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\begin{document}

%Source m95gp2e


%Num{\'e}rotation
\renewcommand{\labelenumi}{\arabic{enumi}\r{}}
\renewcommand{\labelenumii}{\alph{enumii}-}

%Macros
\newcommand{\NomPropre}[1]{#1}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\segment}[2]{\left [ #1, #2 \right ]}
\newcommand{\ouvgauche}[2]{\left ] #1, #2 \right ]}
\newcommand{\set}[1]{\left \{ #1 \right \}}
\newcommand{\abs}[1]{\left | #1 \right |}
\renewcommand{\deg}[1]{\mathop{\rm d{}}\left(#1\right)}
\newcommand{\limite}[3]{\lim_{#1 \to #2} \limits #3}
\newcommand{\somme}[3]{\sum_{#1}^{#2}\limits{#3}}
\newcommand{\D}{\operatorname d}
\newcommand{\integ}[4]{\displaystyle{\int_{#1}^{#2}#3  \ \D #4}}



\begin{center}
\textbf{{\Large DEUXIEME EPREUVE DE MATHEMATIQUES}}

\bigskip
{\large OPTION PHYSIQUE-MATHEMATIQUES}

\bigskip
\textbf{DUR{\'E}E : 3 heures.}
\end{center}

{\usefont{U}{euf}{m}{n}
Le but de ce probl{\`e}me est de d{\'e}montrer le th{\'e}or{\`e}me fondamental de l'alg{\`e}bre.

Pour ce faire, dans la premi{\`e}re partie, on d{\'e}montre le th{\'e}or{\`e}me de \textsc{Dirichlet} pour les applications de classe $C^{2}$ puis, dans la troisi{\`e}me partie on d{\'e}montre le th{\'e}or{\`e}me de \textsc{Liouville}.}

Si $P \in \C[X]$ on note $\deg{P}$ le degr{\'e} de $P$, et on identifie $P$ et la fonction polynomiale associ{\'e}e {\`a} $P$.

\textbf{I. Quelques r{\'e}sultats sur les applications de classe $C^{2}$ de $\R$ dans $\C$, $2\pi$-p{\'e}riodiques.}

\begin{enumerate}
\item %I.1
Soit $(a, b) \in \R^{2}$, $g \in C^{1} \left(\segment{a}{b}, \C\right)$, montrer que :
$\limite{n}{+{\infty}}{\integ{a}{b}{g(t) \sin{\left [(2n+1) \dfrac{t}{2}\right ]}}{t}} = 0$.

\item %I.2
Soit $f \in C^{2}(\R, \C)$, soit $x \in \R$, on d{\'e}finit l'application $g_{x}$ de $\segment{0}{\pi}$ dans $\C$ par :

\centerline{$g_{x}(0) = 0$ et $\forall t \in \ouvgauche{0}{\pi}, g_{x}(t) = \dfrac{f(x+t) + f(x-t) - 2f(x)}{\sin{\left [\dfrac{t}{2}\right ]}}$.}

Montrer que, $\forall x \in \R, g_{x} \in C^{1}\left(\segment{0}{\pi}, \C\right)$.

\item %I.3
Montrer que : $\forall x \in \R \setminus \set{2k\pi, k \in \Z}, \forall n \in \N, \somme{k=-n}{n}{e^{-ikx}} = \dfrac{\sin\left [(2n+1)\dfrac{x}{2}\right ]}{\sin{\left [\dfrac{x}{2}\right ]}}$.

En d{\'e}duire que : $\integ{0}{\pi}{\dfrac{\sin{\left [(2n+1)\dfrac{t}{2}\right ]}}{\sin{\left [\dfrac{t}{2}\right ]}}}{t} = \pi$.

\item %I.4
Soit $f \in C^{2}(\R, \C)$, $2\pi$-p{\'e}riodique ; si $n \in \Z$, on pose $c_{n}(f) = \dfrac{1}{2\pi} \integ{0}{2\pi}{f(t) e^{-int}}{t}$.

