\documentclass[a4paper,twoside]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{a4wide}

\begin{document}
\centerline{{\Large Centrale/Sup\'elec\hfill Math\'ematiques 1\hfill
Concours 96}}
\vskip 1em
\noindent{\large Corrig\'e}
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\centerline{\underline{{\it Partie I - Question pr\'eliminaire}}}
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La formule (2) est vraie pour $n=1$ et, si elle est vraie au rang $n$,
l'application de la formule (1) en $x+na$ donne la formule au rang $n+1$. De
m\^eme, la formule (1) appliqu\'ee en $x-a$ donne la formule (3) au rang 1 et
on obtient le passage du rang $n$ au rang $n+1$ en l'appliquant en $x-(n+1)a$.
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\centerline{\underline{{\it Partie II - Quelques propri\'et\'es des fonctions
lipschitziennes}}}
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II.1) ${\cal L}$ est non-vide (contient, par exemple, les fonctions
constantes), stable par combinaison lin\'eaire (en prenant par exemple
$K_{\lambda\varphi}=\lambda K_\varphi$ et\hfill\break
$K_{\varphi_1+\varphi_2}=K_{\varphi_1}+K_{\varphi_2}\ $). C'est un sous-espace
vectoriel de ${\cal F}$.\par
II.2) Soit $f$ une fonction d\'erivable de ${\cal F}$. Si
$f'$ est born\'ee, d'apr\`es le th\'eor\`eme des accroissements finis,
$$\forall(x\,,\,y)\in{\mathbb R}^2,\ |f(x)-f(y)|\leqslant
K_f|x-y|$$
o\`u $K_f$ est un majorant de $\{|f'(x)|\ |\ x\in{\mathbb R}\}$. Donc
$f\in{\cal L}$.\par
R\'eciproquement, si $f\in{\cal L}$,
$$\forall (x\,,\,y)\in{\mathbb R}^2,\ x\neq y,\
\left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right|\leqslant K_f$$ et, par passage \`a la
limite dans l'in\'egalit\'e, $|f'(x)|\leqslant K_f\ $. Donc $f'$ est
born\'ee.\par
II.3) Soit $f$ et $g$ deux fonctions born\'ees de ${\cal L}$ et $M$ et $N$ des
majorants respectifs de $|f|$ et de $|g|$.
$$\displaylines{
\forall (x\,,\,y)\in{\mathbb R}^2,\ |f(x)g(x)-f(y)g(y)|\leqslant
|f(x)g(x)-f(x)g(y)|+|f(x)g(y)-f(y)g(y)|\cr
\leqslant M|g(x)-g(y)|+N|f(x)-f(y)|\cr
\leqslant (MK_g+NK_g)|x-y|,\cr}$$
donc $fg$ appartient \`a ${\cal L}$. Si l'une des deux n'est pas born\'ee, la
propri\'et\'e n'est pas vraie, comme le montre l'exemple $f: x\longmapsto x$,
$g: x\longmapsto \sin x$. La fonction $fg$ est d\'erivable, \`a d\'eriv\'ee non
born\'ee.\par
II.4) Soit $f\in{\cal L}$. $\forall x\in{\mathbb R}$,
$|f(x)|\leqslant|f(0)|+K_f|x|$.\par
II.5) Soit $f\in{\cal F}$ et $M$ un r\'eel positif tel que, pour
tous $x$ et $y$ r\'eels v\'erifiant $0\leqslant x-y\leqslant 1$, on a
$|f(x)-f(y)|\leqslant M|x-y|$. Soit $(x\,,\,y)\in{\mathbb R}^2$, par
exemple $x\geqslant y$, et $n={\rm E}[x-y]$. Alors
$\displaystyle f(x)-f(y)=\sum_{k=0}^{n-1}[f(x-k)-f(x-k-1)]+f(x-n)-f(y)$. Donc
$|f(x)-f(y)|\leqslant M(n+x-n-y)$, et $|f(x)-f(y)|\leqslant M(x-y)$. Donc
$f\in{\cal L}$.
