\documentclass[11pt,a4paper]{article}
%\usepackage{amssymb,amsmath,frenchle}
\usepackage{amssymb,amsmath,francais}
%\usepackage[latin1]{inputenc}
\setlength{\oddsidemargin}{-1cm} \setlength{\topmargin}{-75pt} \setlength{\textheight}{26,1cm}
\setlength{\textwidth}{17.5cm}
\newcommand{\dps}{\displaystyle}
\newcommand{\ud}{\mathrm{d}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\Rs}{\mathbb{R}^*}
\newcommand{\Cs}{\mathbb{C}^*}
\newcommand{\Qs}{\mathbb{Q}^*}
\newcommand{\Zs}{\mathbb{Z}^*}
\newcommand{\Ns}{\mathbb{N}^*}
\newcommand{\Rp}{\mathbb{R}_+}
\newcommand{\Rm}{\mathbb{R}_-}
\newcommand{\Rps}{\mathbb{R}_+^*}
\newcommand{\Rms}{\mathbb{R}_-^*}
\newcommand{\pa}{\textbf{a)}}
\newcommand{\pb}{\textbf{b)}}
\newcommand{\pc}{\textbf{c)}}
\newcommand{\pd}{\textbf{d)}}
\newcommand{\pe}{\textbf{e)}}
\newcommand{\po}{\textbf{o}}
\newcommand{\Kev}{$ \K$-espace vectoriel }
\newcommand{\Rev}{$ \R$-espace vectoriel }
\newcommand{\Cev}{$ \C$-espace vectoriel }
\newcommand{\ev}{espace vectoriel }
\newcommand{\sev}{sous-espace vectoriel }
\newcommand{\sevs}{sous-espaces vectoriels }
\newcommand{\e}{\textrm{e}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi )}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii )}}
\def\inter#1{[\hskip-1.5pt[#1]\hskip-1.5pt]}


\def\num#1{\bigskip\hskip-7mm{\bf #1}.~~}
\def\snum#1{\medskip\hskip-7mm({#1})~}


\begin{document}

%\hspace{15cm} \textbf{\underline{PSI* 02-03}}\\
%\begin{center}
% \fbox{\Large {\textbf{CORRIG\'E DM N$^o$8 EIVP  1992 \'EPREUVE COMMUNE }}}
%\end{center}

\begin{center}
\fbox{\Large {\textbf{CORRIG\'E EIVP  1992 \'EPREUVE COMMUNE }}} \vspace*{0.5cm}
\end{center}

\textbf{\underline{Partie I : }}\\


\begin{enumerate}
    \item \begin{enumerate}
        \item  $\bullet$ Si $(x_n)$ est born\'ee, il existe un r\'eel $M \in \R$ tel que $\forall k \in \N \ , \ |x_k|\leqslant
        M$. \\
        On a alors : $|y_n| = \dps \frac{1}{n+1} \left| \dps \sum_{k=0}^n x_k \right| \leqslant \dps \frac{1}{n+1}
        \dps  \sum_{k=0}^n |x_k| \leqslant M \dps \frac{n+1}{n+1} = M$. \\
        ce qui prouve que \fbox{$(y_n)$ est born\'ee}. \\[0.1cm]
        \hspace*{0.5cm} $ \bullet$ \underline{La r\'eciproque est fausse} comme le prouve le contre-exemple
        suivant : \\

        Soit $(x_n)$ d\'efinie par $x_n = (-1)^n n$. On a alors :
        \begin{itemize}
            \item Si $n$ est pair ($n=2p$) : $\dps \sum_{k=0}^n x_k = (-1+2)+(-3+4)+...+((-2p+1)+2p)=p=\dps
            \frac{n}{2}$, d'o\`u $y_n = \dps \frac{n}{2(n+1)}$. \smallskip
            \item et si $n$ est impair ($n=2p+1$), on a $\dps \sum_{k=0}^n x_k =p- (2p+1) = -p-1$,
            d'o\`u $|y_n| = \dps \frac{-(n+1)}{2(n+1)}= \dps \frac{-1}{2}$.\\ \smallskip
            On a donc : $\dps \lim_{n \rightarrow + \infty} |y_n|= \dps \frac{1}{2}$, donc $(y_n)$ est born\'ee,
            alors que $(x_n)$ ne l'est pas.\\
        \end{itemize}


