%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% \'Epreuve d'exercices du concours commun ENSAM 1996.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Auteurs :
% Claude MENDES
% Daniel DUPARC
% Lyc\'ee Voltaire
% 101 av. de la R\'epublique
% 75543 PARIS CEDEX 11
%
% Version 2.04 du 29 mai 1996.
% Donn\'e au domaine public pour un usage non commercial.
%
% Fichiers utilis\'es (fichiers textes en codes ASCII 7 bits sauf TIFF) :
% amex96.tex (ce fichier en plain \TeX)(pas de format fran\c{c}ais externe)
% amex96.mp1 (source Maple V du dessin 1 pour l'exercice 3)
% amex96.ep1 (dessin 1 pour l'exercice 3 sous forme PostScript)
% amex96.mp2 (source Maple V du dessin 2 pour l'exercice 3)
% amex96.ep2 (dessin 2 pour l'exercice 3 sous forme PostScript)

% Renomme m96tk1fa.xxx

%  Si vous disposez des fontes msbm (blackboard) de l'AMS
%  changez \blackboardfalse en \blackboardtrue ligne 135
%
%  Si vous disposez de DVIPS puis d'une imprimante PostScript ou de
%  GhostScript ou \'equivalent, les dessins PostScript seront
%  imprim\'es au bon endroit. (Utilise epsf.tex *inclus* dans ce fichier).
%  (Voir les d\'eclarations de propri\'et\'e pour EPSF.TEX)
%  Sinon, \TeX laissera un espace blanc que vous  pouvez remplir \`a 
%  la main. 
%  (Lire les commentaires des 2 fichiers am96x3f*.txt)
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\magnification=1095
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\input mon_a4.tex
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% fichier format pour plain TEX,d'apres R.Seroul
% Le petit livre de TEX.(Intereditions)
% Voir en particulier les pages 29-30 , le paragraphe 7.2 page 203 ,
% le paragraphe 12.4 page 205 et le paragraphe 12.8 page 214 .
% Daniel Duparc
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\def\DP{:}%
% taper \special{em\DP graph "fichier.pcx"}
% � la place de \special{em\DP graph "fichier.pcx"}
% pour obtenir l'impression d'un fichier graphique *.PCX sous emTeX ,
% car on red�finit plus loin le caract�re ":"

\catcode`\@=11

\hsize=6.5truein
\vsize=9.4truein
%\hoffset=4mm       \voffset=10mm

\pretolerance=500  \tolerance=1000 \brokenpenalty=5000

\catcode`\;=\active
\def;{\relax\ifhmode\ifdim\lastskip>\z@
\unskip\fi\kern.2em\fi\string;}

\catcode`\:=\active
\def:{\relax\ifhmode\ifdim\lastskip>\z@\unskip\fi
\penalty\@M\ \fi\string:}

\catcode`\!=\active
\def!{\relax\ifhmode\ifdim\lastskip>\z@
\unskip\fi\kern.2em\fi\string!}

\catcode`\?=\active
\def?{\relax\ifhmode\ifdim\lastskip>\z@
\unskip\fi\kern.2em\fi\string?}

\def\^#1{\if#1i{\accent"5E\i}\else{\accent"5E #1}\fi}
\def\"#1{\if#1i{\accent"7F\i}\else{\accent"7F #1}\fi}

\frenchspacing

\catcode`\@=12

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Les macros suivantes sont expliqu�es page 89 .
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newif\ifpagetitre          \pagetitretrue
\newtoks\hautpagetitre      \hautpagetitre={\hfil}
\newtoks\baspagetitre       \baspagetitre={\hfil}

\newtoks\auteurcourant      \auteurcourant={\hfil}
\newtoks\titrecourant       \titrecourant={\hfil}
\newtoks\nbpages            \nbpages={\hfil}

\newtoks\hautpagegauche     \newtoks\hautpagedroite
\hautpagegauche={\hfil\the\auteurcourant\hfil}
\hautpagedroite={\hfil\the\titrecourant\hfil}

\newtoks\baspagegauche   \baspagegauche={\hfil\tenrm\folio\nbpages\hfil}
\newtoks\baspagedroite   \baspagedroite={\hfil\tenrm\folio\nbpages\hfil}

\headline={\ifpagetitre\the\hautpagetitre
\else\ifodd\pageno\the\hautpagedroite
\else\the\hautpagegauche\fi\fi}

\footline={\ifpagetitre\the\baspagetitre
\global\pagetitrefalse
\else\ifodd\pageno\the\baspagedroite
\else\the\baspagegauche\fi\fi}

\def\nopagenumbers{\def\folio{\hfil}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% guillemets fran�ais : ces macros sont tir�es du livre de Seroul page 247
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\og{\leavevmode\raise.3ex\hbox{$\scriptscriptstyle\langle\!\langle$}}
\def\fg{\leavevmode\raise.3ex\hbox{$\scriptscriptstyle\,\rangle\!\rangle$}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% red�finition de \dysplaystyle pour aller plus vite .
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\ds{\displaystyle}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% macro utile pour les tableaux (Seroul p.133)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\tvi{\vrule height 12pt depth 5pt width 0pt}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\input probleme.tex
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  En-tete standard pour correction de probleme
% Daniel Duparc
% numero de version : 1.17
% date de version   : 19/11/94
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newif\ifblackboard
\blackboardfalse
%\blackboardtrue

\ifblackboard
%  Macros de definition des ensembles usuels N,Z,Q,R,C
%  en utilisant les fontes de l'AMS
%  Pour agrandir les caracteres red�finir dans un groupe la
%  fonte \bb . Par exemple {\font\bb=msbm10 scaled \magstep5 ...}
\font\bb=msbm10
\def\R{\hbox{\bb R}}
\def\N{\hbox{\bb N}}
\def\C{\hbox{\bb C}}
\def\Z{\hbox{\bb Z}}
\def\Q{\hbox{\bb Q}}
\def\K{\hbox{\bb K}}

\else
%  Macros de definition des ensembles usuels N,Z,Q,R,C
%  d'apres Urban,Cornelis:Premiers pas en LATEX page 80
%  Pour agrandir les caracteres red�finir dans un groupe la 
%  fonte \bb . Par exemple {\font\bb=cmsl10 scaled \magstep5 ...}
\font\bb=cmsl10
\def\R{\hbox{\bb I\hskip -0.15em R}}
\def\N{\hbox{\bb I\hskip -0.15em N}}
\def\C{\hbox{\bb \ l\hskip -0.53em C\/}}
\def\Z{\hbox{\bb Z\hskip -0.3em Z}}
\def\Q{\hbox{\bb \ l\hskip -0.53em Q}}
\def\K{\hbox{\bb I\hskip -0.15em K}}

