%Format: ML-LaTeX2e
%Option: bigtex
%CORRIGE de l'{\'e}preuve de Maths appliqu{\'e}es des ENSI 1996.
%Roger Dallard, Lyc{\'e}e Pasteur, Neuilly sur Seine.
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\begin{document}
\centerline{\bf ENSI 1996. Epreuve  de Math{\'e}matiques appliqu{\'e}es.}
\vskip 1cm
{\bf 1 \ Fonctions polynomiales de degr{\'e} inf{\'e}rieur ou
 {\'e}gal {\`a} 1 et fonctions affines.}

{\bf Question 1.1 }
Le syst{\`e}me propos{\'e} admet $x_0-x_1{}$, qui est non nul, comme d{\'e}terminant; ce syst{\`e}me
est donc de Cramer. En combinant les deux {\'e}quations, on trouve
\reponse{ $\alpha{}=\Frac{x-x_1{}}{x_0-x_1{}}$ et $\beta{}=\Frac{x-x_0}{x_1-x_0}$.}
 {\bf Question 1.2 } Puisque $g$ est affine,
appliquons lui la d{\'e}finition 1, en rempla{\c c}ant 
$\alpha{}_1{},\alpha{}_2{},x_1{},x_2{}$ par $\alpha{},\beta{},x_0,x_1{}$ (licite car $\alpha{}+\beta{}=1$). Compte tenu
de $x=\alpha{}x_0+\beta{}x_1{}$, nous obtenons:
\reponse{$g(x)=\Frac{x-x_1{}}{x_0-x_1{}}g(x_0)+\Frac{x-x_0}{x_1{}-x_0}g(x_1{})$.   }
{\bf Question 1.3 }
Supposons que $g$ soit affine. Appliquons le r{\'e}sultat pr{\'e}c{\'e}dent avec
$x_0=0$ et $x_1=1$:

$g(x)=(1-x)g(0)+xg(1)=x(g(1)-g(0))+g(0)$, qui montre que $g$ est polynomiale
(sans accent circonflexe) de degr{\'e} inf{\'e}rieur ou {\'e}gal {\`a} 1.

Supposons r{\'e}ciproquement que $g$ soit polynomiale de degr{\'e} inf{\'e}rieur ou
{\'e}gal {\`a} 1. Il existe donc deux vecteurs $a$ et $b$ tels que, pour tout
$x$ r{\'e}el, on ait $g(x)=xa+b$. Pour tous r{\'e}els $\alpha{}_1{},\alpha{}_2{},x_1{},x_2{} $ tels que
$\alpha{}_1{}+\alpha{}_2{}=1$, on a
$g(\alpha{}_1{}x_1{}+\alpha{}_2{}x_2{})=(\alpha{}_1{}x_1{}+\alpha{}_2{}x_2{})a+b=(\alpha{}_1{}x_1{}+\alpha{}_2{}x_2{})a+(\alpha{}_1{}+\alpha{}_2{})b=
\alpha{}_1{}(x_1{}a+b)+\alpha{}_2{} (x_2{}a+b)=\alpha{}_1{}g(x_1{})+\alpha{}_2{}g(x_2{})$. $g$ est donc affine. R{\'e}sumons
\reponse{$g$ est une fonction polynomiale de degr{\'e} inf{\'e}rieur ou {\'e}gal {\`a} 1
si et seulement si c'est une fonction affine.  }
{\bf Question 1.4 } Ici $E=\Rsym^{2}$ et $g$ est affine;
$x_0=0;x_1{}=1$. On a vu qu'alors $g(x)=x(g(1)-g(0))+g(0)$.
Puisque $g(1)=(3,4)$ et $g(0)=(1,1)$, $g(x)=x.(2,3)+(1,1)$.
On reconna{\^\i}t, dans $\Rsym^{^2{}}$, une droite param{\'e}tr{\'e}e par $x$:
\reponse{L'ensemble des $g(x)$ quand $x$ d{\'e}crit $\Rsym^{}$ est la droite
passant par le point $(1,1)$ et dirig{\'e}e par le vecteur $(2,3)$.   }
Le dessin est sans probl{\`e}me, en prenant soin de faire passer la droite
par $g(0),g(1),g({1\over2})=(2,\frac52),g(\frac23)=(\frac73,3),
g(\frac{-1}3)=(\frac13,0)$.
\vskip 8mm
{\bf 2 \ Fonctions polynomiales de degr{\'e} inf{\'e}rieur ou {\'e}gal {\`a} 2 et
fonctions bi-affines sym{\'e}triques.}

