%*****Macros de pr\'esentation*******************

%*****Mise en page

\vsize   =   24 true cm
\hsize   =   17 true cm
\hoffset=-1.1 true cm
\voffset=-2.2 true cm % \`a adapter pour l'imprimante 
\overfullrule=0mm
\hfuzz=5mm
\leftskip = 1cm % dimension marge gauche
\parindent = 0mm % pas d'indentation en d\'ebut de paragraphe

%*****Fontes

\font\pc=cmcsc10
\font\Bf=cmbx10 scaled\magstep1
\font\BF=cmbx10 scaled\magstep2
\font\bsl=cmbxsl10
\font\gros=cmsl10 scaled\magstep2
\font\tresgros=cmsl10 scaled\magstep3
\font\enorme=cmsl10 scaled\magstep4
\font\tenmib=cmmib10 % bold math italic
\newfam\grasfam \textfont\grasfam=\tenmib
\def\bfm{\fam\grasfam}

%*****Haut et bas de page

\def\makeheadline{
\ifnum\pageno=1
\null\vskip 2mm\null
\else
\line{\rm \titre\hfil\folio/\nbretotal}
\vskip 2mm\hrule\vskip5mm\fi}
\def\makefootline{}

%*****Num\'erotation

\dimendef\grandrecul=100\grandrecul=30pt
\dimendef\petitrecul=101\petitrecul=14pt
\def\num#1{\sv\sv\setbox1\hbox to \grandrecul{\bf#1\delimI\hfil}
\leavevmode\llap{\box1}}%-----num\'ero de question 
\def\numa#1{\setbox2\hbox to \petitrecul{\bf a\delimII\hfil}
\setbox1\hbox to \grandrecul{\bf#1\delimI\hfill\box2}
\sv\sv\leavevmode\llap{\box1$\!$}}%-----num\'ero de question et sous-question
\def\numm#1{\setbox2\hbox to \petitrecul{\bf #1\delimII\hfil}
\setbox1\hbox to \grandrecul{\hfill\box2}
\s\sv\leavevmode\llap{\box1$\!$}}%-----num\'ero de sous-question
%
\def\numo#1{\leavevmode\llap{\bf #1) }}%-----num\'ero de question sans saut 
%
%Numeros type 1.2.3
%
\dimendef\Tresgrandrecul=103\Tresgrandrecul=40pt
\dimendef\Grandrecul=104\Grandrecul=30pt
\dimendef\Petitrecul=105\Petitrecul=20pt
\def\Num#1#2{\setbox2\hbox to \Grandrecul{\bf#2\DelimII\hfil}
\sv\setbox1\hbox to \Tresgrandrecul{\Bf#1\DelimI\hfill\box2}
\sv\leavevmode\llap{\box1}}%-----num\'ero de question 
\def\Numm#1#2#3{\setbox3\hbox to \Petitrecul{\bf#3\DelimIII\hfil}
\setbox2\hbox to \Grandrecul{\bf#2\DelimII\hfill\box3}
\setbox1\hbox to \Tresgrandrecul{\Bf#1\DelimI\hfill\box2}
\sv\leavevmode\llap{\box1}}%-----num\'ero de question et sous-question
\def\Numa#1#2{\setbox3\hbox to \Petitrecul{\bf a\DelimIII\hfil}
\setbox2\hbox to \Grandrecul{\bf#2\DelimII\hfill\box3}
\setbox1\hbox to \Tresgrandrecul{\Bf#1\DelimI\hfill\box2}
\sv\sv\leavevmode\llap{\box1}}%-----num\'ero de question et sous-question a)
%*****Fin

\def\finetoiles{\centerline{*\hphantom{*}*\hphantom{*}*}\centerline{*\hphantom{*}*}\centerline{*}}


%*****Cadres

%-----cadre simple
\def\encadre#1{
\leavevmode             % mode horizontal
\hbox{\vrule            % trait vertical gauche
\vtop{\vbox{\hrule      % trait horizontal haut
\kern 5pt               % cale verticale
\hbox{\kern 5pt         % cale horizontale
#1\kern 5pt             % texte + cale horizontale
}}\kern 5pt             % cale verticale
\hrule                  % trait horizontal bas
}\vrule}}               % trait vertical droit

%----- cadre pour le titre 
\def\cadrelong#1{%
{\SV                    % va a la ligne
\leftskip=3mm           % pas de marge gauche
\hrule                  % trait horizontal sup\'erieur
\dimen0=\hsize\advance\dimen0 by 7mm %
\hbox to \dimen0{\vrule  % trait vertical gauche
\hfil                   % centrage horizontal
\vrule height 16pt depth 8pt width 0pt     % cale de hauteur
\BF #1%                  % texte en gras
\hfil                   % centrage horizontal
\vrule                  % trait vertical droit
}\hrule                 % trait horizontal inf\'erieur
\sv}}                   % petit espace

