%*****Macros de pr\'esentation*******************

%*****Mise en page

\vsize   =   24 true cm
\hsize   =   17 true cm
\hoffset=-1.1 true cm
\voffset=-2.2 true cm % \`a adapter pour l'imprimante 
\overfullrule=0mm
\hfuzz=5mm
\leftskip = 1cm % dimension marge gauche
\parindent = 0mm % pas d'indentation en d\'ebut de paragraphe

%*****Fontes

\font\pc=cmcsc10
\font\Bf=cmbx10 scaled\magstep1
\font\BF=cmbx10 scaled\magstep2
\font\bsl=cmbxsl10
\font\gros=cmsl10 scaled\magstep2
\font\tresgros=cmsl10 scaled\magstep3
\font\enorme=cmsl10 scaled\magstep4
\font\tenmib=cmmib10 % bold math italic
\newfam\grasfam \textfont\grasfam=\tenmib
\def\bfm{\fam\grasfam}

%*****Haut et bas de page

\def\makeheadline{
\ifnum\pageno=1
\null\vskip 2mm\null
\else
\line{\rm \titre\hfil\folio/\nbretotal}
\vskip 2mm\hrule\vskip5mm\fi}
\def\makefootline{}

%*****Num\'erotation

%\dimendef\grandrecul=100\grandrecul=30pt
%\dimendef\petitrecul=101\petitrecul=14pt
%\def\num#1{\sv\sv\setbox1\hbox to \grandrecul{\bf#1\delimI\hfil}
%\leavevmode\llap{\box1}}%-----num\'ero de question 
%\def\numa#1{\setbox2\hbox to \petitrecul{\bf a\delimII\hfil}
%\setbox1\hbox to \grandrecul{\bf#1\delimI\hfill\box2}
%\sv\sv\leavevmode\llap{\box1$\!$}}%-----num\'ero de question et sous-question
%\def\numm#1{\setbox2\hbox to \petitrecul{\bf #1\delimII\hfil}
%\setbox1\hbox to \grandrecul{\hfill\box2}
%\s\sv\leavevmode\llap{\box1$\!$}}%-----num\'ero de sous-question
%%
\def\numo#1{\leavevmode\llap{\bf #1) }}%-----num\'ero de question sans saut 
%
%Numeros type 1.2.3
%
\dimendef\Tresgrandrecul=103\Tresgrandrecul=40pt
\dimendef\Grandrecul=104\Grandrecul=30pt
\dimendef\Petitrecul=105\Petitrecul=20pt
\def\Num#1#2{\setbox2\hbox to \Grandrecul{\bf#2\DelimII\hfil}
\sv\setbox1\hbox to \Tresgrandrecul{\Bf#1\DelimI\hfill\box2}
\sv\leavevmode\llap{\box1}}%-----num\'ero de question 
\def\Numm#1#2#3{\setbox3\hbox to \Petitrecul{\bf#3\DelimIII\hfil}
\setbox2\hbox to \Grandrecul{\bf#2\DelimII\hfill\box3}
\setbox1\hbox to \Tresgrandrecul{\Bf#1\DelimI\hfill\box2}
\sv\leavevmode\llap{\box1}}%-----num\'ero de question et sous-question
\def\Numa#1#2{\setbox3\hbox to \Petitrecul{\bf a\DelimIII\hfil}
\setbox2\hbox to \Grandrecul{\bf#2\DelimII\hfill\box3}
\setbox1\hbox to \Tresgrandrecul{\Bf#1\DelimI\hfill\box2}
\sv\sv\leavevmode\llap{\box1}}%-----num\'ero de question et sous-question a)
%*****Fin

\def\finetoiles{\centerline{*\hphantom{*}*\hphantom{*}*}\centerline{*\hphantom{*}*}\centerline{*}}


%*****Cadres

%-----cadre simple
\def\encadre#1{
\leavevmode             % mode horizontal
\hbox{\vrule            % trait vertical gauche
\vtop{\vbox{\hrule      % trait horizontal haut
\kern 5pt               % cale verticale
\hbox{\kern 5pt         % cale horizontale
#1\kern 5pt             % texte + cale horizontale
}}\kern 5pt             % cale verticale
\hrule                  % trait horizontal bas
}\vrule}}               % trait vertical droit

%----- cadre pour le titre 
\def\cadrelong#1{%
{\SV                    % va a la ligne
\leftskip=3mm           % pas de marge gauche
\hrule                  % trait horizontal sup\'erieur
\dimen0=\hsize\advance\dimen0 by 7mm %
\hbox to \dimen0{\vrule  % trait vertical gauche
\hfil                   % centrage horizontal
\vrule height 16pt depth 8pt width 0pt     % cale de hauteur
\BF #1%                  % texte en gras
\hfil                   % centrage horizontal
\vrule                  % trait vertical droit
}\hrule                 % trait horizontal inf\'erieur
\sv}}                   % petit espace

%----- cadre pour le titre sur plus d'une ligne
\long\def\cadregros#1{
\SV                                  % va a la ligne
\leftskip=3mm                        % pas de marge gauche
\dimen0=\hsize\advance\dimen0 by 7mm %
\hbox to \dimen0{\vrule              % trait gauche
\vbox{\hrule                         % trait haut
\vskip3mm                            % cale haut
\vtop{\hbox{\hskip1mm                % cale gauche
\vtop{\baselineskip=20pt#1}          % texte
\hskip1mm}%                          % cale droite
\vskip1mm                            % cale bas
\hrule}}%                            % trait bas
\vrule}                              % trait droit
\SV}                                 % va a la ligne          
%-----cadre centr\'e
\def\cadcent#1{\sv\centerline{\encadre{#1}}}

%-----boxit de Seroul
\newbox\cadre
\def\boxit#1#2{\setbox\cadre=\hbox{\kern#1{#2}\kern#1}%
\dimen5=\ht\cadre \advance\dimen5 by #1
\dimen6=\dp\cadre \advance\dimen6 by #1
\setbox\cadre=\hbox{\vrule height\dimen5 depth\dimen6\box\cadre\vrule}%
\setbox\cadre=\vbox{\hrule\box\cadre\hrule}%
\advance\dimen5 by .4pt \ht\cadre=\dimen5
\advance\dimen6 by .4pt \dp\cadre=\dimen6 \box\cadre\relax}


%-----souslignage pointille

\def\ung#1{\setbox1=\hbox{#1\kern 2mm }
\leavevmode\vtop{\hsize=\wd1
\copy1
\vskip -10pt
\hbox to\wd1{\xleaders\hbox to 2mm{\hss\vrule height 0.4pt depth 0pt width 1mm\hss}
\hfill}}}
 
%*****Op\'erateurs math\'ematiques*********************

%*****Nouvelles definitions

\let\oldsum=\sum                         % modifie la d\'efinition de \sum
\def\sum{\oldsum\limits}                 % pour placer correctement les bornes
\let\oldprod=\prod                       % idem pour \prod
\def\prod{\oldprod\limits}
\let\oldlim=\lim                         % idem pour \lim
\def\lim{\oldlim\limits}
\let\oldsup=\sup                         % idem pour \sup
\def\sup{\mathop{\rm Sup}\limits}
\let\oldinf=\inf                         % idem pour \inf
\def\inf{\mathop{\rm Inf}\limits}
\def\max{\mathop{\rm Max}\limits}
\def\min{\mathop{\rm Min}\limits}
\def\frac#1#2{{\textstyle#1\over\textstyle#2}} % fraction
\def\fracs#1#2{{\scriptstyle#1\over\scriptstyle#2}} %  petite fraction
\def\rac#1#2{\root\raise 2pt\hbox{$\scriptstyle #1$} \of{\,#2}} % racine ni\`eme

%*****Fl\'eches
%-----op\'erateur avec dessous: build {op\'erateur} {dessous}
\def\build#1#2{\mathrel{\mathop{\kern 0pt#1}\limits_{#2}}}
%-----fl\`eche double: fl\`eche {variable} {valeur}
\def\fleche#1#2{\build{\hbox to
9mm{\rightarrowfill}}{{#1}\rightarrow{#2}}}

%-----op\'erateur avec deux dessous: Build {op\'erateur} {dessous1} {dessous2}
\def\Build#1#2#3{\build{{#1}}{\scriptstyle{#2}\atop\scriptstyle{#3}}}
%-----fl\`eche triple: Fleche {variable} {valeur} {3i\`eme ligne}
\def\Fleche#1#2#3{\build{\hbox to
9mm{\rightarrowfill}}{\scriptstyle{#1}\rightarrow{#2}\atop\scriptstyle{#3}}}

%-----cv simple et uniforme
\def\cvu{\setbox1=\hbox{$\longrightarrow$\llap{\raise-0.5pt\hbox{\rm U}\kern 4pt}}\mathrel{\box1}} 
\def\cvs{\setbox1=\hbox{$\longrightarrow$\llap{\raise-0.5pt\hbox{\rm S}\kern 5pt}}\mathrel{\box1}} 

