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% AVERTISSEMENTS :
% 1 Lire sous PLAIN FRANCAIS sans inputer quoi que ce soit.
% 2 Toute remarque est bienvenue
% Luc Verschueren 8 rue du Prof. Picard 30000 N”mes. AmitiŽ ˆ tous .
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%MACROS USUELLES%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\hsize=160mm \vsize=250mm \parindent=0mm
\def\rm{\fam0\tenrm} %fonte usuelle
\def\ind{\hskip -7mm\relax} %titre en retrait
\def\blanc{\vskip 2mm} %petit blanc
\def\Blanc{\vskip 4mm plus 1mm minus 1mm} %moyen blanc %petit blanc
\font\gbf=cmbxsl10 scaled\magstep1 %fonte des titres
\def\trait{\hrule height 1.4pt depth 1pt width 15cm} %trait horizontal
%encadrement :
\def\cadre#1#2{\vbox{\hrule\hbox{\vrule %#1={2pt}
\vbox spread#1{\vfil\hbox spread#1{\hfil#2\hfil}\vfil} %#2={texte}
\vrule}\hrule}}
\def\sslig{\underbar} %soulignŽ
\def\conj{\overline} %conjuguŽ
\def\vec#1{\overrightarrow{#1}} %vecteur avec flche
\def\argsh{\mathop{\rm argsh}\nolimits}
\def\cotan{\mathop{\rm cotan}\nolimits}
\let\lll=\lambda \let\ttt=\theta \let\aaa=\alpha \let\bbb=\beta
\let\ggg=\gamma \let\ddd=\delta \let\ooo=\omega \let\mmm=\mu
\let\fff=\varphi \let\ppp=\psi \let\rrr=\rho
\let\ccc=\chi \let\PPP=\Phi \let\PpP=\Psi
\def\cccc{\hat \chi} \def\ffff{\hat \varphi}
\def\rmat{\hbox{\bf I\hskip -0.15em R}}
\def\zmat{\hbox{\bf Z\hskip -0.3em Z}}
\def\nmat{\hbox{\bf I\hskip -0.15em N}}
\def\cmat{\hbox{\bf \ 1\hskip -0.60em C}}
\def\M#1#2{{\cal M}_{#1}(#2)} %M2(R) matrices
\def\L#1#2{{\cal L}(#1)^{#2}} %L(R2) endomorphismes
\let\dps=\displaystyle
\def\ssi{si et seulement si }
\let\SSI=\Longleftrightarrow
\let\vers=\rightarrow
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%CORRIGE DU PROBLEME%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%CORRIGE DU PROBLEME%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%CORRIGE DU PROBLEME%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%% %%%
%%%%%% TITRE %%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\centerline{\gbf CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUES 1996 ( ex - ENSI )}
\vskip 2mm
\centerline{\gbf Epreuve de Math\'ematiques 2
( Sp\'ecifique au Concours Ph - M )}
\blanc
\centerline{\it Etude qualitative et quantitative de l'Equation
Diff\'erentielle du Pendule}\vskip 8mm
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% partie 1
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\noindent{\gbf $\underline{\hbox{Premi\`ere Partie}}$\vskip 8mm
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ind {\gbf \hbox{Question 1 a :}}\par\rm\blanc
L'\'equation (1) peut s'\'ecrire \sslig{sous forme r\'esolue}:
$x''=-{\ooo}^2 \ \sin(x)$ de la forme $x''=f(t,x,x')$ \par
avec $f$ de
\sslig{classe $C^1$} sur l'\sslig{ouvert $\rmat^3$}\par
