%           É{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\^I}
%           {\char"DF{}}     MATH APPLIQUEES CCP TA 1996       {\char"DF{}}
%            {\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\~O}{\"I}
%
%                            Format A4
%-----------------------------------------------------------------------
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\headline={\hfil \ifnum\pageno>1\sevenbf \underbar{Concours Polytechniques TA MATH APPLIQUEES}\fi\ \ }
%--------------------------------------------------------

\def\titrecentre#1{\centerline{\tenbf\underbar{#1}}\medskip}
\newcount\pno\pno=0
\newcount\qno\qno=0
\newcount\alno\alno=96

\def\numpart{\ifcase\pno\or I \or II \or III \or IV \or V \or VI \or VII \fi}

\def\partie{\qno=0\alno=96\advance\pno by1\penalty-200\vskip\bigskipamount
\centerline{\bf PARTIE\ \numpart .}
\nobreak\bigskip}

\def\question{\alno=96\advance\qno by1\medbreak
\noindent{\hskip -9truemm\bf \numpart .\the\qno .}}

\def\alinea{\advance\alno by1
\ifnum \alno>97 \smallbreak\noindent\hskip -9truemm{\bf \numpart .\the \qno .}\fi
{\tenbf\char\alno} {\sevenrm )}}

\parindent=1cm
\def\tan{\mathop{\rm tan}\nolimits}
\def\ln{\mathop{\rm ln}\nolimits}
\def\Sum{\displaystyle\sum}
\def\Int{\displaystyle\int}
%\def\build#1_#2^#3{\mathrel{\mathop{\kern 0pt#1}\limits_{#2}^{#3}}}
\def\R{{\bf R}}
\def\N{{\bf N}}
\def\Z{{\bf Z}}
\def\e{\varepsilon}
\def\a{\alpha}
\def\b{\beta}
\def\g{\gamma}
\def\l{\lambda}
\def\th{\theta}
\def\srd{\over\displaystyle}
\def\qqsoit{\forall\,}
\def\co{\mathop{\rm C}\nolimits}
\def\Equ{\Longleftrightarrow}
\def\equ{\Leftrightarrow}
\def\impl{\Rightarrow}
\def\Impl{\Longrightarrow}
\def\fld{\rightarrow}
\def\Fld{\longrightarrow}
\def\donne{\mapsto}
\def\Donne{\,\longmapsto\,}
\def\vect#1{\overrightarrow{\kern-1pt#1\kern 2pt}}
\def\dst{\displaystyle}
\def\inclus{\subset}
\def\moins{\setminus}
\def\infini{\infty}
\def\carrenoir{\vrule height 3pt depth 1pt width 4pt}
\def\troiset{\centerline{*}\centerline{*\hphantom{*}*}}