%-----codage d'une application
\def\app#1#2#3#4{\leavevmode
\setbox11=\hbox{$#1$}\setbox13=\hbox{$#3$}
\ifdim\wd11<\wd13\setbox12=\hbox to\wd13{\hfill\box11\hfill}\setbox14=\box13%
\else\setbox12=\box11\setbox14=\hbox to\wd12{\hfill\box13\hfill}\fi
\hbox{                               %1:ens de depart
\vtop{\box12\box14}                  %2:ens d'arrivee
\vtop{\hbox{$\rightarrow$}           %3:x 
\hbox{$\mapsto$}}                    %4:f(x)
\vtop{\hbox{$#2$}
\hbox{$#4$}}
}\enskip}

\def\apph#1#2#3#4{\leavevmode\ #1\rightarrow#2\quad #3\mapsto#4\ }

%-----Restriction
\def\restreint#1{\,\vrule height 8pt depth 6pt\raise-4pt\hbox{$\,\scriptstyle #1$}}

%*****Ensembles de nombres

\def\Z{{\bf Z}}
\def\C{{\bf C}}
\def\R{{\bf R}}
\def\N{{\bf N}}
\def\Q{{\bf Q}}
\def\K{{\bf K}}	
%\def\R{{\bf I\hskip -0.15em R}}  
%\def\Z{{\bf Z\hskip -0.3em Z}}  
%\def\N{{\bf I\hskip -0.15em N}}  
%\def\C{{\bf \ 1\hskip -0.60em C}}
%\def\Q{{\bf \ 1\hskip -0.60em Q}}
%\def\K{{\bf I\hskip -0.15em K}}

%*****Calculs en cascade

\def\cascade#1{                            
\leavevmode\vtop{\halign{$##$\hfil&${}##{}$\hfil&$##$\hfil\cr #1}}\par}
\def\montre#1{\leavevmode
\abovedisplayskip=2pt plus 1pt minus 1pt
\belowdisplayskip=3pt plus 1pt minus 1pt
$$\textstyle #1$$
\abovedisplayskip=12pt plus 3pt minus 9pt
\belowdisplayskip=12pt plus 3pt minus 9pt}
\def\montred#1{\leavevmode
\abovedisplayskip=2pt plus 1pt minus 1pt
\belowdisplayskip=3pt plus 1pt minus 1pt
$$#1$$
\abovedisplayskip=12pt plus 3pt minus 9pt
\belowdisplayskip=12pt plus 3pt minus 9pt}

%*****D\'eriv\'ees partielles :
%
%           df                     dÀf                     dÀf
% \d fx ->  --         \dd fxy ->  ----        \dd fxx ->  ---
%           dx                     dxdy                    dxÀ
%
%
\def\d#1#2{\frac{\partial#1}{\partial#2}}

\def\dd#1#2#3{{
\def\deux{#2}\def\trois{#3}\ifx\deux\trois          % compare les variables
\frac{\partial^2#1}{\partial#2^2}                  % \'egales -> forme dÀf/dxÀ
\else
\frac{\partial^2#1}{\partial#2\partial#3}          % sinon forme dÀf/dxdy
\fi}}

%*****Limites d'intervalles d'entiers:
\def\[{[\![}
\def\]{]\!]}

%*****Operateurs algebriques

\def\rg{\mathop{\rm rg}\nolimits}
\def\im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\let\oldker=\ker
\def\ker{\mathop{\rm Ker}\nolimits}
\def\vect{\mathop{\rm Vect}\nolimits}
\def\sp{\mathop{\rm Sp}\nolimits}
\def\tr{\mathop{\rm Tr}\nolimits}

%*****Matrices
%systemes
\catcode`\@=11
\def\system#1{\left\{\null\,\vcenter{\openup1\jot\m@th
\ialign{\strut\hfil$##$&$##$\hfil&&\enspace$##$\enspace&
\hfil$##$&$##$\hfil\crcr#1\crcr}}
\right.}
\catcode`\@=12
%matrice avec []
\def\cmatrix#1{\left[\matrix{#1}\right]}
%petites matrices
\def\petitematrix#1{\vcenter{\normalbaselineskip=8pt
\ialign{\hfil$\scriptstyle{##}$\hfil&&\hfil$\;\;\scriptstyle{##}$\hfil\crcr #1\crcr}}}
\def\petitepmatrix#1{\left(                            
\vcenter{\normalbaselineskip=8pt
\ialign{\hfil$\scriptstyle{##}\mathstrut$\hfil&&\hfil$\;\;\scriptstyle{##}$\hfil\crcr #1\crcr}}\right)}
\def\petitecmatrix#1{\left[                            
\vcenter{\normalbaselineskip=8pt
\ialign{\hfil$\scriptstyle{##}$\hfil&&\hfil$\;\;\scriptstyle{##}$\hfil\crcr #1\crcr}}\right]}
\def\petitematrixbis#1{                            
\vcenter{\normalbaselineskip=0pt
\ialign{\hfil$\scriptstyle{##}$\hfil&&\hfil$\;\;\scriptstyle{##}$\hfil\crcr #1\crcr}}
}
%matrice par blocs
\def\tvhi{\vrule height 9 pt depth 5pt width 0pt}%
\def\tvh{\tvhi\vrule}%
\def\tvbi{\vrule height 12 pt depth 3pt width 0pt}%
\def\tvb{\tvbi\vrule}%
\def\bloc#1#2#3#4{%
\pmatrix{%
\offinterlineskip \  #1&\tvh& #2\ \cr% 
\noalign{\hrule} \  #3&\tvb&#4\ \cr}}

\def\adots{\mathinner{\mkern2mu\raise1pt\h{.}\mkern3mu\raise4pt\h{.}\mkern1mu\raise7pt\h{.}}}


%*****Tableau de variation
%
% \tabvar{...} -> tableau de variation encadr\'e avec un trait de s\'eparation
%                 entre les colonnes 1 et 2. Les cellules du tableau sont
%                 compos\'ees en mode math\'ematique. La ligne de base du tableau
%                 est celle de la ligne 1. La derni\`ere ligne du tableau doit
%                 obligatoirement se terminer par \cr
%     Dans l'environnement \tabvar, on dispose des macros suivantes :
%     \cr : interligne normale
%     \l  : espace + demi-interligne
%     \L  : espace + interligne normale avec trait horizontal
%     \d  : fl\`eche descendante
%     \u  : fl\`eche montante
%     \v  : trait vertical centr\'e
%     \V  : double trait vertical centr\'e
%     \Vd : double trait vertical cadr\'e \`a droite
%     \Vg : double trait vertical cadr\'e \`a gauche
%     \q  : cale de largeur (\qquad)

\def\tabvar#1{{%
%                                                     macros locales
\def\L{\ \cr\noalign{\hrule}}%                        % trait horizontal
\def\l{\ \cr\noalign{\vskip -6pt}}%                   % passage \`a la ligne
\def\d{\searrow}%                                     % fl\`eche descendante
\def\u{\nearrow}%                                     % fl\`eche montante
\def\v{\vrule}%                                       % trait vertical
\def\V{\vrule\hskip2pt\vrule}%                        % double trait vertical
\def\Vg{\V\hfill}%                                    % double trait \`a gauche
\def\Vd{\hfill\V}%                                    % double trait \`a droite
\def\q{\qquad}%                                       % cale de largeur
%
\leavevmode                                           % mode horizontal
\hbox{\vrule                                          % cadre (trait gauche)
\vbox{\hrule                                          % cadre (trait haut)
\vtop{\offinterlineskip                               % lignes jointives
\halign{\strut                                        % cale de hauteur
\ \hfil$##$\hfil\                                     % colonne 1
\vrule\                                               % s\'eparation 1-2
&&\hfil$##$\hfil\cr                                   % colonnes 2,3,..
#1%                                                   % contenu du tableau
\noalign{\hrule}%                                     % cadre (trait bas)
}}}\vrule}}}                                          % cadre (trait droit)

%*****Raccourcis

\let\un=\underline
\let\h=\hbox
\let\s=\smallskip
\def\sv{\vskip 4mm plus 2mm minus 2mm}   
\def\SV{\vskip 12mm plus 6mm minus 6mm} 
\def\ex{\exists\,}

%pour les tableaux 
%
\def\tvi{\vrule height 12 pt depth 5pt width 0pt}
\def\tv{\tvi\vrule}
\def\hfq{\hfill\quad}
\def\cc#1{\hfq#1\hfq}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\num#1{\sv\sv\leavevmode\llap{\bf #1$^\circ$)  }}
\def\numm#1{\sv\leavevmode\llap{\bf #1. }}
\def\numa{\s\leavevmode\llap{\bf a. }}

\def\titre{Mines-Ponts 1996, Deuxi\`eme \'epreuve, option M}
\def\nbretotal{8}
\SV 
\cadrelong{\BF \titre }
\centerline{\sl ( 8 pages )}
\SV
\cadcent{\bf Premi\`ere partie}

\num{I-1}
\numa$\diamond$ Soit $\varphi\ :\ P\longmapsto P(\alpha )$,
$\varphi$ est \'evidemment un morphisme d'anneau de $\K[X]$ dans $\K$ et
${\cal I}(\alpha )=\ker\varphi$ donc $\un{{\cal I}(\alpha )\h{ est un
id\'eal de }\K[X]}$~.\s  
$\diamond$ Tout id\'eal de $\K[X]$ est de la forme $P_0.\K[X]$ avec $P_0$
unitaire ou nul unique. Or ${\cal I}(\alpha )\ne\{0\}$ car, $\alpha $ \'etant
alg\'ebrique sur $\K$, il existe $P\ne 0$ tel que $P(\alpha )=0$ donc
$\un{\h{il existe }M_\alpha \h{ unitaire tel que }{\cal I}(\alpha )=M_\alpha.\K[X]}$~. 

