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\begin{document}


%En-t{\^e}te et pied de page
\lhead{X 94 P' Maths 2}
\rhead{page \thepage}
\cfoot{}


%Num{\'e}rotation
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\arabic{enumi}.)} }
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\alph{enumii})} }


%Macros
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\segment}[2]{\left [ #1, #2 \right ]}
\newcommand{\ouvert}[2]{\left ] #1, #2 \right [}
\newcommand{\abs}[1]{\left | #1 \right |}
\newcommand{\scal}[2]{\left(#1 \vert #2\right)}
\newcommand{\norme}[1]{\left \| #1 \right \|}
\newcommand{\diff}[2]{\dfrac{\partial#1}{\partial#2}}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}



\textbf{{\'E}COLE POLYTECHNIQUE} \hfill {\large \textbf{OPTION P'}}

\textbf{CONCOURS D'ADMISSION 1994}

\begin{center}
\textbf{DEUXI{\`E}ME COMPOSITION DE MATH{\'E}MATIQUES (4 heures)}
\end{center}

\begin{center}$\blacklozenge$\end{center}

Ce probl{\`e}me est consacr{\'e} {\`a} l'{\'e}tude d'une surface dans l'espace $\R^{3}$ et de certaines courbes trac{\'e}es sur cette surface.

On d{\'e}signe par $\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right)$ la base naturelle de $\R^{3}$, par $\scal{\cdot}{\cdot}$ son produit scalaire usuel et par $\norme{\cdot}$ la norme correspondante.
On note $\mathcal{R}$ l'ensemble des couples $(u, v)$ de $\R^{2}$ v{\'e}rifiant $-\dfrac{\pi}{2} {\leq} u {\leq} \dfrac{\pi}{2}$ et $-\pi {\leq} v {\leq} \pi$.
On d{\'e}finit une application $F$ de $\mathcal{R}$ dans $\R^{3}$ par

\centerline{$F(u, v) = \left(F_{1}(u, v), F_{2}(u, v), F_{3}(u, v)\right)$}

o{\`u}
\begin{eqnarray*}
F_{1}(u, v) & = & \left(2 + \sin{u} \cos{v}\right) \cos{2v} \\
F_{2}(u, v) & = & \left(2 + \sin{u} \cos{v}\right) \sin{2v} \\
F_{3}(u, v) & = & \sin{u} \sin{v}.
\end{eqnarray*}

Enfin on note $\mathcal{M}$ l'ensemble $F(\mathcal{R})$.

\begin{center}\textbf{{\Large I}}\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Question I.1�
Calculer $\diff{F}{u}$, $\diff{F}{v}$, $\norme{\diff{F}{u}}^{2}$, $\norme{\diff{F}{v}}^{2}$, $\scal{\diff{F}{u}} {\diff{F}{v}}$.

\item %Question I.2�
{\'E}tant donn{\'e} un point $(u,v)$ de $\mathcal{R}$, d{\'e}terminer tous les points $(u', v')$ v{\'e}rifiant $F(u', v') = F(u, v)$.

\item %Question I.3�
Dessiner la projection orthogonale de $\mathcal{M}$ sur le plan $(e_{1}, e_{2})$.

\item %Question I.4�
D{\'e}terminer les extrema de la fonction $F_{3}$.

\item %Question I.5�
On fixe un r{\'e}el $b$ dans $\segment{-\pi}{\pi}$ et on note $\varphi_{b}$ l'application de $\segment{-\dfrac{\pi}{2}}{\dfrac{\pi}{2}}$ dans $\R^{3}$ d{\'e}finie par $\varphi_{b}(u) = F(u, b)$.
\begin{enumerate}
\item %Question I.5.a)
Reconna{\^i}tre la courbe $\mathcal{C}_{b}$, image de $\varphi_{b}$, ainsi que sa projection orthogonale sur le plan $(e_{1}, e_{2})$.
\item %Question I.5.b)
Quelle est la longueur de $\mathcal{C}_{b}$.
\end{enumerate}

