\documentclass[11pt,a4paper]{article}
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\begin{document}

%Source m94cc2e

%Macros
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\ouvert}[2]{\left ] #1, #2 \right [}
\newcommand{\vecteur}[1]{\overrightarrow{#1}}
\newcommand{\D}{\operatorname d}
\newcommand{\integ}[4]{\displaystyle{\int_{#1}^{#2}#3  \ \D #4}}
\newcommand{\systeme}[1]{\left \{ \begin{array}{l}  #1 \end{array} \right.}
\newcommand{\vectoriel}[2]{#1 \wedge  #2}




%Num{\'e}rotation des questions
\renewcommand{\labelenumi}{}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\Roman{enumi}.\Alph{enumii} -}}
\renewcommand{\labelenumiii}{\textbf{\Roman{enumi}.\Alph{enumii}.\arabic{enumiii})}}



\framebox{\begin{minipage}{16 cm}
\centerline{\textit{\textbf{Concours Centrale-Sup{\'e}lec 1994}}}

\textbf{{\'E}preuve : {\huge MATH{\'E}MATIQUES II} \hfill Option {\huge M, P'}}
\end{minipage}}

\begin{center}\underline{\textit{Notations}}\end{center}

$\mathscr{E}$ est un espace euclidien orient{\'e} de dimension $3$ rapport{\'e} {\`a} un rep{\`e}re orthonormal direct $R = \left(O; \vecteur{i}, \vecteur{j}, \vecteur{k}\right)$. Si $M$ est un point quelconque de $\mathscr{E}$ de coordonn{\'e}es $(x, y, z)$ dans $R$, on {\'e}crit $M = (x, y, z)$.
Le plan $\left(O; \vecteur{i}, \vecteur{j}\right)$ est not{\'e} plus
simplement $xOy$.
Un plan (resp. une droite) parall{\`e}le au plan $xOy$ est dit(e) horizontal(e).
Un plan (resp. une droite) perpendiculaire au plan $xOy$ est dit(e) verticale.

\textbf{Les cinq parties sont largement ind{\'e}pendantes les unes des autres.}


\begin{center}\underline{\textit{Partie I - {\'E}tude d'une forme diff{\'e}rentielle}}\end{center}


\begin{enumerate}
\item %Partie I
Soit $\omega$ la forme diff{\'e}rentielle d{\'e}finie en tout point $M = (x, y, z)$ de $\mathscr{E}$ par :
$$\omega(M) = -4 x y^{2} z \D x + 4 x^{2} y z \D y + \left(x^{4} - y^{4} \right) \D z \eqno{(1)}$$

et soit $\mathscr{D}$ l'ensemble des points $M = (x, y, z)$ tels que $x^{2} - y^{2} {\neq} 0$.
\begin{enumerate}
\item %I..A
Dessiner l'ensemble des points $M = (x, y, z)$ tels que $x^{2} - y^{2} = 0$.

\item %I.B
Soit $\varphi : \R^{*} \rightarrow \R$ une fonction de classe $\mathscr{C}^{1}$.
\begin{enumerate}
\item %I.B.1
{\'E}crire une {\'e}quation diff{\'e}rentielle lin{\'e}aire du premier ordre {\`a} laquelle doit satisfaire $\varphi$ pour que la forme diff{\'e}rentielle $\Omega$ d{\'e}finie en tout point $M = (x, y, z)$ de $\mathscr{D}$ par $\Omega(M) = \varphi(x^{2} - y^{2}) \omega(M)$ soit exacte.
\item %I.B.2)
D{\'e}terminer alors $\varphi$ telle que : $\varphi(1) = 1$, $\varphi(-1) = 1$.
\end{enumerate}

\item %I.C
En d{\'e}duire une fonction $U : \mathscr{D} \rightarrow \R$ de classe $\mathscr{C}^{2}$ telle que :
\begin{itemize}
\item[] $\D U = \Omega$ \hfill $(2)$
\item[] Pour tout $M = (x, y, z)$ de $\mathscr{D}$ tel que $z = 0$, \hfill $U(M) = 0$ \hfill $(3)$
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\underline{\textit{Partie II - {\'E}tude des surfaces de niveau de $U$}}\end{center}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item %Partie II
On appelle \textbf{surface de niveau} de $U$ toute partie $\Sigma_{\lambda}$ de $\mathscr{D}$ d{\'e}finie par $U(M) = \lambda$ o{\`u} $\lambda$ est un r{\'e}el donn{\'e}.

\begin{enumerate}
\item %II.A
Montrer que, pour tout r{\'e}el $\lambda$, l'{\'e}ude de $\Sigma_{\lambda}$ se ram{\`e}ne {\`a} celle de l'ensemble $S_{\lambda}$ d{\'e}fini par l'{\'e}quation
$$z \left(x^{2} + y^{2}\right) - \lambda \left(x^{2} - y^{2}\right) = 0 \eqno{(4)}$$

\item %II.B
Donner des {\'e}l{\'e}ments de sym{\'e}trie de $S_{\lambda}$.

