\documentclass[12pt,a4paper]{article}
%\documentclass[14pt,a4paper]{extarticle}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsfonts}
\usepackage{fancyheadings}

\usepackage{francais}%, t1enc pour les PC
	\usepackage[applemac]{inputenc} %pour les mac
%\usepackage{range}% pour les intervalles fran\c{c}ais

%on d\'efinit ici les \'eventuels changements de partie
\newcounter{Partie}
\renewcommand{\thePartie}{\Roman{Partie}.}
\newcommand{\partie}[1]{\vspace{0.2cm}\refstepcounter{Partie}
    \large{\textbf{Partie \Roman{Partie}}}\normalsize \hspace{0.2cm}
    {%\large 
    \emph{#1}}\vspace{0.1cm}\par}
%on d\'efinit les polices pour les ensembles usuels
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}
\newcommand{\I}{\mathbb{I}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
%la taille de la partie imprim\'ee
\setlength\voffset{-2cm}
\setlength\parindent{0pt}
\setlength\headheight{1cm}
\setlength\headsep{0.1cm}
\setlength\textheight{24cm}
\setlength\textwidth{17cm}
\setlength\hoffset{-1.6cm}
%pour \'eviter les retour \`a la ligne dans les $  $
%\relpenalty=10000
%\binoppenalty=10000
%Red\'efinition des item qui num\'eroteront les questions
% Pour numeroter I.1) etc :
\renewcommand{\theenumi}{\thePartie\arabic{enumi}.}
% Sinon
% \renewcommand{\theenumi}{\arabic{enumi}.}

\renewcommand{\labelenumi}{\theenumi}
\renewcommand{\theenumii}{\alph{enumii}}
\renewcommand{\labelenumii}{\theenumii)}
\renewcommand{\theenumiii}{\roman{enumiii}.}
\renewcommand{\labelenumiii}{\theenumiii}
\renewcommand{\labelitemi}{$\star$}
\renewcommand{\labelitemii}{$\triangleright$}
%commandes usuelles en math\'ematiques
\newcommand{\abs}[1]{\left| #1 \right|}
\newcommand{\pgq}{\geqslant}
\newcommand{\ppq}{\leqslant}
\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow}
%\newcommand{\Id}{\mathrm{Id}}%pour l'identit\'e
\newcommand{\norme}[1]{\parallel #1 \parallel}
\newcommand{\vecteur}[1]{\overrightarrow {#1} }

\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\dd}{\mathrm{d}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\renewcommand{\og}{\guillemotleft} %guillemets
\renewcommand{\fg}{\guillemotright } %guillemets
\newcommand{\centre}[1]{\par 
\vspace{0.15cm}\centerline{#1}\vspace{0.15cm}}
% \input DanielS

\begin{document}

\centre{\textbf{CENTRALE 1996 TA}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Centrale1996 TA
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Pour tout entier $k\pgq 2$ tout r\'eel $x$, on 
pose :\par
\centre{$f_{k}(x)=x^k+x+1$}
et on se propose d'\'etudier certaines propri\'et\'es des fonctions ainsi 
d\'efinies. On note $C_{k}$ la courbe repr\'esentant $f_{k}$ dans un rep\`ere 
orthonormal.\par

\partie{\'Etude de $f_{2}$ et de $f_{3}$}
\begin{enumerate}
	\item \'Etudier $f_{2}$. On remarquera de $C_{2}$ est une parabole 
	dont on pr\'ecisera l'axe et le sommet.

	\item  \'Etudier $f_{3}$. 

	\item   Quel est, suivant les valeurs de $x$, le signe de 
	$f_{3}(x)-f_{2}(x)$ ? En d\'eduire les points d'intersection
    de $C_{2}$ et $C_{3}$ (dont 
    on pr\'ecisera les coordonn\'ees) et la position relative des deux courbes.

	\item  Tracer, sur une m\^eme figure, $C_{2}$ et $C_{3}$.
	
\end{enumerate}
\partie{ \'Etude de $f_{k}$ lorsque $k$ est pair ( $k = 2 n,\: n\pgq  
1$)}
\begin{enumerate}
	\item  Quel est, suivant les valeurs de $x$, le signe de 
	$f_{2n+2}(x)-f_{2n}(x)$ ? 
	En d\'eduire que  $C_{2n+2}$ et $C_{2n}$ admettent trois points d'intersection (dont 
    on pr\'ecisera les coordonn\'ees).\\
	Quelle est la position relative des deux courbes ?