\fi

\hautpagetitre={\tenbf\the\auteurcourant\hfil\folio\the\nbpages}
\hautpagegauche={\tenbf\the\auteurcourant\hfil\folio\the\nbpages}
\hautpagedroite={\tenbf\the\auteurcourant\hfil\folio\the\nbpages}
\baspagegauche={\hfil}
\baspagedroite={\hfil}
\def\nopagenumbers{\footline={\hfill}}

% Macro \boxit tir\'ee du livre Le petit livre de TEX 
% de R. Seroul page 123.
\def\boxit#1#2{\vbox{\hrule\hbox{\vrule
\vbox spread#1{\vfil\hbox spread#1{\hfil#2\hfil}\vfil}%
\vrule}\hrule}}
% Mode d'emploi : 
%  \setbox10=\hbox{$h(x)=\sin(x)$}
%  \boxit{3pt}{\box10}
% si on veut entourer \box10 d'un blanc de 3 points et d'un cadre .

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\input epsf.tex
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%   EPSF.TEX macro file:
%   Written by Tomas Rokicki of Radical Eye Software, 29 Mar 1989.
%   Revised by Don Knuth, 3 Jan 1990.
%   Revised by Tomas Rokicki to accept bounding boxes with no
%      space after the colon, 18 Jul 1990.
%
%   TeX macros to include an Encapsulated PostScript graphic.
%   Works by finding the bounding box comment,
%   calculating the correct scale values, and inserting a vbox
%   of the appropriate size at the current position in the TeX document.
%
%   To use with the center environment of LaTeX, preface the \epsffile
%   call with a \leavevmode.  (LaTeX should probably supply this itself
%   for the center environment.)
%
%   To use, simply say
%   \input epsf           % somewhere early on in your TeX file
%   \epsfbox{filename.ps} % where you want to insert a vbox for a figure
%
%   Alternatively, you can type
%
%   \epsfbox[0 0 30 50]{filename.ps} % to supply your own BB
%
%   which will not read in the file, and will instead use the bounding
%   box you specify.
%
%   The effect will be to typeset the figure as a TeX box, at the
%   point of your \epsfbox command. By default, the graphic will have its
%   `natural' width (namely the width of its bounding box, as described
%   in filename.ps). The TeX box will have depth zero.
%
%   You can enlarge or reduce the figure by saying
%     \epsfxsize=<dimen> \epsfbox{filename.ps}
%   (or
%     \epsfysize=<dimen> \epsfbox{filename.ps})
%   instead. Then the width of the TeX box will be \epsfxsize and its
%   height will be scaled proportionately (or the height will be
%   \epsfysize and its width will be scaled proportiontally).  The
%   width (and height) is restored to zero after each use.
%
%   A more general facility for sizing is available by defining the
%   \epsfsize macro.    Normally you can redefine this macro
%   to do almost anything.  The first parameter is the natural x size of
%   the PostScript graphic, the second parameter is the natural y size
%   of the PostScript graphic.  It must return the xsize to use, or 0 if
%   natural scaling is to be used.  Common uses include:
%
%      \epsfxsize  % just leave the old value alone
%      0pt         % use the natural sizes
%      #1          % use the natural sizes
%      \hsize      % scale to full width
%      0.5#1       % scale to 50% of natural size
%      \ifnum#1>\hsize\hsize\else#1\fi  % smaller of natural, hsize
%
%   If you want TeX to report the size of the figure (as a message
%   on your terminal when it processes each figure), say `\epsfverbosetrue'.
%
\newread\epsffilein    % file to \read
\newif\ifepsffileok    % continue looking for the bounding box?
\newif\ifepsfbbfound   % success?
\newif\ifepsfverbose   % report what you're making?
\newdimen\epsfxsize    % horizontal size after scaling
\newdimen\epsfysize    % vertical size after scaling
\newdimen\epsftsize    % horizontal size before scaling
\newdimen\epsfrsize    % vertical size before scaling
\newdimen\epsftmp      % register for arithmetic manipulation
\newdimen\pspoints     % conversion factor
%
\pspoints=1bp          % Adobe points are `big'
\epsfxsize=0pt         % Default value, means `use natural size'
\epsfysize=0pt         % ditto
%
\def\epsfbox#1{\global\def\epsfllx{72}\global\def\epsflly{72}%
   \global\def\epsfurx{540}\global\def\epsfury{720}%
   \def\lbracket{[}\def\testit{#1}\ifx\testit\lbracket
   \let\next=\epsfgetlitbb\else\let\next=\epsfnormal\fi\next{#1}}%
%
\def\epsfgetlitbb#1#2 #3 #4 #5]#6{\epsfgrab #2 #3 #4 #5 .\\%
   \epsfsetgraph{#6}}%
%
\def\epsfnormal#1{\epsfgetbb{#1}\epsfsetgraph{#1}}%
%
\def\epsfgetbb#1{%
%
%   The first thing we need to do is to open the
%   PostScript file, if possible.
%
\openin\epsffilein=#1
\ifeof\epsffilein\errmessage{I couldn't open #1, will ignore it}\else
%
%   Okay, we got it. Now we'll scan lines until we find one that doesn't
%   start with %. We're looking for the bounding box comment.
%
   {\epsffileoktrue \chardef\other=12
    \def\do##1{\catcode`##1=\other}\dospecials \catcode`\ =10
    \loop
       \read\epsffilein to \epsffileline
       \ifeof\epsffilein\epsffileokfalse\else
%
%   We check to see if the first character is a % sign;
%   if not, we stop reading (unless the line was entirely blank);
%   if so, we look further and stop only if the line begins with
%   `%%BoundingBox:'.
%
          \expandafter\epsfaux\epsffileline:. \\%
       \fi
   \ifepsffileok\repeat
   \ifepsfbbfound\else
    \ifepsfverbose\message{No bounding box comment in #1; using defaults}\fi\fi
   }\closein\epsffilein\fi}%
%
%   Now we have to calculate the scale and offset values to use.
%   First we compute the natural sizes.
%
\def\epsfclipstring{}% do we clip or not?  If so,
\def\epsfclipon{\def\epsfclipstring{ clip}}%
\def\epsfclipoff{\def\epsfclipstring{}}%
%
\def\epsfsetgraph#1{%
   \epsfrsize=\epsfury\pspoints
   \advance\epsfrsize by-\epsflly\pspoints
   \epsftsize=\epsfurx\pspoints
   \advance\epsftsize by-\epsfllx\pspoints
%
%   If `epsfxsize' is 0, we default to the natural size of the picture.
%   Otherwise we scale the graph to be \epsfxsize wide.
%
   \epsfxsize\epsfsize\epsftsize\epsfrsize
   \ifnum\epsfxsize=0 \ifnum\epsfysize=0
      \epsfxsize=\epsftsize \epsfysize=\epsfrsize
      \epsfrsize=0pt
%
%   We have a sticky problem here:  TeX doesn't do floating point arithmetic!
%   Our goal is to compute y = rx/t. The following loop does this reasonably
%   fast, with an error of at most about 16 sp (about 1/4000 pt).
% 
     \else\epsftmp=\epsftsize \divide\epsftmp\epsfrsize
       \epsfxsize=\epsfysize \multiply\epsfxsize\epsftmp
       \multiply\epsftmp\epsfrsize \advance\epsftsize-\epsftmp
       \epsftmp=\epsfysize
       \loop \advance\epsftsize\epsftsize \divide\epsftmp 2
       \ifnum\epsftmp>0
          \ifnum\epsftsize<\epsfrsize\else
             \advance\epsftsize-\epsfrsize \advance\epsfxsize\epsftmp \fi
       \repeat
       \epsfrsize=0pt
     \fi
   \else \ifnum\epsfysize=0
     \epsftmp=\epsfrsize \divide\epsftmp\epsftsize
     \epsfysize=\epsfxsize \multiply\epsfysize\epsftmp   
     \multiply\epsftmp\epsftsize \advance\epsfrsize-\epsftmp
     \epsftmp=\epsfxsize
     \loop \advance\epsfrsize\epsfrsize \divide\epsftmp 2
     \ifnum\epsftmp>0
        \ifnum\epsfrsize<\epsftsize\else
           \advance\epsfrsize-\epsftsize \advance\epsfysize\epsftmp \fi
     \repeat
     \epsfrsize=0pt
    \else
     \epsfrsize=\epsfysize
    \fi
   \fi
%
%  Finally, we make the vbox and stick in a \special that dvips can parse.
%
   \ifepsfverbose\message{#1: width=\the\epsfxsize, height=\the\epsfysize}\fi
   \epsftmp=10\epsfxsize \divide\epsftmp\pspoints
   \vbox to\epsfysize{\vfil\hbox to\epsfxsize{%
      \ifnum\epsfrsize=0\relax
        \special{PSfile=#1 llx=\epsfllx\space lly=\epsflly\space
            urx=\epsfurx\space ury=\epsfury\space rwi=\number\epsftmp
            \epsfclipstring}%
      \else
        \epsfrsize=10\epsfysize \divide\epsfrsize\pspoints
        \special{PSfile=#1 llx=\epsfllx\space lly=\epsflly\space
            urx=\epsfurx\space ury=\epsfury\space rwi=\number\epsftmp\space
            rhi=\number\epsfrsize \epsfclipstring}%
      \fi
      \hfil}}%
\global\epsfxsize=0pt\global\epsfysize=0pt}%
%
%   We still need to define the tricky \epsfaux macro. This requires
%   a couple of magic constants for comparison purposes.
%
{\catcode`\%=12 \global\let\epsfpercent=%\global\def\epsfbblit{%BoundingBox}}%
%
%   So we're ready to check for `%BoundingBox:' and to grab the
%   values if they are found.
%
\long\def\epsfaux#1#2:#3\\{\ifx#1\epsfpercent
   \def\testit{#2}\ifx\testit\epsfbblit
      \epsfgrab #3 . . . \\%
      \epsffileokfalse
      \global\epsfbbfoundtrue
   \fi\else\ifx#1\par\else\epsffileokfalse\fi\fi}%
%
%   Here we grab the values and stuff them in the appropriate definitions.
%
\def\epsfempty{}%
\def\epsfgrab #1 #2 #3 #4 #5\\{%
\global\def\epsfllx{#1}\ifx\epsfllx\epsfempty
      \epsfgrab #2 #3 #4 #5 .\\\else
   \global\def\epsflly{#2}%
   \global\def\epsfurx{#3}\global\def\epsfury{#4}\fi}%
%
%   We default the epsfsize macro.
%
\def\epsfsize#1#2{\epsfxsize}
%
%   Finally, another definition for compatibility with older macros.
%
\let\epsffile=\epsfbox
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% fin du fichier EPSF.TEX
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  Variables a changer pour chaque probleme:
\auteurcourant={Concours commun ENSAM 1996. Exercices.}
% avant compilation vers dvi
\nbpages={/10}                  % apres compilation vers dvi
                                % contient le nombre de pages
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\setbox10=\hbox{\bf EXERCICE 1}