\def \A{{\mathcal A}_2{}}
{\bf Question 2.1 }Si $f$ est l'application nulle de $\Rsym^{2}$ dans $E$,
les deux applications partielles en un point quelconque sont nulles donc sont
affines; donc $f$ est bi-affine, 
donc $\A$ n'est pas vide.
Si $f_1{}$ et $f_2{}\in \A$ et si $\lambda{}$ et $\mu{}$ sont deux r{\'e}els, les 
applications partielles relatives {\`a} $f_1{}$ et $f_2{}$
en un point $(u,v)$ quelconque de $\Rsym^{2}$ sont affines. Toute combinaison
lin{\'e}aire de fonctions affines {\'e}tant affine,
les deux applications partielles en $(u,v)$ relatives {\`a}
$\lambda{}f_1{}+\mu{}f_2{}$ sont donc affines. Donc $\lambda{}f_1{}+\mu{}f_2{}$ est bi-affine.
 $\A$ est donc stable par combinaison
lin{\'e}aire.
\reponse{$\A$ est donc un sous-espace vectoriel de 
l'espace des applications de $\Rsym^2$ dans $E$
..}
{\bf Question 2.2 }
S'il existe $a,b,c,d$ dans $E$ tels que
$f(u,v)=uva+ub+vc+d$, on obtient, en fixant $v$, la fonction
$g(u)=u(va+b)+(vc+b)$. Les vecteurs $va+b$ et $vc+b$ {\'e}tant fix{\'e}s, cette
fonction $g$ est, on l'a vu, une fonction affine. De m{\^e}me pour
l'application partielle obtenue en fixant $u$. $f$ est donc bi-affine.

R{\'e}ciproquement, supposons que $f$ soit bi-affine. Pour $v$ fix{\'e}, $f(u,v)$
est donc une fonction affine de $u$. Il existe donc deux vecteurs
$A(v)$ et $B(v)$ tels qu'on ait pour tout $u$:
$f(u,v)=u.A(v)+B(v)$. Pour $u=0$, ceci doit {\^e}tre une fonction affine de $v$,
donc $B(v)$ est une fonction affine de $v$. De m{\^e}me, en prenant $u=1$,
on voit que $A(v)+B(v)$ est fonction affine de $v$. De m{\^e}me, par
diff{\'e}rence, pour $A(v)$. $A(v)$ et $B(v)$ sont donc de la forme
$va+b$ et $vc+d$. $f(u,v)$ est donc de la forme
$uva+ub+vc+d$. R{\'e}sumons
\reponse{$f\in A\leftrightarrow\exists{}(a,b,c,d)\in E^4{},
\forall{}(u,v)\in\Rsym^{2},f(u,v)=uva+ub+vc+d.$}
{\bf Question 2.3 }
Pour $u$ ou $v$ fix{\'e} et l'autre variable,
 les $4.d$ applications qu'on nous propose sont des
applications de $\Rsym^{}$ dans $E$ qui sont polynomiales de degr{\'e} $0$ ou $1$,
donc affines. Les $4.d$ applications propos{\'e}es sont donc bien des
{\'e}l{\'e}ments de $\A$. 

Soit $f$ un {\'e}l{\'e}ment de $\A$. On peut lui associer
 $a,b,c,d$ dans $E$ tels que
pour tout $(u,v)$ dans $\Rsym^{2}$, on ait $f(u,v)=uva+ub+vc+d.$
En introduisant les composantes $a_j{},b_j{},c_j{},d_j{}$ de $a,b,c,d$ sur la base
des $e_j{}$, cela s'{\'e}crit
$f(u,v)=\Sum_{j=1}^{d}(a_j{}uv+b_j{}u+c_j{}v+d_j{})e_j{}=
\left(\Sum_{j=1}^{d}(a_j{}w_j{}^4{}+b_j{}w_j{}^2{}+c_j{}w_j{}^3{}+d_j{}w_j{}^1{})\right)(u,v)$.
$f$ appara{\^\i}t donc comme une combinaison lin{\'e}aire des $4.d$ applications
propos{\'e}es. Ces $4.d$ applications forment donc une famille g{\'e}n{\'e}ratrice de $\A$.

Soit maintenant $\Sum_{j=1}^{d}(a_j{}w_j{}^4{}+b_j{}w_j{}^2{}+c_j{}w_j{}^3{}+d_j{}w_j{}^1{})$ une
combinaison lin{\'e}aire nulle de ces $4.d$ applications.
On a donc pour tout $(u,v)$ dans $\Rsym^{2}$,
$\Sum_{j=1}^{d}(a_j{}uv+b_j{}u+c_j{}v+d_j{})e_j{}=
\left(\Sum_{j=1}^{d}(a_j{}w_j{}^4{}+b_j{}w_j{}^2{}+c_j{}w_j{}^3{}+d_j{}w_j{}^1{})\right)(u,v)=0$.
Puisque les $e_j{}$ forment une base, cela n{\'e}cessite la nullit{\'e} de
$a_j{}uv+b_j{}u+c_j{}v+d_j{}$ pour tout $j$. En appliquant cela aux couples $(u,v)$ o\`u{}
$u$ et $v$ valent $0$ ou $1$, on voit que cela implique la nullit{\'e} de
tous les coefficients $a_j{},b_j{},c_j{},d_j{}$. La famille des $4.d$ applications
propos{\'e}es est donc libre. En r{\'e}sum{\'e}
\reponse{Cette famille est une base de $\A$, qui est donc de dimension $4.d$.}
Remarque: On a prouv{\'e} au passage que les composantes d'un $f\in\A$ sur
cette base sont les $4.d$ composantes, sur la base des $e_j{}$,
 des quatre vecteurs $(a,b,c,d)$ associ{\'e}s {\`a} $f$. On connaissait l'existence
de ces quatre vecteurs; on est maintenant assur{\'e} de leur unicit{\'e}.

