Laurin).

Comme cela est vrai pour tout $x\in\R$, c'est que le rayon de 
convergence est infini.
\para{3.b)}
Cette formule d\'econcertante \'evoquera dans l'esprit du taupin 
cultiv\'e la lin\'earisation
d'une puissance de sinus. Non ? pourtant:
$$
  J_n^{(k)}(x) = \dfrac1\pi \Int_0^\pi \sin^k t \cos(x\sin t - nt)\dt
  = \dfrac1\pi \Int_0^\pi \dfrac{(e^{it}-e^{-it})^k}{(2i)^k} 
\cos(x\sin t - nt)\dt
$$
$$
  = \dfrac{(-1)^k}{2^k \pi } \Int_0^\pi \Sum_{j=0}^k C_k^j (-1)^{k-j} 
e^{ijt - (k-j)it} \cos(x\sin t - nt)\dt
  = \dfrac1{2^k \pi } \Int_0^\pi \Sum_{j=0}^k C_k^j (-1)^{j} 
e^{(2j-k)it} \cos(x\sin t - nt)\dt
$$
et comme (laissant tomber la partie imaginaire puisque le r\'esultat final
doit \^etre r\'eel)
$$
  \int_0^\pi \cos{(2j-k)t} \cos(x\sin t - nt)\dt =
  \int_0^\pi \cos(x\sin t - (n+k-2j)t)\dt =
  \int_0^\pi \cos(x\sin t - (n-k+2j)t)\dt
$$
(on a $\int \cos (u + v) = \int \cos(u-v) = \int \dfrac12(\cos (u+v) 
+ \cos(u-v))
= \int \cos u \cos v$ car $\int \sin u\sin v = 0$)
il reste seulement
\reponse{$ J_n^{(k)}(x)
  = \dfrac1{2^k \pi } \Sum_{j=0}^k C_k^j (-1)^{j} \Int_0^\pi\cos(x\sin 
t - (n-k+2j)t)\dt
  = \dfrac1{2^k } \Sum_{j=0}^k C_k^j (-1)^{j} J_{n-k+2j}$}
NB: la r\'ecurrence n'est pas claire (sur $n$ plutôt que $k$ ?),
il est polus usuel de trouver $J_n^{(k)}(0)$ en d\'erivant
$k-2$ fois l'\'equation diff\'erentielle $(E_n)$ !
\para{3.c)}
D'abord, $J_k(0) = \dfrac1\pi \Int_0^\pi \cos nt \dt=0$ SAUF si $n=0: 
J_0(0)=1$.

On d\'eduit donc de la relation pr\'ec\'edente qu'au point 0, tous 
les termes sont nuls,
sauf si il existe un $i=p\in\N$ tel que $n-k+2p=0$; alors $k=n+2p$ et
\reponse{$ J_{n}^{(n+2p)}(0) = \dfrac{(-1)^p C_{n+2p}^p}{2^{n+2p}}
   = \dfrac{(-1)^p (n+2p)!}{p!(n+p)!2^{n+2p}}$}
\para{3.d)}
On en tire tout de suite
$$
  J_n(x) = \Sum_{k=0}^\infty  \dfrac{J_n^{(k)}(0)}{k!} x^k
  = \Sum_{p=0}^\infty  \dfrac{J_n^{(n+2p)}(0)}{(n+2p)!} x^{n+2p}
  = \left(\dfrac{x}2\right)^n \Sum_{p=0}^\infty 
\dfrac{(-1)^p}{p!(n+p)!}\left(\dfrac{x}2\right)^{2p}
$$
\para{4.a)}
Il vient une relation de r\'ecurrence:
$$
  0 = x^2 y'' + x y' + (x^2 - n^2)y=
  \Sum_{k\ge 2} a_{k} k(k-1) x^k + \Sum_{k\ge 1} a_{k} k x^k
  - n^2 \Sum_{k\ge 0} a_k x^k + \Sum_{k\ge 2} a_{k-2} x^k
$$
d'o\`u par le principe d'identification des s\'eries enti\`eres
$$
   a_k (k(k-1) + k - n^2) = a_k(k^2 - n^2) = - a_{k-2} \qquad \forall k\ge 2
$$
De plus on doit avoir $n^2 a_0 = 0 =a_1(1-n^2)$.
\para{4.b)}
Successivement, $a_{n+2} = -\dfrac{a_n}{4n+4},
  a_{n+4} = -\dfrac{a_{n+2}}{(n+4)^2 - n^2} =\dfrac{a_n}{(8n+16)(4n+4)}
  = \dfrac{a_n}{(n+1)(n+2) 4^2 2!}\dots$
  $$
  a_{n+2k} = -\dfrac{a_{n+2k-2}}{(n+2k)^2 - n^2} = 
-\dfrac{a_{n+2k-2}}{4(n+k)k} = \dots=
  (-1)^k a_n \dfrac{n!}{4^k k! (n+k)!}
$$
En DESCENDANT ontrouve que $a_{n-2}=0$ puis $a_{n-2k}=0$, donc les termes
dont l'indice a la parit\'e que $n$ et est plus petit que $n$ sont tous nuls.
Par (im)parit\'e de $J_n$ ($J_n(-x) = (-1)^n J_n(x)$ ) on en d\'eduit que
TOUS LES TERMES d'indice $<n$ sont nuls.
On retrouve exactement la formule du {\bf 3.d)} (stup\'efiant !)
\`a une constante arbitraire pr\`es, \`a savoir $a_n$.