\item %Question I.6�
Montrer que, si $u$ appartient {\`a} $\ouvert{-\dfrac{\pi}{2}}{\dfrac{\pi}{2}}$, la surface $\mathcal{M}$ admet un plan tangent au point $F(u, v)$.
{\'E}crire les coordonn{\'e}es d'un vecteur normal unitaire, que l'on notera $N(v)$, dans le cas o{\`u} $u = 0$.

\begin{center}\textbf{{\Large II}}\end{center}

Pour tout r{\'e}el $a \in \segment{-\dfrac{\pi}{2}}{\dfrac{\pi}{2}}$ on d{\'e}signe par $\psi_{a}$ l'application $v \mapsto F(a, v)$ de $\segment{-\pi}{\pi}$ dans $\R^{3}$ et par $\mathcal{D}_{a}$ la courbe image.

\item %Question II.7�
Pour quels couples $(a, a')$ a-t-on $\mathcal{D}_{a} = \mathcal{D}_{a'}$ ?

\item %Question II.8.
\begin{enumerate}
\item %Question II.8.a)
Reconna{\^i}tre la courbe $\mathcal{D}_{0}$.

\item %Question II.8.b)
Est-il possible de choisir, pour tout point $m$ de $\mathcal{D}_{0}$ un vecteur $V(m)$, normal en $m$ {\`a} $\mathcal{M}$, unitaire et d{\'e}pendant contin{\^u}ment de $m$ ?
\end{enumerate}

\item %Question II.9�
Pour quelles valeurs de $a$ la courbe $\mathcal{D}_{a}$ est-elle plane ?

\item %Question II.10�
Nous dirons qu'un sous-ensemble $E$ d'un espace $\R^{n}$ est connexe si, pour tout couple $(x, y)$ de $E$, il existe une application continue $f$ d'un intervalle $\segment{\alpha}{\beta}$ dans $E$ v{\'e}rifiant $f(\alpha) = x$ et $f(\beta) = y$.

\begin{enumerate}
\item %Question II.10.a)
Montrer que le compl{\'e}mentaire de $\mathcal{D}_{0}$ dans $\mathcal{M}$ est connexe.

\item %Question II.10.b)
Montrer que, pour $a \in \ouvert{0}{\dfrac{\pi}{2}}$, le compl{\'e}mentaire de $\mathcal{D}_{a}$ dans $\mathcal{M}$ n'est pas connexe, mais est r{\'e}union de deux sous-ensembles connexes, disjoints et non vides.

[On pourra introduire la fonction $f$ sur $\mathcal{M}$ d{\'e}finie par $f\left(F(u,v)\right) = \abs{u}$ et montrer qu'elle est continue]
\end{enumerate}

\item %Question II.11�
{\'E}crire la longueur $L(a)$ de $\mathcal{D}_{a}$ sous la forme d'une int{\'e}grale que l'on ne cherchera pas {\`a} calculer ; puis {\'e}tudier la continuit{\'e} de la fonction $L$.

\begin{center}\textbf{{\Large III}}\end{center}

Pour tout point $(u, v)$ de $\mathcal{R}$, on pose

\centerline{$g(u, v) = \left(F_{1}(u, v), F_{2}(u, v)\right)$.}

On fixe un r{\'e}el $v_{0}$ dans $\segment{-\pi}{\pi}$.

\item %Question III.12
Calculer le jacobien $J$ de $g$ au point $(0, v_{0})$.

\item %Question III.13.
\begin{enumerate}
\item %Question III.13.a)
Montrer que, si $v_{0} {\neq} � \dfrac{\pi}{2}$, il existe un voisinage de $(0, v_{0})$ sur lequel $g$ est injective et admet une application r{\'e}ciproque diff{\'e}rentiable $h$.
\item %Question III.13.b)
Calculer les deux d{\'e}riv{\'e}es partielles de la fonction compos{\'e}e $F_{3} \circ h$ au point $g(0, v_{0})$.
\end{enumerate}

\item %Question III.14
{\'E}tudier la position de la surface $\mathcal{M}$ par rapport {\`a} son plan tangent au voisinage du point $F(0,0)$.
\end{enumerate}

\begin{center}$\blacklozenge \quad \blacklozenge$

$\blacklozenge$
\end{center}

\end{document}