%----- cadre pour le titre sur plus d'une ligne
\long\def\cadregros#1{
\SV                                  % va a la ligne
\leftskip=3mm                        % pas de marge gauche
\dimen0=\hsize\advance\dimen0 by 7mm %
\hbox to \dimen0{\vrule              % trait gauche
\vbox{\hrule                         % trait haut
\vskip3mm                            % cale haut
\vtop{\hbox{\hskip1mm                % cale gauche
\vtop{\baselineskip=20pt#1}          % texte
\hskip1mm}%                          % cale droite
\vskip1mm                            % cale bas
\hrule}}%                            % trait bas
\vrule}                              % trait droit
\SV}                                 % va a la ligne          
%-----cadre centr\'e
\def\cadcent#1{\sv\centerline{\encadre{#1}}}

%-----boxit de Seroul
\newbox\cadre
\def\boxit#1#2{\setbox\cadre=\hbox{\kern#1{#2}\kern#1}%
\dimen5=\ht\cadre \advance\dimen5 by #1
\dimen6=\dp\cadre \advance\dimen6 by #1
\setbox\cadre=\hbox{\vrule height\dimen5 depth\dimen6\box\cadre\vrule}%
\setbox\cadre=\vbox{\hrule\box\cadre\hrule}%
\advance\dimen5 by .4pt \ht\cadre=\dimen5
\advance\dimen6 by .4pt \dp\cadre=\dimen6 \box\cadre\relax}


%-----souslignage pointille

\def\ung#1{\setbox1=\hbox{#1\kern 2mm }
\leavevmode\vtop{\hsize=\wd1
\copy1
\vskip -10pt
\hbox to\wd1{\xleaders\hbox to 2mm{\hss\vrule height 0.4pt depth 0pt width 1mm\hss}
\hfill}}}
 
%*****Op\'erateurs math\'ematiques*********************

%*****Nouvelles definitions

\let\oldsum=\sum                         % modifie la d\'efinition de \sum
\def\sum{\oldsum\limits}                 % pour placer correctement les bornes
\let\oldprod=\prod                       % idem pour \prod
\def\prod{\oldprod\limits}
\let\oldlim=\lim                         % idem pour \lim
\def\lim{\oldlim\limits}
\let\oldsup=\sup                         % idem pour \sup
\def\sup{\mathop{\rm Sup}\limits}
\let\oldinf=\inf                         % idem pour \inf
\def\inf{\mathop{\rm Inf}\limits}
\def\max{\mathop{\rm Max}\limits}
\def\min{\mathop{\rm Min}\limits}
\def\frac#1#2{{\textstyle#1\over\textstyle#2}} % fraction
\def\fracs#1#2{{\scriptstyle#1\over\scriptstyle#2}} %  petite fraction
\def\rac#1#2{\root\raise 2pt\hbox{$\scriptstyle #1$} \of{\,#2}} % racine ni\`eme

%*****Fl\'eches
%-----op\'erateur avec dessous: build {op\'erateur} {dessous}
\def\build#1#2{\mathrel{\mathop{\kern 0pt#1}\limits_{#2}}}
%-----fl\`eche double: fl\`eche {variable} {valeur}
\def\fleche#1#2{\build{\hbox to
9mm{\rightarrowfill}}{{#1}\rightarrow{#2}}}

%-----op\'erateur avec deux dessous: Build {op\'erateur} {dessous1} {dessous2}
\def\Build#1#2#3{\build{{#1}}{\scriptstyle{#2}\atop\scriptstyle{#3}}}
%-----fl\`eche triple: Fleche {variable} {valeur} {3i\`eme ligne}
\def\Fleche#1#2#3{\build{\hbox to
9mm{\rightarrowfill}}{\scriptstyle{#1}\rightarrow{#2}\atop\scriptstyle{#3}}}

%-----cv simple et uniforme
\def\cvu{\setbox1=\hbox{$\longrightarrow$\llap{\raise-0.5pt\hbox{\rm U}\kern 4pt}}\mathrel{\box1}} 
\def\cvs{\setbox1=\hbox{$\longrightarrow$\llap{\raise-0.5pt\hbox{\rm S}\kern 5pt}}\mathrel{\box1}} 

%-----codage d'une application
\def\app#1#2#3#4{\leavevmode
\setbox11=\hbox{$#1$}\setbox13=\hbox{$#3$}
\ifdim\wd11<\wd13\setbox12=\hbox to\wd13{\hfill\box11\hfill}\setbox14=\box13%
\else\setbox12=\box11\setbox14=\hbox to\wd12{\hfill\box13\hfill}\fi
\hbox{                               %1:ens de depart
\vtop{\box12\box14}                  %2:ens d'arrivee
\vtop{\hbox{$\rightarrow$}           %3:x 
\hbox{$\mapsto$}}                    %4:f(x)
\vtop{\hbox{$#2$}
\hbox{$#4$}}
}\enskip}

\def\apph#1#2#3#4{\leavevmode\ #1\rightarrow#2\quad #3\mapsto#4\ }

%-----Restriction
\def\restreint#1{\,\vrule height 8pt depth 6pt\raise-4pt\hbox{$\,\scriptstyle #1$}}

