\documentclass[a4paper]{article}\nofiles
\def\so#1#2{\sum _{#1 }^{#2}\limits }
\def\n{{\mathbf N}}
\def\r{{\mathbf R}}
\def\cmat{{\mathbf C}}
\def\z{{\mathbf Z}}
\def\q{{\mathbf Q}}
\def\k{{\mathbf K}}
%________displaystyle_______
\def\ds{\displaystyle }


\begin{document}

\font \eightrm=cmr8 \let\ei=\eightrm
\def\tit#1{\centerline{\bf #1} \bigskip \par \centerline{---------}\bigskip \par }
\def\prt#1{\medskip\par\centerline{\bf PARTIE #1} \bigskip \par }
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\def\pgr#1{{\underline {#1}}}
\def\fex #1#2{\hbox to \hsize {\underline{\bf Feuille d'exercices #1: #2}\hfill \bf XM' 95-96}\vskip 20pt \par }
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\def\u#1{#1_n}
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\def\ml#1{{\cal M}_n(#1)}
\def\fq{forme quadratique}
\def\pl{polyn{\^o}me}
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\def\nt#1#2{{\ds {\int_{#1}^{#2}}}}
\def\fc#1#2{Soit $f\in {\cal C}^{#1}(#2,\r )$}
\def\F{${\cal F}$}
\font\eu=eufm10
\parindent=0pt



\tit {Ens Ulm Cachan 96 : Equation autonome associ{\'e}e {\`a} un champ de gradients}



\prt I


\begin{enumerate}
\item Seul le c) justifie une indication: on prouve en fait par r{\'e}currence la majoration suivante:

$\forall s\in [0,T]\quad \| ({\cal I}^mu-{\cal I}^mv)(s)\| \leq {\ds {L^ms^m\over m!}}\| u-v\| _{�,T}$

dont la majoration demand{\'e}e d{\'e}coule aussit{\^o}t.

\ccll

\item \pgr{} a) ${\cal E}_T$ est stable par ${\cal I}$ car il suffit que $u$ soit dans  ${\cal E}_T$
pour appliquer ce qui pr{\'e}c{\`e}de. D{\`e}s que $m$ est assez grand, ${\ds {L^ms^m\over m!}}<1$
et 1c. nous montre alors que ${\cal I}^m$ est contractante. Or, il est bien connu que  ${\cal E}_T$ est complet,
 de sorte que le th{\'e}or{\`e}me du point fixe donne le r{\'e}sultat.

b) Si $u_{T,m}$ est le point fixe pr{\'e}c{\'e}dent, il est imm{\'e}diat que ${\cal I}u_{T,m}$ est {\'e}galement fixe par 
${\cal I}^m$. Par unicit{\'e}, on a donc ${\cal I}u_{T,m}=u_{T,m}$ et il s'agit donc d'un point fixe de ${\cal I}$.
Comme, inversement, tout point fixe de ${\cal I}$ est point fixe de ${\cal I}^m$, il n'y en a pas d'autre que celui-ci.
On pourra donc le noter $u_T$.
\ccll


\item \pgr{} La restriction de $u_T$ {\`a} $[0,S]$ est un point fixe de ${\cal I}$ dans ${\cal E}_S$, c'est
donc $u_S$.
\ccll

\item \pgr{}  Les applications $u_T$ se recollent: si, pour $t\in \r _+$, on d{\'e}finit $u(t)=u_T(t)$,
ceci ne d{\'e}pend pas du r{\'e}el $T�t$ choisi. $u$ est bien une application continue (propri{\'e}t{\'e} locale)
et ${\cal I}u(t)=u(t)$ pour tout $t$ donc ${\cal I}u=u$. C'est le seul point fixe de ${\cal I}$ dans ${\cal E}$,
car la restriction {\`a} $[0,T]$ d'un point fixe de ${\cal I}$ dans ${\cal E}$ est n{\'e}cessairement $u_T$, seul
point fixe de ${\cal I}$ dans ${\cal E}_T$.
\ccll

\item \pgr{} $u$ v{\'e}rifie donc :\quad $u(t)=u_0+\nt 0tF(u(s))ds\quad ,\quad t�0$.