        \item $ \bullet$ Si $(x_n)$ tend vers $l$, alors $(y_n)$ tend vers $l$ : il s'agit du c\'el\`ebre
        \underline{th\'eor\`eme de C\'esaro}, vu en cours, et dont je ne reproduis pas ici la d\'emonstration. \\[0.1cm]
         $\bullet$ La r\'eciproque est fausse, comme le montre l'exemple de la suite $(x_n)$ d\'efinie
        par $x_n=(-1)^n$ : on a alors $ \dps \lim y_n = 0$, alors que $(x_n)$ diverge. \\[0.1cm]
        \textit{\underline{Rem : } Un exercice int\'eressant consiste \`a d\'emontrer que, si $\dps \lim y_n = l$ ET
        si $(x_n)$ est monotone, alors on a $\dps \lim x_n = l$...} \\ \bigskip
    \end{enumerate}
    \item
    \begin{enumerate}
        \item Si $m$ \'etait strictement positif, on aurait, par d\'efinition de la limite,
         $\dps \frac{u_{n+1}-u_n}{(u_n)^{\alpha}} >0$ \`a partir d'un certain rang $N$, soit $u_n \geqslant u_N
         >0$ pour $n \geqslant N$, ce qui est contradictoire avec l'hypoth\`ese $u_n \rightarrow 0$. \\
         \centerline{\fbox{Ainsi, $m<0$}} \\
        \item On a :  $\dps \frac{u_{n+1}-u_n}{u_n^{\alpha}}  \rightarrow m$, soit
        $\dps \frac{u_{n+1}-u_n}{u_n^{\alpha}} = m + o(1)$ et $u_{n+1}-u_n = m u_n^{\alpha} +
        o(u_n^{\alpha})$, d'o\`u l'on tire : $u_{n+1}^{- \beta}= \big( u_n + m u_n^{\alpha} + o(u_n^{\alpha}
        \big)^{- \beta} = u_n^{- \beta} \big( 1 + m u_n^{\alpha-1} + o(u_n^{\alpha-1}) \big) ^{-\beta}$.
        \\[0.1cm]
        Or, $u_n^{\alpha-1}$ tend vers $0$ quand $n \rightarrow \infty$ (car $\alpha >1$), et l'on sait que
        $(1+x)^{- \beta} = 1 - \beta x + o(x)$ au voisinage de $0$, d'o\`u $u_{n+1}^{- \beta} - u_n^{- \beta} = -
        m \beta u_n^{\alpha - 1 - \beta} + o(u_n^{\alpha-1-\beta})$. \\[0.1cm]
        Ainsi, $u_{n+1}^{- \beta} - u_n^{- \beta}$ a une limite finie non nulle pour : \fbox{$ \beta = \alpha -
        1$}. \\
                \item {$\bullet$} On a donc, pour $\beta = \alpha-1$, en posant $v_n =u_{n+1}^{1- \alpha} -
                u_n^{1-\alpha}$, $\dps \lim_{n \rightarrow \infty}v_n = -m(\alpha-1)$. \\
                D'apr\`es, 1.a, on a donc aussi $\dps \lim_{n \rightarrow \infty}w_n = -m(\alpha-1)$. Or : $$ w_n=
                \dps \frac{1}{n+1 } \dps \sum_{k=0}^n \big( u_{n+1}^{- \beta} - u_n^{- \beta} \big) = \dps
                \frac{1}{n+1}\big( u_{n+1}^{- \beta} - u_0^{- \beta} \big) $$ donc $\dps \lim_{n \rightarrow
                \infty} \dps \frac{u_n^{- \beta}}{n }= \dps \lim_{n \rightarrow + \infty}w_{n-1} = -m(\alpha -1 )$, soit $u_n^{- \beta}  \underset{n
                \rightarrow \infty} {\sim} -m n (\alpha-1)$ et, finalement : \\[0.1cm]
                \centerline{\fbox{$u_n \underset{n \rightarrow \infty}{\sim} {\left( m n (1- \alpha) \right)}^
                {\frac{1}{1- \alpha}}$}} \\[0.2cm]
                {$\bullet$} D'apr\`es les r\`egles de comparaison sur les s\'eries \`a termes r\'eels positifs, $\sum u_n$
                converge ssi $\sum n ^{\frac{1}{1-\alpha}}$ converge, soit (s\'eries de Riemann) $\dps
                \frac{1}{1-\alpha}< -1$ c'est-\`a-dire : \underline{$ \alpha <2$} (avec toujours $\alpha >1$). \\
    \end{enumerate}
    \item
    \begin{enumerate}
    \item On consid\`ere ici la suite $u$ d\'efinie par : $u_{n+1}=u_n-u_n^2$. \\
    Il est clair que $(u_n)$ est d\'ecroissante.\\
    \hspace*{0.5cm} $ \bullet$ \underline{si $u_0 < 0$ }, alors $(u_n)$ ne peut \^etre minor\'ee, car sinon elle
    convergerait vers un r\'eel $l$ tel que $l=f(l)$, soit $l=0$, ce qui est impossible car $u_n \leqslant u_0 <0$ pour tout $n$.
    Ainsi, $(u_n)$ est d\'ecroissante non minor\'ee, d'o\`u : $\dps \lim_{n \rightarrow \infty} u_n = - \infty$. \\
    \hspace*{0.5cm} $\bullet$ \underline{si $u_0 > 1$}, alors $u_1<0$, et on est ramen\'e au cas pr\'ec\'edent.
    \\[0.1cm]
    \hspace*{0.5cm} $\bullet$ Enfin, \underline{si $u_0 \in [0,1]$}, puisque $f([0,1])=[0, \frac{1}{4}] \subset
    [0,1]$, on a $u_n \in [0,1]$ pour tout $n$. $(u_n)$ \'etant d\'ecroissante minor\'ee, converge; sa limite $l$
    v\'erifie $l=f(l)$, d'o\`u $ \dps \lim_{n \rightarrow \infty}u_n = 0$. \\[0.1cm]
    \centerline{\fbox{Conclusion : $E=[0,1]$}}
    \hspace*{0.5cm}$\bullet$ \begin{itemize}
        \item Si $u_0 \notin [0,1]$, $u_n$ ne tend pas vers $0$, donc $\sum u_n$ diverge. \\
        \item Si $u_0=0$ ou $u_0=1$, on a $u_n=0$ pour $n \geqslant1$, donc $\sum u_n$ converge. \\
        \item Si $u_0 \in ]0,1[$ : $(u_n)$ est \`a termes strictement positifs et converge vers $0$;
         on a : $\dps \frac{u_{n+1}-
        u_n}{u_n^2} =-1$; on peut donc appliquer ce qui pr\'ec\`ede avec $\alpha=2$, et on en d\'eduit que $\sum u_n$
        diverge. \\
    \end{itemize}
     \centerline{\fbox{Conclusion : $F=\{0,1 \}$}}