Le Th\'eor\`eme de Cauchy-Lipschitz s'applique donc et assure que
pour tout triplet $(t_0,v_0,v'_0)$ de $\rmat^3$ \par
passe une
\sslig{solution maximale et une seule},que cette solution est
d\'efinie sur \par
un \sslig{intervalle} \sslig{ouvert} et que les graphes de ces
solutions forment une \sslig{partition} de $\rmat^3$\par
Au point $(t_0,v_0,v'_0)=(0,0,a)$ le th\'eor\`eme assure :\par
\blanc
\quad {\raise -1mm\cadre{2pt}
{\ l'existence et l'unicit\'e de $\fff$\ }} \par
Et $\fff$ est d\'efinie sur $I$ ouvert contenant $0$\par
Si $(J,\psi)$ est une autre solution de (2) ,telle que $0\in J$
alors $J \subset I$ et:\par
\sslig{$\psi$ est la restriction \`a $J$ de $\fff$}
\Blanc
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ind {\gbf \hbox{Question 1 b :}}\par\blanc
\sslig{Par r\'ecurrence}:$\quad \forall k \in \nmat$ ,
$\fff$ est $C^{2k}$ sur $I$ .\par
Car $\fff$ est d\'erivable donc continue sur $I$ , donc $\sin(\fff)$
est continue sur $I$ , ainsi $\fff''$ est continue sur $I$ :
$\fff \in C^{2}(I)$.\par
De m\^eme, si $\fff$ est $C^{2k}(I)$ alors
$\fff''=-\omega^{2}\sin(\fff)$ est aussi $C^{2k}(I)$,
donc $\fff$ est $C^{2k+2}(I)$\par
\blanc
d'o\`u : \quad {\raise -1mm\cadre{2pt}
{\ $\fff$ est $C^{\infty}$ sur $\rmat$ \ }} \par
\Blanc
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ind {\gbf \hbox{Question 1 c : }}\par\blanc
Si $a=0$ , la fonction \sslig{constamment nulle} est solution de (2)
sur $\rmat$ , par unicit\'e :\par
c'est donc $\fff$\par
\Blanc
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ind {\gbf \hbox{Question 2 a : }}\par\blanc
Soit $\ddd$ l'application de $I$ dans $\rmat$ : $t \vers
\fff'\ ^{2}(t)-2\omega^{2}\cos(\fff(t))$\par
$\ddd$ est $C^{\infty}$ sur $I$ et
$\ddd'(t)=2\fff'(t)\lbrack\fff''(t)+\omega^{2}\sin(\fff(t))\rbrack $\par
Donc : $\ddd'(t)=0$ sur $I$ \sslig{intervalle}\par
$\ddd$ est \sslig{constante} sur $I$ et vaut
\sslig{$\ddd(0)=a^{2}-2\omega^{2}$}
\Blanc
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ind {\gbf \hbox{Question 2 b : }}\par\blanc
On a donc :\quad {\raise -2mm\cadre{2pt}
{\ $\fff'\ ^{2}(t)=a^{2}-2\omega^{2}
+2\omega^{2}\cos(\fff(t)) $ sur $I$\ }} \par
\blanc
Et $\fff'\ ^{2}(t)\in [a^{2}-4\omega^{2},a^{2}]$ ainsi $\fff'$ est
\sslig{bornŽe sur $I$} (et donc $\fff$ est lipschitzienne)\par
\vskip 3mm plus 1mm minus 1mm
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ind {\gbf \hbox{Question 3 a : }}\par\blanc
\sslig{Supposons que} :$\ggg \in \rmat^{*}_{+}$ . Alors :
$\dps \fff(t)=\fff(0)+\int_0^{t}\fff'(t)\ dt=\int_0^{t}\fff'(t)\ dt$\par
Or $\fff'$ est bornŽe et continue sur $[0,\ggg[$ , donc
$\dps \int_0^{\ggg}|\fff'(t)|\ dt$ est \sslig{convergente}\par
L'absolue convergence entraine la convergence ($\rmat$ est complet)\par
\blanc
\centerline{{\cadre{2pt}
{\quad $\dps{\lim_{t\vers \ggg^{-}}\fff(t)}$ existe dans $\rmat$ .