\setbox11=\boxit{3pt}{\box10}

$$\boxit{3pt}{\box11}$$

%\input d781_1.tex
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Exercice 1.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\medskip
{\bf 1. $E$ muni de $(.|.)$ est un espace euclidien.}
\medskip

Explicitons la valeur de $(A|B)=\hbox{\rm Tr}({}^tA.B)$.

Si
$$A = \left(
        \matrix{a_{11} & a_{12} \cr
                a_{21} & a_{22} \cr}
      \right)
\hskip 2cm
B = \left(
        \matrix{b_{11} & b_{12} \cr
                b_{21} & b_{22} \cr}
      \right)
$$
alors
$${}^tA.B = \left(
        \matrix{a_{11} & a_{21} \cr
                a_{12} & a_{22} \cr}
      \right)\times
\left(
    \matrix{b_{11} & b_{12} \cr
            b_{21} & b_{22} \cr}
    \right)
=
\left(
    \matrix{a_{11}b_{11}+a_{21}b_{21} & \star \cr
              \star         & a_{12}b_{12}+a_{22}b_{22} \cr}
    \right)
$$
et donc
$$(A|B)=\hbox{\rm Tr}({}^tA.B)=
a_{11}b_{11}+a_{21}b_{21}+ a_{12}b_{12}+a_{22}b_{22} $$
Donc $(A|B)$ apparait comme le produit scalaire usuel dans $\R{}^4$,
les \'el\'ements de $\R{}^4$ \'etant num\'erot\'es de la fa\c con un peu
inhabituelle $a_{11},a_{12},a_{21},a_{22}$.
Donc :

\setbox10=\hbox{$E$ muni de $(.|.)$ est un espace euclidien}
$$ \boxit{3pt}{\box10}$$
Bien entendu, pour ce produit scalaire, la base canonique usuelle
$$(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)$$
est orthonorm\'ee. Or c'est justement la base $\bigl ( U_{ij} \bigr )$.