     \item Ici , $f(x)= \dps \frac{x}{1 + \sqrt{|x|}}$. \\
     $ \bullet$ \underline{Si $u_0 \geqslant 0$}, on a $u_n \geqslant 0$ pour tout $n$ (r\'ecurrence facile), d'o\`u
     $u_{n+1}= \dps \frac{u_n}{1+\sqrt{u_n}} \leqslant u_n$. La suite $(u_n)$ est donc d\'ecroissante, minor\'ee par
     $0$, donc converge vers un r\'eel $l$ tel que f(l)=l, soit $l=0$. \\
     $\bullet$ \underline{Si $u_0 \leqslant 0$}, on trouve de la m\^eme fa\c{c}on que $(u_n)$ est croissante major\'ee, et qu'elle
     converge vers $0$. \\
     \centerline{\fbox{Conclusion : $E=\R$}}
     $\bullet$ \begin{itemize}
        \item  Si $u_0=0$, on a $u_n=0$ pour tout $n$, donc $\sum u_n$ converge. \\
        \item  Si $u_0 >0$, alors $(u_n)$ est \`a termes strictement positifs et converge vers $0$, et on peut appliquer les r\'esultats
        pr\'ec\'edents. On a, puisque $u_n \rightarrow 0$, $u_{n+1}-u_n = \dps \frac{u_n}{1+\sqrt{u_n}} -u_n =
         u_n(1- \sqrt{u_n}+o(\sqrt{u_n})-u_n$, d'o\`u $\dps \lim_{n \rightarrow +\infty}
          \dps \frac{u_{n+1}-u_n}{(u_n)^\frac{3}{2}}=-1$. D'apr\`es les r\'esultats de la question 2) (ici, $\alpha
          = \dps \frac{3}{2}$), la s\'erie $\sum u_n$ converge. \\
        \item Si $u_0 <0$, on applique les r\'esultats pr\'ec\'edents \`a la suite $(-u_n)$, et on aboutit au m\^eme
        r\'esultat. \\
     \end{itemize}
\centerline{\fbox{Conclusion : $F=\R$}}
     \end{enumerate}
    \end{enumerate}

\hrulefill


    \textbf{\underline{Partie II : }}\\

    \begin{enumerate}
        \item Si $F \neq \emptyset$, il existe $u_0$ tel que la s\'erie $\sum u_n$ converge, ce qui implique $\dps
        \lim_{n \rightarrow \infty} u_n =0$. Puisque $\dps \lim_{n \rightarrow \infty} u_n$ est une solution de
        l'\'equation $f(x)=x$ ($f$ est continue en $0$), on a : \underline{$f(0)=0$}. \\ \bigskip
        \item
        \begin{enumerate}
        \item $f$ \'etant d\'erivable en $0$, et puisque l'on a $f(0)=0$, on a : $\dps \lim_{x \rightarrow 0}
        \dps \frac{f(x)}{x}=f'(0)$, ce qui s'\'ecrit aussi : $$ \forall \varepsilon>0 \ , \ \exists \eta >0
        \textrm{ tq } \forall x \in ]-\eta,\eta[ \ , \ \left| \dps \frac{f(x)}{x} - f'(0) \right| < \varepsilon
        \ \textrm{ d'o\`u } |f(x)| < ( \varepsilon + |f'(0)|)|x| $$
        En choisissant $\varepsilon$ tel que $M=\varepsilon + |f'(0)|<1$ (ce qui est possible), on aura :
             $$ \forall x \in ]-\eta, \eta[, \
             |f(x)| \leqslant M|x| $$
            Cela prouve que l'intervalle $]-\eta, \eta[$ est stable par $f$. De plus, si $u_0 \in ]-\eta,
            \eta[$, on aura $u_n \in ]-\eta,\eta[$ pour tout $n$ et $|u_{n+1}|\leqslant M |u_n|$, d'o\`u, par
            r\'ecurrence, $|u_n|\leqslant M^n |u_0|$. D'apr\`es les r\`egles de comparaison sur les s\'eries \`a termes
            positifs, puisque $\sum M^n$ converge ($M<1$), la s\'erie $\sum u_n$ est absolument convergente, donc
            convergente. \\[0.2cm]
            \centerline{\fbox{Conclusion : $]-\eta, \eta[ \subset F$}}

            \item On a ici $f(x) = \dps \frac{x+x^3}{3}$. On trouve facilement : $f(x)=x \Leftrightarrow x \in
            \{- \sqrt{2},0, \sqrt{2} \}$. \\