%*****Ensembles de nombres

\def\Z{{\bf Z}}
\def\C{{\bf C}}
\def\R{{\bf R}}
\def\N{{\bf N}}
\def\Q{{\bf Q}}
\def\K{{\bf K}}	
%\def\R{{\bf I\hskip -0.15em R}}  
%\def\Z{{\bf Z\hskip -0.3em Z}}  
%\def\N{{\bf I\hskip -0.15em N}}  
%\def\C{{\bf \ 1\hskip -0.60em C}}
%\def\Q{{\bf \ 1\hskip -0.60em Q}}
%\def\K{{\bf I\hskip -0.15em K}}

%*****Calculs en cascade

\def\cascade#1{                            
\leavevmode\vtop{\halign{$##$\hfil&${}##{}$\hfil&$##$\hfil\cr #1}}\par}
\def\montre#1{\leavevmode
\abovedisplayskip=2pt plus 1pt minus 1pt
\belowdisplayskip=3pt plus 1pt minus 1pt
$$\textstyle #1$$
\abovedisplayskip=12pt plus 3pt minus 9pt
\belowdisplayskip=12pt plus 3pt minus 9pt}
\def\montred#1{\leavevmode
\abovedisplayskip=2pt plus 1pt minus 1pt
\belowdisplayskip=3pt plus 1pt minus 1pt
$$#1$$
\abovedisplayskip=12pt plus 3pt minus 9pt
\belowdisplayskip=12pt plus 3pt minus 9pt}

%*****D\'eriv\'ees partielles :
%
%           df                     dÀf                     dÀf
% \d fx ->  --         \dd fxy ->  ----        \dd fxx ->  ---
%           dx                     dxdy                    dxÀ
%
%
\def\d#1#2{\frac{\partial#1}{\partial#2}}

\def\dd#1#2#3{{
\def\deux{#2}\def\trois{#3}\ifx\deux\trois          % compare les variables
\frac{\partial^2#1}{\partial#2^2}                  % \'egales -> forme dÀf/dxÀ
\else
\frac{\partial^2#1}{\partial#2\partial#3}          % sinon forme dÀf/dxdy
\fi}}

%*****Limites d'intervalles d'entiers:
\def\[{[\![}
\def\]{]\!]}

%*****Operateurs algebriques

\def\rg{\mathop{\rm rg}\nolimits}
\def\im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\let\oldker=\ker
\def\ker{\mathop{\rm Ker}\nolimits}
\def\vect{\mathop{\rm Vect}\nolimits}
\def\sp{\mathop{\rm Sp}\nolimits}
\def\tr{\mathop{\rm Tr}\nolimits}

%*****Matrices
%systemes
\catcode`\@=11
\def\system#1{\left\{\null\,\vcenter{\openup1\jot\m@th
\ialign{\strut\hfil$##$&$##$\hfil&&\enspace$##$\enspace&
\hfil$##$&$##$\hfil\crcr#1\crcr}}
\right.}
\catcode`\@=12
%matrice avec []
\def\cmatrix#1{\left[\matrix{#1}\right]}
%petites matrices
\def\petitematrix#1{\vcenter{\normalbaselineskip=8pt
\ialign{\hfil$\scriptstyle{##}$\hfil&&\hfil$\;\;\scriptstyle{##}$\hfil\crcr #1\crcr}}}
\def\petitepmatrix#1{\left(                            
\vcenter{\normalbaselineskip=8pt
\ialign{\hfil$\scriptstyle{##}\mathstrut$\hfil&&\hfil$\;\;\scriptstyle{##}$\hfil\crcr #1\crcr}}\right)}
\def\petitecmatrix#1{\left[                            
\vcenter{\normalbaselineskip=8pt
\ialign{\hfil$\scriptstyle{##}$\hfil&&\hfil$\;\;\scriptstyle{##}$\hfil\crcr #1\crcr}}\right]}
\def\petitematrixbis#1{                            
\vcenter{\normalbaselineskip=0pt
\ialign{\hfil$\scriptstyle{##}$\hfil&&\hfil$\;\;\scriptstyle{##}$\hfil\crcr #1\crcr}}
}
%matrice par blocs
\def\tvhi{\vrule height 9 pt depth 5pt width 0pt}%
\def\tvh{\tvhi\vrule}%
\def\tvbi{\vrule height 12 pt depth 3pt width 0pt}%
\def\tvb{\tvbi\vrule}%
\def\bloc#1#2#3#4{%
\pmatrix{%
\offinterlineskip \  #1&\tvh& #2\ \cr% 
\noalign{\hrule} \  #3&\tvb&#4\ \cr}}

\def\adots{\mathinner{\mkern2mu\raise1pt\h{.}\mkern3mu\raise4pt\h{.}\mkern1mu\raise7pt\h{.}}}


%*****Tableau de variation
%
% \tabvar{...} -> tableau de variation encadr\'e avec un trait de s\'eparation
%                 entre les colonnes 1 et 2. Les cellules du tableau sont
%                 compos\'ees en mode math\'ematique. La ligne de base du tableau
%                 est celle de la ligne 1. La derni\`ere ligne du tableau doit
%                 obligatoirement se terminer par \cr
%     Dans l'environnement \tabvar, on dispose des macros suivantes :
%     \cr : interligne normale
%     \l  : espace + demi-interligne
%     \L  : espace + interligne normale avec trait horizontal
%     \d  : fl\`eche descendante
%     \u  : fl\`eche montante
%     \v  : trait vertical centr\'e
%     \V  : double trait vertical centr\'e
%     \Vd : double trait vertical cadr\'e \`a droite
%     \Vg : double trait vertical cadr\'e \`a gauche
%     \q  : cale de largeur (\qquad)