\setbox10=\hbox{La base $\bigl ( U_{ij}\bigr )$ est orthonorm\'ee}
$$ \boxit{3pt}{\box10}$$
\medskip
{\bf \ \  D\'etermination d'une base orthonorm\'ee de $ F$.}
\medskip
Comme toute matrice de $F$ est de la forme :
$$ \left(
        \matrix{x & y \cr
                y & z \cr}
      \right)$$
avec $(x,y,z) \in \R^3$, une base de $F$ est donc
$(U_{1,1},U_{1,2}+U_{2,1},U_{2,2})$. Appliquons le proc\'ed\'e
d'orthogonalisation de Schmidt \`a
$(U_{1,1},U_{2,2},U_{1,2}+U_{2,1})$. Le proc\'ed\'e laisse bien sur
$U_{1,1}$ et $U_{2,2}$ invariantes. Nous prendrons donc comme
premiers vecteurs de la base $V_1 = U_{1,1}$ et $V_2 = U_{2,2}$.
Cherchons $V_3$ sous la forme :
$$V_3 = U_{1,2} +U_{2,1}+ \lambda V_1 + \mu V_2 , $$
et \'ecrivons que $(V_3|V_1) = 0$ et $(V_3|V_2) = 0$. Comme la
base $(U_{i,j})$ est orthonorm\'ee dans $E$ il reste
$\lambda = \mu = 0$. En normant, nous obtenons une base orthonorm\'ee
de $F$ :
\setbox10=\hbox{$\Bigl ($
$\left(
   \matrix{1 & 0 \cr
           0 & 0 \cr}
 \right)$,
$\left(
   \matrix{0 & 0 \cr
           0 & 1 \cr}
 \right)$,
$\left(
   \matrix{0 & {1 \over \sqrt{2}} \cr
           {1 \over \sqrt{2}} & 0 \cr}
 \right)$
$\Bigr )$
}
$$ \boxit{3pt}{\box10}$$


\medskip
{\bf 2. D\'etermination de $N\in F$ tel que la norme $|| M-N || $
soit minimale.}
\medskip
Posons
$$M = \left(
        \matrix{m_{11} & m_{12} \cr
                m_{21} & m_{22} \cr}
      \right)
\hskip 1cm \hbox{\rm et}\hskip 1cm
N = \left(
        \matrix{x & y \cr
                y & z \cr}
      \right).$$
Alors
$$\varphi(x,y,z) = || M-N ||^2 = (m_{11}-x)^2 + (m_{12}-y)^2 +(m_{21}-y)^2+(m_{22}-z)^2 $$
Une condition {\sl n\'ecessaire} pour que 
$|| M-N || $ soit extr\^emale est que les trois d\'eriv\'ees 
partielles :
$$ {\partial \varphi \over\partial x}(x,y,z)\ ,\ 
{\partial \varphi \over\partial y}(x,y,z)\ ,\ 
{\partial \varphi \over\partial z}(x,y,z)$$
soient nulles. Nous obtenons donc :
$$ {\partial \varphi \over\partial x}(x,y,z)=-2(m_{11}-x)=0$$
$$ {\partial \varphi \over\partial y}(x,y,z)=-2(m_{12}-y)-2(m_{21}-y)=0$$
$$ {\partial \varphi \over\partial z}(x,y,z)=-2(m_{22}-z)=0$$
et donc $$x=m_{11}$$
$$y={\ds m_{12}+m_{21}\over \ds  2}$$
$$z=m_{22}.$$
Nous voyons que s'il existe une matrice $N$ telle que
$|| M-N || $ soit minimale, n\'ecessairement :
$$N= {1 \over 2} (M +{}^tM).$$
Pour montrer que cette condition est suffisante, nous allons montrer
que cette matrice est la projection orthogonale de $M$ sur $F$.
Remarquons d'abord que 
$${1 \over 2} (M +{}^tM) + {1 \over 2} (M -{}^tM).$$
La premi\`ere matrice est sym\'etrique. Montrons que la deuxi\`eme lui
est orthogonale : 
$$\Bigl( {1 \over 2} (M +{}^tM) \Big | {1 \over 2} (M -{}^tM)\Bigr )=(1/4)
\bigl ( ||M||^2 -||{}^tM||^2 -(M|{}^tM)+({}^tM|M) \bigr )$$

D'apr\`es la forme d\'evelopp\'ee sur les composantes de $(A|B)$
vue tout au d\'ebut, on voit que cette quantit\'e est nulle.
Donc ${1 \over 2} (M +{}^tM)$ est la projection orthogonale de $M$ sur $F$ 
et ${1 \over 2} (M -{}^tM)$ est la projection orthogonale de $M$ 
sur $F^\bot$, le sous espace vectoriel orthogonal \`a $F$.

Soit alors $N$ un \'el\'ement quelconque de $F$, et 
soit $N_0= {1 \over 2} (M +{}^tM) $. Alors $M - N_0 = 
 {1 \over 2} (M -{}^tM) $
est orthogonal \`a $F$ donc \`a $N - N_0$ et on peut appliquer le 
th\'eor\`eme de Pythagore :
$$ M - N = (M - N_0) + (N_0 -N)$$
$$ || M - N ||^2 = || M - N_0 ||^2 + || N - N_0 ||^2$$
et donc :
$$ || M - N ||^2 \ge || M - N_0 ||^2 $$
Donc :

\setbox10=\hbox{La norme $|| M-N || $
est minimale pour $N= {\ds \strut 1 \over \ds \strut 2} (M +{}^tM)$}
$$ \boxit{3pt}{\box10}$$