\numm bMontrons plut\^ot:\quad$\un{\left(P=M_\alpha\right)\Longleftrightarrow  \left(P\h{ est 
unitaire et irr\'eductible dans }\K[X]\h{ et }
P(\alpha )=0\right)}$ ce qui donne le r\'esultat demand\'e.\s 
$(\Rightarrow)$ Si $P=M_\alpha$ alors $P$ est unitaire et $P\in{\cal I}(\alpha )$
donc $P(\alpha )=0$. De plus $P$ est irr\'eductible car, si
$M_\alpha=QR$ ($Q$ et $R$ dans $\K[X]$), $QR(\alpha )=0$ donc, par exemple,
$Q(\alpha )=0$ et $Q\in{\cal I}(\alpha )$ ce qui donne $M_\alpha\mid Q$
et, puisqu'on a aussi $Q\mid M_\alpha$, $M_\alpha=\lambda Q$  avec $\lambda
\in\K$ donc $R\in\K$.\s
$(\Leftarrow)$ Si $P(\alpha )=0$ alors $P\in{\cal I}(\alpha )$ donc
$P=QM_\alpha$. Or $P$ est irr\'eductible dans $\K[X]$ donc $Q\in\K$ ou
$M_\alpha\in\K$. Mais $M_\alpha\notin\K$ car $M_\alpha(\alpha )=0$ et
que $M_\alpha$ n'est pas la consante nulle. Donc $Q=\lambda \in\K$ et,
comme $P$ et $M_\alpha$ sont unitaires, $\lambda =1$.\s
\leavevmode\llap{\bf Rem: }$\K[\alpha ]=\im \varphi$ (cf {\bf I-1$^\circ$)}) donc $\K[\alpha
]$ est bien un sous-anneau de $\K$.
      
\num{I-2}$\un{(i)\Rightarrow(iii)}$ $\alpha \in\K$ implique que pour tout $p\in\N$ $\alpha
^p\in\K$ donc $\K[\alpha ]\subset\K$ et donc $\K[\alpha ]=\K$ car $\K[\alpha
]\supset \K.1$.\par
$\un{(iii)\Rightarrow(ii)}$ $\alpha \in\K[\alpha ]=\K$ donc $\alpha$ est
racine de $P=X-\alpha\in\K[X]$ unitaire et irr\'eductible et donc
$M_\alpha=X-\alpha$ qui est de degr\'e 1.\par
$\un{(ii)\Rightarrow(i)}$ $M_\alpha=X+c$ avec $c\in\K$ et donc $M_\alpha(\alpha )=0$
donne $\alpha =-c\in\K$.\s
$\un{\h{Les trois propositions sont bien \'equivalentes}}$~.   

\num{I-3}
\numa$\diamond$ Montrons, par r\'ecurrence, que $\forall p\ge 2,\ \alpha
^p\in\vect(1,\alpha)$.On a $M_\alpha=X^2+cX+d$ et $M_\alpha(\alpha )=0$ donc
$\alpha^2=-c\alpha -d\in\vect(1,\alpha)$ et, si $\alpha^p
=a_p\alpha+b_p$, $\alpha^{p+1}=a_p\alpha^2+b_p\alpha\in\vect(1,\alpha)$
d'apr\`es ci-dessus.\par
On a donc $\K[\alpha ]\subset\vect(1,\alpha)$ donc la dimension de $\K[\alpha
]$ est finie et inf\'erieure \`a 2. Comme $\K\subset\K[\alpha ]$, elle est sup\'erieure \`a
1 et, si c'\'etait 1, on aurait $\K[\alpha ]=\K$ et le degr\'e de $\alpha $
serait 1 ce qui n'est pas.\par Donc $\un{\dim\left(\K[\alpha
]\right)=2}$~.

\s$\diamond$ La famille $(1,\alpha)$ est g\'en\'eratrice de $\K[\alpha ]$ et a
2 \'el\'ements donc c'est une base de $\K[\alpha ]$. Soit $x_0=a_0+b_0\alpha \in\K[\alpha
]$, $x_0\ne 0$. Posons $\beta $ l'autre racine de $M_\alpha$, on a $\alpha +\beta
=-c$ et $\alpha.\beta=d$ donc
$\bigl(a_0+b_0\alpha\bigr)\bigl(a_0+b_0\beta\bigr)=a_0^2-ca_0b_0+b_0^2d=m\in\K$.   
De plus, si on avait $m=0$, on aurait, puisque $x_0\ne 0$,
$0=a_0+b_0\beta=a_0-b_0(c+\alpha)$ ce qui impliquerait $b_0=a_0-b_0c=0$ donc
$b_0=a_0=0$. Donc $m\ne 0$ et
$\frac{1}{x_0}=\frac{a_0}{m}+\frac{b_0}{m}\beta=\frac{a_0}{m}-\frac
{b_0}{m}(c+\alpha)\in\K[\alpha ]$.\par
Donc $\un{\K[\alpha ]\h{ est un corps}}$~.

\numm bSoit $k=c^2-4d\in\K$ le discriminant de l'\'equation
$M_\alpha(X)=0$. On a $k\ge 0$ car cette \'equation a des solutions r\'eelles et, si on avait $k=0$, alors $\alpha
=-\frac{c}{2}\in\K$ ($2=1+1\in\K$) donc $k>0$. On a $\alpha
=-\frac{c}{2}\pm\frac{1}{2}\sqrt{k}\in\K[\sqrt{k}]$ donc $\K[\alpha
]=\vect(1,\alpha)\subset\K[\sqrt{k}]$. Or $\sqrt{k}$ est racine de
$X^2-k$ donc alg\'ebrique de degr\'e inf\'erieur ou \'egal \`a 2, mais, si
$d(\sqrt{k},\K)=1$, on a $\K[\sqrt{k}]=\K$ ce qui n'est pas possible au
vu de l'inclusion pr\'ec\'edente. Donc $d(\sqrt{k},\K)=2$ et l'\'egalit\'e des
dimensions donne $\K[\alpha]=\K[\sqrt{k}]$.\par
Donc $\un{\ex k \in\K,\ k>0,\quad \K[\alpha]=\K[\sqrt{k}]}$~.

\num{I-4}
\numa$\diamond$ Tout $x\in \K[\alpha]$ s'\'ecrit $x=P(\alpha )$ avec $P\in
\K[X]$ et, par division euclidienne, $P=QM_\alpha +R$ avec $\deg(R)\le
n-1$ donc $x=Q(\alpha )M_\alpha(\alpha ) +R(\alpha )=R(\alpha )$. Voil\`a
pour l'existence de $R$.\par
Pour l'unicit\'e: si $x=R_1(\alpha )=R_2(\alpha )$ avec $\deg(R_i)\le
n-1$ alors $R_1-R_2\in{\cal I}(\alpha )$ donc $M_\alpha\mid R_1-R_2$ et 
$\deg(R_1-R_2)\le n-1$ ce qui donne $R_1-R_2=0$.\par
Donc $\un{\forall x\in \K[\alpha],\ \ex ! R\in
\K_{n-1}[X],\quad x=R(\alpha )}$~.

\s$\diamond$ Soit $\psi\ :\app{\K_{n-1}[X]}{\K[\alpha]}{R}{R(\alpha
)}$. $\psi$ est lin\'eaire et ce qui pr\'ec\'ede montre que $\psi$ est
bijective. $\psi$ est donc un isomorphisme qui transforme une base de
$\K_{n-1}[X]$ en une base de $\K[\alpha]$.\par
Donc $\un{\dim\left(\K[\alpha]\right)=n-1\h{ et  une base de }\K[\alpha]\h{
est }\left(1,\alpha,\ldots, \alpha^{n-1}\right)}$~.