\def\tabvar#1{{%
%                                                     macros locales
\def\L{\ \cr\noalign{\hrule}}%                        % trait horizontal
\def\l{\ \cr\noalign{\vskip -6pt}}%                   % passage \`a la ligne
\def\d{\searrow}%                                     % fl\`eche descendante
\def\u{\nearrow}%                                     % fl\`eche montante
\def\v{\vrule}%                                       % trait vertical
\def\V{\vrule\hskip2pt\vrule}%                        % double trait vertical
\def\Vg{\V\hfill}%                                    % double trait \`a gauche
\def\Vd{\hfill\V}%                                    % double trait \`a droite
\def\q{\qquad}%                                       % cale de largeur
%
\leavevmode                                           % mode horizontal
\hbox{\vrule                                          % cadre (trait gauche)
\vbox{\hrule                                          % cadre (trait haut)
\vtop{\offinterlineskip                               % lignes jointives
\halign{\strut                                        % cale de hauteur
\ \hfil$##$\hfil\                                     % colonne 1
\vrule\                                               % s\'eparation 1-2
&&\hfil$##$\hfil\cr                                   % colonnes 2,3,..
#1%                                                   % contenu du tableau
\noalign{\hrule}%                                     % cadre (trait bas)
}}}\vrule}}}                                          % cadre (trait droit)

%*****Raccourcis

\let\un=\underline
\let\h=\hbox
\let\s=\smallskip
\def\sv{\vskip 4mm plus 2mm minus 2mm}   
\def\SV{\vskip 12mm plus 6mm minus 6mm} 
\def\ex{\exists\,}

%pour les tableaux 
%
\def\tvi{\vrule height 12 pt depth 5pt width 0pt}
\def\tv{\tvi\vrule}
\def\hfq{\hfill\quad}
\def\cc#1{\hfq#1\hfq}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\def\titre{Centrale-Sup\'elec 1996,  Math\'ematiques II, option M\&P'}
\def\nbretotal{4}
\def\DelimI{.}
\def\DelimII{.}
\def\DelimIII{)}
\SV
\cadrelong{\BF \titre }
\SV

\cadcent{\bf Partie I}
\Num IA%
On a $M(u,2\pi-v)=O+\alpha (u)\overrightarrow \imath+
u\cos v\overrightarrow \imath-u\sin v\overrightarrow \jmath+f(u)\overrightarrow
k=s_{(O,\overrightarrow \imath,\overrightarrow k)}\bigl ( M(u,v)\bigr )$.\par
Donc $\un{\h{le plan }y=0\h{ est plan de sym\'etrie pour }S_{\alpha
,f}}$~.

\Num IB%
$\diamond$ $f$ est strictement croissante, continue et v\'erifie
$f(1)=0$ donc $f\bigl ( [1,+\infty[\bigr )=[0,a[$ o\`u $a=\sup_{[1,+\infty[}
f=\lim_{u\rightarrow +\infty}f(u)\in \overline{\R}$. De plus, $f$ est une bijection de
$[1,+\infty[$ sur $[0,a[$.\par
Or $M(u,v)\in P_{z_0}\Longleftrightarrow f(u)=z_0$ donc\s
{\leftskip 2cm
$\rightarrow$ \encadre{$z_0\notin [0,a[$} alors $S_{\alpha
,f}\cap P_{z_0}=\emptyset$.\s
$\rightarrow$ \encadre{$z_0\in [0,a[$} alors $f(u)=z_0\Leftrightarrow
u=f^{-1}(z_0)=u_0$ et $S_{\alpha
,f}\cap P_{z_0}=\Bigl \{ M(u_0,v)\Bigm| v\in[0,2\pi]\Bigr \}$. Or
$M(u_0,v)=O+\alpha (u_0)\overrightarrow \imath+f(u_0)\overrightarrow
k+u_0\overrightarrow e_v$ donc 

$\un{S_{\alpha
,f}\cap P_{z_0}\h{ est le cercle du plan }P_{z_0}\h{ de centre }
O+\alpha \circ f^{-1}(z_0)
\overrightarrow \imath+z_0\overrightarrow k\h{ et de rayon
}f^{-1}(z_0)}$~.\par}
$\diamond$ Pour $M(u,v)\in S_{\alpha,f}$ $u$ est donc le rayon du cercle 
intersection de $S_{\alpha,f}$ avec le plan parall\'ele \`a $z=0$ passant
par $M(u,v)$, et $v$ est une mesure de l'angle $(\overrightarrow \imath,  
\overrightarrow{\Omega M(u,v)})$ o\`u $\Omega $ est le centre de ce
cercle.