\medskip
{\bf 3. L'application $\theta : A \mapsto \theta{}_A$ est un
isomorphisme de $E$ sur l'espace vectoriel des formes lin\'eaires 
sur $E$.}
\medskip
Rappelons d'abord que l'espace vectoriel $E^\star$ des formes 
lin\'eaires sur $E$ est l'ensemble des applications lin\'eaires de
$E$ dans \R. Tout \'el\'ement $\Phi$ de $E^\star$ est donc 
d\'etermin\'e par sa matrice, $E$ \'etant rapport\'e \`a la base
$(U_{ij})$ , \R{} \'etant rapport\'e \`a la base $1$. Cette matrice
a 1 lignes et 4 colonnes puisque $E$ est de dimension 4 et \R{} de 
dimension 1. Soit
$$\phi = \left(
        \matrix{\varphi_{11} & \varphi_{12} &  \varphi_{21}
                & \varphi_{22} \cr}
      \right)$$
cette matrice.
Si 
$$M = \left(
        \matrix{m_{11} & m_{12} \cr
                m_{21} & m_{22} \cr}
      \right)$$
est un \'el\'ement de $E$, de matrice avec des notations 
conventionnelles :
$${\cal M} = \left(
        \matrix{m_{11} \cr
                m_{12} \cr
                m_{21} \cr
                m_{22} \cr}
      \right)$$
alors 
$$\Phi (M) = \phi . {\cal M}
=
       \left(
        \matrix{\varphi_{11} & \varphi_{12} &  \varphi_{21}
                & \varphi_{22} \cr}
      \right) \times 
\left(
        \matrix{m_{11} \cr
                m_{12} \cr
                m_{21} \cr
                m_{22} \cr}
      \right)
=\varphi_{11} m_{11} + \varphi_{12} m_{12}
+ \varphi_{21} m_{21} + \varphi_{22} m_{22}
$$
L'application $\theta$ de la question associe \`a $A$ de $E$ la
forme lin\'eaire qui \`a $M \in E$ associe $(A|M)$ .
Si
$$A = \left(
        \matrix{a_{11} & a_{12} \cr
                a_{21} & a_{22} \cr}
      \right)$$
c'est donc l'application, en vertu du d\'ebut de la question 1, qui
\`a $A$ associe la forme lin\'eaire :
$$M \mapsto a_{11} m_{11} + a_{12} m_{12}+ a_{21} m_{21} + 
a_{22} m_{22}$$
Le fait que $\theta $ soit une bijection $E \rightarrow E^\star$ est
alors \'evident. En fait la lin\'earit\'e de $\theta$ l'est alors
aussi, mais nous allons le red\'emontrer directement.
Soient $A_1 , A_2 $ des \'el\'ements de $E$ et $\lambda$ un r\'eel.

$\theta_{A_1 + \lambda A_2}$ est la forme lin\'eaire qui transforme
$M$ en $(A_1 + \lambda A_2|M)$.

$\theta_{A_1}$ est la forme lin\'eaire qui transforme
$M$ en $(A_1|M)$.

$\theta_{A_2}$ est la forme lin\'eaire qui transforme
$M$ en $(A_2|M)$.

\noindent Comme  $(A_1 + \lambda A_2|M) = (A_1 |M)+\lambda ( A_2|M) $,

$$\theta_{A_1 + \lambda A_2}= \theta_{A_1}+\lambda \theta_{ A_2}$$
c'est-\`a-dire
$$\theta (A_1 + \lambda A_2)= \theta(A_1)+\lambda \theta( A_2)$$

\setbox10=\hbox{
$\theta : A \mapsto \theta{}_A$ est un
isomorphisme  $E \rightarrow E^\star
$}
$$ \boxit{3pt}{\box10}$$


%\vfill \eject \null
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vfill \eject \null
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\setbox10=\hbox{\bf EXERCICE 2}

\setbox11=\boxit{3pt}{\box10}

$$\boxit{3pt}{\box11}$$

%\input d782_1.tex
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Exercice 2.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\let\fd=\overrightarrow
\medskip
{\bf 1. \'Equation cart\'esienne  de $S$.}
\medskip
 \let\ds=\displaystyle \let\\=\partial \let\ty=\theta
$S$  est  une  surface  de  r\'evolution  d'axe  $(O,\vec{k})$  dont
l'intersection  avec  le  plan  $(O,\vec{i},\vec{k})$  est  la  droite  $D$.
Cette  droite  repr\'esente  l'intersection  de  $S$  et  d'un  plan
m\'eridien.  Dans  ce  plan,  $D$  a  pour  \'equation  :  $x  =  z$ \par    
Par  suite,  $S$  a  pour  \'equation  :  $x^2 + y^2 = z^2 $  soit :\
\medskip
\setbox10=\hbox{$x^2 + y^2 - z^2 = 0$}
\centerline{\boxit{3pt}{\box10}  }
\medskip
{\bf \ \ Vecteur unitaire normal \`a $S$.}
\medskip
Cette  \'equation  est  de  la  forme  $f( x , y , z ) = 0$  donc  le 
 vecteur
$\vec{N}_1 = {\ds\\f\over\ds\\x}\vec{i}  +  {\ds\\f\over\ds\\y}\vec{j}  +
{\ds\\f\over\ds\\z}\vec{k}$  est  un  vecteur  normal  \`a  $S$  au  point
$M$.  Par  cons\'equent,  $\vec{N} = x\vec{i} +y\vec{j} - z\vec{k} $  est  un
autre  vecteur  normal  \`a  $S$  au  point  $M$.  On  en  d\'eduit  que
\medskip
\setbox10=\hbox{$\vec{\, n} = {\ds1\over\ds\sqrt{ x^2 + y^2 + z^2 }}
\left( x\vec{i} + y\vec{j}
- z\vec{k} \right)$}
\centerline{\boxit{3pt}{\box10}  }
\noindent est  un  vecteur  unitaire  normal  \`a  $S$  en  $M$.
Ce  vecteur  est  d\'efini  en  tout  point  $M$  distinct  dz  $O$.\bigskip
\medskip
{\bf 2. $L$ est trac\'ee sur $S$.}
\medskip
Soit $M(\ty)$,  le  point  de  $L$  de  param\`etre  $\ty$,  ses
coordonn\'ees,  $x , y , z$  v\'erifient  l'\'egalit\'e  $x^2 + y^2 = z^2$,
$M(\ty)$  appartient  donc  \`a  $S$,  et  $L$  est  incluse  dans  $S$.
\medskip
{\bf \ \ \'Equation du plan osculateur \`a  $L$.}
\medskip
Le  plan  osculateur  \`a  $L$  au  point  $M(\ty)$  passe  par  ce
point  et  est  orthogonal  au  vecteur  
$$\fd{N_2} = {\ds d\fd{OM}(\ty)\over
\ds d\ty} \wedge {\ds d^2\fd{OM}(\ty)\over\ds d\ty^2}$$
$${\cal M}_{(\vec{i},\vec{j},\vec{k})}
\left({\ds d\fd{OM}(\ty)\over\ds d\ty} ,
{\ds d^2\fd{OM}(\ty)\over\ds d\ty^2}\right) =  \pmatrix{
\rho '\cos\ty-\rho\sin\ty&\rho ''\cos\ty-2\rho '\sin\ty-\rho\cos\ty\cr
\rho '\sin\ty+\rho\cos\ty&\rho ''\sin\ty+2\rho '\cos\ty-\rho\sin\ty\cr
\rho '                   &\rho ''                                  \cr}$$