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\centerline{\underline{{\it Partie III - \'Etude de (1) pour $|\lambda|\neq
1$}}}
\vskip 1em
III.A.1.a) Soit $x\in{\mathbb R}$ et $n\in{\mathbb N}$, $|f(x+na)|\leqslant
A|x+na|+B\leqslant A|x|+B+An|a|$. Comme les s\'eries de termes g\'en\'eraux
$\lambda^n$ et $n\lambda^n$ sont absolument convergentes ($|\lambda|<1$), il en
est de m\^eme pour la s\'erie de terme g\'en\'eral $f(x+na)$.\par
III.A.1.b) Soit $F$ d\'efinie par
$\displaystyle F(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\lambda^nf(x+na)\ .$
$$F(x)-\lambda F(x+a)=\sum_{n\geqslant 0}\lambda^nf(x+na)-\sum_{n\geqslant
0}\lambda^{n+1}f[x+(n+1)a]=f(x)$$
Donc $F$ v\'erifie (1).\par
Soit  $(x\,,\,y)\in{\mathbb R}^2$,
$$|F(x)-F(y)|=\left|\sum_{n=0}^{+\infty}\lambda^n[f(x+na)-f(y+na)]\right|\leqslant\sum_{n=0}^{+\infty}|\lambda|^nK_f|x-y|\
.$$
Donc $\displaystyle |F(x)-F(y)|\leqslant \frac{K_f}{1-|\lambda|}\ |x-y|\ .$ Donc
$F\in{\cal L}$.\par
Soit $G$ une fonction de ${\cal L}$ v\'erifiant (1), $G-F$ est une fonction de
${\cal L}$ v\'erifiant $\forall x\in{\mathbb R}$,
$(G-F)(x)=\lambda(G-F)(x+a)=\lambda^n(G-F)(x+na)$, pour tout $n\in{\mathbb
N}$, donc
$|(G-F)(x)|\leqslant |\lambda|^n\left(A|x+na|+B\right)$. Le membre de droite de
cette in\'egalit\'e est le terme g\'en\'eral d'une suite de limite nulle, donc
$G-F$ est nulle. $F$ est l'unique fonction de ${\cal L}$ v\'erifiant (1).\par
III.A.2.a) $f_1(x)=1$. $\displaystyle F_1(x)=\frac{1}{1-\lambda}\ \cdotp$\par
III.A.2.b et c) $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\lambda^n{\rm
exp}\left(i(x+na)\right)=\frac{{\rm e}^{ix}}{1-\lambda{\rm e}^{ia}}=\frac{{\rm
e}^{ix}-\lambda{\rm e}^{i(x-a)}}{1-2\lambda\cos a+\lambda^2}\ \cdotp$\par
$f_2(x)=\cos x$, $f_3(x)=\sin x$. $f_2$ et $f_3$ sont \`a d\'eriv\'ee
born\'ee, donc dans ${\cal L}$. $F_2$ et $F_3$ sont les parties r\'eelle et
imaginaire de la somme qui vient d'\^etre calcul\'ee.
$$F_2(x)=\frac{\cos x-\lambda\cos(x-a)}{1-2\lambda\cos
a+\lambda^2}\quad,\quad F_3(x)=\frac{\sin x-\lambda\sin(x-a)}{1-2\lambda\cos
a+\lambda^2}\ \cdotp$$\par
III.B.1.a et b) En rempla\c cant $\lambda$ par $1/\lambda$ et $a$ par $-a$ et $f(x)$ par $(-1/\lambda)\times f(x-a)$ dans
II.A.1.a et b), on obtient le r\'esultat pour $|\lambda|>1$.\par
III.B.2.a)
$\displaystyle F_1(x)=-\frac{\lambda^{-1}}{1-\lambda^{-1}}=\frac{1}{1-\lambda}\
\cdotp$\par
III.B.2.b et c) $\displaystyle-\sum_{n=1}^{+\infty}\lambda^{-n}{\rm
exp}\left(i(x-na)\right)=-\frac{\lambda^{-1}{\rm e}^{i(x-a)}}{1-\lambda^{-1}{\rm
e}^{-ia}}=-\frac{\lambda{\rm e}^{i(x-a)}-{\rm e}^{ix}}{1-2\lambda\cos
a+\lambda^2}\ \cdotp$\par
$F_2$ et $F_3$ ont la m\^eme expression qu'en III.A.1.b et c).\par
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\centerline{\underline{{\it Partie IV - \'Etude de (1) pour $|\lambda|=1$}}}
\vskip 1em
IV.A.1) Soit $F\in{\cal L}$ telle que, $\forall x\in{\mathbb R}$,
$F(x)-F(x+a)=f(x)$, d'o\`u $|f(x)|\leqslant K_F|a|$. $f$ est donc born\'ee.\par
IV.A.2.a) Si $f=0$, les fonctions lipschitziennes de p\'eriode $a$
conviennent, par exemple $\displaystyle x\longmapsto \sin\left(\frac{2\pi
x}{a}\right)\ \cdotp$\par
IV.A.2.b) Donc, si $F\in{\cal L}$ v\'erifie (1), la fonction
$\displaystyle x\longmapsto F(x)+\sin\left(\frac{2\pi x}{a}\right)$ est une
autre fonction de ${\cal L}$ v\'erifiant (1).\par
IV.A.3.a) En faisant tendre $\lambda$ vers 1 dans (5), on obtient
l'expression\break
$F(x)=\displaystyle\frac{\cos x-\cos (x-a)}{2(1-\cos a)}\ (\cos a\neq 1)$.