\Num IC%
$\diamond$ $M(u,v)=O+\bigl (\alpha (u)+u\cos v \bigr ) \overrightarrow \imath+
u\sin v\overrightarrow \jmath+f(u)\overrightarrow
k$ appartient au plan $(y=0)$ si et seulement si $u\sin v=0$, or $u\ge
1$ et $v\in[0,2\pi]$, donc ceci se r\'esume \`a $v\in\{0,\pi,2\pi\}$. Mais,
d'apr\`es {\bf I.A}, $M(u,2\pi)=M(u,0)$. Donc, finalement,\par
$\un{S_{\alpha,f}\cap xOz=\bigl \{O+(\alpha (u)+u)\overrightarrow \imath+
f(u)\overrightarrow k \mid u\ge 1\bigr \}\cup \bigl \{
O+(\alpha (u)-u)\overrightarrow \imath+
f(u)\overrightarrow k \mid u\ge 1\bigr \}=C_1\cup C_2}\ .$\s
$\diamond$ De plus, si $C_1\cap C_2\ne\emptyset$, soit $M\in C_1\cap C_2$. 
Il existe $(u_1,u_2)\in [1,+\infty [^2$ tel que $M=M(u_1,0)=M(u_2,\pi)$,
en particulier, $f(u_1)=f(u_2)$ donc, par injectivit\'e de $f$, $u_1=u_2$
et on a $\alpha (u_1)+u_1=\alpha (u_1)-u_1$ donc $u_1=0$ ce qui est
absurde.
Donc $\un{C_1\h{ et }C_2\h{ sont disjointes}}$~.

\Numm ID1%
$\un{\overrightarrow{\d Mu}=\alpha' (u)\overrightarrow \imath+
\overrightarrow e_v+f'(u)\overrightarrow k}$\qquad
$\un{\overrightarrow{\d Mv}=
u\overrightarrow e_{v+\fracs{\pi}{2}}}$~. 

\Numm ID2%
$\overrightarrow{\d Mu}\wedge \overrightarrow{\d Mv}=   
u\,\Bigl((\alpha' (u)+\cos v)\overrightarrow \imath+
\sin v\overrightarrow \jmath+f'(u)\overrightarrow k\Bigr)\wedge
\Bigl( -\sin v\overrightarrow \imath+\cos v\overrightarrow \jmath
\Bigr)=u\,\Bigl(-f'(u)\cos v\overrightarrow\imath-f'(u)\sin v
\overrightarrow\jmath+(\alpha' (u)\cos v+1)\overrightarrow k    
\Bigr)\ne \overrightarrow 0$ donc on peut prendre 
$\un{\overrightarrow N=-f'(u)\overrightarrow e_{v}+(\alpha' (u)\cos v+1)
\overrightarrow k}$~.

%\Numm ID3%
%Pour $v=k\pi$, on a $\overrightarrow N=(-1)^{k+1}f'(u)\overrightarrow\imath
%+(\alpha' (u)(-1)^{k}+1)\overrightarrow k\in{\rm Vect}(\overrightarrow\imath,
%\overrightarrow k)$. Donc le plan osculateur \`a $C_I$ est normal \`a la surface (on
%dit que $C_i$ est une g\'eod\'esique de $S_{\alpha,f}$).

%\vfill\eject
\SV
\cadcent{\bf Partie II}
\Num {II}A%
$\un{E=(\alpha' (u)+\cos v)^2+
\sin^2 v+(f'(u))^2,\quad F=-u\alpha' (u)\sin v,\quad G=u^2}$~.\par
De plus, $\overrightarrow{\dd Muu}=\alpha'' (u)\overrightarrow \imath
+f''(u)\overrightarrow k$, $\overrightarrow{\dd Muv}=e_{v+\fracs{\pi}{2}}$,
$\overrightarrow{\dd Mvv}=-u\,e_{v}$.\par
Comme $\left [\overrightarrow{\d Mu},\overrightarrow{\d Mv},
\overrightarrow V\right ]=\left (\overrightarrow{\d Mu}\wedge\overrightarrow{\d Mv},
\right ).\overrightarrow V=u\,\Bigl(-f'(u)\overrightarrow e_{v}
+(\alpha' (u)\cos v+1)\overrightarrow k    
\Bigr).\overrightarrow V$ on a\par
$\un{l=u\bigl ( f''(u)\alpha' (u)-f'(u)\alpha'' (u)\bigr )\cos v+uf''(u),
\quad m=0,\quad n=u^2f'(u)}$~. 

\Num {II}B%
$En-2Fm+Gl=uf'(u)\,\Bigl((\alpha' (u)+\cos v)^2+
\sin^2 v+(f'(u))^2\Bigr)+u^2\,\Bigl(\bigl ( f''(u)\alpha' 
(u)-f'(u)\alpha'' (u)\bigr )\cos v+f''(u)\Bigr)=
uf'(u)\,\Bigl((\alpha' (u))^2+2\cos v\alpha' (u)+1
+(f'(u))^2\Bigr)+u^2\,\Bigl(\bigl ( f''(u)\alpha' 
(u)-f'(u)\alpha'' (u)\bigr )\cos v+f''(u)\Bigr)=
\Bigl(u^2f''(u)+uf'(u)(\alpha' (u))^2+uf'(u)+u(f'(u))^3\Bigr)+
\cos v\,\Bigl(u^2f''(u)\alpha' 
(u)-u^2f'(u)\alpha'' (u)+2uf'(u)\alpha' (u)\Bigr)$
donc $$\displaylines{\un{A(u)=u^2f''(u)+uf'(u)(\alpha' (u))^2+uf'(u)+u(f'(u))^3}\cr
\un{B(u)=u^2f''(u)\alpha' 
(u)-u^2f'(u)\alpha'' (u)+2uf'(u)\alpha' (u)}\ .\cr}$$

