%CORRIGE de l'{\'e}preuve pratique des Mines 1996.
%Jean Gu{\'e}gand, Lyc{\'e}e Fran{\c c}ois-1er, Fontainebleau.
%Roger Dallard, Lyc{\'e}e Pasteur, Neuilly sur Seine.
% cadre
% Usage: \cadre{10pt}{texte} pour avoir un cadre de 10 points de large
%
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\def\Reponse#1#2{\setbox1=\vbox{\hbox{#1}\hbox{#2}}\vskip 2mm\centerline{\cadrerelief{4pt}{\box1}}}
\def\reponse#1{\vskip 2mm\centerline{\cadrerelief{4pt}{#1}}}
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\def\Sum{\displaystyle\sum}
\def\fin{\bigskip\centerline{- FIN -}}
\parindent=0pt
\centerline{\bf Concours commun Mines-Ponts 1996. Epreuve pratique de Math{\'e}matiques.}
\vskip 1cm
{\bf $1^\circ{}$) }\underbar{Existence d'une base orthonorm{\'e}e de $E_n{}$
 associ{\'e}e {\`a} la forme $\Phi{}$.}

{\bf $1^\circ{}$)a. }
$(P|\varphi{}_n{}(Q))$ est le r{\'e}el $\Int_{-1}^{1}tP(t)Q(t)\,dt$.
On trouve la m{\^e}me chose pour $(Q|\varphi{}_n{}(P))$. Donc
\reponse{ L'endomorphisme $\varphi{}_n{}$ de $E_n{}$ est sym{\'e}trique (ou autoadjoint) .} 
(on pouvait voir aussi cela comme un r{\'e}sultat du cours sur l'endomorphisme
sym{\'e}trique d'un espace euclidien associ{\'e} {\`a} une forme bilin{\'e}aire sym{\'e}trique.)

{\bf $1^\circ{}$)b.}
On vient de voir que, quels que soient les polyn\^o{}mes $P$ et $Q$, on a
$(P|\varphi{}_n{}(Q))=(X.P|Q)=(P|X.Q)$ donc $(P|\varphi{}_n{}(Q)-X.Q)=0$; 
donc
 $\varphi{}_n{}(Q)-X.Q$ est orthogonal {\`a} tout polyn\^o{}me $P$ de $E_n{}$.
 Si  $Q$ est de degr{\'e} $\leq{}n-1$, alors
 $\varphi{}_n{}(Q)-X.Q\in E_n{}$, et 
 $\varphi{}_n{}(Q)-X.Q$ ne peut {\^e}tre orthogonal {\`a} tout $P$ de $E_n{}$
que s'il est nul, donc $\varphi{}_n{}(Q)=X.Q$. En particulier
\reponse{$\varphi{}_2{}(1)=X$ et $\varphi{}_2{}(X)=X^2{}$.}
Si $Q=X^2{}$, alors $\varphi{}_2{}(Q)$ est de la forme $aX^2{}+bX+c$ et
$\varphi{}_2{}(Q)-X.Q=aX^2{}+bX+c-X^3{}$, qui doit {\^e}tre orthogonal {\`a} $1$, $X$ et $X^2{}$.
On doit donc avoir

$\Int_{-1}^{1}(at^2{}+bt+c-t^3{})\,dt=\Int_{-1}^{1}(at^3{}+bt^2{}+ct-t^4{})\,dt=
\Int_{-1}^{1}(at^4{}+bt^3{}+ct^2{}-t^5)\,dt=0$ donc

$\frac a3+c=\frac b3-\frac15=\frac a5+\frac c3=0$ donc
$a=c=0$ et $b=\frac35$. Donc
\reponse{$\varphi{}_2{}(X^2{})=\Frac{3X}5$.}
On en d{\'e}duit alors la matrice de $\varphi{}_2{}$ dans la base
$1,X,X^2{}$ de $E_2{}$, soit
$\pmatrix{0&0&0\cr 1&0&\frac35\cr 0&1&0\cr}$,
et son polyn\^o{}me caract{\'e}ristique
$P(\lambda{})=-\lambda{}(\lambda{}^2{}-\frac35)$. D'o\`u{}:
\reponse{Les valeurs propres de $\varphi{}_2{}$ sont: $0$, $\sqrt{\frac35}$
et $-\sqrt{\frac35}$.}
{\bf $1^\circ{}$)c. }
 $\varphi{}_n{}$ est un endomorphisme sym{\'e}trique de l'espace euclidien $E_n{}$.
Il existe donc une base $(e_i{})_{0\leq{}i\leq{}n}$ de $E_n{}$, orthonorm{\'e}e, form{\'e}e de vecteurs
propres de $\varphi{}_n{}$. Notons $(\alpha{}_i{})_{0\leq{}i\leq{}n}$ les valeurs propres correspondantes.