D{\`e}s lors, les propri{\'e}t{\'e}s demand{\'e}es ici sont {\'e}videntes.

\ccll

\item \pgr{} Clair.

\item \pgr{} Par diff{\'e}rence :\quad $\| u(t)-v(t)\| \leq \|  u_0-v_0\|=\nt 0tL\|  u(s)-v(s)\|ds$.

Le r{\'e}sultat d{\'e}coule alors de la propri{\'e}t{\'e} admise (lemme de Gronwall).\ccll

\end{enumerate}

\prt{II}

La propri{\'e}t{\'e} (P) signifie en fait que les ensembles de niveau de $f$ sont tous born{\'e}s.
\begin{enumerate}
\item \pgr{} a) est {\'e}vident avec la remarque pr{\'e}c{\'e}dente. 

b)  On obtient, en se pla{\c c}ant dans une base orthonormale propre pour $A$ ,
une expression $f(v)=\so {i=1} {n}\lambda _iv_i^2$ pour $f$. Si $A$ est d{\'e}finie positive, $\lambda _i>0$
pour tout $i$ et chaque ensemble de niveau sera born{\'e}, puisque les coordonn{\'e}es de $v\in {\cal F}_u$ devront v{\'e}rifier
$v_i^2\leq f(u)/\lambda _i$. Si $A$ n'est pas d{\'e}finie positive, l'un des $\lambda _i$
au moins est n{\'e}gatif ou nul et ${\cal F}_0$ par exemple va contenir toute la droite dirig{\'e}e par le 
$i^{eme}$ vecteur de la base.

\ccll
\item \pgr{} $f_1$ ne v{\'e}rifie pas (P) puisqu'elle est associ{\'e}e {\`a} la matrice $-I_n$ qui n'est pas d{\'e}finie positive.

$f_2$ v{\'e}rifie (P) car les variations de $x\longmapsto x^2-x$ pour $x>0$ montrent qu'une condition
de la forme $\| v\| ^4-\| v\| ^2\leq K$ impose que $\| v\| ^2$ soit born{\'e}, et c'est le cas pour un ensemble de niveau.

\ccll

\item \pgr{} a) $v\longmapsto \| v-u_0\| ^2$ est de classe ${\cal C}^2$ puisqu'elle s'{\'e}crit, en fonction 
des coordonn{\'e}es sous la forme polynomiale $\so {i} {}(v_i-u_{0,i})^2$. Toutes les autres applications {\'e}tant 
 ${\cal C}^2$, il en est de m{\^e}me de $f_0$.

b) $F$ est de classe  ${\cal C}^1$. Elle est nulle, comme $f_0$, lorsque $\| v-u_0\| ^2>3R_0^2$, donc
nulle en dehors d'un compact. Son application diff{\'e}rentielle, continue, et nulle en dehors du m{\^e}me compact,
 est donc born{\'e}e. La propri{\'e}t{\'e} (2) d{\'e}coule alors du th{\'e}or{\`e}me des accroissements finis.

\ccll
\item \pgr{} a) La d{\'e}riv{\'e}e demand{\'e}e est $t\longmapsto df_0(u(t)).u'(t)=(-F(u(t)),u'(t))=-\| F(u(t))\| ^2$
puisque $u$ v{\'e}rifie (4). Cette d{\'e}riv{\'e}e est donc n{\'e}gative et $t\longmapsto f_0(u(t))$ d{\'e}croit.

b) r{\'e}sulte de cette d{\'e}croissance.

\ccll

\item \pgr{} Si $u(t)$ sortait de la boule consid{\'e}r{\'e}e, il existerait une valeur $t_1$ de $t$ pour laquelle
$R_0<\| u(t_1)-u_0\| \leq R_0�{2}$. Pour un tel $t_1$ on a $f_0(u(t_1))=f(u(t_1))$ et donc
$f(u(t_1))\leq f(u_0)$. Mais $u(t_1)$ se trouverait alors dans ${\cal F}_{u_0}$ ce qui contredirait
${\cal F}_{u_0}\subset B(u_0,R_0)$.