\Num {II}C%
$\forall u>1,\quad\forall v\in [0,2\pi],\ A(u)+B(u)\cos v=0\Longleftrightarrow 
\forall u>1,\ A(u)=B(u)=0$ car les foctions $v\mapsto 1$ et $v\mapsto \cos
v$ sont ind\'ependantes dans $C^0([0,2\pi])$.\par
Donc $\un{S_{\alpha,f}\h{ v\'erifie }(1)\Longleftrightarrow
\cases{uf''(u)+f'(u)(\alpha' (u))^2+f'(u)+(f'(u))^3=0&\cr
uf''(u)\alpha' 
(u)-uf'(u)\alpha'' (u)+2f'(u)\alpha' (u)=0&\cr}}$~.

%\vfill\eject
\SV
\cadcent{\bf Partie I$\!$I$\!$I}
\Num {I$\!$I$\!$I}A%
$(1)\Longleftrightarrow
\cases{uf''(u)+f'(u)+(f'(u))^3=0&\cr
0=0&\cr}$ donc $\un{(1)\Longleftrightarrow uf''(u)+\bigl (1+(f'(u))^2\bigr )
f'(u)=0}$~.

\Num {I$\!$I$\!$I}B%
L'\'equation (2) s'\'ecrit $g=f'$ et $g'=-\frac{g+g^3}{u}\ \ (3)\ $, or $(u,y)\mapsto
-\frac{y+y^3}{u}$ est $C^1$ sur $]1,+\infty[\times\R$ ouvert donc le th\'eor\`eme
de Cauchy-Lipschitz s'applique \`a cette \'equation du premier ordre (3). 
En particulier, soit $f$ solution de (2) telle que $f'(u_0)=0$,
appliquons ce r\'esultat \`a la condition de Cauchy $g(u_0)=0$: il existe
une et une seule solution maximale $g_0$ v\'erifiant (2) et cette condition.
Mais $g=0$ qui est d\'efinie sur $]1,+\infty[$ est bien solution de (3) et
elle est maximale car l'\'equation n'est ici consid\'er\'ee que pour $u\ge 1$.
Donc $g_0=0$ donc $f'=0$ donc $f$ constante sur $]1,+\infty[$.\par
Par contrapos\'ee, $\un{\h{tout solution non constante de (2) a une
d\'eriv\'ee qui ne s'annule pas sur }]1,+\infty[}$~.

\Num {I$\!$I$\!$I}C%
L'\'equation (3) est \`a variables s\'eparables, et on peut s\'eparer les variables
car, \`a l'exception de la solution constante nulle $g+g^3$ ne s'annule
pas sur $]1,+\infty[$. Donc $(3)\Longleftrightarrow
\frac{g'}{g+g^3}=-\frac{1}{u}$ soit $-\ln
u=\displaystyle \int\frac{dg}{g+g^3}$ or 
$\frac{1}{t+t^3}=\frac{1}{t}-\frac{t}{t^2+1}$ donc $
-\ln u= C+\ln g(u)-\frac{1}{2}\ln(( g(u))^2+1)$ ($g(u)>0$).
Ceci conduit \`a $\frac{g(u)}{\sqrt{( g(u))^2+1}}=\frac{K}{u}$ avec $K>0$,
donc $\frac{( g(u))^2}{( g(u))^2+1}=\frac{K^2}{u^2}$. Or, on doit avoir
$f'(x)=g(x)\fleche x{1^+}+\infty$  ce qui donne $K^2=1$ et donc $( g(u))^2=
\frac{1}{u^2-1}$. Donc $\un{f(u)=\ln\bigl ( u+\sqrt{u^2-1}\bigr )}$~.   
 
%\Num {I$\!$I$\!$I}D%
%Une surface $S_{0,f}$ est donn\'ee par $M(u,v)=O+u\,\overrightarrow e_{v}+f(u)\overrightarrow
%k$, c'est donc $\un{\h{une surface de r\'evolution d'axe }}$\par
%$\un{(O,\overrightarrow
%k)}$ et $C_1$ et $C_2$ en sont deux \underbar{demi-m\'eridiennes}~.

%\vfill\eject
\SV
\cadcent{\bf Partie IV}
\Num {IV}A%
Poser, comme le sugg\'ere l'\'enonc\'e, $w=\frac{\alpha '}{f'}$ est valable
sur $]1,+\infty[$ car $\forall x>1,\ f'(x)\ne 0$ (ce qui ne veut pas
dire que ceci soit valable pour toutes les solutions du syst\`eme
diff\'erentiel, par exemple $(\alpha ,0)$ est solution). On a alors $w'=
\frac{\alpha ''f'-\alpha 'f''}{{f'}^2}$ et la seconde \'equation du
syst\`eme s'\'ecrit $-uw'{f'}^{2}+2w{f'}^{2}=0$ soit, toujours puisque $f'(x)\ne
0$, $w'=\frac{2}{u}w$ ce qui donne $w(u)=Cu^2$. De plus, $\alpha $ est
croissante donc $w\ge 0$ et $C\ge 0$, mais, si $C=0$ $\alpha '=0$ donc $\alpha
$ est constante et donc $\alpha =0$ ce qui est exclu.\par
Donc $\un{\ex C>0,\ \forall u\in]1,+\infty[,\quad
\alpha '(u)=Cu^2f'(u)}$~.