{\bf Question 2.4 }
Soit $f\in\A$ et $a,b,c,d$ les quatre vecteurs qui lui sont associ{\'e}s.
$f(u,v)=uva+ub+vc+d$ et $f(v,u)=uva+vb+uc+d$.
$f$ est sym{\'e}trique si et seulement si pour tout $(u,v)$ on a:
$ub+vc=vb+uc$. En prenant $u=1$ et $v=0$, on voit que ce n'est possible
que si et seulement si $b=c$. Par ailleurs, les composantes
de $f$ sur la base des $w_j{}^i{}$ sont les $4.d$ composantes de $a,b,c,d$ sur
la base des $e_j{}$. $f$ est donc sym{\'e}trique si et seulement si ses  deux composantes
sur $w_j{}^2{}$ et $w_j{}^3{}$ sont {\'e}gales pour tout $j$ donc si et seulement si
$f$ appartient au sous-espace engendr{\'e} par les $w_j{}^4{},w_j{}^1{},w_j{}^2{}+w_j{}^3{}$. Or cette famille est
libre (en {\'e}crivant une combinaison lin{\'e}aire nulle, on voit vite que tous
les coefficients sont nuls). Cette famille est donc une base du sous-espace
qu'elle engendre.
\reponse{L'ensemble ${\mathcal AS}_2{}$ est un sous-espace de $\A$; une base en est
la famille $(w_j{}^4{},w_j{}^1{},w_j{}^2{}+w_j{}^3{})_{1\leq{}j\leq{}d}$; il est donc de dimension $3.d$.}
{\bf Question 2.5 }
Soit $f\in{\mathcal AS}_2{}$ et $(a,b,c,d)$ les quatre vecteurs associ{\'e}s, avec
$b=c$. Pour tout $x$ r{\'e}el, on a $f(x,x)=x^2{}a+2xb+d.$ L'application $h$
d{\'e}finie dans l'{\'e}nonc{\'e} est bien polynomiale de degr{\'e} $\leq{}2$, et l'application
$l$ va bien de ${\mathcal AS}_2{}$ dans $E_2{}[x]$.

Cette application est surjective: la fonction polynomiale quelconque
de degr{\'e} $\leq{}2$ d{\'e}finie par $h(x)=x^2{}A+xB+xD$ est l'image par $l$ de l'{\'e}l{\'e}ment
$f\in{\mathcal AS}_2{}$ associ{\'e} aux vecteurs $a=A;b=c={1\over2}B;d=D.$

Cette application est lin{\'e}aire: Si $f$ et $f'\in{\mathcal AS}_2{}$,
on a, pour tout $x$ r{\'e}el,
$(\lambda{}f+\mu{}f')(x,x)=\lambda{}f(x,x)+\mu{}f'(x,x)$, donc $l(\lambda{}f+\mu{}f')=\lambda{}l(f)+\mu{}l(f')$.

Cette application est injective: Soit   $f\in{\mathcal AS}_2{}$ un {\'e}l{\'e}ment du noyau
de $l$: la fonction $h=l(f)$ est nulle; pour tout $x$ r{\'e}el, on a
$f(x,x)=0$; si $f$ est associ{\'e}e aux vecteurs $(a,b,b,d)$, on a donc:
$\forall{}x\in\Rsym^{}, x^2{}a+2xb+d=0$. En prenant successivement $x=0,1$ puis $-1$,
on voit que ce n'est possible que si $a=b=d=0$ donc si $f=0$. R{\'e}sumons:
\reponse{L'application $l$ est un isomorphisme d'espaces vectoriels.}
Remarque: cela prouve {\`a} posteriori que $E_2{}[x]$ est de dimension $3.d$,
ce qu'on aurait pu d{\'e}montrer directement.

{\bf Question 2.6 }
$f(u,0)$ et $f(u,1)$ sont des fonctions affines de $u$; de m{\^e}me,
pour $u$ fix{\'e}, $f(u,v)$ est une fonction affine de $v$;
on peut donc  leur appliquer le r{\'e}sultat de la question 1.2;
$g(x)=(1-x)g(0)+xg(1)$ donne ici
\reponse{$f(u,0)=(1-u)f(0,0)+uf(1,0)$; $f(u,1)=(1-u)f(0,1)+uf(1,1)$;
$f(u,v)=(1-v)f(u,0)+vf(u,1)$.}
En particulier
$F(x)=f(x,x)=(1-x)f(x,0)+xf(x,1)=
(1-x)((1-x)f(0,0)+xf(1,0))+x((1-x)f(0,1)+xf(1,1))$.
En d{\'e}veloppant et en utilisant $f(1,0)=f(0,1)$, il reste
\reponse{$F(x)=(1-x)^2{}f(0,0)+2(x-x^2{})f(0,1)+x^2{}f(1,1)=
x^2{}(f(0,0)-2f(0,1)+f(1,1))+2x(f(0,1)-f(0,0))+f(0,0)$.}
{\bf Question 2.7 }
En ajoutant les vecteurs $f(0,0)$ et $f(0,1)$ affect{\'e}s des coefficients
$1-x$ et $x$, on obtient $f(x,0)$. De fa{\c c}on analogue, on obtient $f(x,1)$
{\`a} partir de $f(0,1)$ et $f(1,1)$, puis $f(x,x)$ {\`a} partir de $f(x,0)$
et $f(x,1)$. Ces it{\'e}rations peuvent {\^e}tre sch{\'e}matis{\'e}es par le tableau
donn{\'e} dans l'{\'e}nonc{\'e}.