\quad Soit $l$ cette limite .\ }} }\par
\Blanc
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ind {\gbf \hbox{Question 3 b : }}\par\blanc
Par continuit\'e de sinus sur $\rmat$ :
$\dps{\lim_{t\vers \ggg^{-}}\fff''(t)=-\omega^{2}\sin(l)}$\par
et $\dps \fff'(t)=a+\int_0^{t}\fff''(u)\ du$ tend vers
\quad {\raise -4mm\cadre{2pt}
{\ $\dps l'=a+\int_0^{\ggg}\fff''(u)\ du$ \ }}\par
\blanc
Cette int\'egrale est faussement
impropre , puisque $\fff''$ est prolongeable par continuit\'e
sur $[0,\ggg]$
\Blanc
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ind {\gbf \hbox{Question 3 c : }}\par\blanc
Rappellons le \sslig{th\'eor\`eme de prolongement} $C^{1}$ :\par
Soit $f$ continue sur $[a,b]$ , \`a valeurs dans $E$ de dimension finie ,
$C^{1}$ sur $[a,b[$ .\par
Si $\dps{\lim_{t\vers b^{-}} f'(t)}$ existe
dans $E$ , alors $f$ est $C^{1}$ sur $[a,b]$ , en prolongeant $f'$ par
sa limite .\par
En l'appliquant successivement \`a $\fff$ sur $[0,\ggg[$ , puis \`a
$\fff'$ , on a donc :\par
\blanc
\centerline{{\cadre{2pt}
{\ $\fff\ $ est de classe $C^{2}$ sur $]\bbb,\ggg]$\ }} }\par
\Blanc
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ind {\gbf \hbox{Question 3 d : }}\par\blanc
Mais $(\ggg,l,l')\in \rmat^{3}$ et par ce point \sslig{passe une solution}
maximale et une \sslig{seule} de (1) :\par
$\psi$ d\'efinie sur un intervalle
ouvert contenant $\ggg$.\par
Elle co\"\i ncide avec $\fff$ en $\ggg$ , et
$\fff'(\ggg)=\psi'(\ggg)$ et de m\^{e}me :
$\fff''(\ggg)=-\omega^{2}\sin(l)=\psi''(\ggg)$.\par
Donc \sslig{$\fff$ et $\psi$ se raccordent de fa\c con $C^{2}$ en $\ggg$}\par
Si on note : $J=]\bbb',\ggg'[$\quad l'intervalle sur lequel $\psi$ est
solution
de (1) , on a sur l'intervalle $]\bbb,\ggg'[$\par
une solution de (2):\par
\qquad $x(0)=0\quad x'(0)=a \quad x(t)=\fff(t)$ sur $]\bbb,\ggg[$ \quad et
$x(t)=\psi(t)$ sur $[\ggg,\ggg'[$\par
Ce qui contredit le caract\`ere \sslig{maximal} de la solution $\fff$\par
Donc : $\ggg \notin \rmat_{+}^{*}$ et ainsi $\ggg=\infty$\par
De m\^{e}me avec $\bbb$ .