Puisque la base est orthonorm{\'e}e, tout {\'e}l{\'e}ment $Q$ de $E_n{}$ s'{\'e}crit
$\Sum_{i=0}^{n}(Q|e_i{})e_i{}$, donc

 $\varphi{}_n{}(Q)=\Sum_{i=0}^{n}(Q|e_i{})\varphi{}_n{}(e_i{})=
\Sum_{i=0}^{n}\alpha{}_i{}(Q|e_i{})e_i{}.$
Pour tout $P$ de $E_n{}$ on a alors

$\Phi{}(P,Q)=(P|\varphi{}_n{}(Q))=(P|\Sum_{i=0}^{n}\alpha{}_i{}(Q|e_i{})e_i{})=
\Sum_{i=0}^{n}\alpha{}_i{}(Q|e_i{})(P|e_i{})$. 
On a bien trouv{\'e}
\reponse{une base orthonorm{\'e}e $(e_i{})_{0\leq{}i\leq{}n}$ et $n$ r{\'e}els $\alpha{}_i{}$ tels que
$\forall{}P$ et $Q$ $\in E_n{}$: $\Phi{}(P,Q)=\Sum_{i=0}^{n}\alpha{}_i{}(e_i{}|P)(e_i{}|Q)$.} 
(C'est encore un r{\'e}sultat du cours: il existe une base orthonorm{\'e}e
de l'espace euclidien $E_n{}$ qui est en plus orthogonale pour $\Phi{}$.)

{\bf $1^\circ{}$)d. }
En prenant $P=Q=e_i{}$,  l'{\'e}galit{\'e} pr{\'e}c{\'e}dente se r{\'e}duit {\`a}
$\alpha{}_i{}=\Phi{}(e_i{},e_i{})=(X.e_i{}|e_i{})=\Int_{-1}^{1 }te_i{}^2{}(t)\,dt$. Donc

$|\alpha{}_i{}|\leq{}\Int_{-1}^{1}|t|e_i{}^2{}(t)\,dt\leq{}\Int_{-1}^{1}e_i{}^2{}(t)\,dt=(e_i{}|e_i{})=1$.

En fait, l'in{\'e}galit{\'e} est stricte car les fonctions $|t|e_i{}^2{}(t)$ et
$e_i{}^2{}(t)$ sont continues et l'ensemble des $t$ o\`u{} elles prennent la
m{\^e}me valeur est fini ($t=1$ ou $t=-1$ ou $t$ z{\'e}ro de $e_i{}$.)
\reponse {Les $\alpha{}_i{}$ ont une valeur absolue strictement inf{\'e}rieure {\`a} $1$.}
{\bf $1^\circ{}$)e. }
L'{\'e}nonc{\'e} nous invite, semble-t-il, {\`a} appliquer Schmidt {\`a} la base canonique,
puis, en utilisant la base orthonorm{\'e}e trouv{\'e}e, {\`a} diagonaliser $\varphi{}_1{}$.
En fait, on peut trouver directement
 une base de $E_1{}$ form{\'e}e de vecteurs propres de $\varphi{}_1{}$.

Puisque $\varphi{}_1{}(1)=X$, aucune constante ne peut {\^e}tre vecteur propre de $\varphi{}_1{}$,
et les vecteurs propres sont d{\'e}finis {\`a} une constante multiplicative non nulle 
pr{\`e}s. Nous pouvons donc les chercher sous la forme $Q=X+a$.
Si $\lambda{}$ est la valeur propre associ{\'e}e, $\varphi{}_1{}(Q)$ est donc le polyn\^o{}me $\lambda{}X+\lambda{}a$ et
$\varphi{}_1{}(Q)-XQ$ est le polyn\^o{}me $\lambda{}X+\lambda{}a-X^2{}-aX$. Ce polyn\^o{}me doit {\^e}tre orthogonal
aux polyn\^o{}mes $1$ et $X$ d'o\`u{}:

$\Int_{-1}^{1}(\lambda{}t+\lambda{}a-t^2{}-at)\,dt=\Int_{-1}^{1}(\lambda{}t^2{}+\lambda{}at-t^3{}-at^2{})\,dt=0$,
ce qui conduit aux conditions $\lambda{}a-\frac13=0=\lambda{}-a$,
donc $\lambda{}=a=\frac{\sqrt{3}}3$ ou $\lambda{}=a=-\frac{\sqrt{3}}3$.