$u(t)$ reste bien dans la boule consid{\'e}r{\'e}e.
\ccll

\item \pgr{} $u(t)$ reste dans une boule sur laquelle $f$ et $f_0$ (et donc aussi leurs gradients) 
co{\"i}ncident. $u$ est donc aussi solution de l'{\'e}quation o{\`u} $f$ remplace $f_0$.
\ccll

\item \pgr{} On a vu au 4a. que $t\longmapsto f(u(t))=f_0(u(t))$ d{\'e}croit. Comme on ne sort pas du compact
$B'(u_0,R_0)$ sur lequel $f$ , continue, est minor{\'e}e, l'existence de la limite demand{\'e}e est acquise. 
\ccll

\end{enumerate}

\prt{III}

\begin{enumerate}

\item \pgr{} a) Ici $\nabla f(u)=u$ et les conditions impos{\'e}es sont donc: ${\ds {du\over dt}}=-u$
\quad ,\quad $u(0)=u_0$. Il est clair que $u(t)=e^{-t}u_0$ convient. C'est donc la solution, unique.

b) Cette fois $\nabla f(u)=\| u\| ^2u$ et on v{\'e}rifie ais{\'e}ment que la solution propos{\'e}e est bien la bonne. 
\ccll

\item \pgr{} a) est {\'e}vident.

b) Remarquons que pour $t_1�0$ fix{\'e}, l'application $t\longmapsto u(t+t_1)$ , $t�0$ , v{\'e}rifie (4)
et vaut $u(t_1)$ pour $t=0$. C'est donc la solution qui correspond {\`a} la valeur initiale $u(t_1)$.
Autrement dit, $S(t)u(t_1)=u(t+t_1)$. Comme $u(t_1)=S(t_1)u_0$ et $u(t+t_1)=S(t+t_1)u_0$ et que
ceci vaut pour tout $u_0$, on a {\'e}tabli $S(t+t_1)=S(t)\circ S(t_1)$ , r{\'e}sultat voulu.
\ccll

\item \pgr{} n'est qu'une r{\'e}{\'e}criture de II5.
 \ccll

\item \pgr{} Les solutions $u$ et $v$ associ{\'e}es aux points $u_0$ et $v_0$ sont born{\'e}es, comme toutes les solutions.
Quitte {\`a} agrandir le $R_0$ qui a {\'e}t{\'e} choisi pour $u_0$, on peut supposer que $B(u_0,R_0)$ contient aussi tous les points
$v(t)$. D{\`e}s lors, il suffit de consid{\'e}rer $\nabla f_0$ au lieu de $\nabla f$. Comme on l'a vu au II3b.,
 $-\nabla f_0$ v{\'e}rifie (2) avec un certain $L$. En prenant $M_0=L$, la propri{\'e}t{\'e} demand{\'e}e n'est
qu'une r{\'e}{\'e}criture de I7.
\ccll

\item \pgr{} d{\'e}coule de la question III2b.


\ccll

\item \pgr{} Chaque ${\cal O}(s,u_0)$ est born{\'e}, car $u$ l'est. Les adh{\'e}rences envisag{\'e}es sont donc
ferm{\'e}es born{\'e}es et donc compactes. Comme il est clair que pour $s\leq s'$ on a ${\cal O}(s',u_0)\subset {\cal O}(s,u_0)$ ,
on peut se limiter {\`a} prendre l'intersection pour $s\in \n $. Il s'agit alors d'une suite d{\'e}croissante
 de compacts non vides, et l'intersection est bien non vide.

(Rq: On peut montrer que toute intersection d'une suite d{\'e}croissante de compacts connexes est aussi connexe. 
C'est le cas ici, car
les ${\cal O}(s,u_0)$ sont connexes par arcs, mais la connexit{\'e} n'{\'e}tant plus au programme, nous omettrons 
la d{\'e}monstration de ce r{\'e}sultat). 
\ccll

\item \pgr{} Si (i) est v{\'e}rifi{\'e}, on peut, en prenant $s=n\in \n $ trouver $t_n�n$ tel que 
$\| v-S(t_n)u_0\| \leq 1/n$. Cette suite $(t_n)$ v{\'e}rifie (ii).