On a donc :\quad {\raise -1mm\cadre{2pt}{\ $I=\rmat$ \ }} \par
\Blanc
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ind {\gbf \hbox{Question 4 a : }}\par\blanc
Soit :\quad {\raise -1mm\cadre{2pt}
{\ $x(t)=\fff(t-\ddd)$ \ }} \quad $x$ est $C^{\infty}$
sur $\rmat$ et :\par
$x'(t)=\fff'(t-\ddd)$\quad $x''(t)=\fff''(t-\ddd)$\par
Donc $x''(t)=-\ooo^{2}\sin(\fff(t-\ddd))=-\ooo^{2}\sin(x(t))$\par
\blanc
\quad {\raise -1mm\cadre{2pt}
{\ $(\rmat,x)$ est une solution maximale de (1) avec :
$x(\ddd)=\fff(0)=0$ et $x'(\ddd)=\fff'(0)=a$\ }} \par
\Blanc
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ind {\gbf \hbox{Question 4 b : }}\par\blanc
Consid\'erons :\quad {\raise -1mm\cadre{2pt}
{\ $x(t)=-\fff(-t)$ \ }}
\quad $x$ est $C^{\infty}$
sur $\rmat$ et : \par
$x'(t)=\fff'(-t)$\quad $x''(t)=-\fff''(-t)
=-(-\ooo^{2}\sin(\fff(-t)))=-\ooo^{2}\sin(x(t))$\par
$(\rmat,x)$est une solution maximale de (2) car :
$x(0)=-\fff(0)=0$ et $x'(0)=\fff'(0)=a$\par
Par \sslig{unicit\'e} on retrouve donc $\fff$:\par
\blanc
\setbox1=\hbox{$\ \forall t \in \rmat \quad \fff(t)=-\fff(-t)$\qquad
$\fff$ est impaire sur $\rmat$\ }
\qquad \qquad \qquad{\raise -1mm\cadre{2pt}{\box1}} \par
\Blanc
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ind {\gbf \hbox{Question 4 c : }}\par\blanc
Consid\'erons :\quad {\raise -1mm\cadre{2pt}{\ $x(t)=\fff(-t)$\ }}
\quad de m\^{e}me $x$ est $C^{\infty}$
sur $\rmat$ et :\par
$x''(t)=\fff''(-t)
=-\ooo^{2}\sin(\fff(-t))=-\ooo^{2}\sin(x(t))$\par
$(\rmat,x)$est une solution maximale de (1) avec :
$x(0)=\fff(0)=0$ et $x'(0)=-\fff'(0)=-a$\par
\blanc
\setbox2=\hbox{\ $x(t)=\fff(-t)$ sur $\rmat$ est la solution cherch\'ee }
Enfin : \quad {\raise -1mm\cadre{2pt}{\box2}} \par
C'est aussi $-\fff(t)$ par imparit\'e.\par
\Blanc
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\Blanc \trait \Blanc
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% partie 2
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\noindent{{\gbf $\underline{\hbox{Deuxi\`eme Partie .}}$}
\Blanc\Blanc
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ind {\gbf \hbox{Question 1 : }}\par\blanc
On a vu : $\fff'^{2}(t)=a^{2}-2\ooo^{2}(1-\cos(\fff(t)))$
sur $\rmat$ . Donc si $\fff'(\aaa)=0$ , on a :
$a^{2}=2\ooo^{2}(1-\cos(\fff(t)))$ d'o\`u : $a^{2} \leq 4\ooo^{2}$
et donc : \quad {\raise -1mm\cadre{2pt}{\ $00$ donc : \sslig{$\fff'(t) >0$ sur $\rmat$}.\par
(Sinon thm des Valeurs interm\'ediaires)\par
$\fff$ est donc telle que : $\fff'(t)>0 \quad
\fff'^{2}(t)=4\ooo^{2}[\cos({\fff(t) \over 2})^{2}] \quad $ et
$\cos({\fff(t) \over 2})>0$ .\par
D'o\`u : \quad {\raise -1mm\cadre{2pt}