$${\cal M}_{(\vec{i},\vec{j},\vec{k})}(\fd{N_2}) = \pmatrix {
(\rho \rho '' - 2 \rho '^2)\cos\ty + \rho\rho '\sin\ty \cr
(\rho \rho '' - 2 \rho '^2)\sin\ty - \rho\rho '\cos\ty \cr
- \rho \rho '' + 2 \rho '^2 + \rho^2                   \cr}$$
Le  plan  osculateur  \`a  $L$  au  point  $M(\ty)$  a  donc  une  \'equation
de  la  forme  :
$$A(\ty)(x - \rho\cos\ty) + B(\ty)(y - \rho\sin\ty) + C(\ty)(z - \rho) = 0$$
o\`u  $A(\ty) , B(\ty) , C(\ty)$  repr\'esentent  les  coordonn\'ees  de
$\fd{N_2}$.\bigskip
\medskip
{\bf 3. Condition pour que le plan osculateur 
contienne la normale \`a $S$.}
\medskip
Le  plan  osculateur  contient  la  normale  \`a  $S$  en  chaque
point  $M(\ty)$  si  et  seulement  si,  pour  chaque  valeur  de  $\ty$  on
a  
$$\fd{N}\bullet\fd{N_2} = 0$$
ce  qui  donne  :
$$\rho^2\rho ''- 2\rho\rho '^2 - 2\rho\rho '^2 + \rho^2\rho '' - 
\rho^3 = 0$$
soit $$2\rho\rho '' - 4\rho '^2 - \rho^2 = 0.$$
En  posant  $\rho = {\ds 1\over\ds u}$  on  obtient
$\rho ' = {\ds -u'\over\ds u^2}$  et
$\rho '' = {\ds -uu'' + 2u'^2\over\ds u^3}$  et  $u$  v\'erifie 
  l'\'equation
diff\'erentielle  :  
$${\ds 2\over\ds u^4}(2u'^2-uu'') -
{\ds 4u'^2\over\ds u^4} - {\ds 1\over\ds u^2} = 0$$
  qui  donne  apr\`es simplification  :
\medskip
\setbox10=\hbox{$2u'' + u =0$.}
\centerline{\boxit{3pt}{\box10}  }
\medskip
{\bf \ \  R\'esolution de l'\'equation diff\'erentielle.}
\medskip
 On  a  donc
$u = C_1\cos{\ds\ty\over\ds\sqrt{2}} + C_2\sin{\ds\ty\over\ds\sqrt{2}}$
o\`u  $C_1$  et  $C_2$  sont  des  constantes  arbitraires  et
\medskip
\setbox10=\hbox{$\rho = {\ds\lambda\over\ds\cos\left(
{\ds\ty\over\ds\sqrt{2}}-\varphi\right)}$
}
\centerline{\boxit{3pt}{\box10}  }
o\`u  $\lambda$  et  $\varphi$  sont  des  constantes  arbitraires.

\vfill \eject \null
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\setbox10=\hbox{\bf EXERCICE 3}

\setbox11=\boxit{3pt}{\box10}

$$\boxit{3pt}{\box11}$$

%\input d783_1.tex
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Exercice 3.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\let\fd=\overrightarrow

%\setbox10=\hbox{\bf EXERCICE 3}
%\setbox11=\boxit{3pt}{\box10}
%$$\boxit{3pt}{\box11}$$
\medskip
{\bf 1. Nature g\'eom\'etrique de $C$.}
\medskip
On  reconnait,  sous  ses  \'equations  param\'etriques,  que  $C$
est  le  cercle  de  centre  $U\,(\,a\,,\,0\,)$  et  de  rayon  $a$.
( Pour  tracer  la  figure  on  a pris  $a = 1$  et 
 $\theta = {\pi\over 6}$
)\par
\vskip -5cm
\epsfysize=6.5in \epsffile{m96kt1fa.ep1}
\medskip
{\bf \ \  Repr\'esentation param\'etrique et \'equation polaire de $L$.}
\medskip
On  d\'esigne  par  $P$  le  point  de  $C$  de  param\`etre  $\theta$,
par $M$  la  projection  orthogonale  de  $O$  sur  la  tangente  \`a 
 $C$  en $P$,  et  par  $I$  
la  projection  orthogonale  de  $U$  sur  la  droite  $(\,OM\,)$.\par
Les  droites  $(\,OM\,)$  et  $(\,UP\,)$  sont  parall\`eles,\par  
$\fd{IM} = \fd{UP}$  et
$\big( \fd{i} , \fd{OM} \big) \equiv \big( \fd{i} , \fd{UP} \big)
\equiv \theta \ \ \hbox{mod}\,[\,2\pi\,]$\par
Les  coordonn\'ees  polaires  de  $M$  sont  donc  $\theta$  et  $\rho$
avec
$\rho = a ( 1 + \cos \theta )$,  ce  qui  constitue  une  \'equation
polaire de  $L$.\par
D'o\`u  des  \'equations  param\'etriques  de  $L$  :
\medskip
\setbox10=\hbox{$x = a( 1 + \cos \theta )\cos \theta$  et
$y = a( 1 + \cos \theta )\sin \theta$ }

\centerline{\boxit{3pt}{\box10}  }

\medskip
{\bf 2.\   Expression de l'angle $\big( \fd{OM} , \fd{T} \big)$
\`a l'aide de $\theta$.}
\medskip
D\'esignons  par  $\fd{u}$  et  $\fd{v}$  les  vecteurs  unitaires
d'angles  polaires  respectifs  $\theta$  et 
 $\theta + {\ds\pi\over\ds 2}$.\par
$\fd{T} = {\ds d \fd{OM}\over\ds d \theta}$  est  un  vecteur  tangent
  en
$M$  \`a  $L$,  on  pose
$\varphi = \big( \fd{u} , \fd{T} \big) = \big( \fd{OM} , \fd{T} \big)$.

$\fd{T} = \rho '\fd{u} + \rho \fd{v}$,\qquad
$\cos ( \varphi ) = {\ds\rho '\over\ds{\rho}^2 + {\rho}'^2}$,\qquad
$\sin ( \varphi ) = {\ds\rho \over\ds{\rho}^2 + {\rho}'^2}$\par
${\rho}^2 + {\rho}'^2 = 2a\big( 1 + {\cos}(\theta) \big) =
4a^2 {\cos}^2 \big({\ds\theta\over\ds 2}\big)$\qquad or\qquad
$\cos\big({\ds\theta\over\ds 2}\big) \geq 0$\qquad donc \par
$\cos(\varphi) = -\sin\big({\ds\theta\over\ds 2}\big)$\qquad et \qquad
$\sin(\varphi) = \cos\big({\ds\theta\over\ds 2}\big)$\qquad d'o\`u \qquad
$\varphi \equiv {\ds\theta\over\ds 2} +
{\ds\pi\over\ds 2}\ \ \hbox{mod}\ [2\pi]$.
On  en  d\'eduit :
\medskip
\setbox10=\hbox{ $\big( \fd{i} , \fd{T} \big) \equiv
{\ds 3\theta\over\ds 2} + {\ds\pi\over\ds 2}\ \ \hbox{mod}\ [2\pi]$
}