\numm b$\diamond$ Soit $D=R\land M_\alpha$, on a $D\mid M_\alpha$ et $D$
unitaire, or $M_\alpha$ est irr\'eductible donc $D=1$ ou $D=M_\alpha$.
Mais $D\mid R$ et $R\ne 0$ (car $x\ne 0$) donc $\deg D\le \deg R\le n-1$
et donc $D=1$. En conclusion, $\un{M_\alpha\h{ et }R\h{ sont premiers
entre eux}}$~.

\s$\diamond$ Alors le th\'eor\'eme de Bezout donne l'existence de 2 polyn\^omes
$U$, $V$, tels que $UR+VM_\alpha=1$. On a donc, en particulier, $\un{\ex
U\in\K[X],\quad  U(\alpha )R(\alpha )=1}$~. 

\numm cTout $x\in\K[\alpha]$ non nul a pour inverse
$\frac{1}{x}=\frac{1}{R(\alpha )}=U(\alpha )\in\K[\alpha]$, donc
$\un{\K[\alpha]\h{ est un corps}}$~.

\numm dOn a d\'ej\`a que $\K[\alpha]$ est un corps contenant $\alpha $ et
$\K$ et inclus dans $\R$. Si {\bf L} est un corps (ou m\^eme un anneau)
contenant $\alpha $ et $\K$ alors, par stabilit\'e par $+$ et $\times$, il contient tous les
$x=\sum_{p=0}^{q} x_p\alpha ^p$ avec $q\in\N$ et $x_p\in\K$ et donc
$\K[\alpha]\subset\L$.\par
Donc $\un{\K[\alpha]\h{ est le plus petit corps contenant }\alpha\h{ et
{\K} et inclus dans \R}}$~.

\num{I-5}
\numa$\diamond$ Montrons par r\'ecurrence sur $n$ que $\un{Q_n\in\Z[X]}$ (ensemble
des polyn\^omes \`a coefficients dans $\Z$), est unitaire et de degr\'e
$n$.\par
$\rightarrow$ $Q_0(x)=1$, $Q_1(x)=x+1$ donc le r\'esultat est vrai pour
$n=0,1$;\par
$\rightarrow$ si c'est vrai jusqu'\`a $n+1$ ($n\ge 0$), en particulier
$Q_n(x)=x^n+\sum_{i=0}^{n-1}a_i x^i$ et $Q_{n+1}(x)=x^{n+1}+\sum_{i=0}^{n}b_i
x^i$ avec $a_i$ et $b_i$ des entiers relatifs. Or
$Q_{n+2}(x)=P_{n+2}(\fracs x2)=xQ_{n+1}(x)-Q_n(x)=x^{n+2}+b_nx^{n+1}
+(b_{n-1}-1)x^n+\sum_{i=1}^{n-1}(b_{i-1}-a_i)x^i-a_0$ ce qui montre le
r\'esultat voulu.\par
On en d\'eduit imm\'ediatement que, pour tout $n$, $\un{
\deg(P_n)=n}$ et $\un{\h{le coefficient dominant de }P_n\h{ est }2^n}$~.

\s$\diamond$ $P_{n+2}(0)=-P_{n}(0)$ et $P_0(0)=P_1(0)=1$ donc
$\un{P_{2k}(0)=P_{2k+1}(0)=(-1)^{k}}$~.

\s$\diamond$ $\un{P_2(x)=4x^2+2x-1}$, $\un{P_3(x)=8x^3+4x^2-4x-1}$,
$\un{P_4(x)=16x^4+8x^3-12x^2-4x+1}$~.

\numm b$\diamond$ Si $\frac{p}{q}$ avec $p\land q=1$ et $q>0$ est une racine
rationnelle de $Q_n(x)=x^n+\sum_{i=0}^{n-1}a_i x^i$ ($n\ge 1$) on a, en multipliant
par $q^n$, $p^n+\sum_{i=0}^{n-1}a_i p^iq^{n-i}=0$ d'o\`u $p\left(p^{n-1}+\sum_{i=1}^{n-1}a_i
p^{i-1}q^{n-i}\right)=-a_0q^n$ et $p^n=q\left(-\sum_{i=0}^{n-1}a_i
p^{i}q^{n-i-1}\right)$. Or $p\land q^n=p^n\land q=1$, $p\mid-a_0q^n$ et
$q\mid p^n$ donc le th\'eor\'eme de Gauss implique  $p\mid
a_0=Q_n(0)=P_n(0)=\pm 1$ et $q\mid 1$ ce qui conduit \`a $q=1$ et $p=\pm
1$.\par
On a donc montr\'e que $\un{\h{les seules racines rationnelles possibles de }Q_n\h{
sont -1 et 1}}$~.

\s$\diamond$ $Q_{n+3}(x)+xQ_n(x)=xQ_{n+2}(x)-Q_{n+1}(x)+xQ_n(x)=x^2Q_{n+1}(x)-xQ_n(x)-Q_{n+1}(x)+xQ_n(x)=(x^2-1)Q_{n+1}(x)$
soit $\un{Q_{n+3}(x)+xQ_n(x)=(x^2-1)Q_{n+1}(x)}$~.\par
Donc, pour $\varepsilon\in\{-1,1\}$,
$Q_{n+3}(\varepsilon)=\varepsilon Q_{n}(\varepsilon)$ et donc
$Q_{n+3}(\varepsilon)=0\Leftrightarrow Q_{n}(\varepsilon)=0$. Comme les seules racines possibles de
$Q_n$ sont -1 et 1, on a~:\par
$\un{\h{les racines rationnelles \'eventuelles de }Q_{n+3}\h{ et }Q_n\h{ sont les
m\^emes}}$~.

\s$\diamond$ $Q_0$ n'a pas de racine rationnelle, $Q_1$ a pour seule racine
rationnelle 1 et
$Q_2=X^2+X-1$ n'a pas de racine rationnelle. Donc $Q_{3k}$ et $Q_{3k+2}$ n'ont pas
de racine rationnelle, $Q_{3k+1}$ a pour seule racine
rationnelle 1 et
$Q_{3k+2}$ a pour racines rationnelles 1 et -1. \par
$\un{P_{3k}\h{ et
}P_{3k+2}\h{ n'ont pas
de racine rationnelle et }P_{3k+1}\h{ a pour seule racine
rationnelle }\frac{1}{2}}$~.

\num{I-6}
\numa L'\'equation caract\'eristique de la r\'ecurrence est $X^2-2\cos\theta
X+1=0$ qui a pour discriminant r\'eduit $-\sin^2\theta \ne 0$ et pour
solutions (dans $\C$) ${\rm e}^{i\theta }$ et ${\rm e}^{-i\theta }$. Il
existe donc $(\lambda ,\mu )\in\R^2$ tels que $\forall n,\ u_n=\lambda
\cos(n\theta)+\mu\sin(n\theta)$. En particulier $u_0=\lambda$ et $u_1=\lambda
\cos\theta+\mu\sin\theta$ d'o\`u $\un{\forall n,\
u_n=u_0\cos(n\theta)+\frac{u_1-u_0\cos\theta}{\sin\theta}\sin(n\theta)}$~. 

\numm b$\diamond$ $v_n=P_n(\cos\theta)$ v\'erifie $v_{n+2}=2\cos\theta v_{n+1}-v_{n}$,
$v_0=1$,$v_1=2\cos\theta+1$ donc
$$\eqalign{\textstyle v_n&\textstyle= \cos(n\theta)+\frac{2\cos\theta+1-\cos\theta}
{\sin\theta}\sin(n\theta)=\cos(n\theta)+\frac{\cos\theta+1}
{\sin\theta}\sin(n\theta)\cr
&\textstyle=\cos(n\theta)+\frac{2\cos^2\bigl(\fracs{\theta}{2}\bigr)}
{2\cos\bigl(\fracs{\theta}{2}\bigr)\sin\bigl(\fracs{\theta}{2}\bigr)}\sin(n\theta)
=\frac{\cos(n\theta)\sin\bigl(\fracs{\theta}{2}\bigr)+\sin(n\theta)\cos\bigl(\fracs{\theta}{2}\bigr)}{\sin\bigl(\fracs{\theta}{2}\bigr)}\cr}$$ 
Donc $\un{\forall n,\
v_n=\frac{\sin\bigl((n+\fracs{1}{2})\theta\bigr)}{\sin\bigl(\fracs{\theta}{2}\bigr)}}$~.

\s$\diamond$ On a $\forall k\in\[1,n\],\ \frac{2k\pi}{2n+1}\in ]0,\pi[$ donc,
d'une part, d'apr\'es ce qui
pr\'ec\`ede, $\forall k\in\[1,n\],\
P_n\bigl(\cos(\fracs{2k\pi}{2n+1})\bigr)=\frac{\sin(k\pi)}
{\sin\bigl(\fracs{2k\pi}{2n+1})\bigr)}=0$ et, d'autre part, les
$\cos(\fracs{2k\pi}{2n+1})$ sont deux \`a deux distincts. Comme $P_n$ est
de degr\'e $n$, il ne peut avoir plus de $n$ racines distinctes et donc on
a exactement les racines de $P_n$.\par
$\un{\h{Les racines de }P_n\h{ sont les
}x_{k,n}=\cos(\fracs{2k\pi}{2n+1})\h{ pour }k\in\[1,n\]}$~.