{\ $\dps \fff'(t)=2\omega \cos({\fff(t) \over 2})$ sur $\rmat$
\quad et \quad$\fff(0)=0$\ }}\par
R\'eciproquement , appellons : \par
\sslig{(4) le probl\`eme de Cauchy} :
$\dps x'(t)=2\omega \cos({x(t) \over 2})$
sur $\rmat$ \quad et \quad $x(0)=0$\par
Le thm de Cauchy-Lipschitz pour les \'equations d'ordre $1$ assure
qu'en $(0,0)$ passe une seule \par
solution maximale.\par
$\fff$ v\'erifie (4) sur $\rmat$ : c'est \sslig{la} solution de (4).\par
\Blanc
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ind {\gbf \hbox{Question 2 c : }}\par\blanc
L'\'equation (4) est \sslig{\`a variables s\'eparables} et :
$\dps \cos({\fff(t) \over 2})\not = 0$ \quad
$\dps \tan({\fff(t)+\pi \over 4}) > 0$ .\par
Ainsi :\par
$$\bigl(\fff \ solution \ de\ (4)\ sur\ \rmat\ \bigr)
\SSI \Bigl({\fff'(t) \over 2\cos({\fff(t) \over 2})}=\ooo \quad sur \
\rmat\ et\ \fff(0)=0 \Bigr)$$
$$\SSI \Bigl( \ln \left|{\tan\bigl({\fff(t)+\pi \over 4}\bigr)}\right|
=\ooo t+c \quad
avec \ c \in \rmat \quad et \ \fff(0)=0 \Bigr)$$
$$\SSI \Bigl( c=0\quad et \ \tan \bigl({\fff(t)+\pi \over 4}\bigr)
=e^{\omega t}\ sur \ \rmat \Bigr)$$
Ainsi : \quad {\raise -1mm\cadre{2pt}
{\ $\fff(t)=4\arctan (e^{\omega t}) -\pi$ sur $\rmat$}\ } \par
\blanc
\setbox4=\vtop{}
\ht4=35mm \dp4=20mm \wd4=90mm
\setbox5=\vtop{\hsize=55mm
\hbox{}\par
\hbox{}\par
{\sslig{Trac\'e} : }\par
\hbox{}\par
\hbox{}\par
{On sait : $\fff'(t) > 0 $}\par
{\qquad $\fff$ strictement croissante }\par
{\qquad $\fff$ impaire}\par
{\qquad quand $t \vers \infty$ : }\par
{\qquad \qquad $\fff(t)=\pi-4\arctan(e^{-\ooo t})\ $}\par
{\qquad \qquad $\fff(t)=\pi -4e^{-\ooo t}+o(e^{-\ooo t})\ $}\par }
\hbox {\raise 60mm\box5\ \cadre{2pt}{\box4}}
\blanc
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ind {\gbf \hbox{Question 3 a : }}
\quad {\raise -1mm\cadre{2pt}{Cas : $a > 2\ooo$}}
\par\blanc
Puisque : $\fff'^{2}(t)=a^{2}-2\ooo^{2}(1-\cos(\fff(t)))$
sur $\rmat$ , $\fff'^{2}(t)\geq a^2-4\ooo^{2}=m>0$ .\par
Avec $\fff'(0)=a>0$
et le Thm des Valeurs interm\'ediaires :
\sslig{$\fff'$ reste strictement positive} \par
et \sslig{$\forall t \in \rmat \quad\fff'(t) \geq \sqrt m$}\par
Ainsi : $\fff$ est $C^{\infty}$ , avec $\fff'>0$ : c'est un
$C^{\infty}$-diff\'eomorphisme de $\rmat$ sur $\fff(\rmat)$.\par
Or : $\fff(t)-\fff(0)=\int_0^{t}\fff'(u)\ du \geq {\sqrt m}t$
donc : $\dps {\lim_{t \vers \infty}\fff(t)=\infty}$ .\par
\blanc
De m\^{e}me en $-\infty$ :ainsi $\fff(\rmat)=\rmat$
\quad {\raise -1mm\cadre{2pt}
{\ $\fff \ C^{\infty}$-diff\'eomorphisme de $\rmat$ sur $\rmat$\ }}\par
\blanc
De plus , soit \sslig{le probl\`eme de Cauchy (5)}:
$\bigl( x'(t)={\sqrt {m+2\omega^{2}(1+\cos(x(t)))}}$ \
