
\documentclass[a4paper,twoside]{article}
\usepackage{amssymb}
\begin{document}
\centerline{{\Large Centrale/Sup\'elec\hfill Math\'ematiques 1\hfill
Concours 96}}
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On note ${\cal F}$ l'ensemble des fonctions \`a valeurs dans ${\mathbb R}$ et
${\cal L}$ le sous-ensemble de ${\cal F}$ form\'e des fonctions lipschitziennes,
c'est-\`a-dire des fonctions $\varphi$ pour lesquelles existe une constante
$K_\varphi\geqslant 0$ telle que
$$\forall(x\,,\,y)\in{\mathbb R}^2,\ |\varphi(x)-\varphi(y)|\leqslant
K_\varphi|x-y|\ .$$
On a pour but, dans ce probl\`eme, de rechercher les fonctions $F\in{\cal L}$
telles que
$$\forall x\in{\mathbb R},\ F(x)-\lambda F(x+a)=f(x),\leqno{(1)}$$
o\`u $f$ est une fonction de ${\cal L}$ donn\'ee et o\`u $a$ et $\lambda$
sont deux
r\'eels non nuls donn\'es. Les parties III et IV sont largement ind\'ependantes.
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\centerline{\underline{{\it Partie I - Question pr\'eliminaire}}}
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Soit $F\in{\cal F}$ v\'erifiant (1). Montrer que, pour tout $x\in{\mathbb
R}$ et tout
$n\in{\mathbb N}^*$, on a
$$F(x)=\lambda^nF(x+na)+\sum_{k=0}^{n-1}\lambda^kf(x+ka)\leqno{(2)}$$
$$F(x)=\lambda^{-n}F(x-na)-\sum_{k=1}^n\lambda^{-k}f(x-ka).\leqno{(3)}$$
\par
\centerline{\underline{{\it Partie II - Quelques propri\'et\'es des fonctions
lipschitziennes}}}
\vskip 1em
II.1) Montrer que ${\cal L}$ est un sous-espace vectoriel r\'eel de ${\cal
F}$.\par
II.2) Soit $f\in{\cal F}$ d\'erivable. Montrer que, pour que $f\in{\cal L}$, il
faut et il suffit que sa d\'eriv\'ee $f'$ soit born\'ee.\par
II.3) $f$ et $g$ \'etant deux fonctions born\'ees de ${\cal L}$, montrer
que leur
produit $f\cdot g$ est aussi une fonction de ${\cal L}$. En est-il de
m\^eme si $f$
et $g$ ne sont pas toutes les deux born\'ees ?\par
II.4) Soit $f\in{\cal L}$. Montrer l'existence de deux r\'eels positifs $A$
et $B$
tels que
$$\forall x\in{\mathbb R}\,,\ |f(x)|\leqslant A|x|+B.\leqno{(4)}$$\par
II.5) Soit $f\in{\cal F}$. On suppose qu'existe un r\'eel positif $M$ tel
que, pour
tous $x$ et $y$ r\'eels v\'erifiant $0\leqslant x-y\leqslant 1$, on a
$|f(x)-f(y)|\leqslant M|x-y|$. D\'emontrer que $f\in{\cal L}$.
\vskip 1em
\centerline{\underline{{\it Partie III - \'Etude de (1) pour $|\lambda|\neq
1$}}}
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III.A - On suppose dans cette sous-partie que $|\lambda|<1$.\par
III.A.1)\par
\hskip 2em a) Montrer que, pour tout $x\in{\mathbb R}$, la s\'erie
$\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\lambda^nf(x+na)$ est absolument
convergente (on
pourra utiliser la Question II.4).\par
\hskip 2em b) En d\'eduire qu'il existe une, et une seule, fonction
$F\in{\cal L}$
v\'erifiant (1) et que $F$ est donn\'ee par
$$F(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\lambda^nf(x+na)\ .$$\par
III.A.2) \'Etude de trois cas particuliers\par
\hskip 2em a) On suppose que $f$ est la fonction $f_1$ d\'efinie par $f_1(x)=1$.