            $\bullet$\begin{itemize}
            \item  \underline{Si $u_0 > \sqrt{2}$} : on v\'erifie facilement que l'intervalle $]\sqrt{2},+
            \infty[$ est stable par $f$, et que, pour tout $x \in ]\sqrt{2},+ \infty[$, $f(x)>x$. La suite
            $(u_n)$ est donc croissante; si elle \'etait major\'ee, elle convergerait vers une limite $l$ telle que
            $f(l)=l$ et $l\geqslant u_0 > \sqrt{2}$, ce qui est impossible. Par cons\'equent,
             $\dps \lim_{n \rightarrow \infty} u_n = + \infty$. \\
             \item \underline{Si $u_0 <- \sqrt{2}$} : on montre de la m\^eme fa\c{c}on que
             $\dps \lim_{n \rightarrow \infty} u_n = - \infty$ (ou on se ram\`ene au cas pr\'ec\'edent en changeant $u_0$ en $-u_0$,
              puisque $f$ est impaire). \\
              \item  \underline{Si $u_0 \in \{-\sqrt{2},0,\sqrt{2}\}$}, la suite $(u_n)$ est constante, donc
              converge ! \\
              \item \underline{Si $u_0 \in ]0, \sqrt{2}[$}, on v\'erifie facilement que l'intervalle $]0,
              \sqrt{2}[$ est stable par $f$, et que, pour tout $x \in ]0,\sqrt{2[}$, $f(x)<x$. La suite $(u_n)$
              est donc d\'ecroissante; \'etant minor\'ee par $0$, elle converge vers un r\'eel $l$ tel que $l \in
              [0,u_0]$ et $f(l)=l$, soit : $l=0$. \\
              \item Enfin, on obtient le m\^eme r\'esultat pour $u_0 \in ]-\sqrt{2},0[$. \\[0.2cm]
               \centerline{\fbox{Conclusion : $E=[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$}}\\
               \end{itemize}
               $\bullet$ Pour que $\sum u_n$ converge, il faut d\'ej\`a avoir $u_n \rightarrow 0$, soit $u_0 \in
               ]-\sqrt{2},\sqrt{2}[$. \\
               Dans ce cas : on a ici $f'(0)= \dps \frac{1}{3}$, d'o\`u $|f'(0)|<1$. $\eta$ \'etant d\'efini comme
               dans la question pr\'ec\'edente, on a, puisque $\dps \lim u_n=0$ : $\exists N \in \N$ tq $ \forall n
               \geqslant N, \ u_n \in ]- \eta, \eta[$. \\
               Puisque $]-\eta,\eta[ \subset F$, la s\'erie $\dps \sum_{n \geqslant N} u_n$ converge, et, par
               cons\'equent, la s\'erie $\dps \sum_{n \in \N} u_n$ aussi. \\[0.2cm]
               \textit{Rem : } On pouvait aussi utiliser la r\`egle de d'Alembert, en remarquant que, si $u_0 \neq
               0$, $\dps \lim_{n \rightarrow + \infty} \left| \dps \frac{u_{n+1}}{u_n}\right| =
               \dps \lim_{n \rightarrow + \infty} \left| \dps \frac{1+u_n^2}{3}\right| = \dps
               \frac{1}{3}$...\\[0.1cm]
\centerline{\fbox{Conclusion : $F=]-\sqrt{2}, \sqrt{2}[$}}\\
            \item $\bullet$ Remarquons d'abord que, s'il existe $N$ tel que $u_N=1$, alors la suite est
            stationnaire et vaut $0$ pour $n\geqslant N+1$, donc converge, ainsi que la s\'erie $\sum u_n$. \\
            $\bullet$ Si $u_0= \dps \frac{1}{2}$, alors la suite $(u_n)$ est constante \'egale \`a $\dps
            \frac{1}{2}$; elle converge donc, et $\sum u_n$ diverge. \\
            $\bullet$ $f$ \'etant injective (c'est une fonction homographique), si $u_0 \neq \dps \frac{1}{2}$, on
            aura $u_n \neq \dps \frac{1}{2}$ pour tout $n$. On peut alors poser : $v_n = \dps \frac{u_n}{u_n -
            \frac{1}{2}}$, et on a, \underline{en supposant $u_n \neq 1$} : $$v_{n+1} = \dps \frac{u_{n+1}}
            {u_{n+1}- \frac{1}{2}} = \dps \frac{u_n}{2 u_n -1} = \dps \frac{1}{2}v_n$$
            Ainsi, $(v_n)$ est une suite g\'eom\'etrique de raison $\dps \frac{1}{2}$, soit $v_n = \dps
            \frac{1}{2^n}v_0$, d'o\`u l'on tire, puisque $u_n = \dps \frac{1}{2} \dps \frac{v_n}{v_n - 1}$, $u_n =
            \dps \frac{1}{2} \dps \frac{v_0}{v_0-2^n}$, avec $v_0 = \dps \frac{u_0}{u_0 - \frac{1}{2}}$.
            \\[0.1cm]
            Finalement, deux cas se pr\'esentent :
            \begin{itemize}
                \item S'il existe $N$ tel que $u_N=1$, c'est-\`a-dire $\dps \frac{v_0}{v_0 - 2^N} = 2$ soit
                $v_0=2^{N+1}$ soit $u_0 = \dps \frac{2^N}{2^{N+1}-1}$, alors la suite $(u_n)$ converge, ainsi
                que la s\'erie $\sum u_n$ (cf. remarque pr\'ec\'edente). \medskip
                \item Sinon, on a $u_n = \dps \frac{1}{2} \dps \frac{v_0}{v_0-2^n}$ pour tout entier $n$,
                 avec $v_0 = \dps \frac{u_0}{u_0 - \frac{1}{2}}$, donc :
                 \begin{itemize}
                    \item si $v_0=0$, soit $u_0=0$, la suite $(u_n)$ est constante \'egale \`a $0$. \smallskip
                    \item sinon, $u_n \sim \dps \frac{-v_0}{2^{n+1}}$; on a donc $\dps \lim u_n=0$, et $\sum
                    u_n$ convergente (comparaison \`a une s\'erie g\'eom\'etrique). \\
                 \end{itemize}
            \end{itemize}
\centerline{\fbox{Conclusion : $E=\R \textrm{ et } F= \R- \left \{\dps \frac{1}{2} \right \}$}}