Les seuls sous-espaces propres possibles sont donc les deux droites
dirig{\'e}es par les polyn\^o{}mes $Q_1{}=X+\frac{\sqrt{3}}3$ et $Q_2{}=X-\frac{\sqrt{3}}3$.
Comme $\varphi{}_1{}$ est diagonalisable, on est s\^u{}r que ces droites sont 
effectivement sous-espaces propres. Comme $\varphi{}_1{}$ est autoadjoint, on est s\^u{}r
aussi que ces droites sont orthogonales l'une {\`a} l'autre.

Il ne reste plus qu'{\`a} normer $Q_1{}$ et $Q_2{}$ pour obtenir la base demand{\'e}e.
Or $(Q_1{}|Q_1{})=\Int_{-1}^{1}(t^2{}+\frac{2t\sqrt{3}}3+\frac13)\,dt=\Frac43$.
La norme de $Q_1{}$ est donc $\Frac2{\sqrt{3}}$. De m{\^e}me pour celle de $Q_2{}$.
\reponse{On peut donc choisir les polyn\^o{}mes $e_0=\Frac{X\sqrt{3}+1}2$
et $e_1{}=\Frac{X\sqrt{3}-1}2$ et les r{\'e}els
$\alpha{}_0=\Frac{\sqrt{3}}3$ et $\alpha{}_1=-\Frac{\sqrt{3}}3$.}
{\bf $2^\circ{}$) }\underbar{D{\'e}termination d'une base orthonorm{\'e}e de $E_n{}$
 associ{\'e}e {\`a} la forme $\Phi{}$.}

{\bf $2^\circ{}$)a. }
La formule demand{\'e}e est vraie pour $k=0$ par d{\'e}finition de $a_i{}$.

Pour $k$ entre $1$ et $n$, on a
$(X^k{}|e_i{})=\Phi{}(X^{k-1},e_i{})=$ ( formule de {\bf $1^\circ{}$)c.})
$\Sum_{p=0}^{n}\alpha{}_p{}(e_p{}|X^{k-1})(e_p{}|e_i{})=\alpha{}_i{}(e_i{}|X^{k-1})$. On en d{\'e}duit
par r{\'e}currence sur $k$:
\reponse{ Pour tout $k$ entre $0$ et $n$, on a $(X^k{}|e_i{})=(\alpha{}_i{})^k{}a_i{}.$} 
Soit $P\in E_n{}$. On peut {\'e}crire $P$ sous la forme $\Sum_{k=0}^{n}\gamma{}_kx^k{}$.
alors $(e_i{}|P)=\Sum_{k=0}^{n}\gamma{}_k(x^k{}|e_i{})=\Sum_{k=0}^{n}\gamma{}_k\alpha{}_i{}^k{}a_i{}=
a_i{}\Sum_{k=0}^{n}\gamma{}_k\alpha{}_i{}^k{}.$ Donc
\reponse{$\forall{}P\in E_n{},(e_i{}|P)=a_i{}.P(\alpha{}_i{})$.}
{\bf $2^\circ{}$)b. }
En particulier
$a_i{}.e_i{}(\alpha{}_i{})=(e_i{}|e_i{})=1$ donc
\reponse{Les produits $a_i{}.e_i{}(\alpha{}_i{})$ sont non nuls, donc les $a_i{}$ sont non nuls.}
{\bf $2^\circ{}$)c. }
Notons une petite b{\'e}vue du texte: le nombre des $\alpha{}_i{}$ qu'on consid{\`e}re est
$p+1$, et non pas $p$.