En interpr{\'e}tant les {\'e}l{\'e}ments de $E$
comme des points d'un espace affine
de dimension $d$ rapport{\'e} {\`a} un rep{\`e}re,
on voit aussi que $f(x,0)$ est barycentre de $f(0,0)$ affect{\'e}s
des coefficients $x$ et $1-x$. On obtient de m{\^e}me $f(x,1)$ puis
$f(x,x)$ par barycentration.

{\bf Question 2.8 }Consid{\'e}rons tout {\'e}l{\'e}ment de $\Rsym^{2}$ comme les
coordonn{\'e}es  d'un point du plan euclidien rapport{\'e} {\`a} un
rep{\`e}re orthonormal $(O,\Vec i,\Vec j)$.
Dans le rep{\`e}re (oblique) d'origine $Q(0,1)$ et dirig{\'e} par les vecteurs
$\Vec I(4,4)$ et $\Vec J(1,-5)$, l'ensemble des $F(x)$ est la courbe
param{\'e}tr{\'e}e $X=x$; $Y=x^2{}$, c'est-{\`a}-dire la parabole $Y=X^2{}$, tangente en
$Q$ {\`a} l'axe $QX$ dirig{\'e} par $\Vec I$; le trac{\'e} de
l'arc obtenu pour $x$ d{\'e}crivant $[-1;1]$ est sans probl{\`e}me.
 On a d{\'e}j{\`a} vu que $f$ est associ{\'e}e aux vecteurs $a=a_0,b=c={1\over2}a_1{}$
et $d=a_0$ donc
\reponse{$f(u,v)=uv(1,-5)+(u+v)(2,2)+(0,1)$.}
$P_0,P_1{},P_2{}$ sont donc les points $(0,1)(=Q)$, $(2,3)$ et $(5,0)$.
$P_0$ et $P_2{}$ sont, comme on s'y attendait puisqu'ils v{\'e}rifient $u=v$,
 sur la parabole.

$f(\frac23,0)$ est le barycentre de $P_0$ et $P_1{}$ affect{\'e}s des coefficients
$\frac13$ et $\frac23$, ce qui permet de le positionner sur le segment
$P_0P_1{}$. $f(\frac23,1)$ est le barycentre de $P_1{}$ et $P_2{}$
affect{\'e}s des m{\^e}mes coefficients. On le construit donc; notons que la droite
$P_1{}P_2{}$ qui le contient est la tangente en $P_2{}$ {\`a} la parabole (dans le
rep{\`e}re $(Q,\Vec I,\Vec J)$, la pente de la tangente {\`a} $Y=X^2{}$ au point
$P_2{}$ d'abscisse $1$ est $2$ qui est aussi la pente de $P_1{}P_2{}$). Enfin on construit $F(\frac23)$ qui est
barycentre de $f(\frac23,0)$ et $f(\frac23,1)$ avec les coefficients
 $\frac13$ et $\frac23$. Notons que la pente de la tangente {\`a} la
parabole $Y=X^2{}$ au point d'abscisse $\frac23$ est $\frac43$; c'est la pente,
dans $(Q,\Vec I,\Vec J)$, de la droite joignant $f(\frac23,0)$ et $f(\frac23,1)$ .
Cette droite est donc tangente {\`a} la parabole.
\vskip 8mm
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\vskip 8mm
{\bf 3 \ Fonctions polynomiales de degr{\'e} quelconque n et
fonctions multi-affines sym{\'e}triques.}

\def\A{{\mathcal AS}_n{}}
{\bf Question 3.1 }
On d{\'e}montre comme dans la question 2.1 que l'ensemble
${\mathcal A}_n{}$ des applications multi-affines de $\Rsym^{n}$ dans $\Rsym^{}$
est un espace vectoriel sur $\Rsym^{}$. Le sous-ensemble $\A$ des applications
qui sont en outre sym{\'e}triques  est {\`a} l'{\'e}vidence non vide et stable par
combinaison lin{\'e}aire; c'est donc un sous-espace vectoriel de ${\mathcal A}_n{}$;
 \reponse{$\A$ est un espace vectoriel sur $\Rsym^{}$.}
{\bf Question 3.2 }Pour $k$ de $1$ {\`a} $n$,
$\varepsilon{}_k(u_1{},\ldots,u_n{})$ est la somme de tous les produits possibles qu'on
obtient en multipliant entre eux $k$ des $x_i{}$ d'indices tous diff{\'e}rents;
 c'est ce que l'on appelle
aussi la $k$-i{\`e}me fonction sym{\'e}trique {\'e}l{\'e}mentaire de $u_1{},\ldots\,u_n{}$. 