\item %II.C
\ 
\begin{enumerate}
\item %II.C.1)
Quel est l'ensemble $S_{0}$ ?
\item %II.C.2)
Pour $\lambda {\neq} 0$, comment l'ensemble $S_{-\lambda}$ se d{\'e}duit-il de l'ensemble $S_{\lambda}$ ?
\end{enumerate}

\textbf{Dans toute la suite du probl{\`e}me, on suppose $\lambda > 0$.}

\item %II.D
{\'E}tude de l'intersection $C_{\lambda, 1}$ de $S_{\lambda}$ avec le plan $P_{1}$ d'{\'e}quation $z = x \sqrt{3} - y$.
\begin{enumerate}
\item %II.D.1)
{\'E}crire une {\'e}quation polaire de la projection orthogonale $C'_{\lambda, 1}$ de $C_{\lambda, 1}$ sur le plan $xOy$.

\item %II.D.2)
Construire $C'_{\lambda, 1}$.
On pr{\'e}cisera notamment les tangentes {\`a} l'origine, l'asymptote et la position de la courbe par rapport {\`a} l'asymptote.
La recherche syst{\'e}matique des points multiples et des points d'inflexion n'est par contre pas demand{\'e}e.
\end{enumerate}

\item %II.E
{\'E}tude de l'intersection $C_{\lambda, 2}$ de $S_{\lambda}$ avec le plan $P_{2}$ d'{\'e}quation $z = x$.
\begin{enumerate}
\item %Il.E.1)
Montrer que la projection orthogonale $C'_{\lambda, 2}$ de $C_{\lambda, 2}$ sur le plan $xOy$ peut {\^e}tre repr{\'e}sent{\'e}e param{\'e}triquement par
$$\systeme{x = \lambda \dfrac{1-t^{2}}{1+t^{2}} \\ y = \lambda \dfrac{t-t^{3}}{1+t^{2}}} \quad t \in \R \eqno{(5)}$$

\item %II.E.2)
Construire $C'_{\lambda, 2}$. On pr{\'e}cisera notamment les tangentes {\`a} l'origine, l'asymptote et la position de la courbe par rapport {\`a} l'asymptote.
La recherche syst{\'e}matique des points multiples et des points d'inflexion n'est par contre pas demand{\'e}e.

\item %II.E.3)
$C'_{\lambda, 2}$ pr{\'e}sente une boucle.
Montrer que la longueur $L$ de cette boucle est donn{\'e}e par :

\centerline{$L = 2 \lambda \integ{0}{1}{\dfrac{\sqrt{t^{4} + r t^{2} + s}}{t^{2} + 1}}{t}$}

o{\`u} $r$ et $s$ sont deux r{\'e}els que l'on explicitera.
Donner, sans chercher {\`a} calculer exactement l'int{\'e}grale, une valeur approch{\'e}e {\`a} $10^{-3}$ pr{\`e}s de $L/(2\lambda)$.

\item %II.E.4)
Calculer l'aire $A$ int{\'e}rieure {\`a} la boucle pr{\'e}c{\'e}dente.
On donnera la valeur exacte et une valeur approch{\'e}e {\`a} $10^{-3}$ pr{\`e}s de $A/\lambda^{2}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\underline{\textit{Partie III - {\'E}tude des droites trac{\'e}es sur $S_{\lambda}$}}\end{center}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}
\item %Partie III
\begin{enumerate}
\item %III.A
\ 
\begin{enumerate}
\item %III.A.1)
Soit $t \in \R$.
Montrer que l'intersection de $S_{\lambda}$ avec le plan $\Pi_{t}$ d'{\'e}quation $y = t x$ est la r{\'e}union d'une droite verticale, que l'on pr{\'e}cisera, et d'une droite horizontale $\Delta_{\lambda, t}$ dont on explicitera un syst{\`e}me d'{\'e}quations.