Si $n \in \N$ et $x \in \R$, on pose $S_{n}(x) = \somme{k=-n}{n}{c_{k}(f) e^{ikx}}$.
\begin{enumerate}
\item %I.4.a
Montrer que : $\forall n \in \N, \forall x \in \R, S_{n}(x) = \dfrac{1}{2\pi} \integ{-\pi}{\pi}{f(x+u) \left(\somme{k=-n}{n}{e^{-iku}}\right)}{u}$.

\item %I.4.b
Montrer que : $\forall n \in \N, \forall x \in \R, S_{n}(x) = \dfrac{1}{2\pi} \integ{0}{\pi}{\left [f(x+u) + f(x-u)\right ] \left(\somme{k=-n}{n}{e^{-iku}}\right)}{u}$.

\item %I.4.c
Montrer que : $\forall n \in N, \forall x \in \R, S_{n}(x) - f(x) = \dfrac{1}{2\pi} \integ{0}{\pi}{\left [f(x+ u)+f(x - u)- 2f(x)\right ] \dfrac{\sin{\left [(2n+1) \dfrac{u}{2}\right ]}}{\sin{\left [\dfrac{u}{2}\right ]}}}{u}$.

\item %I.4.d
En d{\'e}duire que : $\forall x \in \R, \limite{n}{+{\infty}}{\left(S_{n}(x) - f(x)\right)} = 0$.
\end{enumerate}

\item %I.5
Soit $f \in C^{2} \left(\R, \C\right)$, $2\pi$-p{\'e}riodique.
\begin{enumerate}
\item %I.5.a
Montrer que la famille de nombre complexes $\left(c_{n}(f'')\right)_{n\in\Z}$ est born{\'e}e.

\item %I.5.b
Montrer que : $\forall n \in \Z^{*}, c_{n}(f) = \dfrac{1}{in} c_{n}(f') =-\dfrac{1}{n^{2}} c_{n}(f'')$.

\item %I.5.c
D{\'e}duire de a- et b- que la s{\'e}rie $x \mapsto c_{0}(f) + \somme{n=1}{+{\infty}}{\left(c_{n}(f) e^{inx} + c_{-n}(f) e^{-inx}\right)}$ converge normalement vers $f$ sur $\R$. (Le th{\'e}or{\`e}me de \NomPropre{Dirichlet} pour les fonctions de classe $C^{2}$).
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{II. Quelques r{\'e}sultats sur les {\'e}l{\'e}ments de $\C[X]$ sans z{\'e}ro(s).}

On suppose qu'il existe $P \in \C[X]$ tel que :
$\forall z \in \C, P(z) {\neq} 0$ et $\deg{P}  \geq  1$ ;
on note $n_{0} = \deg{P}$ et \break $P(X) = \somme{k=0}{n_{0}}{\alpha_{k} X^{k}}$.

Soit $r \in \R$, on note $g_{r}$ l'application de $\R$ dans $\C$ d{\'e}finie par :
$\forall \theta \in \R, g_{r}(\theta) = \dfrac{1}{P\left(r e^{i\theta}\right)}$.

On note $h$ l'application de $\R^{2}$ dans $\C$ d{\'e}finie par :
$\forall (r, \theta) \in \R^{2}, h(r, \theta) = \dfrac{1}{P\left(r e^{i\theta}\right)}$.

\begin{enumerate}
\item %II.1
\begin{enumerate}
\item %II.1.a
Montrer que $\forall z \in \C, \abs{P(z)}  \geq  \abs{\alpha_{n_{0}}} \abs{z}^{n_{0}} - \somme{k=0}{n_{0}-1}{\abs{\alpha_{k}} \abs{z}^{k}}$.

\item %II.1.b
Soit $f$ l'application de $\R^{+}$ dans $\R$ d{\'e}finie par : $\forall x \in \R^{+}, f(x) = \abs{\alpha_{n_{0}}} x^{n_{0}} - \somme{k=0}{n_{0}-1}{\abs{\alpha_{k}} x^{k}}$.

Montrer que $\limite{x}{+{\infty}}{f(x)} = +{\infty}$.

\item %II.1.c
Montrer que : $\forall A \in \R, \exists B \in \R, \forall z \in \C, \abs{z} > B \Rightarrow \abs{P(z)} > A$.