Le nombre de ces produits possibles est $\binome{n}{k}$. Si tous les $x_i{}$ sont
{\'e}gaux {\`a} $x$, chacun des produits est {\'e}gal {\`a} $x^k{}$. En remarquant que
$\varepsilon{}_0(x,\ldots,x)=1=\binome{n}{0}x^0$, on voit que, d'une fa{\c c}on g{\'e}n{\'e}rale
\reponse{$\varepsilon{}_k(x,\ldots,x)=\binome{n}{k}x^k$.}
Si $k$ est $\geq{}1$,
et si l'on fixe toutes les variables sauf une, $\varepsilon{}_k(u_1{},\ldots,u_n{})$ est
une fonction r{\'e}elle du premier degr{\'e} de la variable libre, donc
une fonction affine. $\varepsilon{}_k$ est donc multi-affine. C'est vrai aussi si $k=0$.

Si $(u'_1{},\ldots,u'_n{})$ est une permutation de $(u_1{},\ldots,u_n{})$,
on retrouve dans $\varepsilon{}_k(u'_1{},\ldots,u'_n{})$ tous les termes de
$\varepsilon{}_k(u_1{},\ldots,u_n{})$; {\`a} l'ordre pr{\`e}s. Les $\varepsilon{}_k$ sont donc bien des
{\'e}l{\'e}ments de $\A$.

Cette famille est libre: supposons que $\alpha{}_0\varepsilon{}_0+\ldots+\alpha{}_n{}\varepsilon{}_n{}=0$. En appliquant
cela {\`a} $(x,\ldots,x)$, $x$ {\'e}tant quelconque, cela donne
$\alpha{}_0+\ldots+\binome{n}{0}\alpha{}_kx^k+\ldots+\alpha{}_n{}x^{\rm n}=0$. Ce polyn\^o{}me ne peut {\^e}tre
nul que si tous ses coefficients sont nuls, ce qui prouve la nullit{\'e} des $\alpha{}_k$. 

Cette famille est g{\'e}n{\'e}ratrice de $\A$: consid{\'e}rons un {\'e}l{\'e}ment $f$ de $\A$:
l'application partielle obtenue en fixant $u_1{},\ldots,u_{n-1}$ est une
fonction affine de $u_n{}$ donc de la forme
 $A(u_1{},\ldots,u_{n-1})+u_n{}B(u_1{},\ldots,u_{n-1})$. En fixant $u_n{}$ aux valeurs
$0$ puis $1$, on voit que $A$ et $B$ sont des applications multi-affines
de $\Rsym^{n-1}$ dans $\Rsym^{}$. Par une r{\'e}currence imm{\'e}diate, on voit
que $f(u_1{},\ldots,u_n{})$ est, apr{\`e}s d{\'e}veloppement, une combinaison lin{\'e}aire d'un certain nombre
de produits de $u_i{}$ tous diff{\'e}rents. Par exemple, $n=9$ et le quatorzi{\`e}me
terme de $f(u_1{},\ldots,u9)$ est $8u_7u_2{}u_4$. Ajoutons membre {\`a} membre cette
expression formelle de  $f(u_1{},\ldots,u9)$ et des autres $f(u_{\sigma{}(1)},\ldots,u_{\sigma{}(9)})$,
qui lui sont tous {\'e}gales puisque $f$ est sym{\'e}trique.
 Divisons par le nombre $N$
de permutations des $9$ premiers entiers; nous obtenons une expression
formelle de $f(u_1{},\ldots,u9)$ o\`u{} figure, en quatorzi{\`e}me position,
$\Frac{8}N\Sum_{}^{}u_{\sigma{}(7)}u_{\sigma{}(2)}u_{\sigma{}(4)}$, la sommation {\'e}tant {\'e}tendue
{\`a} toutes les permutations $\sigma{}$ des $9$ premiers entiers. Si le terme
$\Frac{8}Nu_3.u_8.u_7$ appara{\^\i}t $p$ fois, le terme
$\Frac{8}Nu_6.u_7.u_9$ appara{\^\i}t
{\`a} l'{\'e}vidence autant de fois. En quatorzi{\`e}me position dans
$f(u_1{},\ldots,u9)$, on a finalement $\Frac{8p}N\varepsilon{}_3(u_1{},\ldots,u_9)$.
 Nous avons raisonn{\'e} sur un exemple pour all{\'e}ger les
{\'e}critures, mais cet exemple se g{\'e}n{\'e}ralise {\`a} l'{\'e}vidence et prouve que
$f(u_1{},\ldots,u_n)$ est combinaison lin{\'e}aire, {\`a} coefficients constants,
 des $\varepsilon{}_k(u_1{},\ldots,u_n{})$. 

