% Dispo: A4L3 Mag: 0
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\razqnofalse
\let\int=\INT
\everydisplay{\textstyle}
\def\blob{\hfil\hbox{\vrule width0pt height 15pt depth 0pt$\blacklozenge$}}

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%| Bandeau de l'\'epreuve |
%+------------------------+

\bf
\'ECOLE POLYTECHNIQUE\hfill {\xiibx OPTION \xviibx M'}
\medskip
CONCOURS D'ADMISSION 1994
\bigskip
\centerline{PREMI\`ERE COMPOSITION DE MATH\'EMATIQUES (4
heures)}
\bigskip
\blob
\bigskip
\rm
%% Remarque importante:
%% j'utilise la macro \cotan qui fait cotan
%% le pb d'origine notait cotg et il faudrait peut-\^etre \'ecrire
%% cot.
%% si on le pr\'ef\`ere il suffit de poser:
%% \def\cotan{\mathop{\rm cot}\nolimits}
Ce probl\`eme est consacr\'e \`a l'\'etude de diverses \'equations diff\'erentielles d\'efinies \`a partir
de l'op\'erateur diff\'erentiel
$$
A=\frac{{\rm d}^2}{\dx^2}+\cotan x \frac{{\rm d}}{\dx}
\>.
$$
On note $\Omega$ le compl\'ementaire dans $\R$ de l'ensemble
$\pi \Z$. Pour tout entier $k$ positif ou
nul, on d\'esigne par $E_k^p$ (resp. $E_k^i$) l'espace vectoriel
des fonctions d\'efinies sur $\R$, r\'eelles, de
classe $\cur C^k$, $2\pi $-p\'eriodiques et paires (resp. impaires).
On d\'esigne par sin, cos, tan, cotan les fonctions
trigonom\'etriques usuelles.

\partie %I

\question %1
Soit $f$ une fonction de $E_1^i$; v\'erifier que $f$ est nulle sur
$\pi \Z$ et que la fonction
$x\longmapsto f(x) \cotan x$, d\'efinie sur $\Omega$, se prolonge de fa\c
con unique en une fonction de $E^p_0$. Cette derni\`ere
fonction sera not\'ee $f\cotan$ dans tout le probl\`eme;
on pr\'ecisera sa valeur en un point $m\pi $, o\`u
$m\in \Z$.

\questiona %2a
Soit $f$ une fonction de $E_k^p$ (resp. $E_k^i$) o\`u $k\ge 1$;
v\'erifier que $f'$ appartient \`a $E_{k-1}^i$ (resp.
$E_{k-1}^p$) et que l'on a $\int_0^{2\pi }f'(x)\dx=0$.

\sousquestion
R\'eciproquement, \'etant donn\'ee une fonction $g$ de
$E_{k-1}^i$ ou $E_{k-1}^p$, v\'erifiant $\int_0^{2\pi }g(x)\dx=0$,
d\'eterminer les fonctions $f$ de $E_k^p$ ou $E_k^i$ admettant
$g$ pour d\'eriv\'ee.

\partie %II

On d\'esigne par $A$ l'application lin\'eaire
$E_2^p\longrightarrow E_0^p$ d\'efinie par
$$A(f)=f"+f'\cotan\>.$$

\questiona %3a
Pr\'eciser la valeur de $A(f)$ en un point $m\pi $, $m\in \Z$.

\sousquestion
\'Etablir une relation simple entre $A(f)\sin$ et $f'\sin$.

\sousquestion
D\'eterminer le noyau de $A$.

\sousquestion
Calculer $\int_0^\pi A(f)(x) \sin x \dx$.

\questiona %4
\'Etant donn\'ee une fonction $h\in E_0^p$ telle que $\int_0^\pi h(x) \sin x \dx=
0$,
montrer qu'il existe une unique fonction $f\in E_2^p$ v\'erifiant
$f(0)=0$ et $A(f)=h$, et que $f$ est donn\'ee par
$$
f(x)=\int_0^x\left(\frac1{\sin y}\int_0^y h(u) \sin u \du\right) \dy
\>.$$
On justifiera cette \'ecriture.

\question %5
On consid\`ere une suite $(f_n)_{n\in \N}$ de fonctions de $E_2^p$;
on suppose que cette suite converge simplement vers une fonction
$f$ et que la suite $(A(f_n))_{n\in\N}$ converge uniform\'ement
vers une fonction $h$. Montrer que $f$ appartient \`a $E_2^p$ et
que $A(f)=h$.

%% Indication suppl\'ementaire
%%[On pourra, par exemple, utiliser une int\'egration par parties.]