Vu le rangement des $\alpha{}_i{}$ qu'on nous propose, le polyn\^o{}me
$R_n{}$ est le polyn\^o{}me normalis{\'e}, n'ayant que des racines simples, tel que
 l'ensemble de ces racines soit l'ensemble des $\alpha{}_i{}$.
Supposons que les $\alpha{}_i{}$ ne soient pas deux {\`a} deux distincts, ce qui
{\'e}quivaut {\`a} dire que
$p<n$ ou encore que $R_n{}(x)\in E_n{}$. Pour tout $i$ de $0$ {\`a} $n$,
 on a  donc $(e_i{}|R_n{})=a_i{}.R_n{}(\alpha{}_i{})=0$ puisque $\alpha{}_i{}$ est une racine de $R_n{}$.
Toute  coordonn{\'e}e $(e_i{}|R_n{})$ de $R_n{}$ sur la base orthonorm{\'e}e $(e_i{})_{0\leq{}i\leq{}n}$ est
donc nulle, ce qui est absurde puisque $R_n{}$ n'est pas le polyn\^o{}me nul. Donc
\reponse
{Les r{\'e}els $\alpha{}_i{}$ sont deux {\`a} deux distincts et le degr{\'e} de $R_n{}$ est $n+1$.}
{\bf $2^\circ{}$)d. }
Le polyn\^o{}me $L_j{}$ appartient {\`a} $R_n{}$, donc, pour $i$ de $0$ {\`a} $n$,
 $(e_i{}|L_j{})=a_i{}.L_j{}(\alpha{}_i{})$, qui est nul
d{\`e}s que $\alpha{}_i{}$ est une racine de $L_j{}$, donc pour tout $i\neq{}j$.
Les composantes de $L_j{}$ sur la base  $(e_i{})_{0\leq{}i\leq{}n}$  sont donc nulles, sauf peut-{\^e}tre la
j-i{\`e}me. Autrement dit:
\reponse{$L_j{}$ est colin{\'e}aire au polyn\^o{}me $e_j{}$.}
Puisque $L_j{}$ n'est pas nul, cette colin{\'e}arit{\'e} peut effectivement
s'{\'e}crire $e_j{}=k_j{}L_j{}$; on a donc:

 $1=(e_j{}|e_j{})=k_j{}(L_j{}|e_j{})=k_j{}a_j{}L_j{}(\alpha{}_j{})$.
On a donc aussi
$a_j{}=(1|e_j{})=(1|k_j{}L_j{})=k_j{}(1|L_j{})=\Frac{(1|L_j{})}{a_j{}L_j{}(\alpha{}_j{})}.$ Reprenons:
\reponse{$k_j{}a_j{}L_j{}(\alpha{}_j{})=1$ et $a_j{}^2{}=\Frac{(1|L_j{})}{L_j{}(\alpha{}_j{})}.$}
On nous demande maintenant d'en d{\'e}duire les diverses bases orthonorm{\'e}es
associ{\'e}es {\`a} $\Phi{}$. Visiblement, on attend qu'on dise qu'il y a deux
possibilit{\'e}s pour chaque $a_j{}$, puis pour chaque $k_j{}$ et donc deux vecteurs
de base $e_j{}$ possibles (oppos{\'e}s l'un de l'autre) pour chaque indice $j$.

Mais il y a un "hic": On n'a pas prouv{\'e} l'unicit{\'e} de la famille des $\alpha{}_j{}$ ni,
a fortiori, celle des polyn\^o{}mes $L_j{}$.
Reprenons donc autrement:

Supposons donc que la base orthonorm{\'e}e $(e_i{})_{0\leq{}i\leq{}n}$ soit associ{\'e}e {\`a} $\Phi{}$.
En appliquant la propri{\'e}t{\'e} du {\bf $1^\circ{}$)c.} {\`a} $Q=e_j{}$, il reste:
$\forall{}P\in E_n{},\Phi{}(P,e_j{})=\alpha{}_j{}(e_j{}|P)$, donc:
$\forall{}P\in E_n{},(P|\varphi{}_n{}(e_j{}))=\alpha{}_j{}(e_j{}|P)$, donc:
$\forall{}P\in E_n{},(P|\varphi{}_n{}(e_j{})-\alpha{}_j{}e_j{})=0$. Le vecteur $\varphi{}_n{}(e_j{})-\alpha{}_j{}e_j{}$ de $E_n{}$ est
orthogonal {\`a} tout vecteur. Il est donc nul; $e_j{}$ est donc vecteur propre
de $\varphi{}_n{}$, et $\alpha{}_j{}$ est valeur propre associ{\'e}e. La base est donc une base
orthonorm{\'e}e de vecteurs propres de $\varphi{}_n{}$. On avait d{\'e}montr{\'e} la r{\'e}ciproque
dans {\bf $1^\circ{}$)c.} On peut donc affirmer que les bases orthonorm{\'e}es 
associ{\'e}es {\`a} $\Phi{}$ sont
les bases  orthonorm{\'e}es de vecteurs propres de $\varphi{}_n{}$.