Cette fonction $F$ est lipschitzienne (${\cal L}$ est un espace vectoriel) et
v\'erifie $F(x)-F(x+a)=\cos x$ pour tout $x$ (passage \`a la limite quand
$\lambda$ tend vers 1 dans (1), v\'erifi\'ee par $F_2\,$.\par
IV.A.3.b) $a=2\pi$. Soit $F\in{\cal L}$ v\'erifiant (1). D'apr\`es le
pr\'eliminaire,\break $F(x)=F(x+2n\pi)+n\cos x$. Donc $F((2n+1)\pi)=F(\pi)+n$ et
$F(2n\pi)=F(0)-n$, on obtient, pour tout $n$,
$F((2n+1)\pi)-F(2n\pi)=2n+F(\pi)-F(0)$, ce qui contredit l'hypoth\`ese
$F\in{\cal L}$. Il n'y a donc aucune fonction de ${\cal L}$ v\'erifiant (1).
IV.B.1.a) La fonction $\displaystyle x\longmapsto \sin\left(\frac{\pi
x}{a}\right)\ $ est une fonction de ${\cal L}$ v\'erifiant $\forall
x\in{\mathbb R}$,
$F(x)+F(x+a)=f(x)$.\par
IV.B.1.b) Si $F\in{\cal L}$ v\'erifie (1), la fonction $\displaystyle
x\longmapsto F(x)+\sin\left(\frac{\pi x}{a}\right)$ est une
autre fonction de ${\cal L}$ v\'erifiant (1).\par
IV.B.2.a) En faisant tendre $\lambda$ vers -1 dans (5), on
obtient l'expression\break
$F(x)=\displaystyle\frac{\cos x+\cos (x-a)}{2(1+\cos a)}\ (\cos a\neq
-1)$. Cette fonction $F$ est lipschitzienne (${\cal L}$ est un espace
vectoriel) et v\'erifie $F(x)+F(x+a)=\cos x$ pour tout $x$ (passage \`a la
limite quand
$\lambda$ tend vers -1 dans (1), v\'erifi\'ee par $F_2\,$.\par
IV.B.2.b) $a=\pi$. Soit $F\in{\cal L}$ v\'erifiant (1). D'apr\`es le
pr\'eliminaire,\break $F(x)=(-1)^nF(x+n\pi)+n\cos x$. Donc
$F((2n+1)\pi)=F(\pi)+2n$ et
$F(2n\pi)=F(0)-2n$, on obtient, pout tout $n$,
$F((2n+1)\pi)-F(2n\pi)=4n+F(\pi)-F(0)$, ce qui contredit l'hypoth\`ese
$F\in{\cal L}$. Il n'y a donc aucune fonction de ${\cal L}$ v\'erifiant (1).\par
IV.B.3.a) La s\'erie de terme g\'en\'eral $(-1)^nf(x+n)$ est une s\'erie
altern\'ee ($f$ \`a valeurs dans ${\mathbb R}_+\,$), v\'erifiant le th\'eor\`eme
des s\'eries altern\'ees ($f$ d\'ecroissante de limite nulle en $+\infty$), donc
elle est convergente.\par
IV.B.3.b) Soit $F$ sa somme. $$\forall x\in{\mathbb R},\
F(x)+F(x+1)=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\left[f(x+n)+f(x+n+1)\right]=f(x),$$
donc $F$ v\'erifie (1).\par Pour tout entier $p$,
$\displaystyle\left|\sum_{n=p}^{+\infty}(-1)^nf(x+n)\right|\leqslant f(x+p)$,
d'apr\`es le th\'eor\`eme des s\'eries altern\'ees, donc
$|F(x)|\leqslant f(x)$. Or $f$ a une limite nulle en $+\infty$, donc $F$
aussi.\par
Soit $(x\,,\,y)\in{\mathbb R}^2$, tels que $0\leqslant x-y\leqslant 1$,
$$\displaylines{
F(x)-F(y)=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\left[f(x+n)-f(y+n)\right],\cr
(x-y)f'(x+n-1)\leqslant f(x+n)-f(y+n)\leqslant (x-y)f'(x+n)\leqslant 0\cr}$$
(d'apr\`es le th\'eor\`eme des accroissements finis et la croissance de $f'$).
Donc
$F(x)-F(y)$ est la somme d'une s\'erie altern\'ee v\'erifiant le th\'eor\`eme
des s\'eries altern\'ees. Il en r\'esulte que
$|F(x)-F(y)|\leqslant(x-y)|f'(0)|$, apr\`es majoration de la valeur absolue de
la somme de la s\'erie altern\'ee par celle de son premier terme. Donc,
d'apr\`es II.5),
$F\in{\cal L}$.\par Soit $G\in{\cal L}$ v\'erifiant (1) et telle que
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}G(x)=0$. La fonction $H=G-F$ est une
fonction de ${\cal L}$ v\'erifiant $\forall n\in{\mathbb N},\ \forall
x\in{\mathbb R},\ H(x+n)=(-1)^nH(x)$ et
$\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}H(x+n)=0$. Donc $H$ est la fonction
nulle, et $F$ est unique.
\end{document}