\Num {IV}B%
La premi\`ere \'equation du syst\`eme s'\'ecrit alors
$uf''(u)+C^2u^4{f'}^3(u)+f'(u)+(f'(u))^3=0$ ce qui \'equivaut ici, en
divisant par $(f'(u))^3$, \`a
$u\frac{f''(u)}{(f'(u))^3}+\frac{1}{{f'}^2(u)}=-1-C^2u^4$ soit, en posant $\psi
=\frac{1}{{f'}^2}$, $\frac{u}{2}\psi'-\psi=1+C^2u^4$. \par
L'\'equation homog\`ene a pour solution g\'en\'erale $\psi=Ku^2$ et, en faisant
varier $K$, on a $\frac{u}{2}K'(u)u^2=1+C^2u^4$ donc
$K'(u)=\frac{2}{u^3}+2C^2u$ soit $K(u)=-\frac{1}{u^2}+C^2u^2+K$. Donc
$\un{\psi(u)=-1+C^2u^4+Ku^2}$.

\Num {IV}C% 
Mais $\lim_{u\rightarrow 1}\psi(u)=0$ donc $K=1-C^2$ ce qui donne
$\psi(u)=-1+C^2u^4+(1-C^2)u^2=(u^2-1)(C^2u^2+1)$. Donc, puisque $f'>0$,
$f'(u)=\frac{1}{\sqrt{(u^2-1)(C^2u^2+1)}}$ et donc $\alpha '
(u)=\frac{Cu^2}{\sqrt{(u^2-1)(C^2u^2+1)}}$.\par
On a donc, finalement puisque $\alpha(1)=f(1)=0$,
$$\un{f(u)=\int_{1}^{u}\frac{dt}{\sqrt{(t^2-1)(C^2t^2+1)}}\qquad
\alpha(u)=\int_{1}^{u}\frac{Ct^2}{\sqrt{(t^2-1)(C^2t^2+1)}}\,dt\ .}$$

\Num {IV}D% 
On remarque, que, pour $C=0$, on retrouve bien la solution du {\bf
I$\!$I$\!$I.C}.\sv

$\diamond$ \underbar{Cas 1}: \encadre{ $C=0$ }\par
D'apr\`es ci-dessus, $C_2^{0}=s_{(O,\overrightarrow k)}\bigl ( C_1^{0}\bigr
)$ et $M_1^0(u)=O+u\overrightarrow \imath+
f_{0}(u)\overrightarrow k$. De plus, $f_{0}(u)=\ln\bigl ( u+\sqrt{u^2-1}\bigr
)$ donc $\lim_{u\rightarrow
+\infty}f_{0}(u)=+\infty$, $\lim_{u\rightarrow
+\infty}\frac{f_{0}(u)}{u}=\lim_{u\rightarrow
+\infty}\frac{\ln(2u)+\ln\left ( 1+\sqrt{1-{1\over u^2}}\right )}{u}=0$,
donc $C_1^{0}$ a une branche
parabolique de direction $(O,\overrightarrow \imath)$.\par
Comme $\lim_{u\rightarrow 1}f'_{0}(u)=+\infty$ $C_1^{0}$ a une
demi-tangente parall\'ele \`a $(O,\overrightarrow k)$ en $M_1^0(1)$.\sv