\textit{\underline{Remarque :}} on pouvait aussi d\'emontrer que, sauf dans le cas $u_0= \dps \frac{1}{2}$,
$(u_n)$ tend vers $0$, puis conclure comme dans l'exemple pr\'ec\'edent en remarquant que $f'(0) = \dps
\frac{1}{2}$; c'est peut-\^etre plus rapide, mais j'ai tenu \`a vous rappeler ci-dessus comment on \'etudie, en
g\'en\'eral, une suite homographique ... \\

        \end{enumerate}
        \item
        \begin{enumerate}
            \item $\bullet$ S'il existe $p$ tel que $u_p=0$, alors, puisque $f(0)=0$, on a $u_n = 0$ pour tout
            $n \geqslant p$, et la s\'erie $\sum u_n$ converge. \\
            $\bullet$ R\'eciproquement, supposons que la s\'erie $\sum u_n$ converge. \\
            On a, exactement comme dans 2.a : $\exists \eta >0 $ tq $ \forall {x \in ]-\eta, \eta[} \ , \  |f(x)|\geqslant m
            |x|$, avec $m >1$.
            \\
            On a suppos\'e que $\sum u_n$ converge; donc $u_n \rightarrow 0$ et, par d\'efinition de la
            limite, on a : $$\exists N \in \N \textrm{ tq } \forall n \geqslant N, \ u_n \in ]-\eta, \eta[$$
            On aura donc :
            $\forall n \geqslant N, \ |u_{n+1}| \geqslant m |u_n|$ puis, par r\'ecurrence, $|u_n| \geqslant
            m^{n-N}|u_N|$. On a donc n\'ecessairement \underline{$u_N=0$} (sinon, puisque $m>1$, on aurait
            $\dps \lim_{n \rightarrow \infty} u_n = + \infty$ !). \bigskip
            \item $u_0 \in F \ \Leftrightarrow \ \sum u_n { converge } \Leftrightarrow \ \exists p \in \N
            \textrm{ tq }  u_p=0$. \\
            Pour $p \geqslant 1$, $u_p=0 \ \Leftrightarrow \ f(u_{p-1})=0 \ \Leftrightarrow \ u_{p-1}=0$,
            puisque $f$ est injective. \\
            On en d\'eduit facilement par r\'ecurrence que, s'il existe $p$ tel que $u_p=0$, alors $u_0=0$. \\
            \centerline{\fbox{Conclusion : $ F= \{0\}$}}\\
            \item \textit{Solution rapide, car le principe a \'et\'e d\'etaill\'e dans la question 2.b2} : \\
            On consid\`ere cette fois-ci la suite auxiliaire $v_n= \dps \frac{u_n}{u_n-1}$ (pour $u_0 \neq 1)$
            (car les points fixes de $f$ sont $0$ et $1$). On a alors, si $u_n \neq -1$, $v_{n+1}=2v_n$, puis
            $u_n = \dps \frac{2^n v_0}{2^n v_0-1}$, avec $v_0=\dps  \frac{u_0}{u_0-1}$. \\ On en d\'eduit : \\
            $\bullet$
            \begin{itemize}
                \item S'il existe $N$ tel que $u_N=-1$, alors la suite est stationnaire, donc converge.
                \smallskip
                \item Sinon, si $u_0=0$, la suite $(u_n)$ est constante \'egale \`a $0$, donc converge, et si $u_0 \neq 0$,
                $\dps \lim u_n = 1$ et $(u_n)$ converge encore. \\
                \centerline{\fbox{Conclusion : $E=\R $}}
            \end{itemize}
            $\bullet$ Puis, d'apr\`es la question pr\'ec\'edente, $\sum u_n$ converge ssi $u_0=0$ ou il existe
            $p \in \N$ tel que $u_{p+1}=0$, soit $u_p \in \{0,-1\}$.\\ Cela revient \`a dire : $u_0=0$ ou il existe
            $p$ tel que $u_p=-1$, soit $\dps \frac{2^p v_0}{2^p v_0 -1} = -1$, ou encore $v_0= \dps
            \frac{1}{2^{p+1}}$, soit : $u_0 = \dps \frac{1}{1 - 2^{p+1}}$. \\[0.2cm]
\centerline{\fbox{Conclusion : $ F= \{0\} \cup \{ \dps \frac{1}{1-2^{p+1}}, \ p \in \N \}$}}\\