\question %6
Soit $f$ une fonction de $E_2^p$, $\xi $ (resp. $\eta$) un point de
$[0,\pi ]$ o\`u $f$ atteint son maximum (resp. minimum).
D\'eterminer les signes de $A(f)(\xi)$ et de $A(f)(\eta)$.

\partie %III
Dans cette partie, on s'int\'eresse au probl\`eme suivant:
\'etant donn\'e un r\'eel $\mu>0$ et une fonction $h$, \'etudier
les fonctions $f$ de $E_2^p$ v\'erifiant l'\'equation
diff\'erentielle
$$
(A-\mu I)(f)=h
\leqno\quad(1)
$$
Pour toute fonction $\varphi $ born\'ee sur $\R$ on posera
$$\|\varphi \|=\Sup_{t\in \R}|\varphi (x)|\>.$$

\question %7
On fixe $f$ dans $E_2^p$ et on pose $h=(A - \mu I)(f)$.
Comparer $\|f\|$ et $\frac1\mu \|h\|$.

[On pourra introduire le maximum et le minimum de $f$.]

\question %8
Pour tout entier $n\ge 0$, on note $P_n$ le sous-espace vectoriel de
$E_2^p$ engendr\'e par les fonctions $x\longmapsto \cos kx$ o\`u
$k=0,1,\dots,n$.

\sousquestion %a
D\'eterminer l'image de $P_n$ par $A - \mu I$.

\sousquestion
En d\'eduire, \`a l'aide du 5\hbox{$^\circ$}, que pour toute fonction $h\in E_1^p$,
l'\'equation (1) admet une solution unique dans $E_2^p$.

\partie %IV
On examine ici l'\'equation (1) dans un cas o\`u $\mu<0$.

\question %9
On note $f$ une fonction de $E_2^p$ v\'erifiant $(A+2I)(f)=0$ et
$f(0)=0$. Montrer que $f$
est identiquement nulle sur un voisinage de 0.

[On pourra introduire un r\'eel $\alpha>0$ tel que $|f(x)|\le |f(\alpha)|$
pour tout $x\in [0,\alpha ]$, puis majorer $|f(\alpha)|$ \`a l'aide de la
formule du 4\hbox{$^\circ$}.]

\question %10
Trouver une fonction $f_0$ de $E_2^p$ v\'erifiant $f_0(0)=1$ et
$(A+2I)(f_0)=0$.

\question %11
D\'eterminer le noyau de $A+2I$.

\question %12
Donner la dimension de l'espace des solutions de l'\'equation $(A
+2I)(f)=0$ dans l'espace de toutes les fonctions de classe
$\cur C^2$ sur l'intervalle $]0,\pi [$; expliciter ces solutions et
d\'eterminer leur limite en 0.

\partie %V
Dans cette cinqui\`eme partie, on se donne un r\'eel $a>0$ et une
fonction $h\in E_1^p$ v\'erifiant $h(x)>0$ pour tout $x$ et on \'etudie
les fonctions $f$ de $E_2^p$ v\'erifiant l'\'equation diff\'erentielle
$$
A(f)+a=he^f
\leqno\qquad(2)
$$
Dans ce but, on fixe deux r\'eels $m$ et $M$ v\'erifiant $m\le M$ et
$h(x)e^m\le a\le h(x)e^M$ pour tout $x$, puis un troisi\`eme r\'eel
$\mu>0$. On d\'efinit par r\'ecurrence des fonctions $\varphi_k$ de
$E_2^p$ de la fa\c con suivante: $\varphi_0(x)=m$ pour tout $x$, et
$\varphi_{k+1}$ est l'unique \'el\'ement de $E_2^p$ v\'erifiant
$$
(A-\mu I)(\varphi_{k+1})=he^{\varphi_k}-a-\mu \varphi_k\>.
$$
\questiona %13a
Montrer que l'on a $\varphi_1(x)\ge m$ pour tout $x$.

\sousquestion
D\'eterminer un r\'eel $\mu_0$ tel que, si $\mu \ge \mu_0$, pour tout $x$, la
suite $(\varphi_k(x))_{k\in\N}$ soit croissante et major\'ee par $M$.

\questiona %14a
D\'emontrer que la suite $(\varphi_k)_{k\in \N}$ converge uniform\'ement vers
une fonction $\varphi $.

\sousquestion
En d\'eduire l'existence et l'unicit\'e de la solution de
l'\'equation (2) dans $E_2^p$.
$$
\quad\blob\quad\blob\atop\blob
$$

\bye
                             