Montrer que $f_1\in{\cal L}$ et d\'eterminer la fonction $F_1$
correspondante.\par
\hskip 2em b) On suppose que $f$ est la fonction $f_2$ d\'efinie par
$f_2(x)=\cos
x$. Montrer que $f_2\in{\cal L}$ et que la fonction $F_2$ correspondante est
donn\'ee par $$F_2(x)=\frac{\cos x-\lambda\cos(x-a)}{1-2\lambda\cos
a+\lambda^2}\ \cdotp\leqno{(5)}$$\par
\hskip 2em c) On suppose que $f$ est la fonction $f_3$ d\'efinie par
$f_3(x)=\sin
x$. Montrer que $f_3\in{\cal L}$ et d\'eterminer la fonction $F_3$
correspondante.\par
III.B - On suppose dans cette sous-partie que $|\lambda|>1$.\par
III.B.1)\par
\hskip 2em a) Montrer que, pour tout $x\in{\mathbb R}$, la s\'erie
$\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\lambda^{-n}f(x-na)$ est absolument
convergente.\par
\hskip 2em b) En d\'eduire qu'il existe une, et une seule, fonction
$F\in{\cal L}$
v\'erifiant (1) et que $F$ est donn\'ee par
$$F(x)=-\sum_{n=1}^{+\infty}\lambda^{-n}f(x-na)\ .$$\par
III.B.2) Dans chacun des trois cas particuliers suivants, d\'eterminer la
fonction
$F_i$ correspondante.\par
\hskip 2em a) $f$ est la fonction $f_1$ d\'efinie par $f_1(x)=1$.\par
\hskip 2em b) $f$ est la fonction $f_2$ d\'efinie par $f_2(x)=\cos x$.\par
\hskip 2em c) $f$ est la fonction $f_3$ d\'efinie par $f_3(x)=\sin x$.\par
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\centerline{\underline{{\it Partie IV - \'Etude de (1) pour $|\lambda|=1$}}}
\vskip 1em
IV.A - On suppose dans cette sous-partie que $\lambda=1$.\par
IV.A.1) Montrer que, pour qu'il existe une fonction $F\in{\cal L}$
v\'erifiant (1),
il faut que $f$ soit born\'ee.\par
IV.A.2)\par
\hskip 2em a) Montrer, en en explicitant une, qu'il existe des fonctions
$F\in{\cal L}$ non nulles v\'erifiant $\forall x\in{\mathbb R},\
F(x)-F(x+a)=0$.\par
\hskip 2em b) Soit $F\in{\cal L}$ v\'erifiant (1). $F$ est-elle unique ?\par
IV.A.3) On suppose dans cette question que $f$ est la fonction d\'efinie par
$f(x)=\cos x$.\par
\hskip 2em a) Si $\cos a\neq 1$, montrer qu'en faisant tendre $\lambda$ vers 1
dans la fonction $F_2$ donn\'ee par (5), on obtient une fonction $F\in{\cal L}$
v\'erifiant (1).\par
\hskip 2em Si $a=2\pi$, \'etablir qu'il n'existe aucune fonction $F\in{\cal L}$
v\'erifiant (1).\par
IV.B - On suppose dans cette sous-partie que $\lambda=-1$.\par
IV.B.1)\par
\hskip 2em a) Montrer, en en explicitant une, qu'il existe des fonctions
$F\in{\cal L}$ non nulles v\'erifiant $\forall x\in{\mathbb R}, \
F(x)+F(x+a)=0$.\par
\hskip 2em b) Soit $F\in{\cal L}$ v\'erifiant (1), $F$ est-elle unique ?\par
IV.B.2) On suppose dans cette question que $f$ est la fonction d\'efinie par
$f(x)=\cos x$.\par
\hskip 2em a) Si $\cos a\neq -1$, expliciter une fonction $F\in{\cal L}$
v\'erifiant (1).\par
\hskip 2em b) Si $a=\pi$, \'etablir qu'il n'existe aucune fonction
$F\in{\cal L}$
v\'erifiant (1).\par
IV.B.3) On suppose dans cette question que $a=1$ et que $f\in{\cal L}$ est
d\'ecroissante, de limite nulle en $+\infty$ et \`a d\'eriv\'ee $f'$
croissante.\par
\hskip 2em a) Montrer que la s\'erie
$\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^nf(x+n)$ converge.\par
\hskip 2em b) Montrer qu'il existe une, et une seule, fonction $F\in{\cal L}$
v\'erifiant (1) et telle que
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}F(x)=0$ (pour
\'etablir que
$F\in{\cal L}$, on pourra utiliser la Question II.5).
\vskip 10pt
\centerline{FIN}\par
\end{document}