        \end{enumerate}
        \item \begin{enumerate}
            \item $\bullet$ D'apr\`es l'in\'egalit\'e des accroissements finis, on a : $\forall x \in \R,  \ |f(x)| \leqslant
            |x|$, d'o\`u $|u_{n+1}| \leqslant |u_n|$. La suite $(|u_n|)$ est donc d\'ecroissante, minor\'ee par $0$,
            donc converge. \\
            De plus, en d\'erivant, on v\'erifie que les fonctions $x \mapsto f(x)-x$ et $x \mapsto f(x)+x$ sont
            strictement monotones sur $\R$, donc la seule solution de l'\'equation $|f(x)|=|x|$ est $x=0$.
            \\[0.1cm]
            \centerline{\fbox{Ainsi: $ \dps \lim_{n \rightarrow + \infty} u_n =0 \textrm{ et } E=\R$}}\\[0.1cm]
            $\bullet$ De plus, d'apr\`es le th\'eor\`eme des accroissements finis, pour tout $x \in \Rs$, il existe $c
            \in ]0,x[$ tel que : $f(x)=f(0) + x f'(c) = x f'(c)$. \\
            Donc $f(x)$ et $x$ sont de signes contraires, de m\^eme pour $u_{n+1}$ et $u_n$ : ainsi, la suite
            $(u_n)$ est altern\'ee. \\
            La m\^eme in\'egalit\'e donne $|f(x)| \leqslant |x|$, donc $(|u_n|)$ est d\'ecroissante, vers $0$. \\
            La s\'erie de terme g\'en\'eral $u_n$ v\'erifie donc le "crit\`ere sp\'ecial sur les s\'eries altern\'ees", donc
            converge. \\
            \centerline{\fbox{Conclusion : $ F= \R$}}\\
            \item C'est une application imm\'ediate de ce qui pr\'ec\`ede. \medskip
            \item On a ici : $f'(x) = -\textrm{ch}x$, o\`u $f'(0)=-1$ et $ \forall x \in \Rs, \ |f'(x)|>1$. \\
            On ne peut donc pas appliquer le r\'esultat pr\'ec\'edent. On a ici, en fait, $|u_{n+1}| =
            |\textrm{sh}(u_n)| = \textrm{sh}(|u_n|)$. Or, pour $x>0, \ \textrm{sh}(x)>x$, donc, si $u_0 \neq 0$,
            la suite $(|u_n|)$ est strictement croissante, et tend vers $+ \infty$ (car sinon, elle serait
            major\'ee, etc...). \\[0.2cm]
            \centerline{\fbox{Conclusion : $ E= F= \{0\}$}}
        \end{enumerate}
    \end{enumerate}


