\documentstyle [11pt] {article} \textheight 24 cm \textwidth 17 cm \hoffset -2 cm \voffset -15 mm \begin{document} \paragraph{Concours commun 1996 des Ecoles des Mines d'Albi, Al{\`e}s, Douai, Nantes} \subparagraph{Epreuve de Math{\'e}matiques, Sup MPSI, PCSI, PTSI et Sp{\'e}s, Mardi 21 Mai 1996}. {\bf Probl{\`e}me 1} 1. Soit la matrice: \[ A=\left( \begin{array}{cccc} 0 & -\frac{2}{3} & -\frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} & 0 & -\frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \end{array} \right) \] Calculer $B=A^{2}, C=A^{3}, A+C$ et $U=A^{4}$. 2. Montrer que $\left( \left\{ U,A,B,C \right\},\times \right)$, o{\`u} $\times$ est le produit matriciel, forme un groupe commutatif. 3. $E$ d{\'e}signe un espace vectoriel euclidien orient{\'e}, sur le corps des r{\'e}els, de dimension 3, rapport{\'e} {\`a} la base orthonormale directe ${\cal H}=( \vec{i},\vec{j},\vec{k})$. On appelle $a,b,c$ et $u$ les endomorphismes de $E$ associ{\'e}s respectivement {\`a} $A,B,C$ et $U$. a) Montrer que le noyau de $u$, not{\'e} $ Ker \:(u)$, est une droite vectorielle, dont on donnera une base norm{\'e}e $(\vec{e_{1}})$, la premi{\`e}re coordonn{\'e}e de $\vec{e_{1}}$ {\'e}tant positive. b) D{\'e}terminer une {\'e}quation cart{\'e}sienne de l'image de $u$, not{\'e}e $Im(u)$. V{\'e}rifier que $Im(u)$ est un plan vectoriel orthogonal {\`a} $Ker(u)$. c) Donner la nature g{\'e}om{\'e}trique de $u$. d) D{\'e}terminer un vecteur norm{\'e} $\vec{e_{2}}$ de $Im(u)$, puis $\vec{e_{3}}$ tel que ${\cal H}'=(\vec{e_{1}},\vec{e_{2}},\vec{e_{3}})$ soit une nouvelle base orthonormale directe de $E$. Donner alors la matrice $U'$ de $u$ dans la base ${\cal H}'$. 4. a) D{\'e}terminer les matrices $A',B',C'$ respectivement de $a,b,c$ dans la base ${\cal H}'$. b) Montrer que $a,b,c$ peuvent se d{\'e}composer chacun en deux endomorphismes usuels que l'on pr{\'e}cisera. 5. On rappelle que l'ensemble ${\cal C}_{1}$ des fonctions num{\'e}riques {\`a} variable r{\'e}elle, contin{\^u}ment d{\'e}rivables sur l'ensemble des r{\'e}els, muni de l'addition et de la multiplication par des r{\'e}els, est un espace vectoriel sur le corps des r{\'e}els. Soit $\varphi_{0}, \varphi_{1}, \varphi_{2}$ les {\'e}l{\'e}ments de ${\cal C}_{1}$ tels que $\varphi_{0}(x)=1, \varphi_{1}(x)=\sin (x), \varphi_{2}(x)=\cos (x)$. a) Montrer que $\phi=(\varphi_{0},\varphi_{1},\varphi_{2})$ est une famille libre de ${\cal C}_{1}$. b) ${\cal E}$ est le sous-espace vectoriel de ${\cal C}_{1}$ de base $\phi$. A chaque {\'e}l{\'e}ment $\varphi$ de ${\cal E}$, on associe sa fonction d{\'e}riv{\'e}e $d(\varphi)$. Montrer que $d$ est un endomorphisme de ${\cal E}$; en donner la matrice $D$ dans la base $\phi$. Comparer $D$ et $A'$. {\bf Probl{\`e}me 2} Dans ce probl{\`e}me, $m,n,p$ et $q$ d{\'e}signent des entiers naturels. 1. Pour $n \geq 1$, on consid{\`e}re les suites $(u_{n}),(u'_{n}),(u''_{n})$ d{\'e}finies par: \[ u_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{k},\:\: u'_{n}=u_{2n},\:\: u''_{n}=u_{2n-1}. \] a) D{\'e}terminer $u_{1},u_{2},u_{3},u_{4},u_{5},u_{6},u'_{1},u'_{2},u'_{3},u''_{1},u''_{2},u''_{3}$. b) Calculer, en fonction de $n$, $u'_{n+1}-u'_{n},u''_{n+1}-u''_{n},u''_{n}-u'_{n}$. Qu'en d{\'e}duit-on pour les suites $(u'_{n})$ et $(u''_{n})$ ? c) Montrer que la suite $(u_{n})$ converge. 2. Etudier la suite $(v_{n})$ d{\'e}finie pour $n \geq 1$ par: \[ v_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{2k-1}. \] 3. On consid{\`e}re, pour tout $p \geq 0$ les int{\'e}grales $\displaystyle{I_{p}=\int_{0}^{1} \frac{x^{p}}{1+x^{2}} dx}$. a) Calculer $I_{0}$ et $I_{1}$. b) Calculer $I_{p}+I_{p+2}$ en fonction de $p$. En d{\'e}duire $I_{2}$ et $I_{3}$. 4. Montrer que, pour $q \geq 1$: a) $u_{q}+2 (-1)^{q} I_{2q+1}=\ln 2$. b) $ v_{q} +(-1)^{q} I_{2q}=\frac{\pi}{4} $. 5. a) D{\'e}terminer $ \displaystyle{\lim_{p \rightarrow +\infty} I_{p}}$. b) Pr{\'e}ciser les limites des suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$. 6. Au moyen d'une int{\'e}gration par parties, d{\'e}terminer $\displaystyle{ \lim_{p \rightarrow +\infty} (pI_{p})}$. 7. Soit $\displaystyle{J_{p,q}=\int_{0}^{1} \frac{x^{p}}{(1+x^{2})^{q}} dx}$. a) Calculer $J_{1,q}$ en fonction de $q$. b) Donner les valeurs de $J_{0,q}$ pour $ 0 \leq q \leq 3$. c) On dit que $J_{m,n}$ pr{\'e}c{\`e}de $J_{p,q}$ si et seulement si $(m \leq p \:\: et \:\: n < q)$ ou $(m