En r{\'e}sum{\'e}
\reponse{la famille $(\varepsilon{}_k)_{0\leq{}k\leq{}n}$ est
une base de $\A$, qui est donc de dimension $n+1$.}
{\bf Question 3.3 }
Si $f=\Sum_{k=0}^{n}\alpha{}_k\varepsilon{}_k$, $l$ lui associe
$h$ d{\'e}finie par $h(x)=f(x,\ldots,x)= \Sum_{k=0}^{n}\alpha{}_k\binome{n}{k}x^k$;
$h$ appartient bien {\`a} $\Rsym_n{}[x]$; $l$ est donc bien une application de $\A$
vers   $\Rsym_n{}[x]$. Sa lin{\'e}arit{\'e} est {\'e}vidente.
L'image de $\varepsilon{}_k$ est la fonction polyn\^o{}me $x\rightarrow\binome{n}{k}x^k$;
au coefficient $\binome{n}{k}$ pr{\`e}s, c'est le $(k+1)$-i{\`e}me vecteur de 
la base canonique de $\Rsym_n{}[x]$ donc
\reponse{La matrice de $l$ dans les bases demand{\'e}es est diagonale,
avec les $\binome{n}{k}$ sur la diagonale.}
Aucun des termes diagonaux n'est nul: cette matrice carr{\'e}e est donc
inversible,donc
\reponse{$l$ est bijective.}
{\bf Question 3.4 } Pour que la question ait un sens, nous supposons que 
$\nu{}\geq{}1$; $P_j^{\nu{}}(x)$ est l'image  par $f$ d'un n-uplet o\`u{} $x$ appara{\^\i}t $\nu{}$ fois,
$1$ appara{\^\i}t $j$ fois et $0$ appara{\^\i}t $n-\nu{}-j$ fois. Puisque $f$ est
sym{\'e}trique, cela peut s'{\'e}crire $f(x,T)$, o\`u{} $T$ est un $(n-1)-$uplet o\`u{} $x$
appara{\^\i}t $\nu{}-1$ fois. Pour $T$ fix{\'e}, $f(x,T)$ est une fonction affine de $x$
donc $f(x,T)=(1-x)f(0,T)+xf(1,T)$ autrement dit 
\reponse{$P_j^{\nu{}}(x)=(1-x)P_j^{\nu{}-1}(x)+xP_{j+1}^{\nu{}-1}(x)$.}
A partir des $P_j^0{}(x)$ qu'on associe $2$ par $2$, on obtient donc
les $P_j^1{}(x)$, puis les $P_j^2{}(x)$ etc..jusqu'{\`a} l'unique
$P_j^{\rm n}(x)$ qui est $P_0^{\rm n}(x)=F(x)$. Le tableau demand{\'e} est {\'e}vident.
\vskip 8mm
{\bf Question 3.5 }
La premi{\`e}re proc{\'e}dure est {\'e}vidente.
Notons seulement que le tableau PP,
appel{\'e} par variable, sera effectivement
modifi{\'e} {\`a} la sortie.
\vskip 8mm
{\tt
FUNCTION Simple(VAR PP:TAB;x:REAL):REAL;

var j,nu:Integer;

begin

\{$On\  presume\  que\  PP[j,0]\ contient\  Pj$\}

for nu:=1 to n do begin

for j:=0 to n-nu do
      
PP[j,nu]:=(1-x)*PP[j,nu-1]+x*PP[j+1,nu-1];

end;

Simple:=PP[0,n];

end;}

La deuxi{\`e}me n'est pas beaucoup plus compliqu{\'e}e;
notons que le vecteur PP, appel{\'e} par valeur, retrouvera {\`a} la sortie sa
valeur de l'entr{\'e}e; la proc{\'e}dure peut donc, sans crainte, travailler
dessus.
\vskip 8mm
{\tt
FUNCTION Amelioree( PP:VECT;x:REAL):REAL

var j,nu:Integer;

begin

$\{$On pr{\'e}sume que PP[j] contient Pj$\}$

for nu:=1 to n do begin

for j:=0 to n-nu do

PP[j]:=(1-x)*PP[j]+x*PP[j+1];

$\{$On peut {\'e}craser l'ancien PP[j], car il n'est plus
 utile.$\}$

end;

Amelioree:=PP[0];

end;}
\vskip 8mm
{\bf 4 \  Polyn\^o{}mes de Bernstein.}

{\bf Question 4.1 }Si $f$ et $f'$ sont les floraisons de $F$ et $F'$, 
la floraison de $\lambda{}F+\mu{}F'$ est $\lambda{}f+\mu{}f'$ et on a donc:

$\varphi{}_i{}(\lambda{}F+\mu{}F')=(\lambda{}f+\mu{}f')(0^{n-i}1^i{}x^0{})=\lambda{}f(0^{n-i}1^i{}x^0{})+\mu{}f'(0^{n-i}1^i{}x^0{})=
\lambda{}\varphi{}_i{}(F)+\mu{}\varphi{}_i{}(F').$
\reponse{$\varphi{}_i{}$ est une forme lin{\'e}aire sur $\Rsym_n{}[x].$}
$\Phi{}$, donc les fonctions composantes sur la base canonique de $\Rsym^{n+1}$ sont
des formes lin{\'e}aires, est une application lin{\'e}aire (de $\Rsym_n{}[x]$ dans
$\Rsym^{n+1}$). Supposons que $F$ appartienne au noyau de $\Phi{}$, et que $f$
soit la floraison d'ordre $n$ de $F$. Alors tous les $P_j{}$ associ{\'e}s {\`a} $f$
sont nuls; le calcul de $F(x)$ de proche en proche par la formule de 3.4
va donner $F(x)=0$ pour tout $x$. La fonction polynomiale $F$ est donc nulle,
donc $\Phi{}$ est injective.
Comme c'est une application lin{\'e}aire entre espaces de m{\^e}me dimension
\reponse{$\Phi{}$ est un isomorphisme d'espaces vectoriels.}

{\bf Question 4.2 }
Puisque $(e_i{})_{0\leq{}i\leq{}n}$ est une base de $\Rsym^{n+1}$, $(B_i{}^{\rm n})_{0\leq{}i\leq{}n}$, qui
en est l'image par un isomorphisme, est une base de $\Rsym_n{}[x]$.

Les points de B{\'e}zier de $F$ sont les composantes de $\Phi{}(F)$ sur la base
canonique de $\Rsym^{n+1}$. Pour $B_i{}^{\rm n}$, cette image est $e_i{}$ donc
\reponse{Les points de B{\'e}zier de $B_i{}^{\rm n}$ sont nuls sauf le i-{\`e}me, qui vaut $1$.}
$\varphi{}_i{}(B_j{}^{\rm n})=\delta{}_i{}_j{}$ donc 
\reponse{la famille des $\varphi{}_i{}$ est la base duale de la base $(B_i{}^{\rm n})_{0\leq{}i\leq{}n}$.}
{\bf Question 4.3 }
Les composantes d'un vecteur sur une base d'un espace vectoriel de dimension
finie sont les images de ce vecteur par les formes coordonn{\'e}es associ{\'e}es {\`a}
cette base. Donc
\reponse{$\forall{}F\in\Rsym_n{}[x],\ F=\Sum_{i=0}^{n}\varphi{}_i{}(F)B_i{}^{\rm n}.$}
Appliquons cela au polyn\^o{}me constant
{\'e}gal {\`a} $1$. Tous ses points de B{\'e}zier sont {\'e}gaux {\`a} $1$, donc
\reponse{$\Sum_{i=0}^{n}B_i{}^{\rm n}=1$.}
{\bf Question 4.4 }Pour $P=B_i{}^{\rm n}$ et $x\in[0;1]$, les $P_j{}^0{}(0)$ valent $0$
ou $1$. Par r{\'e}currence sur $\nu{}$ limit{\'e}e {\`a} $\nu{}=n$, la formule du 3.4 montre
que les $P_j{}^\nu{}(x)$ sont tous dans $[0;1]$. En particulier pour
$\nu{}=n$. Donc
\reponse{$\forall{}x\in[0;1],\ 0\leq{}B_i{}^{\rm n}(x)\leq{}1.$}
{\bf Question 4.5 } $f$ est multi-affine. Quand on fixe toutes les variables,
notamment la derni{\`e}re qu'on fixe {\`a} la valeur $a$, sauf une choisie parmi les $n-1$
premi{\`e}res, on obtient une fonction affine. Donc $\tilde f$ est
multi-affine. Toute permutation des $n-1$ premi{\`e}res variables laisse $f$
inchang{\'e}e, donc $\tilde f$ est sym{\'e}trique. 
\reponse{$\tilde f\in{\mathcal AS}_{n-1}.$}
$\tilde F(a)=\tilde f(a$ r{\'e}p{\'e}t{\'e} $n-1$ fois$)=f(a$ r{\'e}p{\'e}t{\'e} $n$ fois$)=F(a).$