\hrulefill \\

\textbf{\underline{Partie III : }}\\

\begin{enumerate}
    \item
    \begin{enumerate}
        \item En \'etudiant les fonctions $x \mapsto f(x)$ et $x \mapsto f(x)-x$, on v\'erifie facilement que :$$
        \forall x>0, \ 0<f(x)<x \ \textrm{ et } \ \forall x<0, \ x<f(x)<0 $$
        Ainsi, si $u_0 \geqslant 0$, on a $u_n \geqslant 0$ pour tout $n$, et la suite $(u_n)$ est d\'ecroissante,
        minor\'ee par $0$, donc converge vers une solution de l'\'equation $f(x)=x$, donc vers $0$. \\
        On obtient le m\^eme r\'esultat pour $u_0 \leqslant 0$. \\
        \centerline{\fbox{Conclusion : $ E= \R$}}\\
        \item $\bullet$ Si $u_0=0$, la suite est constante, \'egale \`a $0$, donc la s\'erie enti\`ere $\sum u_n
        x^n$ converge pour tout $x$, soit : \underline{$R = + \infty$}. \\
        $ \bullet$ Sinon, $u_n$ ne s'annule pas ($u_n >0$ si $u_0>0$ et $u_n<0$ si $u_0<0$). Puisque $u_n
        \rightarrow 0$, on a :  $$\dps \lim_{n \rightarrow + \infty} \dps \frac{u_{n+1}}{u_n} =
        \dps \lim_{n \rightarrow + \infty} \dps \frac{f(u_n)-f(0)}{u_n-0} = f'(0)=1 $$
        D'apr\`es la r\`egle de d'Alembert, \underline{$R=1$}. \bigskip
    \end{enumerate}
    \item
    \begin{enumerate}
    \item $\bullet$ On suppose ici $u_0>0$. Donc $(u_n)$ est strictement d\'ecroissante, de limite nulle. \\
    $\bullet$ D'apr\`es la formule de Taylor-Lagrange appliqu\'ee \`a $f'$ (\textit{en rappeler les hypoth\`eses}), on a
    : \\ $ \forall x \in \Rs, \ \exists c_x \in ]0,x[ (\textrm{ ou }]x,0[) \textrm{ tq }$
    $$ f'(x) = f'(0) + \dps \sum_{l=1}^{k-2} \dps \frac{x^l f^{(l+1)}(0)}{l!} + \dps
    \frac{x^{k-1}f^{(k)}(c_x)}{(k-1)!}$$
    soit : $$ f'(x) = 1 + \dps
    \frac{x^{k-1}f^{(k)}(c_x)}{(k-1)!} \textrm { ou } f^{(k)}(c_x) = \dps \frac{(k-1)!}{x^{k-1}}(f'(x)-1)$$
    L'expression de droite \'etant n\'egative pour tout $x$, on obtient, lorsque $x$ tend vers $0$ (et alors, $c_x$
    tend aussi vers $0$), puisque $f^{(k)}$ est continue : \fbox{$f^{k}(0) \leqslant 0$} (et donc $f^{(k)}<0$,
    puisque on l'a suppos\'e $\neq 0$). \\[0.1cm]
    $ \bullet$ D'apr\`es la formule de Taylor-Lagrange appliqu\'ee \`a $f$, on a alors : $$ \forall x \in \Rs,
     \ \exists c_x \in ]0,x[ (\textrm{ ou }]x,0[) \textrm{ tq } f(x) = x + \dps \frac{x^k f^{(k)}(c_x)}{k!}$$
     d'o\`u $f(x)-x \underset{x \rightarrow 0}{\sim} \dps \frac{x^k f^{(k)}(0}{k!}$ \\
     Or, on a vu que, pour $x < 0$, $f(x)-x>0$ et $f^{(k)}(0)<0$. \\
     \underline{$k$ est donc n\'ecessairement impair} (car il faut $x^k<0$ pour $x<0$). \bigskip
    \item D'apr\`es la formule de Taylor-Young : $ f(x) = x + \dps \frac{x^k f^{(k)}(0}{k!} + o(x^k)$ , d'o\`u : \\
    $u_{n+1} = u_n + \dps \frac{u_n^k}{k!}f^{(k)}(0) + o(u_n^k) = u_n \left( 1 + \dps \frac{u_n^{k-1}}{k!}f^{(k)}(0) +
    o(u_n^{k-1}) \right)$ \\ et : $u_{n+1}^{- \beta} = u_n^{- \beta} \left( 1 - \beta  \dps \frac{u_n^{k-1}}{k!}f^{(k)}(0) +
    o(u_n^{k-1}) \right)$ (on a bien $u_n^{k-1} \rightarrow 0$, car $k>1$) \\ d'o\`u enfin : $u_{n+1}^{- \beta} - u_n ^{- \beta} \underset{n \rightarrow
    \infty}{\sim} \dps \frac{- \beta u_n^{k-1-\beta}}{k!} f^{(k)}(0)$.\\[0.1cm]
    Ainsi, $u_{n+1}^{- \beta} - u_n ^{- \beta}$ a une limite finie non nulle ssi \underline{$\beta = k-1$}, et
    cette limite est alors \'egale \`a : $\dps \frac{- \beta }{k!} f^{(k)}(0) = \dps \frac{1-k}{k!} f^{(k)}(0)$.
    \medskip
    \item Comme dans la partie I, on en d\'eduit : $u_n^{- \beta} \sim \dps \frac{-n \beta}{k!} f^{(k)}(0)$, soit
    : \\[0.2cm] \centerline{ \fbox{$u_n \underset {n \rightarrow \infty}{\sim} \left( \dps \frac{1-k}{k!}f^{(k)}(0) n \right)^
    {\frac{1}{1-k}}$}}\\
    \item On a alors : $\dps \frac{u_{n+1}}{u_n} \sim
    \dps \frac{(n+1)^{\frac{1}{1-k}}}{n^{\frac{1}{1-k}}}$, d'o\`u
    $\dps \lim_{n \rightarrow + \infty } \dps \frac{u_{n+1}}{u_n}=1$. D'apr\`es la r\`egle de d'Alembert, le rayon de
    convergence de la s\'erie enti\`ere $ \sum u_n x^n$ est \'egal \`a $1$. \\ De plus : \begin{itemize}
        \item Pour $x=1$, $\sum u_n$ diverge, car $u_n \sim \dps \frac{1}{n^{\frac{1}{k-1}}}$, et, ici, $\dps \frac{1}{k-1}
        \leqslant 1$ (comparaison \`a une s\'erie de Riemann). \smallskip
        \item Pour $x=-1$, $\sum(-1)^n u_n$ converge, d'apr\`es le crit\`ere sur les s\'eries altern\'ees (les
        hypoth\`eses en sont bien v\'erifi\'ees, voir ci-dessus). \\
     \end{itemize}
        \centerline{\fbox{Conclusion : $ G= [-1,1[$}}\medskip
     \item Pour $x \leqslant0$, la s\'erie de terme g\'en\'eral $ u_n x^n$ est altern\'ee, et $|u_nx^n| \leqslant |u_n|$,
     donc le terme g\'en\'eral tend vers $0$, et enfin $\left| \dps \frac{u_{n+1}x^{n+1}}{u_n x^n} \right|
      \leqslant \left| \dps \frac{u_{n+1}}{u_n} \right| \leqslant 1$, donc la suite $(|u_n x^n|)$ d\'ecro\^{\i}t. \\
      La s\'erie $\sum  u_n x^n $ v\'erifie donc le crit\`ere sur les s\'eries altern\'ees. Si l'on note $R_n(x) = \dps
      \sum_{k=n+1}^{+ \infty} u_k x^k$, on sait alors que l'on a : $|R_n(x)| \leqslant |u_{n+1} x^{n+1}|$, d'o\`u
      $|R_n(x)| \leqslant |u_{n+1}|$ et \\ $\dps \sup_{x \in [-1,0]}|R_n(x)| \leqslant |u_{n+1}|$. \\
      Ainsi, $\dps \lim_{n \rightarrow  + \infty} {\| R_n \|}_{\infty} = 0$, ce qui veut dire que la suite
      $(R_n)$ converge uniform\'ement vers $0$ sur $[-1,0]$, \underline{CQFD}.\\
    \end{enumerate}
     \item \begin{enumerate}
        \item Pour $f(x)= \textrm{th}x$, les hypoth\`eses de la partie pr\'ec\'edente sont v\'erifi\'ees
        ($\textrm{th}(0)=0, \ \textrm{th}'(0)=1, \ \textrm{th}''(0)=0, \ \textrm{th}'''(0)=-2 \neq 0$). \\
        En appliquant directement les r\'esultats (ici, $k=3$), on obtient : \fbox{$u_n \sim \sqrt{ \dps
        \frac{3}{2n}}$}. \\