$\diamond$ \underbar{Cas 2}: \encadre{ $C>0$ }\par
Ici $M_1^C(u)=O+(\alpha_{C} (u)+u)\overrightarrow \imath+
f_{C}(u)\overrightarrow k$ et $M_2^C(u)=O+(\alpha_{C} (u)-u)\overrightarrow \imath+
f_{C}(u)\overrightarrow k$.\par
En notant, comme l'\'enonc\'e, $P(t)=(t^2-1)(C^2t^2+1)$, on a $\frac{1}{\sqrt{P(t)}}
\build\sim{t\rightarrow+\infty}\frac{1}{Ct^2}$ donc $\displaystyle 
\ell=\int_{1}^{+\infty}\frac{dt}{\sqrt{P(t)}}$ existe et donc $\lim_{u\rightarrow
+\infty}f_{C}(u)=\ell$.\par
De m\^eme, $\frac{Ct^2}{\sqrt{P(t)}}
\build\sim{t\rightarrow+\infty} 1$, donc, par int\'egration de $\sim$ dans des
int\'egrales divergentes, on a
$\alpha_{C}(u)\build\sim{u\rightarrow+\infty}\int_{1}^{u}\,dt=u-1\build\sim{u\rightarrow+\infty}
u$ donc $\alpha_{C}(u)+u\build\sim{u\rightarrow+\infty}2u\fleche
u{+\infty}+\infty$. $C_1^C$ admet donc pour asymptote la droite
$z=\ell$.\par
On a aussi
$\frac{Ct^2}{\sqrt{P(t)}}=\frac{1}{\sqrt{\left (1-{1\over t^2} \right ) 
\left ( 1+{1\over C^2t^2}\right )}}=\frac{1}{\sqrt{1+\left ( 
{1\over C^2}-1\right )\,{1\over t^2}+
o\left ({1\over t^2} \right )}}=1-\frac{1-C^2}{2C^2}\frac{1}{t^2}
+o\left (\frac{1}{t^2} \right )$. On obtient donc
$\displaystyle \alpha_{C}(u)=u-1+\int_{1}^{u}O\left (\frac{1}{t^2} \right
)\,dt$ et cette derni\`ere int\'egrale converge donc
$\alpha_{C}(u)=u+\ell'+o(1)$ avec $\displaystyle
\ell'=-1+\int_{1}^{+\infty}\left (\frac{Ct^2}{\sqrt{P(t)}}-1 \right )\,dt$. Donc $M_2^C(u)\fleche
u{+\infty}O+\ell'\overrightarrow \imath+\ell\overrightarrow k$.\par
On a $\bigl ( \alpha_{C}(u)+u\bigr )' =Cu^2f_{C}'(u)+1>0$ et $\bigl ( \alpha_{C}(u)-u\bigr )'
=\frac{Cu^2}{\sqrt{P(u)}}-1=\frac{C^2u^4-(u^2-1)(C^2u^2+1)}
{\sqrt{P(u)}\Bigl (Cu^2+\sqrt{P(u)}\Bigr ) }=\frac{(C^2-1)u^2+1}
{\sqrt{P(u)}\Bigl (Cu^2+\sqrt{P(u)}\Bigr ) }$. D'o\`u les tableaux de
variations~:
$$\null\vcenter{\ialign{$\displaystyle #$\hfil&\qquad\qquad #
\qquad\qquad&$\displaystyle #$\hfil\cr
\un{\strut C\ge 1}\hfill&&\un{\strut C< 1}\cr
\noalign{\s}
\tabvar{u&1& &+\infty\L
f_{C}(u)&0&\q\u\q&\ell\L
\alpha_{C}(u)+u&1&\q\u\q&+\infty\L
\alpha_{C}(u)-u&-1&\q\u\q&\ell'\cr}&&
\tabvar{u&1& &(1-C^2)^{-{1\over 2}}& &+\infty\L
f_{C}(u)&0&\q\u&&\u\q&\ell\L
\alpha_{C}(u)+u&1&\q\u&&\u\q&+\infty\L
\alpha_{C}(u)-u&-1&\q\u&&\d\q&\ell'\cr}\cr}}$$
On a $\frac{f'_{C}(u)}{\alpha'_{C}(u)\pm 1}=\left
[\frac{\alpha'_{C}(u)}{f'_{C}(u)}
\pm \frac{1}{f'_{C}(u)}\right ] ^{-1}\fleche u1\frac{1}{C}$ car $
\frac{\alpha'_{C}(u)}{f'_{C}(u)}=Cu^2$ et 
$\lim_{u\rightarrow 1}f'_{C}(u)=+\infty$ (cette condition impos\'ee par
l'\'enonc\'e est bien v\'erifi\'ee car
$f'_{C}(u)=\frac{1}{\sqrt{(u^2-1)(C^2u^2+1)}}$). Donc les demi-tangentes
\`a $C_i^{C}$ en $M_i^C(1)$ ont pour pente $\frac{1}{C}$.\par
Enfin, $\displaystyle f_{C}(u)-\ell= 
-\int_{u}^{+\infty}\frac{dt}{\sqrt{P(t)}}
\build\sim{u\rightarrow+\infty}-\int_{u}^{+\infty}\frac{dt}{Ct^2}$, par
int\'egration de $\sim$ pour des fonctions int\'egrables positives, ce qui
donne $f_{C}(u)-\ell\build\sim{u\rightarrow+\infty}-\frac{1}{Cu}$. De
m\^eme, $\displaystyle \alpha_{C}(u)-u-\ell'=-\int_{u}^{+\infty}
\left (\frac{Ct^2}{\sqrt{P(t)}}-1 \right
)\,dt\build\sim{u\rightarrow+\infty}-\int_{u}^{+\infty}
\frac{C^2-1}{2C^2}\frac{dt}{t^2}=-\frac{C^2-1}{2C^2u}$ si $C\ne 1$ et $
\displaystyle \alpha_{C}(u)-u-\ell'\build\ll{u\rightarrow+\infty}\int_{u}^{+\infty}
\frac{dt}{t^2}=\frac{1}{u}$ si $C=1$.\par
Donc $\lim_{u\rightarrow
+\infty}\frac{f_{C}(u)-\ell}{\alpha_{C}(u)-u-\ell'}=\frac{2C}{C^2-1}$ si
$C\ne 1$, $+\infty$ si $C=1$,ce
qui donne la pente de la demi-tangente \`a $C_2^{C}$ au point limite quand
$u$ tend vers $+\infty$.\sv

$\diamond$ \underbar{Graphes}\par
\vfill\eject\bye   