D'apr{\`e}s 4.3, on a
$\tilde F(a)=\Sum_{i=0}^{n-1}\tilde f(0^{n-1-i}1^i{}a^0{})B_i{}^{n-1}(a)$.
Comme $\tilde
f(0^{n-1-i}1^i{}a^0{})=f(0^{n-1-i}1^i{}a)=P_i{}^1{}(a)$,
on a bien
\reponse{$\tilde F(a)=\Sum_{i=0}^{n-1}P_i{}^1{}(a)B_i{}^{n-1}(a)$.}
On a donc $F(a)=\Sum_{j=0}^{n-1}P_j{}^1{}(a)B_j{}^{n-1}(a)$. En prenant
$F=B_i{}^{\rm n}$ et en rempla{\c c}ant $a$ par $x$:
$\forall{}x\in\Rsym,B_i{}^{\rm n}(x)=\Sum_{j=0}^{n-1}P_j{}^1{}(x)B_j{}^{n-1}(x)$.
Or $Pj^1{}(x)=(1-x)P_j{}^0{}(x)+xP_{j+1}^0{}(x)$. Les $P_j{}^0{}(x)$ sont les points de
B{\'e}zier de $B_i{}^{\rm n}$ donc nuls sauf le i-{\`e}me, qui vaut $1$.
Dans la somme pr{\'e}c{\'e}dente, il ne reste que deux termes, obtenus pour
$j=i$ et $j=i-1$, et m{\^e}me un seul si $i=n$ ou $i=0$.
Avec la convention faite dans l'{\'e}nonc{\'e}, on a:
\reponse{$\forall{}i\in\{0,\ldots,n\},\forall{}x\in\Rsym^{}$,
$B_i{}^{\rm n}(x)=(1-x)B_i{}^{n-1}(x)+xB_{i-1}^{n-1}(x)$.}
{\bf Question 4.6 }
En utilisant la formule de d{\'e}rivation d'une fonction compos{\'e}e d'une
variable par l'interm{\'e}diaire de $n$ variables,
la d{\'e}riv{\'e}e de $F$ calcul{\'e}e en $x$ est $\Sum_{1=1}^{n}u'_i{}(x)d_i{}$,
o\`u{} $d_i{}$ est la i-{\`e}me d{\'e}riv{\'e}e partielle de $f$ calcul{\'e}e en
$(u_1{}(x),\ldots,u_n{}(x))$. Comme $u_i{}(x)=x$, les $u'_i{}(x)$ sont {\'e}gaux {\`a} $1$;
comme les applications partielles sont du premier degr{\'e}, leurs d{\'e}riv{\'e}es
sont {\'e}gales aux taux d'accroissement {\`a} partir d'un point $u$ quelconque,
l'accroissement $h$ {\'e}tant quelconque;
 en $(u_1{}(x),\ldots,u_n{}(x))=(x,\ldots,x)$,
on a par exemple $d_n{}=\Frac{f(x,\ldots,x,u+h)-f(x,x,\ldots,u)}h.$
Les autres d{\'e}riv{\'e}es partielles sont {\'e}gales {\`a} $d_n{}$, car $f$ est
sym{\'e}trique. Tous les $u'_i{}(x)d_i{}$ sont {\'e}gaux {\`a}
$\Frac{f(x,\ldots,x,u+h)-f(x,x,\ldots,u)}h$ et
\reponse{$F'(x)=n\Frac{f(x,\ldots,x,u+h)-f(x,x,\ldots,u)}h.$}
Pour $u=0$ et $h=1$, cela donne
$F'(x)=n(f(x,\ldots,x,1)-f(x,\ldots,x,0))$.

En particulier, $F'(0)=n(f(0,\ldots,0,1)-f(0,\ldots,0))=n(\varphi{}_1{}(F)-\varphi{}_0(F))$
et $F'(1)=n(f(1,\ldots,1)-f(1,\ldots,1,0))=n(\varphi{}_n{}(F)-\varphi{}_{n-1}(F))$. 
 Pour $F=B_i{}^{\rm n}$, les $\varphi{}_k(F)$ sont nuls, sauf $\varphi{}_i{}(F)$ qui vaut $1$ .
Il en r{\'e}sulte:
\Reponse{$(B_i{}^{\rm n})'(0)=n$ si $i=1$, $(B_i{}^{\rm n})'(0)=-n$ si $i=0$ et les autres
 $(B_i{}^{\rm n})'(0)$ sont nuls.}{$(B_i{}^{\rm n})'(1)=n$ si $i=n$,
 $(B_i{}^{\rm n})'(1)=-n$ si $i=n-1$ et les autres
 $(B_i{}^{\rm n})'(0)$ sont nuls.}
{\bf Question 4.7 }
Pour $n=0$, l'unique $B_i{}^{\rm n}$ est une constante et $\varphi{}_0(B_i{}^{\rm n})=1$, donc
$B_i{}^{\rm n}$ est la constante $1$. Supposons par r{\'e}currence que la formule {\`a}
d{\'e}montrer soit vraie au rang $n-1$ et utilisons la formule de 4.5.

Pour $i$ de $1$ {\`a} $n-1$, cela donne:

$B_i{}^{\rm n}(x)=(1-x)\binome{n-1}i(1-x)^{n-1-i}x^i+
x\binome{n-1}{i-1}(1-x)^{n-i}x^{i-1}=
(\binome{n-1}i+\binome{n-1}{i-1})(1-x)^{n-i}x^i=
\binome ni (1-x)^{n-i}x^i.$

Pour $i=0$, cela donne $B_0^{\rm n}(x)=(1-x)B_0^{n-1}(x)+0=
(1-x)\binome{n-1}0(1-x)^{n-1}=
 \binome{n}0(1-x)^nx^0{}.$

 Pour $i=n$, cela marche de m{\^e}me.
On a donc montr{\'e} par r{\'e}currence  sur $n$ que:
\reponse{$\forall{}i$ de $0$ {\`a} $n$, $\forall{}x\in\Rsym,B_i{}^{\rm n}(x)=\binome ni(1-x)^{n-i}x^i{}.$ }
\end{document}
 




 