\numm c$\diamond$ $\cos(\fracs{2\pi}{5})$ ,$\cos(\fracs{2\pi}{7})$ et
$\cos(\fracs{2\pi}{9})$ sont respectivement racines de $P_2$, $P_3$ et
$P_4$ qui ont des coefficients entiers car $P_n(x)=Q_n(2x)$ et
$Q_n\in\Z[X]$ donc $\un{\cos(\fracs{2\pi}{5})\ ,\cos(\fracs{2\pi}{7})\h{ et
}\cos(\fracs{2\pi}{9})\h{ sont alg\'ebriques sur \Q}}$~.\s     
$\diamond$ $\cos(\fracs{2\pi}{5})$ est racine de $\frac{1}{4}P_2$ qui
appartient \`a $\Q[X]$,
est unitaire et irr\'eductible dans $\Q[X]$ car sinon il aurait deux
racines rationnelles ($\deg P_2=2$) or $P_2$ n'a pas de racine rationnelle.\par Donc 
$\un{M_{\cos(\fracs{2\pi}{5})}=\frac{1}{4}P_2=X^2+\frac{1}{2}X-\frac{1}{4}}$~.

\s$\diamond$ $\cos(\fracs{2\pi}{7})$ est racine de $\frac{1}{8}P_3$ qui
appartient \`a $\Q[X]$ et est unitaire. Si il n'\'etait pas irr\'eductible dans $\Q[X]$,
comme son degr\'e est 3, il aurait au moins un facteur de degr\'e 1 
donc une racine rationnelle or $P_3$ n'a pas de racine rationnelle. Donc 
$\un{M_{\cos(\fracs{2\pi}{7})}=\frac{1}{8}P_3=X^3+\frac{1}{2}X^2-\frac{1}
{2}X-\frac{1}{8}}$~.

\s$\diamond$ $\cos(\fracs{2\pi}{9})\ne -\frac{1}{2}$ et $-\frac{1}{2}$ est
racine (simple) de $P_4$ donc
$\cos(\fracs{2\pi}{9})$ est racine de
$\frac{P_4}{16(X+\fracs{1}{2})}=X^3-\frac 34X+\frac{1}{8}$. Ce polyn\^ome
n'a pas de racine rationnelle donc est irr\'eductible dans $\Q[X]$
comme pour $P_3$
ci-dessus, il est unitaire donc $\un{M_{\cos(\fracs{2\pi}{9})}=
\frac{P_4}{16(X+\fracs{1}{2})}=X^3-\frac 34X+\frac{1}{8}}$~.

\num{I-7}
\numa$\diamond$ $M_\alpha $ est de degr\'e 3 donc, d'apr\`es {\bf
I-4$^\circ$)}, $\un{\dim(\Q[\alpha ])=3\h{ et une de ses bases est }{\cal
B}=\left(1,\alpha,\alpha^{2}\right)}$~.

\s$\diamond$ $\cos(\fracs{4\pi}{9})=\cos(2\fracs{2\pi}{9})$ soit $\un{\cos
(\fracs{4\pi}{9})=2\alpha^2-1}$ et
$\cos(\fracs{2\pi}{9})+\cos(\fracs{4\pi}{9})+\cos(\fracs{8\pi}{9})=0$
(somme des racines de $M_\alpha $) donc
$\un{\cos(\fracs{8\pi}{9})=-2\alpha^2-\alpha+1}$~.
 
\numm b{\pc Erreur d'\'enonc\'e}: $f=0$ est une solution qu'il faut
\'ecarter, on impose donc $f\ne 0$.

\s$\diamond$ Soit $a\in\Q[\alpha ]$ tel que $f(a)\ne 0$, on a
$f(a)=f(a.1)=f(a)f(1)$ donc $\un{f(1)=1}$.\par D'autre part, $0=f(0)=
f\left(\alpha^3-\frac 34\alpha+\frac{1}{8}\right)=\left(f(\alpha)\right)^3-\frac
34f(\alpha)+\frac{1}{8}$ donc $f(\alpha)$ est une racine de $M_\alpha $c'est \`a dire
$\un{f(\alpha)\in\left\{\cos(\fracs{2\pi}{9}),\cos(\fracs{4\pi}{9}),\cos(\fracs{8\pi}{9})\right\}}$~.\par
Comme $f\left(\alpha^2\right)=\left(f(\alpha)\right)^2$ et que $f$ est
d\'etermin\'e par l'image de ${\cal B}$ on obtient ainsi trois
applications possibles
d\'efinies par $f_k(\alpha)=\cos(\fracs{2k\pi}{9})$ avec $k=1,2,3$.

\s$\diamond$ R\'eciproquement, soit $\beta $ une racine de $M_\alpha $, $\beta $ est donc
alg\'ebrique et $M_\beta=M_\alpha$. De plus, d'apr\`es {\bf a.}, $\beta $
s'\'ecrit  dans ${\cal B}$, donc $\beta\in\Q[\alpha ]$ et donc
$\Q[\beta]\subset\Q[\alpha ]$.\par
Soit $f$ d\'efinie sur $\Q[\alpha ]$ par $f\bigl(P(\alpha)\bigr)=P(\beta)\in\Q[\beta]\subset\Q[\alpha ]$
(donc $f(\alpha)=\beta$). Montrons que $f$ est bien une application
c'est \`a dire que $P(\alpha)=Q(\alpha)\Longrightarrow
f\bigl(P(\alpha)\bigr)=f\bigl(Q(\alpha)\bigr)$. Mais
$P(\alpha)=Q(\alpha)\Leftrightarrow (P-Q)(\alpha)=0$ soit
$P-Q=RM_\alpha$, on a alors $(P-Q)(\beta)=0$ car $M_\alpha=M_\beta$ et
c'est ce qu'on veux. On a alors facilement $f\in{\cal L}(\Q[\alpha ])$ et
$\forall x,y,\ f(xy)=f(x)f(y)$.\par
$\un{\h{On a donc exactement trois endomorphismes non nuls de }\Q[\alpha ]\h{
v\'erifiant }\forall x,y,\ f(xy)=f(x)f(y)}$~.

\s$\diamond$ $\Q[\beta]\subset\Q[\alpha ]$ mais $\dim(\Q[\beta])=3$ et donc $\Q[\beta]=\Q[\alpha
]$, ce qui nous permet de conclure que $\left(1,\beta,\beta^{2}\right)$
est une base de $\Q[\alpha ]$. Un $f\in\{f_1,f_2,f_3\}$ transforme la base ${\cal B}$
en une base de $\Q[\alpha]$ donc $f$ est bijective donc
$\{f_1,f_2,f_3\}\subset{\rm GL}(\Q[\alpha
])$. Soit $(f,g)\in \{f_1,f_2,f_3\}^2$,
$g\circ f^{-1}\in {\cal L}(\Q[\alpha ])$ et $g\circ f^{-1}(xy)=g\circ
f^{-1}\left(f\left(f^{-1}(x)\right)f\left(f^{-1}(y)\right)\right)=g\circ
f^{-1}\left(f\left(f^{-1}(x)f^{-1}(y)\right)\right)=g
\left(f^{-1}(x)f^{-1}(y)\right)=g\circ f^{-1}(x)g\circ f^{-1}(x)$.\par
Donc $\un{\{f_1,f_2,f_3\}\h{ est un groupe}}$~.

\s$\diamond$ $f_1={\rm Id}_{\Q[\alpha]}$. $f_2(\alpha)=2\alpha^2-1$ donc 
$f_2(\alpha^2)=4\alpha^4-4\alpha^2+1=4\alpha\left(\alpha^3-\frac 3
4\alpha+\frac{1}{8}\right)-\alpha^2-\frac{1}{2}\alpha+1=-\alpha^2-\frac{1}
{2}\alpha+1$. $f_3(\alpha)=-2\alpha^2-\alpha+1$
donc $f_3(\alpha^2)=(2\alpha^2-1)^2+2\alpha((2\alpha^2-1)+\alpha^2
=-\alpha^2-\frac{1}{2}\alpha+1+4\left(\alpha^3-\frac 3
4\alpha+\frac{1}{8}\right)+\alpha-\frac{1}{2}+\alpha^2=\frac{1}{2}\alpha+\frac{1}{2}$.
Les matrices dans ${\cal B}$ sont donc~:
$$\un{M(f_1,{\cal B})=I_3,\qquad M(f_2,{\cal B})=\pmatrix{1&-1&1\cr
0&0&-\fracs{1}{2}\cr 0&2&-1\cr},\qquad M(f_3,{\cal B})=\pmatrix{1&1&\fracs{1}{2}\cr
0&-1&\fracs{1}{2}\cr 0&-2&0\cr}}$$

\num{I-8}
\numa Soit $C_S$ un d\'enominateur (positif) commun aux coefficients de $S$, $S$ s'\'ecrit alors
$S(x)=\frac{1}{C_S}\sum_{i=0}^{n}a_ix^i$ avec $\forall i,\ a_i\in\Z$. On
a donc $S(r)=\frac{1}{C_Sq^n}\sum_{i=0}^{n}a_ip^iq^{n-i}$, or
$\sum_{i=0}^{n}a_ip^iq^{n-i}\in\Z$ et est non nul car sinon $r\in\Q$ serait
racine de $S$ qui ne serait pas irr\'eductible sur $\Q$. On a donc
$\left|\sum_{i=0}^{n}a_ip^iq^{n-i}\right|\ge 1$ et donc $\un{|S(r)|\ge
\frac{1}{C_Sq^n}}$~.
 