\item %III.A.2)
En d{\'e}duire l'ensemble des droites horizontales incluses dans $S_{\lambda}$.
\end{enumerate}

\item %III.B
\ 
\begin{enumerate}
\item %III.B.1
{\'E}tablir que toute droite non horizontale de $\mathscr{E}$ peut {\^e}tre d{\'e}finie de fa{\c c}on unique par un syst{\`e}me d'{\'e}quations de la forme :
$$\systeme{x = az+p \\ y = bz + q} \quad a, b, p, q \mbox{ r{\'e}els } \eqno{(6)}$$

\item %III.B.2)
D{\'e}terminer les droites non horizontales trac{\'e}es sur $S_{\lambda}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\underline{\textit{Partie IV - D{\'e}finition g{\'e}om{\'e}trique de $S_{\lambda}$}}\end{center}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{3}
\item %Partie IV
\begin{enumerate}
\item %IV.A
Soit $M_{0} = \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ un point de $S_{\lambda}$ et soit $t \in \R$.
{\'E}crire les coordonn{\'e}es de la projection orthogonale $H_{0,t}$ de $M_{0}$ sur la droite d{\'e}finie par le syst{\`e}me d'{\'e}quations :
$$\systeme{y = tx \\ z = \lambda \dfrac{1-t^{2}}{1+t^{2}}} \eqno{(7)}$$

\item %IV.B
Montrer que, quand $t$ varie dans $\R$, $H_{0}$ appartient {\`a} un plan fixe $Q_{0}$ dont on donnera une {\'e}quation.
V{\'e}rifier que $M_{0} \in Q_{0}$.

\item %IV.C
Donner une {\'e}quation de la projection orthogonale $\Gamma'_{0}$ sur le plan $xOy$ de la courbe $\Gamma_{0}$ d{\'e}crite par $H_{0,t}$ quand $t$ varie dans $\R$ et en d{\'e}duire la nature g{\'e}om{\'e}tique de $\Gamma_{0}$.

\item %IV.D
{\`A} partir des trois questions pr{\'e}c{\'e}dentes, donner une d{\'e}finition g{\'e}om{\'e}trique de la surface $S_{\lambda}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\underline{\textit{Partie V -{\'E}tude de certaines courbes trac{\'e}es sur $S_{\lambda}$}}\end{center}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{4}
\item %Partie V
Dans toute cette derni{\`e}re partie, on note $(\rho, \theta, z)$ un syst{\`e}me de coordonn{\'e}es semi-polaires (ou cylindriques) de $M = (x, y, z)$ et on ne consid{\`e}re que ceux des points $M$ pour lesquels $\rho {\neq} 0$.
On rappelle que, si $\vecteur{u}$ est le vecteur de coordonn{\'e}es $\left(\cos{\theta}, \sin{\theta}\right)$ dans la base $\left(\vecteur{i}, \vecteur{j}, \vecteur{k}\right)$ et si $\vecteur{v} = \vectoriel{\vecteur{k}}{\vecteur{u}}$, on a : $\vecteur{OM} = \rho \vecteur{u} + z \vecteur{k}$.
\begin{enumerate}
\item %V.A
{\'E}crire une condition n{\'e}cessaire et suffisante que doivent v{\'e}rifier $(\rho, \theta, z)$ pour que $M$ appartienne {\`a} $S_{\lambda}$.

\item %V.B
Soit $M$ un point de $S_{\lambda}$ de coordonn{\'e}es semi-polaires $(\rho, \theta, z)$ avec $\rho {\neq} 0$.

Trouver $(\alpha, \beta) \in \R^{2}$ tel que le vecteur $\vecteur{n}$ de coordonn{\'e}es $(\alpha, \beta, \rho)$ dans la base $\left(\vecteur{u}, \vecteur{v}, \vecteur{k}\right)$ soit normal en $M$ {\`a} $S_{\lambda}$.

\item %V.C
Soit $\psi : \ouvert{0}{\pi/2} \rightarrow \R^{*}$, une fonction de classe $\mathscr{C}^{2}$.
La relation $\rho = \psi(\theta)$ d{\'e}finit une courbe trac{\'e}e sur $S_{\lambda}$.

Donner les coordonn{\'e}es dans la base$\left(\vecteur{u}, \vecteur{v}, \vecteur{k}\right)$ d'un vecteur $\vecteur{N}$ orthogonal au plan osculateur {\`a} $L_{\lambda, \psi}$ au point $M$ de $S_{\lambda}$ de coordonn{\'e}es semi-polaires $\left(\psi(\theta), \theta, z\right)$.

\item %V.D -
\ 
\begin{enumerate}
\item %V.D.1)
{\`A} quelle condition le plan osculateur en $M$ {\`a} $L_{\lambda, \psi}$ et le plan tangent en $M$ {\`a} $S_{\lambda}$ co{\"i}ncident-ils constamment lorsque $i$ parcourt $L_{\lambda, \psi}$ ?
\item %V.D.2)
Expliciter alors $\psi$.

\item %V.D.3)
Construire la projection orthogonale sur le plan $xOy$ de la courbe $L_{\lambda, \psi}$ qui passe par le point $A$ de coordonn{\'e}es $(1, 1, 0)$ dans $R$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\hrule
\begin{center}$\bullet \bullet \bullet$ \textbf{FIN} $\bullet \bullet \bullet$\end{center}
\hrule

\end{document}