En d{\'e}duire que : $\exists r_{0} \in \R^{+}, \forall z \in \C, \abs{z} > r_{0} \Rightarrow \dfrac{1}{\abs{P(z)}}  \leq  1$.

\item %II.1.d
$r_{0}$ est le r{\'e}el positif du c-, montrer que :
$\exists M_{0} \in \R^{+}, \forall z \in \C, \abs{z}  \leq  r_{0} \Rightarrow \abs{\dfrac{1}{P(z)}}  \leq  M_{0}$.

\item %II.1.e
Montrer que :
$\exists M \in \R^{+}, \forall z \in \C, \dfrac{1}{\abs{P(z)}}  \leq  M$.
\end{enumerate}

\item %II.2
\begin{enumerate}
\item %II.2.a
Montrer que : $\forall r \in \R, g_{r} \in C^{{\infty}}(\R, \C)$.

\item %II.2.b
Montrer que : $h \in C^{{\infty}}(\R^{2}, \C)$.
\end{enumerate}

\item %II.3
Soit $n \in \Z$, on note $c_{n}$ l'application de $\R$ dans $\C$ telle que :
$\forall r \in \R, c_{n}(r) = \dfrac{1}{2\pi} \integ{0}{2\pi}{g_{r}(\theta) e^{-in\theta}}{\theta}$.

\begin{enumerate}
\item %II.3.a
Exprimer $c_{n}(r)$ en fonction de $n$, $r$ et $h$.

\item %II.3.b
Montrer que $c_{n}$ est de classe $C^{1}$ sur $\R$.

\item %II.3.c
Soit $(r, \theta) \in \R^{2}$, exprimer $\dfrac{\partial h}{\partial \theta}(r, \theta)$ en fonction de $r$ et $\dfrac{\partial h}{\partial r} (r, \theta)$.

\item %II.3.d
Montrer que $c_{n}$ v{\'e}rifie une {\'e}quation diff{\'e}rentielle du premier ordre que l'on int{\'e}grera sur $\R^{*+}$.

On posera $a_{n} = c_{n}(1)$.

\item %II.3.e
Montrer en utilisant 3\r{}b que : $\forall n \in \Z, n < 0 \Rightarrow a_{n} = 0$.
\end{enumerate}

\item %II.4
Soit $z \in \C$ : ( les $a_{n}$ sont ceux de la question pr{\'e}c{\'e}dente)

Montrer que $\somme{n=0}{+{\infty}}{a_{n} z^{n}}$ converge et que : $\dfrac{1}{P(z)} = \somme{n=0}{+{\infty}}{a_{n} z^{n}}$
(On pr{\'e}cisera son rayon de convergence).
\end{enumerate}

\textbf{III. Quelques r{\'e}sultats sur les sommes de s{\'e}ries enti{\`e}res born{\'e}es sur $\C$.}

Dans ce paragraphe on consid{\`e}re $\somme{n=0}{+{\infty}}{b_{n} z^{n}}$ une s{\'e}rie enti{\`e}re de rayon infini, on note $f$ sa somme \break (\textit{i.e.} $\forall z \in \C, f(z) = \somme{n=0}{+{\infty}}{b_{n} z^{n}}$).

\begin{enumerate}
\item %III.1
Soit $p \in \N$, $r \in \R^{+}$, calculer $B(p, r) = \integ{0}{2\pi}{f\left(r e^{i\theta}\right) e^{-ip\theta}}{\theta}$.

\item %III.2
On suppose que $f$ est born{\'e}e sur $\C$ (\textit{i.e.} $\exists M \in \R^{+}, \forall z \in \C, \abs{f(z)}  \leq  M$).

Donner un majorant de $B(p, r)$ ind{\'e}pendant de $p$ et $r$.

\item %III.3
En d{\'e}duire que si $f$ est born{\'e}e sur $\C$, $f$ est constante sur $\C$. (le th{\'e}or{\`e}me de \NomPropre{Liouville}).

\item %III.4
Montrer le th{\'e}or{\`e}me suivant : (le th{\'e}or{\`e}me fondamental de l'alg{\`e}bre)

{\og}Tout polyn{\^o}me non constant {\`a} coefficients dans $\C$ admet au moins un z{\'e}ro{\fg}.
\end{enumerate}


\end{document}