\numm bSoit $M=\sup_{t\in[\alpha -1,\alpha+1]}|S'(t)|$, l'in\'egalit\'e des
accroissements finis s'\'ecrit, pour tout $r\in[\alpha -1,\alpha+1], |S(r)|=|S(r)-S(\alpha
)|\le M|\alpha-r |\le \max(M,1)|\alpha-r |$ et, pour $r\in Q$ en
particulier, on obtient $\frac{1}{C_Sq^n}\le \max(M,1)|\alpha-r |$.\par
Donc, en posant $K=\frac{1}{C_S\max(M,1)}>0$, $\un{\ex K>0,\ \forall r=\frac{p}{q}\in\Q\cap[\alpha
-1,\alpha+1],\ (q>0)\quad |\alpha-r |\ge\frac{K}{q^n}}$~. 

\numm c{\pc Version 5/2}: $\forall k\ge 1,\ 10^{-k!}\le 10^{-k}$ et $\left(\sum 10^{-k}\right)$
converge donc $\un{(t_n)\h{ converge}}$ et , de plus, $\forall n,\
t-t_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty} 10^{-k!}=10^{-(n+1)!}
\sum_{k=n+1}^{+\infty} 10^{(n+1)!-k!}=10^{-(n+1)!}
\sum_{k=n+1}^{+\infty} 10^{(n+1)!-k!}$. Or, pour $k\ge n+2$,
$k!-(n+1)!=(n+1)!\left(\prod_{i=n+2}^{k}i-1\right)\ge (n+1)!(k-1)\ge k-1\ge
k-n-1$, in\'egalit\'e vraie aussi pour $k=n+1$, et donc 
$0\le t-t_n \le 10^{-(n+1)!}\sum_{k=n+1}^{+\infty}
10^{-(k-n-1)}=10^{-(n+1)!}\frac{1}{1-10^{-1}}=\frac{10}{9}10^{-(n+1)!}$.
Donc $\un{|t-t_n| \le 2.10^{-(n+1)!}}$~.

\s{\pc Version 3/2}: $(t_n)$ est croissante et $\forall n,\
t_n\le 10^{-1}+\sum_{k=1}^{n}10^{-k}\le
1+\sum_{k=1}^{n}10^{-k}=\frac{1-10^{-(n+1)}}{1-10^{-1}}\le \frac{10}{9}$
et donc $\un{(t_n)\h{ converge}}$. Et, comme ci-dessus, on a $t_{n+p}-t_n\le
10^{-(n+1)!}\sum_{k=n+1}^{n+p}
10^{-(k-n-1)}\le\frac{10}{9}10^{-(n+1)!}$ et donc $\un{|t-t_n| \le
2.10^{-(n+1)!}}$~.

\s$\diamond$ Supposons $t$ alg\'ebrique de degr\'e $d\ge 1$. Remarquons que
les r\'esultats de {\bf a.} et {\bf b.} sont valables pour $n=1$ (et m\^eme
pour $n=0$) les d\'emonstrations n'utilisant pas $n\ge 2$. En les
appliquant \`a $S=M_t$, on a $\ex K>0,\ \forall
r=\frac{p}{q}\in\Q\cap[t-1,t+1],\   |t-r|\ge\frac{K}{q^d}$. Or $\ex N,\
\forall n\ge N,\ t_n\in[t-1,t+1]$, d'autre part, $t_n=\frac{p}{10^{n!}}$
avec $p\in\N$ donc $\forall n\ge N,\ |t-t_n|\ge\frac{K}{10^{dn!}}$. Ce
qui pr\'ec\`ede donne $\forall n\ge N,\ 2.10^{-(n+1)!}\ge\frac{K}{10^{dn!}}$
soit $10^{-(n+1-d)n!}\ge\frac{K}{2}$. Mais $\lim_{n\rightarrow
+\infty}10^{-(n+1-d)n!}=0$ ce qui conduit \`a une contradiction.\par
$\un{t\h{ est transcendant sur }\Q}$~. 
\vfill\eject
\SV
\cadcent{\bf Seconde partie}

\num{I$\!$I-1}$\diamond$ Soient $A\left|\matrix{a\cr b\cr}\right.$, $A'\left|\matrix{a'\cr
b'\cr}\right.$ et $A''\left|\matrix{a''\cr
b''\cr}\right.$ appartenant \`a ${\cal K}$.\par La droite $(AA')$ admet pour \'equation
$\left|\matrix{x&a&a'\cr y&b&b'\cr 1&1&1\cr}\right|=0$ dont les
coefficients sont dans $\K$ (somme et produit d'\'el\'ements de $\K$).\par
Le cercle de centre $A$ et de rayon $A'A''$ a pour \'equation
$(x-a)^2+(y-b)^2=(a'-a'')^2+(b'-b'')^2$ dont les
coefficients sont dans $\K$.\par
$\un{\h{Toute droite de }{\cal D}\h{ et tout cercle de }{\cal C}\h{  ont
une \'equation \`a coefficients dans }\K}$~.

\s$\diamond$ $(\Delta,\Delta')\in{\cal D}^2$ d'\'equations \`a coefficients dans $\K$,
$ax+by=c$ et $a'x+b'y=c'$, non parall\'eles ont pour point commun $M\left|\matrix{x_0\cr y_0\cr}\right.$ dont
les coordonn\'ees sont donn\'ees par les formules de Cramer $x_0=\frac
{cb'-c'b}{ab'-a'b}\in\K$, et 
$y_0=\frac{ac'-a'c}{ab'-a'b}\in\K$.\par
$\un{\h{Le point commun de deux droites s\'ecantes de}{\cal D}\h{
appartient \`a }{\cal K}}$~.

\s$\diamond$ Soit $\Delta=(AA')\in{\cal D}$ avec $(A,A')\in{\cal K}^2$, on peut
la d\'efinir par le param\'etrage $\cases{x=a+t(a'-a)\cr y=b+t(b'-b)\cr}$
avec $t\in\R$. Soit $\Gamma \in{\cal C}$ d'\'equation \`a coefficients dans $\K$
$x^2+y^2-2\alpha x-2\beta y+\gamma =0$. Le param\`etre $t_0$ d'un des points $M(t_0)$ communs
\`a $\Delta$ et $\Gamma$ (si il en existe) est donc donn\'e par une \'equation de
degr\'e inf\'erieur ou \'egal \`a 2 \`a coefficients dans $\K$. Donc $t_0$ est
alg\'ebrique de degr\'e 1 ou 2. Si son degr\'e est 1, $t_0\in\K$ et les coordonn\'ees
de $M(t_0)$ aussi. Si son degr\'e est 2, les coordonn\'ees
de $M(t_0)$ appartiennent \`a $\K[t_0]$ qui est alors une extension
quadratique de $\K$.\par
$\un{\h{Si }M\left|\matrix{x_0\cr y_0\cr}\right.\in\Delta\cap\Gamma  
 \h{ avec }\Delta\in{\cal D}\h{ et }\Gamma \in{\cal C},\ (x_0,y_0)\in\K_1^2\h{ avec }\K_1=\K\h{ ou }\K_1\h{ extension
quadratique de }\K}$~.

