
%%%%%   Polyn\^omes de Bezout. D'après Saint-Cyr, 1992. Modifications minimes. Lire rem. en lignes 12 et 45.


\documentclass[10pt]{article}
\addtolength{\textwidth}{100pt}
\addtolength{\evensidemargin}{-50pt}
\addtolength{\oddsidemargin}{-50pt}
\addtolength{\textheight}{100pt}
\addtolength{\topmargin}{-50pt}

%\usepackage{oldnbs11}  %%% Si oldnbs11 absent, taper \def\old#1{#1} pour neutraliser la macro.
\usepackage[dvips]{epsfig}
\usepackage{psfrag}     %Pour inclure des figures
\usepackage[dvips]{graphics}
\usepackage{amsmath, amsfonts, amssymb, mathrsfs}
\usepackage[french]{babel}

%   REDEFINITIONS :
%
\DeclareMathOperator{\tghyp}{th}
\DeclareMathOperator{\cotg}{cotg} \DeclareMathOperator{\sinhyp}{sh}
\DeclareMathOperator{\tang}{tg}\DeclareMathOperator{\Ker}{Ker}
\DeclareMathOperator{\Img}{Im}\DeclareMathOperator{\Arctg}{Arc\,tg}
\DeclareMathOperator{\Arccos}{Arc\,cos}\DeclareMathOperator{\Log}{Log}
\DeclareMathOperator{\Arcsin}{Arc\,sin} \DeclareMathOperator{\coshyp}{ch}
\DeclareMathOperator{\pgcd}{pgcd}
\newcommand{\acco}[1]{\left\{#1\right\}} % donne {.......}
\newcommand{\pare}[1]{\left(#1\right)}
\newcommand{\croc}[1]{\left[#1\right]}
\newcommand{\trema}[1]{\"#1}
\newcommand{\virg}{\raise1.5pt\hbox{,}\ }
\newcommand{\pnt}{\raise1.5pt\hbox{.}\ }
\def\jfrac#1#2{\raisebox{2pt}{$#1$}/\raisebox{-2pt}{$#2$}}
\def\dbind#1{_{_#1}}  %Passage direct en indice d'indice
\newcommand{\CR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\CC}{\mathbb{C}}
\newcommand{\CK}{\mathbb{K}}
\newcommand{\CN}{\mathbb{N}}
\newcommand{\CZ}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\CQ}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\Id}{\mathbb{I}}
\newcommand{\NI}{\noindent}
\newcommand{\RD}[1]{\mathcal{#1}}
\newfont{\cmmd}{rsfs10 at 12pt}   %%%Substituez-lui callig15, ou eucal si rsfs10 absente de votre distribution.
\def\rd#1{\uppercase{\text{\cmmd #1}}}
\newcommand{\eg}[1]{\og #1\fg\,}
\newcommand{\MG}[1]{\marginpar{#1}}
\newcommand{\NOTE}[1]{(\footnote{#1})}
\newcommand{\GM}{\mathfrak{M}}
\newcommand{\accol}[2]{\left\{\begin{array}{#1}#2\end{array}\right.}
\def\citation#1{\nobreak\bigbreak  {\hbox to \hsize{\hfill\let\\=\cr\null%
 \hfill\vbox{\halign{\it##\hfill\cr#1\hfill\crcr}}}}}
%Mode math : Mettre dans #1 les indications de centrage l/c/r et dans #2 le contenu de
%l'accolade. La syntaxe est par exemple $\accol{ccr}{a&b&c\\d&e&f}$.