%-----------------------------------------------------
\titrecentre{CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES TA} 
\titrecentre{MATHEMATIQUES APPLIQUEES}\bigskip
\partie\question
$$\vect{OM}\ =\ \pmatrix{\ 4&-18&-36&-16\cr0&-18&-24&-8\cr}.
\pmatrix{1\cr u\cr u^2\cr u^3\cr}$$
\question
Le changement de variable est ici : $u(t)\ =\ -1\ +\ {\dst t \srd 2}$\quad donc :
$$U_3\left(u(t)\right)\ =\ \pmatrix{1\cr-1+t/2\cr\left(-1+t/2\right)^2\cr
\left(-1+t/2\right)^3\cr}\ =
\ \pmatrix{\ 1&0&0&0\cr-1&1/2&0&0\cr\ 1&-1&1/4&0\cr-1&3/2&-3/4&1/8}.
\pmatrix{1\cr t\cr t^2\cr t^3\cr}\ =\ P.U_3(t)$$
$${\rm donc\ :\quad}G\ =\ E.\,P\ =\ \pmatrix{2&3&3&-2\cr 2&3&0&-1\cr}$$
\partie\question
pour v{\'e}rifier que $\cal B$ est un syst{\`e}me g{\'e}n{\'e}rateur, il suffit de montrer que les 
vecteurs de $\cal C$ sont combinaisons de vecteurs de $\cal B$. Or :
$$(1\leq k\leq n)\ ;\ X^k\ =\ X^k\,.\,\left[X+(1-X)\right]^{n-k}$$
$${\rm donc\ :}\qquad X^k\ =\ \Sum^n_{i=k}{\dst 1\srd \co^i_n}\,\co^{i-k}_{n-k}\,B_{i,n}$$
Il s'agit donc d'une autre base de $\R_n[X]$.
\question
Le calcul pr{\'e}c{\'e}dent donne la matrice de passage $Q_3$ de $\cal B$ vers 
$\cal C$. La matrice r{\'e}ciproque est donn{\'e}e en d{\'e}veloppant les $B_{i,n}$.
Donc pour $n=3$ :
$$Q_3\ =\ \pmatrix{1&0&0&0\cr1&1/3&0&0\cr1&2/3&1/3&0\cr1&1&1&1\cr}\quad {\rm et}
\quad Q_3^{-1}\ =\ \pmatrix{1&0&0&0\cr-3&3&0&0\cr3&-6&3&0\cr-1&3&-3&1\cr}$$
\question
En reconnaissant le r{\'e}sultat de (I,2), et en remarquant que 
$U_3(t)\ =\ ^tQ_3.B(t)$, on a $D\ =\ G.^tQ_3$.
$$d\ =\ \pmatrix{2&3&5&6\cr2&3&4&4\cr}$$
\partie\question
{\'e}vident car $ t\in[0,1]$.
\question
Calcul de $X^0$ de (II,1) ou formule du bin{\^o}me.
\question
Calcul de $X^1$ pour $X=t$
\question
par substitution.
\question
Faire le calcul.
\question
D{\'e}rivation d'un produit.
\partie\question
$D$ est une matrice {\`a} 2 lignes et n+1 colonnes. La i-{\`e}me colonne est form{\'e}e des
composantes de $P_i$ soit $\pmatrix{a_i\cr b_i\cr}$.
\question
$$P_0\ =\ \pmatrix{2\cr2\cr}\quad P_1\ =\ \pmatrix{3\cr3\cr}\quad
P_2\ =\ \pmatrix{5\cr4\cr}\quad P_3\ =\ \pmatrix{6\cr4\cr}\quad$$
\question
$t'=1-t$ et $t'\in [0,1]$. Compte tenu de (III,4), il faut prendre les p{\^o}les
dans l'ordre d{\'e}croissant ou poser : $Q_i\ =\ P_{n-i}$, avec la m{\^e}me 
transformation sur la matrice $D$.
\question
Le calcul donne : $\vect{OM}(0)\ =\ \vect{OP_0}$

Pour d{\'e}river on utilise les formules de (III,6).
$${\dst d\ \vect{OM}(t)\srd dt}\ =\ -\ n.\,\vect{OP_0}.\,B_{0,n-1}(t)
\ +\ n.\Sum^{n-1}_{i=1}\vect{OP_i}.\Bigl[B_{i-1,n-1}(t)\ -\ B_{i,n-1}(t)
\Bigr]\ +\ n.\,\vect{OP_n}.\,B_{n-1,n-1}(t)$$
$${\dst d\ \vect{OM}(t)\srd dt}\ =\ -\ n.
\Sum^{n-1}_{i=0}\vect{P_iP_{i+1}}.\,B_{i,n-1}(t)$$
Pour $t=0$ il reste : ${\dst d\ \vect{OM}(0)\srd dt}\ =\ -\ n.\,\vect{OP_0}
\ +\ n.\,\vect{OP_1}\ =\ n.\,\vect{P_0P_1}$