\centerline{\boxit{3pt}{\box10}  }
\medskip
{\bf \ \   Points de $L$ o\`u la tangente est parall\`ele \`a 
$Ox$ ou $Oy$.}
\medskip
La  tangente  \`a  $L$  au  point  $M$  est  parall\`ele   \`a  $Ox$ 
si  et
seulement  si  ${\ds 3\theta\over\ds 2} + {\ds\pi\over\ds 2} \equiv 0 \ \ 
\hbox{mod} \ [ \pi ]$ \par
D'o\`u  $3\theta \equiv -\pi \ \ \hbox{mod} \ [ 2\pi ]$  or  $\ 3\theta
\in ] -3\pi , 3\pi ]$,  nous  avons  donc  3  possibilit\'es  : \par
\quad a/\quad $3\theta = -\pi,\ \theta = -{\ds\pi\over\ds 3},\ \rho =
{\ds 3\over\ds 2}a,\ x = {\ds 3\over\ds 4}a,\ y =
 -{\ds 3\sqrt{3}\over\ds 4}a$
\par
\quad b/\quad $3\theta = \pi,\ \theta = {\ds\pi\over\ds 3},\ \rho =
{\ds 3\over\ds 2}a,\ x = {\ds 3\over\ds 4}a,\ y =
 {\ds 3\sqrt{3}\over\ds 4}a$
\par
\quad c/\quad $3\theta = 3\pi,\ \theta = \pi,\ \rho =0,\ x = 0,\ y = 0$
\medskip
La  tangente  \`a  $L$  au  point  $M$  est  parall\`ele  \`a  $Oy$  si
et  seulement  si  ${\ds 3\theta\over\ds 2} + {\ds\pi\over\ds 2} \equiv
{\ds\pi\over\ds 2} \ \ \hbox{mod} \ [ \pi ]$ \par
D'o\`u  $3\theta \equiv 0 \ \ \hbox{mod} \ [ 2\pi ]$,  ici  aussi  
trois  possibilit\'es
: \par
\quad a/\quad $3\theta = -2\pi,  \ \ \theta = -{\ds 2\pi\over\ds 3},
\ \ \rho = {\ds 1\over\ds 2}a,\ \  x= -{\ds 1\over\ds 4}a,
\ \ y = -{\ds\sqrt{3}\over\ds 4}a$\par
\quad b/\quad $3\theta = 0,  \ \ \theta = 0,
\ \ \rho = 2a,\ \  x= 2a,
\ \ y = 0$\par
\quad c/\quad $3\theta = 2\pi,  \ \ \theta = {\ds 2\pi\over\ds 3},
\ \ \rho = {\ds 1\over\ds 2}a,\ \  x= -{\ds 1\over\ds 4}a,
\ \ y = {\ds\sqrt{3}\over\ds 4}a$\par \medskip
\medskip
{\bf 3.\  La  droite  $D_{\alpha}$  recoupe  $L$ en deux points :}
\medskip
\vskip -5cm
\epsfysize=6.5in \epsffile{m96kt1fa.ep2}
%\medskip
( Pour  tracer  la  figure  on  a pris  $a = 1$  et 
 $\theta = {-\pi\over 3}$
)\par

La  droite  $D_{\alpha}$  recoupe  \'evidemment  $L$  au  point
$M(\alpha)$,  que  nous  noterons  $M_{\alpha}$.\par
Posons  $\beta = \alpha - \pi$  lorsque   $0 \leq \alpha
\leq {\ds\pi\over\ds 2}$  et  $\beta = \alpha +\pi$  lorsque
$-{\ds\pi\over\ds 2} \leq \alpha < 0$,  le  point  $M(\beta)$  est  un
  point
de  $L$  situ\'e  sur  la  droite  $D_{\alpha}$;  ce  point  sera
  d\'esign\'e
par  $M'_{\alpha}$.\par
\medskip



{\bf \ \ Longueur  du  segment $M_{\alpha}M'_{\alpha}$.}
\medskip
Un  couple  de  coordonn\'ees  polaires  de  $M'_{\alpha}$  sera
$(\beta\,,\,\rho(\beta))$,  un  autre  couple  de  coordonn\'ees 
 polaires
de  $M'_{\alpha}$  sera  $(\alpha\,,\,-\rho(\beta)) =
(\alpha\,,\,a( -1 + \cos \alpha))$.  La  longueur  du  segment
$M_{\alpha}M'_{\alpha}$  est  donc  \'egale  \`a  $2a$. \par
\medskip
\setbox10=\hbox{$\hbox{longueur}(
M_{\alpha}M'_{\alpha} )= 2a$.
}

\centerline{\boxit{3pt}{\box10}  }

{\bf \ \ Lieu de $I_\alpha$.}
\medskip
Un  couple  de  coordonn\'ees  polaires  de  $I_\alpha$  sera  donc
$(\alpha\,,\,a \cos\alpha)$  ce  qui  montre  que  $I_\alpha$
 d\'ecrit  le  cercle $C'$ de diam\`etre $[O,U]$.\par
\medskip
{\bf \ \ Construction g\'eom\'etrique des points $M_\alpha$
et $M'_\alpha$.}
\medskip
On  peut  donc  tracer  les  point  $M_{\alpha}$  et  $M'_{\alpha}$  en
tra\c cant  la  droite  $D_{\alpha}$  qui  recoupe  $C'$  en  $I_\alpha$
 et  en prenant  les  points  de  cette  droite  situ\'es  \`a  la
distance  $a$ de  $I_\alpha$.

\vfill \eject \null
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\setbox10=\hbox{\bf EXERCICE 4}

\setbox11=\boxit{3pt}{\box10}

$$\boxit{3pt}{\box11}$$

%\input d784_1.tex
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Exercice 4.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\medskip
{\bf 1. Convergence simple de la s\'erie de fonctions 
$\ds \sum_{n\ge 1} {\ds x \over \ds n(1+nx^2)}$}
\medskip
 
Pour tout $n \in \N$, $u_n(0)=0$. Pour tout $x \in \R$, diff\'erent 
de $ 0$, $u_n (-x) = -u_n(x)$. Il suffit d'\'etudier la s\'erie sur
$\R^+$.