\para{4.c)}
On a trouv\'e un degr\'e de libert\'e pour les solutions 
\'eventuelles de $(E_n)$ d\'eveloppables
en s\'erie enti\`ere (sur \R), elles forment donc une droite 
vectorielle [les fonctions de BESSEL
de SECONDE ESP\`ECE forment l'autre branche de solutions, elles 
explosent en 0]:
en effet il y en a effectivement une v\'eritable, \`a savoir $J_n$, et
les autres y sont proportionnelles.\goodbreak

\partietitre{Orthogonalit\'e}


\para{1.}
Un seul point pose probl\`eme: supposons que $f$ est continue et 
$(f\bullet f)=0$.

Alors, comme
$h:x\mapsto x f(x)^2$ est positive et CONTINUE sur $[0,1]$
on en d\'eduit que $h$ est identiquement nulle sur $[0,1]$ par un 
lemme classique
du cours d'int\'egration. On en d\'eduit la nullit\'e de $f$ sur $]0,1]$ puis
en 0 par continuit\'e. Ceci montre que la forme (visiblement 
bilin\'eaire sym\'etrique
et positive) est d\'efinie, c'est bien un produit scalaire.

\para{2.a)}
Il suffit de calculer $y' = \alpha J'_n(\alpha x)$ et $y'' = \alpha^2 
J''_n(\alpha x)$
et d'injecter dans $(E_n)$ au point $\alpha x$.

\para{2.b)}
Utilisons $J_n(\alpha x) = y$ et $J_n(\beta x) = z$ :
avec beaucoup d'imagination et l'id\'ee culturelle
de consid\'erer $w = y'z-yz'$, on trouve que
$$
  (x w)' = (xy'z - xyz')' = x(y''z - z''y) + y'z-yz'
  = (\beta^2 - \alpha^2)x yz
$$
car $x^2 (y'' z-z''y) = (-xy'+(n^2-\alpha^2x^2)y)z + (xz' - 
(n^2-\alpha^2x^2)z)y
= x(z'y-y'z) + (\beta^2 - \alpha^2)x^2 yz$.

La primitive demand\'ee est donc $xyz'-xy'z$ !
\para{2.c)}
La propri\'et\'e admise r\'esulterait d'une \'etude locale de $J_n$: 
ses z\'eros sont isol\'es
et il n'y a pas de suite de z\'eros tendant vers l'origine.

D' apr\`es la question pr\'ec\'edente, on a pour $y = y_k$ et $z = y_\ell$
(avec des indices $k$ et $\ell$ distincts)
$$
  (y_k\bullet y_\ell)=(y\bullet z) = \Int_0^1 x y z
  = \dfrac1{\alpha^2 - \beta^2} \Bigl[ xyz'-xy'z\Bigr]_0^1
  = \dfrac1{\alpha^2 - \beta^2} (J_n(s_k) z'(1)-y'(1) J_n(s_\ell)) = 0
$$
puisque $y$ et $z$ s'annulent en 1 par construction !

Ce qui d\'emontre que les $(y_k)$ forment une famille orthogonale
pour le produit scalaire d\'efini dans cette partie.
De l'importance PRATIQUE du calcul des 0 de $J_n$ pour qui veut 
reconstruire un signal
par projection orthogonale sur cette famille.



\bye