	\item \'Etudier la fonction $f_{2n}$ . Montrer qu'elle admet un 
	minimum $m_{n}$, atteint pour la valeur $\alpha_{n}$ de $x$ , o\`u 
	\centre{$\alpha_{n}=-\left(\dfrac{1}{2n}\right)^{\frac{1}{2n-1}},\quad 
	m_{n}=\left(\dfrac{1}{2n}\right)^{\frac{2n}{2n-1}}-\left(\dfrac{1}{2n}\right)^{\frac{1}{2n-1}}+1$}


	\item Montrer que $- 1 < \alpha_{n}<0$ et $m_{n}> 0$ . 

	\item   D\'eterminer $\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}\alpha_{n}}$ et 
	$\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}m_{n}}$.

	\item  On se propose d'\'etudier la monotonie de la suite $(\alpha_{n})$ . 
	\par \`A cet effet on d\'efinit sur l'intervalle $[2,+\infty[$ la fonction 
	auxiliaire $\varphi$ par : 
	\centre{$\varphi(u)=-\left(\dfrac{1}{u}\right)^{\dfrac{1}{u-1}}=-\exp\left(-\dfrac{\ln(u)}{u-1}\right)$}\par
	a) Montrer que $\varphi'(u)$ peut se mettre  sous la forme 
	$\varphi(u)\psi(u)/(u-1)^2$ o\`u $\psi$ est une fonction que l'on explicitera.\par
	b) D\'eterminer le signe de $\psi'(u)$, puis celui de $\varphi'(u)$ et 
	conclure quant \`a la monotonie de la suite $(\alpha_{n})_{n}$.


	\item  Tracer, sur une m\^eme figure, $C_{2n}$ et $C_{2n+2}$. On pr\'ecisera 
	notamment la tangente \`a chacune des deux courbes en son point 
	d'abscisse $0$ .
\end{enumerate}
\partie{\'Etude de $f_{k}$ lorsque $k$ est impair ( $k = 2 n+1,\: n\pgq  
1$)}
\begin{enumerate}
	\item  Montrer que $C_{2n+1}$ admet le point de coordonn\'ees $(0, 1 )$ comme centre 
	de sym\'etrie. 
	

	\item  Quel est, suivant les valeurs de $x$, le signe de 
	$f_{2n+3}(x)-f_{2n+1}(x)$ ? En d\'eduire que 
    de $C_{2n+3}$ et $C_{2n+1}$ admettent trois points d'intersection (dont 
    on pr\'ecisera les coordonn\'ees).\\
	Quelle est la position relative des deux courbes ?

	\item  \'Etudier la fonction $f_{2n+1}$ . Montrer qu'elle s'annule pour une 
	valeur $a_{n}$, et une seule, de $x$ et que $a_{n}$ v\'erifie 
	$-1<a_{n}<-\frac{1}{2}$.

	\item \'Ecrire l'\'equation de la tangente $T$ \`a $C_{2n+1}$ au point $A$ 
	d'abscisse $0$. 
	\'Etudier la position de $C_{2n+1}$ par rapport \`a $T$. Qu'en d\'eduit-on pour 
	le point $A$ ?  
	\item Tracer, sur une m\^eme figure, $C_{2n+1}$ et $C_{2n+3}$. 
\end{enumerate}
\partie{\'Etude de la suite $(a_{n})_{n}$ et de suites et s\'eries qui lui 
sont li\'ees}
\begin{enumerate}
	\item  Montrer que 
	$f_{2n+1}(a_{n+1})=a_{n+1}^{2n+1}-a_{n+1}^{2n+3}$ .\par
	En d\'eduire que $f_{2n+1}(a_{n+1})< 0$ puis que la suite $(a_{n})$ est d\'ecroissante.

	\item  Montrer que la suite ($a_{n}$) converge vers $-1$ .


	\item  Montrer que les suites ($a_{n}^{2n}$) et ($a_{n}^{n}$) convergent vers 
	$0$ .

	\item  \'Etudier $ \lim_{n\to +\infty} f_{2n+1}\left(-1+\frac{1}{n}\right)$ . 
	En d\'eduire l'existence d'un entier naturel $n_{0}$ tel que pour 
	$n\pgq n_{0}$, $-1+\dfrac{1}{n}<a_{n}$. 
	
	\item Montrer que les trois s\'eries $\sum (1 + a_{n}), \sum a_{n}^{2n}$, 
	et $\sum \abs{a_{n}}^{n}$ sont 
	divergentes. 

	\item  D\'eterminer les rayons de convergence des deux s\'eries enti\`eres 
	$\sum a_{n}^{2n}x^n$, 
	et $\sum a_{n}^{n}x^n$ .
\end{enumerate}
\end{document}