\s$\diamond$ Soient $(\Gamma,\Gamma') \in{\cal C}^2$ deux cercles non
concentriques d'\'equations \`a coefficients dans $\K$
$x^2+y^2-2\alpha x-2\beta y+\gamma =0$ et $x^2+y^2-2\alpha' x-2\beta' y+\gamma' =0$. Les points communs
\`a $\Gamma$ et $\Gamma'$ sont donn\'es par~:
$$\cases{x^2+y^2-2\alpha x-2\beta y+\gamma =0\cr x^2+y^2-2\alpha' x-2\beta'
y+\gamma' =0\cr}\Longleftrightarrow\cases{x^2+y^2-2\alpha x-2\beta y+\gamma
=0\cr 2(\alpha'-\alpha) x+2(\beta'-\beta)
y =\gamma'-\gamma\cr}$$
Soit $\Delta$ d'\'equation $2(\alpha'-\alpha) x+2(\beta'-\beta)
y =\gamma'-\gamma$. C'est une droite car les deux cercles ne sont pas
concentriques et elle appartient \`a ${\cal D}$ car, par exemple si
$\alpha'-\alpha\ne 0$, elle contient $\left|\matrix{\fracs{\gamma'-\gamma}{2(\alpha'-\alpha)}\cr
0\cr}\right.$ et $\left|\matrix{\fracs{\gamma'-\gamma-2(\beta'-\beta)}{2(\alpha'-\alpha)}\cr
1\cr}\right.$ qui sont dans ${\cal K}$. On est donc ramen\'e \`a ce qui pr\'ec\`ede.\par
$\un{\h{Si }M\left|\matrix{x_0\cr y_0\cr}\right.\in\Gamma\cap\Gamma'  
 \h{ avec }(\Gamma,\Gamma') \in{\cal C}^2,\ (x_0,y_0)\in\K_1^2\h{ avec }\K_1=\K\h{ ou }\K_1\h{ extension
quadratique de }\K}$~.

\num{I$\!$I-2}
\numa $\diamond$ Tra\c cons les cercles de centre $A$ et rayon $AB$ et de centre $C$ et rayon
$CB$. Ils se coupent en $B$ et $D$ avec $AD=AB$ et $CD=CB$ c'est \`a dire
tel que $ABCD$ parall\'elogramme.\par
Donc $\un{D\h{ est constructible \`a
partir de }\{A,B,C\}}$~.

\s$\diamond$ Il suffit de choisir deux points $B$, $C$ de $\Delta $ puis
de construire $D$ comme ci-dessus et la droite cherch\'ee est $(AD)$. $\un{\h{La
parall\`ele \`a }\Delta\h{ passant par }A\h{ est constructible \`a
partir de }\{A,\Delta\}}$~.

\numm b$\diamond$ $J$ est l'intersection de $(OI)$ avec le cercle de centre $O$ et de
rayon $OI$; la droite $(Oy)$ est la droite $(MM')$ o\`u $M$ et $M'$ sont
les points communs des cercles de centres respectifs $I$ et $J$ et de
rayon (par exemple) $IJ$; le point $K$ est l'intersection de $(Oy)$ avec le cercle de centre $O$ et de
rayon $OI$. Donc $\un{J\h{ et }K\h{ sont constructibles}}$~.

\s$\diamond$ Soient $A\left|\matrix{\alpha \cr 0\cr}\right.$ $B\left|\matrix{\beta \cr
0\cr}\right.$. Le cercle de centre $B$ et rayon $\alpha =OA$ coupe
$(Ox)$ en $C\left|\matrix{\beta+\alpha \cr 0\cr}\right.$ et $C'\left|\matrix{\beta-\alpha \cr
0\cr}\right.$. Donc $\un{\alpha+\beta\h{ est constructible}}$~.

\s$\diamond$ Tra\c cons la parall\`ele \`a $(KB)$ passant par $A$, elle coupe
$(Oy)$ en $D$tel que, d'apr\'es le th\'eor\`eme de Thal\`es (ou
l'\'equation de la droite), $\frac{OD}{OK}=\frac{OA}{OB}$ soit
$OD=\frac{\alpha}{\beta}$. Donc $\un{\frac{\alpha}{\beta}\h{ est constructible}}$~.

\s$\diamond$ Soit $A'\left|\matrix{0\cr\alpha \cr }\right.$ qui est
constructible, tra\c cons la parall\`ele \`a $(KB)$ passant par $A'$, elle
coupe $(Ox)$ en $E$ tel que, d'apr\'es le th\'eor\`eme de Thal\`es ,
$\frac{OA'}{OK}=\frac{OE}{OB}$ soit $\alpha=\frac{OE}{\beta}$ et donc
$OE=\alpha.\beta$. Donc $\un{\alpha.\beta\h{ est constructible}}$~.

\s$\diamond$ $\frac{A+J}{2}$ est constructible car c'est l'intersection
de $(Ox)$ avec la m\'ediatrice de $[JA]$ qu'on construit comme la droite
$(NN')$ avec $N$ et $N'$
les points communs des cercles de centres respectifs $A$ et $J$ et de
rayon $AJ$. Le cercle de centre $\frac{A+J}{2}$ et de rayon
$A\frac{A+J}{2}$ a pour \'equation dans $Oxy$~:
$\left(x-\frac{\alpha-1}{2}\right)^2+y^2=\left(\frac{\alpha+1}{2}\right)^2$
et coupe donc $(Oy)$ en $\left|\matrix{0\cr\pm\sqrt{\alpha} \cr }\right.$
(car
$\left(\frac{\alpha+1}{2}\right)^2-\left(\frac{\alpha-1}{2}\right)^2=\alpha$).
Donc $\un{\sqrt{\alpha}\h{ est constructible}}$~. 
  
\num{I$\!$I-3}
\numa Soit $M$ constructible et soit $M_{-1}=O,M_0=I,M_1,\ldots,M_n=M$ tels que
$\forall k\ge 1,\ M_k$ est construit \`a partir de
$\{M_{-1},M_0,\ldots,M_{k-1}\}$.
Montrons par r\'ecurrence sur $n$
qu'il existe une suite $(\K_i)_{i\in\[0,p\]}$ v\'erifiant $({\cal P})$
telle que $\forall k=-1,0,\ldots,n,\ M_k\in\K_p^2$.\s
$\rightarrow$ Si $n=0$, $M\in\{O,I\}$ alors les
coordonn\'ees de $M$ sont dans $\Q$ et le r\'esultat est vrai avec $\K_0=\Q$.\par
$\rightarrow$ Si le r\'esultat est vrai pour $n-1\ge 0$, 
soit  $(\K_i)_{i\in\[0,p\]}$ v\'erifiant $({\cal P})$
telle que $\forall k=-1,0,\ldots,n-1,\ M_k\in\K_p$. Appliquons les
r\'esultats du {\bf I$\!$I-1$^\circ$)} \`a $\K=\K_p$. Comme les coordonn\'ees
de $M_{-1},M_0,\ldots,M_{n-1}$ sont dans $\K_p$, celles de $M_n$ sont
soit dans $\K_p$ et, dans ce cas, la suite $(\K_i)_{i\in\[0,p\]}$
convient, soit dans une extension quadratique de $\K_p$ qu'on note
$\K_{p+1}$ et la suite $(\K_i)_{i\in\[0,p+1\]}$ v\'erifie aussi $({\cal
P})$ et $\forall k=-1,0,\ldots,n,\ M_k\in\K_{p+1}^2$ car $\K_p^2\subset
\K_{p+1}^2$.\s
$\un{\h{Si }M\h{ est constructible alors il
existe }(\K_i)_{i\in\[0,p\]}\h{ v\'erifiant }({\cal P})\h{ telle que }M\in\K_p^2}$~.

\numm b$\diamond$ Montrons tout d'abord que \underbar{l'ensemble des r\'eels
constructibles {\bf Cons} est un corps}~.\par
On a imm\'ediatement $\alpha\in{\bf Cons}$ si et seulement $|\alpha |\in{\bf Cons}$ constructible 
en utilisant le cercle de centre $O$ et rayon $|\alpha |$ comme pour la
construction de $J$. Ceci donne, avec le r\'esultat de {\bf I$\!$I-2$^\circ$) b.}
et le fait que $0\in{\bf Cons}$ que $\forall (\alpha ,\beta )\in{\bf
Cons}^2,\ \alpha .\beta\in{\bf Cons}$. De plus, $1\in{\bf Cons}$ et donc
$\forall \alpha\in{\bf Cons}^*,\  \frac{1}{\alpha}\in{\bf Cons}$. Enfin,
la d\'emonstration de {\bf I$\!$I-2$^\circ$) b.} montre que $\forall (\alpha ,\beta )\in{\bf
Cons}^2,\ |\alpha |+|\beta|$ et $|\beta|-|\alpha |$, donc aussi 
$|\alpha |-|\beta|$, sont constructibles donc $\alpha+\beta\in{\bf
Cons}$.

\s$\diamond$ Montrons maintenant par r\'ecurrence sur $n$ que, si
$(\K_i)_{i\in\[0,n\]}$ v\'erifie $({\cal P})$ alors $\K_n\subset{\bf Cons}$~:\s
$\rightarrow$ Si $n=0$, $\K_0=\Q\subset{\bf
Cons}$ car $\Z\subset{\bf Cons}$ et que {\bf Cons} est un corps.\par
$\rightarrow$ Supposons le r\'esultat vrai pour $n-1\ge 0$. On a $\K_n=
\K_{n-1}[\sqrt{\gamma}]$ avec $\gamma \in\K_{n-1}$ d'apr\`es {\bf I-3$^\circ$)}. Donc
$\gamma \in {\bf Cons}$ par hypoth\`ese et donc {\bf I$\!$I-2$^\circ$) b.}
donne $\sqrt{\gamma}\in {\bf Cons}$. On a donc $\K_{n-1}\subset{\bf
Cons}$, $\sqrt{\gamma}\in {\bf Cons}$ et {\bf Cons} corps donc, d'apr\'es
{\bf I-4$^\circ$) d.}, $\K_n=\K_{n-1}[\sqrt{\gamma}]\subset{\bf
Cons}$.