        \item $Z(x)= \dps \sum_{n=0}^{+ \infty} u_n x^n$. Pour $x \in [0,1[$, la fonction $x \mapsto Z(x)$ est
        croissante (si $x \leqslant y, \ Z(x) \leqslant Z(y)$ puisque $(u_n)$ est \`a termes positifs);
         elle admet donc une limite, finie ou $+\infty$, quand $x \rightarrow 1^{-}$ ("th\'eor\`eme de la
        limite monotone"). \\
        Si il s'agissait d'une limite finie $l$, on aurait : $\forall x \in [0,1[, \ Z(x) \leqslant l$, d'o\`u
        :$$ \forall n \in \N, \ \forall x \in [0,1[, \dps \sum_{k=0}^{n} u_k x^k
        \leqslant l$$
        En faisant $x \rightarrow 1^{-}$, on obtient : $$ \forall n \in \N, \ \dps \sum_{k=0}^{n} u_k
        \leqslant l$$
        Ayant donc ses sommes partielles major\'ees, la s\'erie $\sum u_n$ serait convergente, ce qui n'est pas le
        cas compte tenu de l'\'equivalent trouv\'e ci-dessus.\\[0.2cm]
        \centerline{\fbox{Conclusion : $ \dps \lim_{x \rightarrow 1^-}Z(x)=+\infty$}}\\[0.1cm]
        \item Soit $A \in \Rp$. Puisque $u_n \sim \sqrt{ \dps \frac{3}{2n}}$, on a $\dps \lim_{n \rightarrow
        \infty} n u_n = + \infty$, donc, par d\'efinition de la limite : $\exists N \in \N \textrm{ tq } n
        \geqslant N \Rightarrow u_n> \dps \frac{A}{n}$. \\
        On sait que, pour $x \in [0,1[$, $| \ln(1-x)|= \dps \sum_{n=1}^{\infty} \dps \frac{x^n}{n}$, d'o\`u $$\dps
        \frac{Z(x)}{|\ln(1-x)|}= \dps \frac{\dps \sum_{n=0}^{\infty}u_n x^n}{\dps \sum_{n=1}^{+ \infty}
        \frac{x^n}{n}} \geqslant \dps \frac{\dps \sum_{n=N+1}^{\infty}u_n x^n}{\dps \sum_{n=1}^{+ \infty}
        \frac{x^n}{n}} \geqslant A \dps \frac{\dps \sum_{n=N+1}^{\infty} \frac{x^n}{n}}{\dps \sum_{n=1}^{+ \infty}
        \frac{x^n}{n}} = A \left( 1 - \dps \frac{\dps \sum_{n=0}^{N} \frac{x^n}{n}}{\dps \sum_{n=1}^{+ \infty}
        \frac{x^n}{n}} \right) $$
        $N$ \'etant ainsi fix\'e, on a, puisque $\dps \lim_{x \rightarrow 1^-} \dps \sum_{n=1}^{+ \infty} \dps \frac{x^n}{n}
        = \dps \lim_{x \rightarrow 1^-}|\ln(1-x)|=+ \infty$, $\dps \lim_{x \rightarrow 1^-} \left(
        \dps \frac{\dps \sum_{n=0}^{N} \frac{x^n}{n}}{\dps \sum_{n=1}^{+ \infty}
        \frac{x^n}{n}} \right) =0$, donc il existe $\alpha >0$ tel que : $\forall x \in ]1- \alpha,1[, \
        0  \leqslant \left( \dps \frac{\dps \sum_{n=0}^{N} \frac{x^n}{n}}{\dps \sum_{n=1}^{+ \infty}
        \frac{x^n}{n}} \right) \leqslant  \dps \frac{A}{2}$, d'o\`u $ \dps \frac{Z(x)}{|\ln(1-x)|} \geqslant \dps
        \frac{A}{2}$. \\[0.2cm]
        Par d\'efinition, on a donc : \fbox{$ \dps \lim_{x \rightarrow 1^-} \left( \frac{Z(x)}{|\ln(1-x)|} \right)
        = + \infty$}. \\
     \end{enumerate}
    \end{enumerate}

    \hrulefill

    \textit{\underline{BONUS : }} On peut en fait obtenir des r\'esultats plus pr\'ecis (\textit{exercice \`a faire !})
    \\[0.2cm]
    $\bullet$ On montre d\'ej\`a le r\'esultat suivant : si $(a_n)$ et $(b_n)$ sont deux suites \`a termes r\'eels $>0$
    telles que $ a_n \underset{+ \infty}{\sim} b_n$ et telle que la s\'erie enti\`ere $\sum b_n x^n$ ait pour rayon
    de convergence $1$ et diverge pour $x=1$, alors : $ \dps \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \underset { x \rightarrow 1^-}
    {\sim} \dps \sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n$ (la d\'emonstration est analogue \`a celle du th\'eor\`eme de C\'esaro).
    \\[0.1cm]
    Cela nous donne ici : $\dps \sum_{n=0}^{+ \infty} u_n x^n \underset { x \rightarrow 1^-}
    {\sim}  \sqrt{\dps \frac{3}{2}} \dps \sum_{n=1}^{+ \infty} \dps \frac{x^n}{\sqrt{n}}$ \\[0.2cm]
    $\bullet$ Par une m\'ethode de comparaison s\'erie-int\'egrale, en \'ecrivant $\dps \frac{x^n}{\sqrt{n}}=
    \dps \frac{\textrm{e}^{n \ln x}}{\sqrt{n}} = \dps \frac{\textrm{e}^{-( -n \ln x)}}{\sqrt{n}} $, on obtient :
    $$  \dps \sum_{n=1}^{+ \infty} \dps \frac{x^n}{\sqrt{n}} \underset { x \rightarrow 1^-}
    {\sim} \dps \frac{1}{\sqrt{- \ln x}} \dps \int_0^{+ \infty} \dps \frac{\textrm{e}^{-u}}{\sqrt{u}} \ud u
     \underset { x \rightarrow 1^-} {\sim} \dps \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{1-x}}$$
     soit finalement : \\ \centerline{\fbox{ $Z(x) \underset { x \rightarrow 1^-} {\sim} \sqrt{\dps \frac{3}{2}}
     \dps \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{1-x}}$}} \\

     \hrulefill
 \vspace*{1cm}

\centerline{\fbox{\Huge{FIN}}}

\end{document}