De m{\^e}me \quad${\dst d^2\ \vect{OM}(0)\srd dt^2}\ =\ n.(n-1).
\bigl[-\ \vect{P_0P_1}\ +\ \vect{P_1P_2}\bigr]
\ =\ n.(n-1).\bigl[\vect{P_1P_0}\ +\ \vect{P_1P_2}\bigr]$
$$\vect{OM}(1)\ =\ \vect{OP_n}\qquad
{\dst d\ \vect{OM}(1)\srd dt}\ =\ n.\,\vect{P_{n-1}P_n}\qquad
{\dst d^2\ \vect{OM}(1)\srd dt^2}\ =\ n.(n-1).
\bigl[\vect{P_{n-1}P_{n-2}}\ +\ \vect{P_{n-1}P_n}\bigr]$$
\question
Avec (III,1) et (III,2), Pour chaque $t$ ($t\in[0,1]$), $M$ est barycentre des 
points $P_i$ affect{\'e}s de coefficients de m{\^e}me signe. $M$ est donc dans le 
polyg{\^o}ne dont le bord ext{\'e}rieur est form{\'e} de segments $[P_iP_j]$
\question
$$\vect{OQ_i}\ =\ A\,.\ \vect{OP_i}\ +\ \vect{V}$$
\question
Voir figure
\partie\question
Pour $j=0$ la formule n'est autre que la d{\'e}finition.

Supposons la formule vraie pour $j\ (0\leq j\leq n-1)$ et utilisons les 
formules de (III,5).
$$\vect{OM}(t)\ =\ \Sum_{i=0}^{i=n-j}\,P_i^{(j)}.\,B_{i,n-j}(t)$$
$$\vect{OM}(t)\ =\ \Sum_{i=1}^{i=n-j-1}\,P_i^{(j)}.
\bigl[(1-t).\,B_{i,n-j-1}(t)\ +\ t.\,B_{i-1,n-j-1}\bigr]
\ +\ P_0^{(j)}(1-t).\,B_{0,n-j-1}\ +\ P_{n-j}^{(j)}.t.\,B_{n-j-1,n-j-1}$$
$$\vect{OM}(t)\ =\ \Sum_{i=0}^{i=n-j-1}
\bigl[(1-t).\,P_i^{(j)}\ +\ t.\,P_{i+1}^{(j)}\bigr].\,B_{i,n-j-1}(t)$$
$${\rm D'o{\`u}\ le\ r{\'e}sultat\ :\ }
\vect{OM}(t)\ =\ \Sum_{i=0}^{i=n-(j+1)}\,P_i^{(j+1)}.\,B_{i,n-(j+1)}(t)$$
Pour $j=n$ on a : $\vect{OM}(t)\ =\ P_0^{(n)}.\,B_{0,0}(t)\ =\ P_0^{(n)}$
\question
En annexe.
\partie\question
On a d{\'e}j{\`a} {\'e}crit :\quad${\dst d\ \vect{OM}(t)\srd dt}\ =\ -\ n.
\Sum^{n-1}_{i=0}\vect{P_iP_{i+1}}.\,B_{i,n-1}(t)\ $ donc :
$${\rm Pour\ }0\leq i\leq n-1\quad \vect{OQ_i}\ =\ \vect{P_iP_{i+1}}$$
\question
En annexe.
\partie\question
De (IV,4), les points limites et leurs tangentes ainsi que la sym{\'e}trie 
imposent :
$$P_0\ =\ \pmatrix{-1\cr0\cr}\quad P_1\ =\ \pmatrix{-1\cr\a\cr}\quad
P_2\ =\ \pmatrix{0\cr\b\cr}\quad P_3\ =\ \pmatrix{1\cr\a\cr}\quad
P_4\ =\ \pmatrix{1\cr0\cr}$$
o{\`u} $\a\ >\ 0$\quad et \quad $\b\ > 1$ d'apr{\`e}s (IV,5).
\question
On a :
$$M(1/4)\ =\ \pmatrix{x_1\ =\ - 11/16\cr y_1\ =\ (30\a+27\b/2)/64\cr}\quad 
M(1/2)\ =\ \pmatrix{x_2\ =\ 0\cr y_2\ =\ \a/2\ +\ 3\b/8\cr}\quad 
M(3/4)\ =\ \pmatrix{-\ x_1\cr y_1\cr}$$
soit le syst{\`e}me :
$$\left\{\matrix{\a/2\ +\ 3\b/8\ =\ 1\cr
(30\a\ +\ 27\b/2)^2\ +\ 44^2\ =\ 64^2\cr}\right.$$
$$soit \a\ =\ 0,872983\qquad \b\ =\ 1,502689$$
\question
En annexe.
%
\bigskip
\centerline{\tenbf ANNEXE}\bigskip
%
{\obeylines
PROGRAM CONCOURS ;
USES printer;