\newcommand{\ssi}{si, et seulement si,}
%\newcommand{\oaf}{$\m@th\braceld\leaders\vrule\hfill\bracerd$}
%\newcommand{\surarc}[1]{\mathop{\vbox{\ialign{##\crcr\noalign{kern3\p@}\oaf\crcr
%\noalign{\kern3\p@\nointerlineskip}$\hfill\displaystyle{#1}\hfill$\crcr}\limits}}}
\newcommand{\egaldef}{\stackrel{{\scriptscriptstyle{d\acute{e}f}}}{=}}
\newcommand{\mq}[1]{montr{#1} que}
\newcommand{\Mq}[1]{Montr{#1} que}
\newcommand{\mqp}[1]{montr{#1} qu'}
\newcommand{\Mqp}[1]{Montr{#1} qu'}
\newcommand{\resp}[1]{respective{#1}}
\newcommand{\ev}{espace vectoriel}
\newcommand{\eev}{espaces vectoriels}
\newcommand{\sev}{sous-espace vectoriel}
\newcommand{\ssev}{sous-espaces vectoriels}
\newcommand{\cad}{c'est-\`a-dire}
\newcommand{\pbar}{\rule[-1pt]{0.4pt}{9pt}}   % pbar signifie p(etite) barre
\newcommand{\dpbar}{\pbar\,\pbar}       % dpbar signifie d(ouble) p(etite) barre
\def\cadre#1{\vbox{\hrule\hbox{\vrule\vbox spread 2pt{\vfil\hbox spread 2pt{\hfil#1\hfil}\vfil}\vrule}\hrule}}
\newcommand{\norme}[1]{\,\dpbar\,#1\,\dpbar\,}
\newcommand{\subord}[1]{\pbar\,\pbar\,\pbar\ #1\,\pbar\,\pbar\,\pbar\,}
\newcommand{\scal}[2]{<#1,\,#2>}
\newcommand{\ioo}[2]{\left]\,#1\,;\,#2\,\right[} % Intervalle ouvert à gauche et à droite, ad lib.
\newcommand{\iofm}[2]{\left]\,#1\,;\,#2\,\right]}
\newcommand{\ifmo}[2]{\left[\,#1\,;\,#2\,\right[}
\newcommand{\fleche}[1]{\overrightarrow{\vphantom{M}#1}}
%\renewcommand{\longmapsto}{\,\epsfbox{d:/tex/fleches.1}\,}
%\renewcommand{\longrightarrow}{\,\epsfbox{d:/tex/fleches.2}\,}
\newcommand{\etc}[1]{#1\,\dots\,#1}
\newenvironment{marges}[2]{\begin{list}{}{%
\setlength{\topsep}{0pt}%
\setlength{\leftmargin}{0pt}%
\setlength{\rightmargin}{0pt}%
\setlength{\listparindent}{\parindent}%
\setlength{\itemindent}{\parindent}%
\setlength{\parsep}{0pt plus 1pt}%
\addtolength{\leftmargin}{#1}%
\addtolength{\rightmargin}{#2}%
}\item }{\end{list}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\newcommand{\ifmfm}[2]{\left[\,#1\,;\,#2\,\right]}
\newcommand{\dsp}{\displaystyle}
\renewcommand{\le}{\leqslant}
\renewcommand{\ge}{\geqslant}
%Trois points SW-NE
\def\adots{\mathinner{\mkern2mu\raise1pt\hbox{.}
\mkern3mu\raise4pt\hbox{.}\mkern1mu\raise7pt\hbox{.}}}
\newcommand{\bloc}[4]{\begin{pmatrix}#1&#2\\#3&#4\end{pmatrix}}
\newcommand{\pol}[1]{\CR_{#1}[X]}
\newcommand{\bin}[2]{{\textbf C}_{#1}^{#2}}
%\newcommand{}{}
%\newcommand{}{}
%\newcommand{}{}
%\newcommand{}{}
%\newfont{\cmmd}{callig15}
%\newfont{\deft}{cmr10}\Log\coth\cotg
\newcounter{cpart}\newcounter{num}[cpart]\newcounter{sousnum}[num]\newcounter{ssnum}[sousnum]   
\newcommand{\partie}[1] {\noindent\refstepcounter{cpart}{\large{\textbf{Partie\ \Roman{cpart}#1}}}}
\newcommand{\quest}{\noindent\refstepcounter{num}{\textbf{\thenum.\,}}}                        
\newcommand{\squest}{\refstepcounter{sousnum}{\textbf{\thenum.\thesousnum\,}}}                 
\newcommand{\ssquest}{\refstepcounter{ssnum}{\textbf{\thenum.\thesousnum\roman{ssnum}\,}}}  

%Pied de page numéroté : supprimer le % en dernière ligne.