Quand $n $ tend vers $+\infty$, $x >0$,
$$ u_n(x) \sim {1 \over n^2 x}$$
donc :
\setbox10=\hbox{La s\'erie de fonctions $\sum u_n$ converge 
simplement sur \R}

$$\boxit{3pt}{\box10}$$

\medskip
{\bf 2. Variations de la fonction $u_n$. }
\medskip
$$\eqalign{
u'_n (x) &={n(1+ n x^2)-xn 2 xn \over n^2 (1 + n x^2)^2}       \cr
         &={n-n^2 x^2 \over n^2 (1 + n x^2)^2}            \cr
         &={1-n x^2 \over n (1 + n x^2)^2}            \cr
}$$
Nous en d\'eduisons le tableau de variations de $u_n$ sur $\R^+$ :
$$
\vbox{\offinterlineskip\halign{\tvi
\vrule width 1pt #&\enskip#\hfil\enskip&\vrule\vrule#&\enskip\hfil#&
  \hfil\enskip\vrule #&\enskip#\hfil\enskip&\vrule width 1pt #\cr
\noalign{\hrule height 1pt }
&$x$&&$0$\hfill \hbox to 2truecm{} \hfill \ $1/\sqrt{n}$&&$
1/\sqrt{n}$\ \hfill \hbox to 2truecm{} \hfill \ $+\infty$&\cr
\noalign{\hrule }
&$u'_n(x)$&&\hfill $+$\hfill 0&&0\hfill $-$\hfill &\cr
\noalign{\hrule }
&$u_n(x)$&&$0 $ \hbox to 0.5truecm{}  \hfill $\nearrow$  \hfill 
$ {1 \over 2n^{3/2}}$
&&${1 \over 2n^{3/2}} $ 
\hfill $\searrow$ \hfill \hbox to 0.5truecm{} $0$&\cr
\noalign{\hrule height 1pt }
}}$$
\medskip
{\bf \ \  Cons\'equences pour la  s\'erie $\ds \sum u_n$. }
\medskip

Pour tout $x \in \R$, tout $n \in \N$, $\ds |u_n(x)| \le 
{\ds 1\over \ds \tvi 2n^{3/2}}$. Donc :

\setbox10=\hbox{La s\'erie de fonctions $\sum u_n$ converge 
normalement  sur \R}

$$\boxit{3pt}{\box10}$$

Pour tout $n \in \N$, la fonction $x \mapsto  u_n(x)$ est continue
$\R \rightarrow \R$, donc on peut appliquer le th\'eor\`eme 
\og \ convergence uniforme et continuit\'e \fg.
\setbox10=\hbox{La somme $S$ de la s\'erie de fonctions $\sum u_n$
est continue.}

$$\boxit{3pt}{\box10}$$

\medskip
{\bf 3. D\'erivabilit\'e de la somme $S$ de la s\'erie  
$\ds \sum u_n$. }
\medskip
$$u''_n (x) = -{ {2\,x}\over {\left (1+n{x}^{2}\right )^{2}}}
-{ {\left (4-4\,n{x}^{2}\right )x}\over 
{\left (1+n{x}^{2}\right )^{3}}} = 
 {{2\,x\left (-3+n{x}^{2}\right )}\over 
{\left (1+n{x}^{2}\right )^{3}}}$$
Donc $u'_n$ est d\'ecroissante de $0 $  jusqu'\`a 
${\ds \sqrt{3}\over \ds \sqrt{n}}$ 
puis croissante
et tend vers $0$ quand $x$ tend vers $+\infty$.
$$u'_n (0) ={1 \over n} \hbox{\ \ et\ \ } 
u'_n ({\ds \sqrt{3}\over \ds \sqrt{n}})=  
{-1 \over 8n}$$


Soit $\delta$ un r\'eel strictement positif fix\'e. Comme, 
pour $n$ assez grand, $u'_n $ est croissante sur 
$\Bigl [ \delta , +\infty  \Bigr [$,
il existe 
$N \in \N$, d\'ependant de $\delta$, tel que pour tout $n > N$, tout 
$x\in \bigl [\delta ,+\infty \bigr [$,
$$|u'_n (x)| \le {| 1-n \delta^2 |\over n (1 + n \delta^2)^2}  
$$
La s\'erie 
$\ds \sum_{n\ge 1}{| 1-n \delta^2 | \over n (1 + n \delta^2)^2}  $
est convergente et d'apr\`es la question 1, la s\'erie 
$\ds \sum_{n \ge 1} u_n(x) $ est simplement convergente. On peut donc
appliquer le th\'eor\`eme \og \ convergence uniforme et d\'erivation 
\fg \ \`a la s\'erie $\ds \sum_{n \ge 1} u_n(x) $ sur tout intervalle
$\bigl [ \delta ,+\infty \bigr [ $. Donc la restriction de $S$ \`a 
tout intervalle
$\bigl [ \delta ,+\infty \bigr [ $ est de classe ${\cal C}^1$. Donc :
\setbox10=\hbox{La somme $S$ de la s\'erie de fonctions $\sum u_n$
est d\'erivable pour tout $x \not = 0$.}

$$\boxit{3pt}{\box10}$$
\medskip
{\bf 4. In\'egalit\'e portant sur $\ds S(x) \over \ds \strut x$ }
\medskip
Soit $N$ fix\'e entier strictement positif. Alors 
pour $0\le n \le N$, pour tout $x \in \R$,
$$1+nx^2 \le 1+Nx^2.$$
Donc
$${1\over 1+nx^2 }\ge {1\over 1+Nx^2 }$$
et il existe $\alpha \in \R^*_+$ tel que $1+N\alpha^2 \le 2$ et donc
pour $x\in \bigl [ -\alpha, \alpha \bigr ]$,
$${1 \over 1+nx^2}\ge {1\over 1+Nx^2}\ge {1\over 1+N\alpha^2}
 \ge {1\over 2}.$$
$${S_N(x) \over x}={1 \over 1(1+1x^2)}+{1 \over 2(1+2x^2)}+\cdots+
{1 \over N(1+Nx^2)}$$
Donc, d'apr\`es ce qui pr\'ec\`ede, pour
tout $x \in\R$, $0 < |x| <\alpha$,
\setbox10=\hbox{${\ds S(x) \over \ds \strut x} \ge
{\ds S_N(x) \over \ds \strut x }
\ge {\ds 1 \over \ds \strut 2}\ds \sum_{n=1}^{N}{\ds 1\over \ds n}$
}
$$\boxit{3pt}{\box10}$$
\medskip
{\bf \ \  Cons\'equences.}
\medskip

La s\'erie $\ds \sum_{n\ge 1}{\ds 1 \over \ds \strut n}$ est 
divergente donc :
\setbox10=\hbox{${\ds \lim_{x \rightarrow 0}{S(x) \over \ds \strut x}
= +\infty}$
}
$$\boxit{3pt}{\box10}$$
et
\setbox10=\hbox{$S$ n'est pas d\'erivable en $0$.}
$$\boxit{3pt}{\box10}$$

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\vfill
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\bye