TYPE
\     POINT = ARRAY[1..2] of REAL ;
\     POLES = ARRAY[0..10,1..2] of REAL ;
\     N\_DEGRE = Integer ;

VAR
\     COURBE , DERIV1 , DERIV2 : POLES ;
\     N0 , N1 , N2 : N\_DEGRE ;
\     T : REAL ;

{***********************************************}

\    FUNCTION XPij(i,j : Integer ; P : POLES ; t : REAL) : REAL ;
\ \       BEGIN
\ \ \         IF j=0
\ \ \ \         THEN XPij := P[i,1]
\ \ \          ELSE XPij := t*XPij(i+1,j-1,P,t) + (1-t)*XPij(i,j-1,P,t) ;
\ \      END ;

\    FUNCTION YPij(i,j : Integer ; P : POLES ; t : REAL) : REAL ;
\ \      BEGIN
\ \ \ \       IF j=0
\ \ \ \         THEN YPij := P[i,2]
\ \ \ \         ELSE YPij := t*YPij(i+1,j-1,P,t) + (1-t)*YPij(i,j-1,P,t) ;
\ \      END ;

PROCEDURE CALCUL(N : N\_DEGRE ; P : POLES ; T : REAL ; VAR M : POINT) ;

\  BEGIN
\ \    M[1] := XPij(0,N,P,T) ;
\ \    M[2] := YPij(0,N,P,T) ;
\  END ;
{***********************************************}

PROCEDURE DERIVE(N : N\_DEGRE ; P : POLES ; VAR ND : N\_DEGRE ; VAR PD : POLES);
\  VAR
\ \    k,l : Integer ;

\  BEGIN
\ \    ND := N - 1;
\ \    FOR k := 0 TO ND DO
\ \ \    FOR l :=1 TO 2 DO
\ \ \ \       PD[k,l] := N*(P[k+1,l]-P[k,l]) ;
\  END ;
{***********************************************}

{PROGRAMME PRINCIPAL}

VAR k : integer ;
\    Mt , Vt , Gt: POINT ;

BEGIN
\  N0 := 4 ;

\  COURBE[0,1]:= 1 ;COURBE[1,1]:= 1 ;COURBE[2,1]:= 0 ;COURBE[3,1]:= -1 ;
\ \qquad                                                    COURBE[4,1]:= -1 ;
\  COURBE[0,2]:= 0 ; COURBE[1,2]:= 0.873 ;COURBE[2,2]:= 1.503 ;
\ \qquad                    COURBE[3,2]:= 0.873 ;COURBE[4,2]:= 0 ;

\  FOR k := 0 TO 8 DO
\ \    BEGIN
\ \ \      CALCUL(N0 , COURBE , k/8 , Mt) ;
\ \ \      DERIVE(N0 , COURBE , N1 , DERIV1) ;
\ \ \      DERIVE(N1 , DERIV1 , N2 , DERIV2) ;
\ \ \      CALCUL(N1 , DERIV1 , k/8 , Vt) ;
\ \ \      CALCUL(N2 , DERIV2 , k/8 , Gt) ;
\ \ \      WRITELN(lst,k,'{\char"DF{}}x= ',Mt[1]:6:3,' {\char"DF{}}y= ',Mt[2]:6:3,' {\char"DF{}}x''= ',Vt[1]:7:3,
\ \ \      ' {\char"DF{}}y''= ',Vt[2]:7:3,' {\char"DF{}}x"= ',Gt[1]:7:3,' {\char"DF{}}y"= ',Gt[2]:7:3) ;
\ \    END ;

\  END.
}
%{Inclusion de dessins Postscript}

\input epsf
\indent
\epsfysize=15cm  \epsffile{m96dtpfa.ps}  


\end