\makeatletter\font\@upstt=cmr10\def\ps@ups{\let
\@mkboth\@gobbletwo \let\@oddhead\@empty%
\def\@oddfoot{\@upstt\hfil Saint\,--\,Cyr, {1992}\ - page
\thepage\ifodd\count0\hfill\fi}%
\let\@evenhead\@empty\let\@evenfoot\@addfoot}%
\ifx\numerodepage\undefined\else\count0 =\numerodepage\fi\makeatother \pagestyle{ups}
%   TEXTE :
\begin{document}\language=1\NI
Dans tout l'\'enonc\'e, $n$ d\'esigne un entier naturel. Si $p$ et $q$ sont des entiers 
naturels, on d\'esigne par $\bin p q$  le nombre de combinaisons de $p$ objets $q$ \`a $q$. 
On \'etudie dans ce probl\`eme les couples de polyn\^omes $\pare{F_n,\,G_n}$ de $\pol{n-1}$ v\'erifiant (E$_n$)~: $(1-X)^nF_n+X^nG_n=1$.\\\\
\partie{ -- \'Etude des couples $\pare{F_n,\,G_n}$}\\\\
\quest a) Du calcul de $\pare{(1-X)+X}^{2n-1}$ d\'eduire l'existence d'un couple 
$(F_n,\,G_n)$ solution de (E$_n$). On ne demande pas pour l'instant d'en expliciter les coefficients.\\
b) On admet {\em provisoirement} l'unicit\'e du couple solution de (E$_n$) pour $n$ fix\'e. Expliciter $F_1,\,F_2,\,F_3$ et en d\'eterminer 
les \'eventuels z\'eros r\'eels.\\\\
\quest a) D\'eterminer en fonction de $F_n$ et $G_n$ l'ensemble des couples $(A,\,B)$ dans 
$\pol{}$ v\'erifiant la relation $(1-X)^nA+X^nB=1$ pour $n$ fix\'e.\\
b) Montrer l'unicit\'e du couple $(F_n,\,G_n)$ solution de (E$_n$).\\\\
\quest a) Calculer $F_n(0)$ et $F_n(1)$.\\
b) Comparer $G_n(X)$ et $F_n(1-X)$. En d\'eduire la valeur de $F_n(1/2)$.\\\\
\partie{ -- \'Equation diff\'erentielle v\'erifi\'ee par $F_n$}\\\\
Dans cette partie, on suppose $n\ge2$.\\\\
\quest D\'eduire de (E$_n$) que $F_n$ est solution de (\rd e$_n$) : 
$ny-(1-x)y'=a_n\bin{2n-1}nx^{n-1}$, o\`u $a_n$ s'exprime simplement en fonction de $n$.\\\\
\quest D\'eterminer les coefficients de $F_n$. V\'erifier qu'ils sont tous positifs.\\\\
\quest En d\'eduire que 
$$\accol{ccl}{\bin{2n-2}{n-1}&=&\dsp\sum\limits_{k=0}^{n-1}(-1)^{n-1-k}\,\vspace{2mm}\bin{2n-1}k\\\bin{2n-1}n&=&\dsp\sum\limits_{k=0}^{n-1}\bin{k+n-1}k}$$
\\\partie{ -- Nombre de z\'eros r\'eels de $F_n$}\\\\
Dans cette partie, on suppose $n\ge2$ et on pose $A_n(X)=(1-X)^nF_n(X)$.\\\\
\quest\Mq{er} $A_n$ est un polyn\^ome et en pr\'eciser le terme de plus haut degr\'e.\\\\
\quest\Mq{er} $0$ et $1$ sont des z\'eros de $A'_n$. En pr\'eciser l'ordre de 
multiplicit\'e.\\\\
\quest En d\'eduire que, pour tout r\'eel $x$, 
$A_n(x)=1-a_n\,\bin{2n-1}n\dsp\int_{0}^{x}t^{n-1}(1-t)^{n-1}\ \text{d}\hspace{-0.02em}t$. 