Si (ii) est v{\'e}rifi{\'e}e, $t_m�s$ pour $m$ assez grand. D{\`e}s lors $S(t_m)u_0\in {\cal O}(s,u_0)$ et on a bien
$v\in {\cal O}(s,u_0)$ pour tout $s$.

\ccll

\item \pgr{} Soit $t�0$ et $v\in \omega (u_0)$. Il existe donc une suite $(S(t_m)u_0)$ de limite $v$.
La question III4. permet d'{\'e}crire pour tout $m$: $\| S(t)v-S(t)(S(t_m)u_0)\| \leq e^{M_0t}\| v-S(t_m)u_0\| $.
En effet, $M_0$ d{\'e}pend a priori de $v$ et de $S(t_m)u_0$, mais en r{\'e}alit{\'e} la question III4. a montr{\'e}
que $M_0$ ne d{\'e}pendait que d'une boule ferm{\'e}e assez grande pour contenir les orbites des points envisag{\'e}s.
Comme l'orbite de $S(t_m)u_0$ est incluse dans celle de $u_0$, il suffit de choisir une boule contenant l'orbite de
$u_0$ et celle de $v$.

Il appara{\^i}t alors que $ S(t)v$ est la limite de $S(t+t_m)u_0$ et appartient donc {\`a} $\omega (u_0)$. On a ainsi
prouv{\'e} l'inclusion $S(t)\omega (u_0)\subset \omega (u_0)$.

R{\'e}ciproquement, soit  $v\in \omega (u_0)$ et une suite $(S(t_m)u_0)$ de limite $v$. On peut supposer $t_m�t$,
d'o{\`u} $v$ limite de $(S(t)S(t_m-t)u_0)$. Mais de $(S(t_m-t)u_0)$ qui est born{\'e}e, on peut extraire une suite convergente
et sa limite est alors dans $\omega (u_0)$. En raisonnant comme dans le sens direct, on conclut que
$v=S(t)w$, ce qui {\'e}tablit la seconde inclusion.\ccll

\item \pgr{} Dans les deux cas $S(t)u_0$ tend vers 0 quand $t$ tend vers l'infini, donc $\omega (u_0)$
se r{\'e}duit au singleton $\{0\}$.


\ccll
\end{enumerate}

\prt{IV}

\begin{enumerate}

\item \pgr{} a) $v\in \omega (u_0)$ est limite d'une suite $(S(t_m)u_0)$. Comme $f$ est continue,
$f(v)$ est limite de la suite $(f(S(t_m)u_0))$ c'est {\`a} dire $f(u(t_m))$ et on a vu au II7. que cette limite
est pr{\'e}cis{\'e}ment $l(u_0)$.

b) Pour tout $t$, $S(t)v\in \omega (u_0)$ d'apr{\`e}s III8. Donc on a aussi $f(S(t)v)=l(u_0)$.

Ainsi $ t\longmapsto f(S(t)v)=f(v(t))$ est constante et donc de d{\'e}riv{\'e}e nulle. Cette d{\'e}riv{\'e}e a {\'e}t{\'e}
calcul{\'e}e au II4a., c'est $-\| \nabla f(v(t))\| ^2$. $\nabla f$ est donc nul en tout $v(t)$ et en particulier
en $v(0)=v$.
\ccll

\item \pgr{} a) Le jacobien en $v$ de l'application $\nabla f$ (qui va de $\r ^n$ dans $\r ^n$
et est de classe ${\cal C}^1$) n'est autre que $J(v)$.

Lorsque $v_0\in {\cal N}$, le th{\'e}or{\`e}me d'inversion locale s'applique donc. Il assure notamment l'existence d'un voisinage
$V$ de $v_0$ sur lequel $\nabla f$ est injective. Sur $V$ , $\nabla f$ ne s'annule donc qu'en $v_0$, ce qu'on voulait.

b) Si cet ensemble n'{\'e}tait pas fini, il admettrait, dans le compact $B(0,R)$ un point d'accumulation $a$.
Par continuit{\'e} de $\nabla f$, on aurait $\nabla f(a)=0$, et ce z{\'e}ro $a$ ne serait pas isol{\'e}.
\ccll

\item \pgr{} $\omega (u_0)$ est inclus dans ${\cal N}$ d'apr{\`e}s IV1. Comme il est compact (III6.), il est aussi inclus
dans une boule $B(0,R)$. Il est donc fini d'apr{\`e}s IV2. Comme il est aussi connexe, c'est un singleton.