Pr{\'e}cisons cette r{\'e}ponse: on a vu que les $\alpha{}_i{}$ sont tous diff{\'e}rents; les
sous-espaces propres sont donc des droites; chacune d'elles contient deux
vecteurs unitaires. En tenant compte en outre de l'ordre dans lequel on
peut {\'e}noncer la base, on peut fournir une r{\'e}ponse "num{\'e}rique":
\reponse{Il y a $2^{n+1}.(n+1)!$ bases orthonorm{\'e}es associ{\'e}es {\`a} la
forme bilin{\'e}aire $\Phi{}$.}
Remarque: on a aussi prouv{\'e} au passage que la famille des $\alpha{}_i{}$ est unique {\`a}
l'ordre pr{\'e}s et, en utilisant {\bf $2^\circ{}$)d.}, que les polyn\^o{}mes $L_j{}$ sont
vecteurs propres de $\varphi{}_n{}$.
On peut donc donner cette autre r{\'e}ponse: {\`a} l'ordre pr{\`e}s des vecteurs, 
\Reponse{les bases orthonorm{\'e}es de $E_n{}$ associ{\'e}es {\`a} la forme bilin{\'e}aire $\Phi{}$
sont d{\'e}finies par }
{$e_j{}=\Frac{L_j{}}{a_j{}L_j{}(\alpha{}_j{})}$, o\`u{} $a_j{}$ est l'un quelconque des deux r{\'e}els
 v{\'e}rifiant $a_j{}^2{}=\Frac{(1|L_j{})}{L_j{}(\alpha{}_j{})}.$}
{\bf $3^\circ{}$) }\underbar{Validit{\'e}  de l'{\'e}galit{\'e} $(E)$.}

{\bf $3^\circ{}$)a. }
Si $P$ est constant {\'e}gal {\`a} $1$, alors $P^2{}=P$, donc

$\Int_{-1}^{1}P(t)\,dt=\Int_{-1}^{1}P^2{}(t)\,dt=
(P|P)=\Sum_{i=0}^{n}(P|e_i{})^2{}=\Sum_{i=0}^{n}(1|e_i{})^2{}=
\Sum_{i=0}^{n}a_i{}^2{}=\Sum_{i=0}^{n}a_i{}^2{}P(\alpha{}_i{})$.

Si $P$ est un mon\^o{}me $X^k{}$ avec $1\leq{}k\leq{}2n+1$, on peut mettre $P$ sous la forme
$X.X^p{}.X^q{}$ avec $p$ et $q$ entre $0$ et $n$. On a alors
$\Int_{-1}^{1}P(t)\,dt=\Int_{-1}^{1}t.t^p{}.t^q{}\,dt=\Phi{}(X^p{},X^q{})=
\Sum_{i=0}^{n}\alpha{}_i{}(e_i{}|X^p{})(e_i{}|X^q{})=
\Sum_{i=0}^{n}\alpha{}_i{}(\alpha{}_i{})^p{}a_i{}(\alpha{}_i{})^q{}a_i{}=\Sum_{i=0}^{n}\alpha{}_i{}^k{}a_i{}^2{}=\Sum_{i=0}^{n}a_i{}^2{}P(\alpha{}_i{})$.

Les deux formes lin{\'e}aires sur $E_{2n+1}$ qui, {\`a} un polyn\^o{}me $P$,
associent respectivement
$\Int_{-1}^{1}P(t)\,dt$ et $ \Sum_{i=0}^{n}a_i{}^2{}P(\alpha{}_i{})$
prennent donc la m{\^e}me valeur sur la base usuelle de $E_{2n+1}$.
Elles sont donc {\'e}gales partout.
\reponse{Pour tout polyn\^o{}me $P$ de degr{\'e} $\leq{}2n+1$ on a:
$\Int_{-1}^{1}P(t)\,dt$ = $ \Sum_{i=0}^{n}a_i{}^2{}P(\alpha{}_i{})$   \ \ (E).}
{\bf $3^\circ{}$)b. }
Supposons qu'il existe un polyn\^o{}me $P$ de degr{\'e} exactement {\'e}gal 
{\`a} $2n+2$ pour lequel la relation $(E)$ soit vraie.
 $\left(1,X,\ldots,X^{2n+1},P\right)$
est une base de $E_{2n+2}$. La relation $(E)$, v{\'e}rifi{\'e}e par tout vecteur de
cette base est donc v{\'e}rifi{\'e}e (raisonnement d{\'e}j{\`a} fait) par tout vecteur de
$E_{2n+2}$ et notamment par $(R_n{}(x))^2{}$: on a donc:

$\Int_{-1}^{1}(R_n{}(t))^2{}\,dt=\Sum_{i=0}^{n}(a_i{})^2{}(R_n{}(\alpha{}_i{}))^2{}=0,$ qui est absurde
puisque $R_n{}$ n'est pas le polyn\^o{}me nul.
\reponse{La relation $(E)$ est fausse pour tout polyn\^o{}me de degr{\'e} $2n+2$.}
{\bf $4^\circ{}$) }\underbar{D{\'e}termination du polyn\^o{}me $R_n{}$.}

{\bf $4^\circ{}$)a. }
Si $P\in E_n{}$, on peut appliquer $(E)$ au produit $P.R_n{}$, qui est de degr{\'e} inf{\'e}rieur
ou {\'e}gal {\`a} $2n+1$. On a donc:

$(P|R_n{})=\Int_{-1}^{1}P(t)R_n{}(t)\,dt=\Sum_{i=0}^{n}a_i{}^2{}P(\alpha{}_i{})R_n{}(\alpha{}_i{})=0$ donc
\reponse{$(P|R_n{})=0$.}
{\bf $4^\circ{}$)b. }
Dans $E_{n+1}$, l'orthogonal du sous-espace $E_n{}$ est une droite vectorielle.
On vient de voir que $R_n{}$ est dans cette droite. Comme il est non nul, tout
autre vecteur de cette droite est de la forme $kR_n{}$. En particulier:
\reponse{Si $U_n{}$ a $X^{n+1}$ comme terme de plus haut degr{\'e} et est
orthogonal {\`a} tout polyn\^o{}me de $E_n{}$, alors $U_n{}=R_n{}$.}
$R_n{}$ est donc le polyn\^o{}me unitaire $Q$ de degr{\'e} $n+1$ qui v{\'e}rifie:
$\forall{}k$ de $0$ {\`a} $n$, $\Int_{-1}^{1}t^k{}Q(t)\,dt=0$.

En {\'e}crivant $R_n{}(x)=x^{n+1}+\Sum_{p=0}^{n}c_p{}x^p{}$, cette caract{\'e}risation
va se traduire par un syst{\`e}me de $n+1$ {\'e}quations aux $n+1$ inconnues $c_p{}$.
Puisqu'il n'a qu'une solution, il est n{\'e}cessairement de Cramer.
En le r{\'e}solvant, on tombera directement sur l'expression d{\'e}velopp{\'e}e de $R_n{}$
(sans calcul des $\alpha{}_i{}$).

{\bf $4^\circ{}$)c. }
Si $P\in R_n{}$, on a, en appliquant {\bf a.} au polyn\^o{}me $P(-X)$ qui
appartient {\`a} $R_n{}$, $\Int_{-1}^{1}P(-t)R_n{}(t)\,dt=0$. Apr{\`e}s
changement de variable $u=-t$, cela donne
$\Int_{-1}^{1}P(u)R_n{}(-u)\,du=0$. Le polyn\^o{}me $R_n{}(-X)$ est donc
orthogonal {\`a} tout {\'e}l{\'e}ment de $R_n{}$, donc colin{\'e}aire
{\`a} $R_n{}(X)$. Comme son terme dominant est $(-1)^{n+1}X^{n+1}$, on a donc
\reponse{$R_n{}(-X)=(-1)^{n+1}R_n{}(X)$.}
{\bf $4^\circ{}$)d. }
Ce n'{\'e}tait pas explicitement demand{\'e}, mais on a prouv{\'e} que les $\alpha{}_i{}$ sont
les valeurs propres de $\varphi{}_n{}$. On a donc d{\'e}j{\`a} d{\'e}termin{\'e} $R_2{}$ dans la question
{\bf $1^\circ{}$)b. }Refaisons le calcul comme le veut l'{\'e}nonc{\'e}..
D'abord $R_2{}(-X)=-R_2{}(X):$ $R_2{}$ est impair. Posons
$R_2{}(X)=X^3{}+cX$. On a donc $\Int_{-1}^{1}(t^4{}+ct^2{})\,dt=0$ donc
$\frac15+\frac t3=0$ donc $c=-\frac35$. On retrouve
\reponse{$R_2{}(X)=X^3{}-\Frac{3X}5$ puis $\alpha{}_0=-\sqrt{\frac35}$, $\alpha{}_1{}=0$
et $\alpha{}_2{}=\sqrt{\frac35}$, puis $L_0(X)=X^2{}-X\sqrt{\frac35}$,
$L_1{}(X)=X^2{}-\frac35$ et $L_2{}(X)=X^2{}+X\sqrt{\frac35}$.}
 $(1|L_0)=(1|L_2{})=\Int_{-1}^{1}t^2{}\,dt=\frac23$.
$(1|L_1{})=\Int_{-1}^{1}(t^2{}-\frac35)\,dt=-\frac8{15}$.
$L_0(\alpha{}_0)=\frac65=L_2{}(\alpha{}_2{})$; $L_1{}(\alpha{}_1{})=-\frac35$ donc
\reponse{$a_0^2{}=a_2{}^2{}=\Frac59$; $a_1{}^2{}=\Frac89$.}
{\bf $5^\circ{}$) }\underbar{Application:}