Quelle est la valeur de $\dsp\int_{0}^{1}t^{n-1}(1-t)^{n-1}\ \text{d}\hspace{-0.02em}t$ ?\\\\
\quest \'Etudier le signe de $A_n(x)$, puis celui de $F_n(x)$, selon les valeurs de $x$ et de 
$n$. En d\'eduire que, pour tout $p\ge1$, $F_{2p}$ admet un unique z\'ero r\'eel, que l'on 
d\'esignera par $x_p$.\\\\
\partie{ -- \'Etude de la suite $p\ge1\longmapsto x_p$}\\\\
\quest\Mq{er} $\forall\,p\ge1,\,(x_p)^{2p}F_{2p}(1-x_p)=1$. En d\'eduire que 
$\forall\,p\ge1,\,|x_p|\le\pare{\,\bin{4p-1}{2p-1}}^{-\frac{1}{2p}}$.\\\\
\quest\Mq{er} $\forall n\ge3,\,2^n\le\,\bin{2n-1}{n-1}$. En d\'eduire un encadrement de $x_p$ 
{\em ind\'ependant de $p$}.\\\\
\quest a) En utilisant {\bf I.2}, \mqp{er, en les explicitant,}il existe deux r\'eels $a$ et 
$b$ tels que $$(1-X)F_n=F_{n-1}+(aX+b)X^{n-1}$$ pour tout $n\ge2$.\\
b) En d\'eduire que, pour $n\ge3$, 
$(1-X)^2F_n=F_{n-2}+(1-2X)X^{n-2}\,\bin{2n-3}{n-1}\pare{-X^2+X+\dfrac{n-1}{4n-6}}$.\\\\
\quest On pose $Q_p=-X^2+X+\dfrac{2p-1}{8p-6}$ pour $p\ge1$.\\
a) \Mq{er} $Q_p$ admet un unique z\'ero r\'eel n\'egatif, not\'e $y_p$, que l'on exprimera en 
fonction de $p$.\\
b) D\'eterminer sens de variation et limite de la suite $p\ge1\longmapsto y_p$.\\\\
\quest a) D\'eterminer par r\'ecurrence le signe de $F_{2p}(y_p)$, pour $p\ge1$.\\
b) En d\'eduire le signe de $y_p-x_p$ pour $p\ge1$ puis celui de $F_{2p-2}(x_p)$ pour 
$p\ge2$.\\
c) \Mq{er} la suite $(x_p)$ est monotone et converge vers une limite 
$L\le\dfrac{1-\sqrt2}{2}$\,\pnt\\\\
\partie{ -- D\'etermination de la valeur de $L$}\\\\
{\bf\'Etablir} le {\em th\'eor\`eme de {\sc Ces\`aro}} : si $(u_n)_{n\ge0}$ est une suite 
r\'eelle de limite $u$, alors $v_n=\dfrac{1}{n}\dsp\sum\limits_{k=0}^{n-1}u_k$ converge 
\'egalement vers $u$.\\\\
\quest D\'eterminer la limite de la suite $(u_k)$ d\'efinie par 
$$\accol{l}{u_0=\Log6\\\text{pour } k\ge1,\,u_k=\Log\pare{(2k+2)\,\bin{4k+3}{2k+2}}-\Log\pare{2k\,\bin{4k-1}{2k}}}$$
et en d\'eduire celle de $\pare{\pare{2p\,\bin{4p-1}{2p}}^{1/(2p-1)}}$.\\\\
\quest Pour $n\ge1$ et $x>0$, on\vspace{1.5mm} pose $I_n(x)=\dsp\int_{0}^{x}u^n(1+u)^n\ 
\text{d}\hspace{-0.02em}u$.\\
a) Soit $y\in\ioo0 x$\,\!; \vspace{1mm}\mq{er} $y(x-y)^n(1+x-y)^n\le I_n(x)\le x^{n+1}(1+x)^n$.\\
b) En d\'eduire que $\dsp\lim_{n\to +\infty}\pare{I_n(x)}^{1/n}=x(1+x)$.\\\\
\quest a) Calculer $I_{2p-1}(-x_p)$.\\
b) \Mq{er} $I_{2p-1}(-L)\le\pare{2p\,\bin{4p-1}{2p}}^{-1}$.\\
c) En d\'eduire le signe de $L^2-L-\dfrac{1}{4}$ puis la valeur exacte de $L$.\\
\end{document}