\s$\diamond$ Soit $M(x_M,y_M)$ avec $(x_M,y_M)\in\K_n^2$, $x_M$ et $y_M$ 
 sont constructibles donc
$A(x_M,0)$ et $B(0,y_M)$ sont constructibles et donc $M$ point commum
de la parall\`ele \`a $(Ox)$ passant par $B$ et de la parall\`ele \`a $(Oy)$ passant par
$A$ l'est.\par 
Donc, $\un{\h{si }
(\K_i)_{i\in\[0,n\]}\h{ v\'erifie }({\cal P})\h{ et }M\in\K_n^2\h{ alors }
M\h{ est constructible}}$~.
 
\num{I$\!$I-4}
\numa $F$ est un sous-corps de $H$ donc $\un{H\h{ est un }F\h{-ev}}$.
Soient
$\left(g_1,\ldots,g_q\right)$ une base de $G$ comme $F$-ev et
$\left(h_1,\ldots,h_r\right)$ une base de $H$ comme $G$-ev, montrons que
$\left(g_1h_1,\ldots,g_qh_1,g_1h_2,\ldots,g_qh_r\right)$ est une base de
$H$ comme $F$-ev. Soit $x\in H$, $x$ s'\'ecrit $x=\sum_{i=1}^{r}x_ih_i$
avec $\forall i,\ x_i\in G$ qui s'\'ecrivent donc
$x_i=\sum_{j=1}^{q}y_{i,j}g_j$ avec $\forall i,\ \forall j,\ y_{i,j}\in
F$. On a donc $x=\sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{q}y_{i,j}g_jh_i$ donc la
famille ci-dessus est g\'en\'eratrice et $\un{H\h{ est un }F\h{-ev de
dimension finie}}$. D'autre part, si
$\sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{q}y_{i,j}g_jh_i=0$, soit 
$\sum_{i=1}^{r}\left(\sum_{j=1}^{q}y_{i,j}g_j\right)h_i=0$ on a 
$\forall i,\ \sum_{j=1}^{q}y_{i,j}g_j$ donc $\forall i,\ \forall j,\
y_{i,j}=0$ et la famille est aussi libre donc c'est une base de $H$ et $\un{\dim_F(H)=qr}$~.

\numm bD'apr\'es {\bf a.}, puisque $\forall i,\ \dim_{\K_{i-1}}(\K_i)=2$, et par
une r\'ecurrence facile, on a $\un{\dim_{\Q}(\K_n)=2^n}$~.

\numm cSi $\alpha$ est constructible, c'est \`a dire si $A(\alpha,0)$ est constructible, il existe une suite
$\K_0,\ldots,\K_n$ ayant la propri\'et\'e $({\cal P})$ et telle que
$\alpha\in\K_n$. Comme $\K_n$ est de dimension finie sur $\Q$, la famille
$(\alpha^k)_{k\in\N}$ est li\'ee sur $\Q$, autrement dit il existe
$\left(\lambda_0,\ldots ,\lambda_d\right)\ne (0,\ldots ,0)$ tels que
$\sum_{k=0}^{d} \lambda_k \alpha^k=0$ et donc $\alpha$ est alg\'ebrique
sur $\Q$.
On peut donc \'ecrire, d'apr\`es {\bf I-4$^\circ$) d.},
$\Q\subset\Q[\alpha]\subset\K_n$. $\K_n$ est de dimension finie sur $\Q$
donc sur $\Q[\alpha]$ (une famille g\'en\'eratrice sur $\Q$ l'est a
fortiori sur $\Q[\alpha]$) et on peut appliquer {\bf a.}~: $\dim_{\Q}(\K_n)= 
\dim_{\Q}(\Q[\alpha])\dim_{\Q[\alpha]}(\K_n)=d(\alpha,\Q)\dim_{\Q[\alpha]}(\K_n)$
 donc $d(\alpha,\Q)\mid\dim_{\Q}(\K_n)=2^n$ et donc $\un{\ex p\in\N,\ 
d(\alpha,\Q)=2^p}$~.
 
\num{I$\!$I-5}$\diamond$ Soit $\Pi_n$ le polygone r\'egulier \`a n cot\'es souhait\'e,
montrons tout d'abord le r\'esultat suivant~:
$$\Pi_n\h{ constructible }\Longleftrightarrow \cos(\fracs{2\pi}{n})\h{ constructible.}$$
En effet, si $\Pi_n$ est constructible, $A_2$ est constructible et la parall\'ele \`a $(Oy)$
passant par $A_2$ coupe $(Ox)$ en $(\cos(\fracs{2\pi}{n}),0)$.
R\'eciproquement, si $\cos(\fracs{2\pi}{n}$ est constuctible,
$(\cos(\fracs{2\pi}{n}),0)$ l'est et la parall\'ele \`a $(Oy)$
passant par ce point coupe le cercle de centre $O$ et rayon 1 en deux points $A_2$ et $A_n$. Il
suffit ensuite de construire $A_{i+1}$ \`a partir de $A_i$ comme
intersection du cercle de centre $O$ et rayon 1 avec le cercle de centre
$A_i$ et de rayon $A_1A_2$. 

\s$\diamond$ D'autre part, on a~: $\Pi_n\h{ constructible }\Longrightarrow 
\Pi_{2n}\h{ constructible }$. En effet, la m\'ediatrice de $[A_1A_2]$ est
constructible (cf {\bf I$\!I$-2$^\circ$) b.}) donc le point $A'_2$ intersection du cercle de centre $O$ et rayon 1 avec
cette droite et d'ordonn\'ee de m\^eme signe que celle de $A_2$ et on
construit $\Pi_{2n}$ \`a partir de $I$ et $A'_2$ comme ci-dessus.\s
  
\s$\diamond$ $\cos(\fracs{2\pi}{3})=-\frac{1}{2}\in\Q$ donc est
constructible et donc $\Pi_{3}$ et $\Pi_{6}$ sont constructibles.
$\cos(\fracs{2\pi}{4})=0$ est
constructible donc $\Pi_{4}$ et $\Pi_{8}$ sont constructibles.
$\cos(\fracs{2\pi}{5})\in\K_1$ extension quadratique de $\Q$ d'apr\`es {\bf I-6$^\circ$)
c.} donc il est  constructible d'apr\`es {\bf I$\!$I-3$^\circ$) b.} ce qui
donne $\Pi_{4}$ et $\Pi_{10}$ constructibles. Enfin, d'apr\`es {\bf I-6$^\circ$)
c.}, $\cos(\fracs{2\pi}{7})$ et $\cos(\fracs{2\pi}{9})$ ont pour degr\'e sur $\Q$
3 donc ne sont pas constructibles d'apr\`es {\bf I$\!$I-4$^\circ$) c.}.\par
$\un{\h{Les polygones }\Pi_n \h{ avec }n\in\[3,10\]\h{ sont
constructibles \`a l'exception de }\Pi_7\h{ et }\Pi_9}$~.
\SV
{\bf Note historique :}\par
{\sl Comme le signale l'\'enonc\'e ces probl\`emes de construction "\`a la r\`egle et au
compas" datent des Grecs. Pour Platon, les seules courbes parfaites sont
la droite et le cercle. Ce genre d'a priori a fortement marqu\'e l'histoire de la
pens\'ee occidentale: c'est le principe que les seuls mouvements
parfaits sont circulaires uniformes qui sous-tend le syst\`eme
astronomique de Ptol\'em\'ee qui a
r\'egn\'e comme mod\`ele de l'univers jusqu'\`a Kepler et Gallil\'ee (il
nous en reste le nom des jours et le "septi\`eme ciel"). En
math\'ematiques, trois probl\`emes sont rest\'es c\'el\'ebres: la duplication
du cube dont parle l'\'enonc\'e (construire un cube de volume double) qui \'equivaut \`a $\rac{3}{2}$
constructible et qui est donc impossible; la trisection de l'angle (couper
en angle en 3 angles \'egaux) qui est, en g\'en\'eral impossible; et la
c\'el\'ebrissime quadrature du cercle (construire un carr\'e de m\^eme aire
qu'un disque donn\'e) qui \'equivaut \`a $\sqrt{\pi}$ constructible et qui est impossible
car $\pi$ est transcendant ce qui fut d\'emontr\'e par Lindemann en 1882.} 
\SV\finetoiles
\bye