{\bf $5^\circ{}$)a. }$I_2{}(f)=\frac59f(-\sqrt{\frac35})+\frac89f(0)+\frac59f(\sqrt{\frac35}).$
Avec $f(x)=\Frac1{1+x^2{}}$ cela donne $2.\frac59.\Frac1{1+\frac35}+\Frac89=
\frac{50}{72}+\frac89=\Frac{57}{36}=1,583\ldots$

Il faut comparer avec $\Int_{-1}^{1}\Frac{dt}{1+t^2{}}
=\left[\arctan t\right]_{-1}^1=\Frac{\pi{}}2=1,570\ldots$

Le carr{\'e} de la norme de $R_2{}$ est $\Int_{-1}^{1}R_n{}^2{}(t)\,dt=
\Int_{-1}^{1}\left(t^6-\Frac{6t^4{}}5+\Frac{9t^2{}}{25}\right)\,dt=
\Frac27-\Frac{12}{25}+\Frac6{25}=\Frac8{175}.$

En utilisant les r{\'e}sultats admis dans l'{\'e}nonc{\'e}, on trouve que
 l'erreur commise en rempla{\c c}ant l'int{\'e}grale par $I_2{}(f)$ est inf{\'e}rieure {\`a}
$0,53.\Frac8{175}=0,024\ldots$
\reponse{L'{\'e}cart entre $I_2{}(f)(=1,583\ldots)$ et l'int{\'e}grale $(=1,570\ldots)$
est effectivement inf{\'e}rieur {\`a} $0,024\ldots$}  
{\bf $5^\circ{}$)b. }De m{\^e}me
$I_2{}(g)=\Frac59\Frac1{2-\sqrt{\frac35}}+\Frac49+\Frac59\Frac1{2+\sqrt{\frac35}}=
\Frac59.\Frac4{4-\frac35}+\Frac49=\Frac{168}{153}=1,0980\ldots$
Il faut comparer avec $\Int_{-1}^{1}\Frac{dt}{2+t}=
\left[\ln(2+t)\right]_{-1}^1=\ln3=1,0986\ldots$

Calculons le majorant admis pour l'erreur.

$g'(x)=\Frac{-1}{(2+x)^2};$
$g''(x)=\Frac{2}{(2+x)^3};$
$g^{(3)}(x)=\Frac{-6}{(2+x)^4};$
$g^{(4)}(x)=\Frac{24}{(2+x)^5};$
$g^{(5)}(x)=\Frac{-120}{(2+x)^6};$
$g^{(6)}(x)=\Frac{720}{(2+x)^7},$
dont le sup sur $[-1;1]$ est $720$.

$\parallel{}R_2{}\parallel{}^2{}=\Frac8{175}$ (d{\'e}j{\`a} calcul{\'e}). L'erreur est donc major{\'e}e par
$\Frac{720.8}{6!.175}=\Frac{8}{175}=0,045\ldots$.
\reponse{L'{\'e}cart entre $I_2{}(g)(=1,0980\ldots)$ et
 l'int{\'e}grale $(=1,0986\ldots)$
est effectivement inf{\'e}rieur {\`a} $0,045\ldots$}  

\fin
 

\bye


 