RQ: Pour {\'e}viter d'utiliser la connexit{\'e}, que nous avons admise, de $\omega (u_0)$, on peut raisonner par l'absurde.
Supposons que cet ensemble contienne au moins deux points $v$ et $v'$, et choisissons un hyperplan $H$ de $\r ^n$
qui ne rencontre pas $\omega (u_0)$ et tel que $v$ et $v'$ soient de part et d'autre de $H$ (c'est possible puisque
 $\omega (u_0)$ est fini). $v$ est limite d'une suite $(S(t_m)u_0)=(u(t_m))$ 
et on peut supposer, quitte {\`a} {\'e}liminer les premiers termes, que les points de cette suite sont du m{\^e}me c{\^o}t{\'e}
 de $H$ que $v$. $v'$ est limite d'une suite $(S(t'_m)u_0)=(u(t'_m))$ pour laquelle on fait la m{\^e}me hypoth{\`e}se.
Par continuit{\'e}, il existe entre $t_m$ et $t'_m$ une valeur $t''_m$ telle que $u(t''_m)\in H$. Comme l'orbite de
$u_0$ est born{\'e}e, on peut extraire de la suite  $(S(t''_m)u_0)=(u(t''_m))$ une suite convergente. Mais la limite
de cette suite fournirait alors un {\'e}l{\'e}ment de $\omega (u_0)$ appartenant {\`a} $H$, et donc une contradiction).

b) Chaque suite $(S(t_m)u_0)$ , c'est {\`a} dire $(u(t_m)$ o{\`u} $t_m\mapsto +�$ ne poss{\`e}de qu'une seule valeur d'adh{\'e}rence,
 puisque ses suites extraites ne peuvent converger que vers l'unique point de $\omega (u_0)$, que nous nommerons
$v(u_0)$.

Comme cette suite est incluse dans un compact $B(u_0,R_0)$, elle est convergente, de limite $v(u_0)$. La caract{\'e}risation
s{\'e}quentielle des limites assure donc que $u(t)$ admet pour limite $v(u_0)$ quand $t\mapsto +�$.

\ccll

\item \pgr{} a) Ici, on obtient $\nabla f(u)=-4u(1-\| u\| ^2)$ , de sorte que ${\cal N}$ est la r{\'e}union de 0
et de la sph{\`e}re unit{\'e}.

b) Les points de ${\cal N}$ ne sont pas tous isol{\'e}s, donc (8) ne peut avoir lieu (et le calcul
de $J(v)$ en un point de la sph{\`e}re unit{\'e} le confirme).

c) On peut essayer de r{\'e}soudre explicitement l'{\'e}quation (4)-(5) ${\ds {du\over dt}}=4u(1-\| u\| ^2)\quad ,\quad u(0)=u_0$.

$\bullet $ Si $\| u_0\| =0$ ou 1 , la solution est constante {\'e}gale {\`a} $u_0$ et $\omega (u_0)=\{u_0\}$.

$\bullet $ Si $0<\| u_0\| <1$, on peut ``en calculant comme dans $\r $ '' deviner
$u(t)=u_0(\| u_0\| ^2+e^{-8t}(1-\| u_0\| ^2)^{-\frac 12}$  dont on v{\'e}rifie qu'elle convient.
Il appara{\^i}t alors que $\omega (u_0)$ se r{\'e}duit {\`a} ${\ds {u_0\over \| u_0\| }}$.

$\bullet $ Calcul comparable et m{\^e}me r{\'e}sultat lorsque $\| u_0\| >1$.

d) La conclusion est que la condition (8) est suffisante mais pas n{\'e}cessaire pour que $\omega (u_0)$ se r{\'e}duise
{\`a} un singleton quel que soit $u_0$.
\ccpp


\end{enumerate}



\term 



 \end{document}