et $x(0)=0 \bigr)$.\par
Comme \`a la question 2-b),le probl\`eme (5)
\'equivaut , dans ce cas , au probl\`eme (2).\par
\Blanc
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ind {\gbf \hbox{Question 3 b : }}\par\blanc
On a sur $\rmat$ :
$\bigl(\ttt=\fff(t) \bigr)\SSI \bigl(t=\psi(\ttt) \bigr)$\par
Ainsi : $\psi=(\fff)^{-1}$ est $C^{\infty}$ , $\psi(0)=0$ et :
$\dps{\psi'(\ttt)={1 \over \fff'(\psi(\ttt))}
={1 \over {\sqrt{m+2\omega^{2}(1+\cos(\ttt)) }}}}$\par
\qquad {\raise -1mm\cadre{2pt}
{$\dps{\psi(\ttt)=\int_0^{\ttt}
{du \over {\sqrt{m+2\omega^{2}(1+\cos(u)) }}}}$ sur $\rmat$}}\par
\blanc
Soit \sslig{$T=\psi(2\pi)$} , la fonction qu'on int\`egre est $2\pi$-
p\'eriodique :\par
$$\forall \ttt \in \rmat :\quad \psi(\ttt+2\pi)-\psi(\ttt)=
\int_{\ttt}^{\ttt+2\pi}{du \over {\sqrt{m+2\ooo^{2}(1+\cos(u))}}}=
\int_{0}^{2\pi}{du \over {\sqrt{m+2\ooo^{2}(1+\cos(u))}}}=T$$
\qquad {\raise -1mm\cadre{2pt}
{\ $\psi(\ttt+2\pi)=\psi(\ttt)+T$ sur $\rmat$\ }\par
Avec $ \fff=(\psi)^{-1}$ et $\ttt=\fff(t)$ on a :
\qquad {\raise -1mm\cadre{2pt}
{\ $\fff(t)+2\pi=\fff(\psi(\ttt)+T)=\fff(t+T)$ sur $\rmat$\ }\par
\Blanc
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ind {\gbf \hbox{Question 4 a : }}
\quad {\raise -1mm\cadre{2pt}{Cas : $a < 2\ooo$}} \par\blanc
Alors : $0 0$ sur cet intervalle et
$\psi(]-\aaa,\aaa[)=]-\tau,\tau[$ (car $\psi$ est impaire) . Ainsi
par le thm de caract\'erisation des diff\'eomorphismes de $\rmat$:\par
\blanc
\quad {\raise -1mm\cadre{2pt}{\ $\psi$ est un
$C^{\infty}$-diff\'eomorphisme de $]-\aaa,\aaa[$ dans $]-\tau,\tau[$\ }}\par
\Blanc
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ind {\gbf \hbox{Question 4 c : }}\par\blanc
$\Bigl(\ttt=\ccc(t)\ $ sur $]-\tau,\tau[\Bigr)
\SSI \Bigl(t=\psi(\ttt)\ $ sur $]-\aaa,\aaa[\Bigr)$\par
Et $\dps{\ccc\,'(t)={1 \over {\psi\,'(\ccc(t))}}
={\sqrt {2\ooo^2(\cos(\ccc(t))-\cos(\aaa))}}}$ . Le contenu
du radical \sslig{reste $>0$} sur $]-\tau,\tau[$ , donc sur cet
intervalle :$\ccc\,'^{2}(t)=2\ooo^2(\cos(\ccc(t))-\cos(\aaa))$ et en
d\'erivant on a :\par
$\ccc\,'(t)\ccc\,''(t)=\ooo^2\ccc\,'(t)[-\sin(\ccc(t))]$ , avec $\ccc\,'(t)>0$
enfin : $\ccc\,'(0)=\sqrt{2\ooo^2[1-\cos(\aaa)]}=a$ .\par
\blanc
Donc :\quad {\raise -1mm\cadre{2pt}
{\ $\ccc(0)=0 \quad \ccc\,'(0)=a$ et
sur $]-\tau,\tau[$\ : $\ccc\,''(t)=-\ooo^2\sin(\ccc(t))$\ }}\par
$\ccc$ est une solution de (2) sur $]-\tau,\tau[$.\par
\sslig{$\ccc$ est impaire} (fonction r\'eciproque de $\psi$), \'etudions
les limites quand $t \vers \tau^{-}$ :\par
On a :\quad $\ccc(t) \vers \aaa \qquad \ccc'(t) \vers 0 \qquad $
et \quad $\ccc''(t) \vers -\ooo^2\sin(\aaa)$\par
Avec le thm de prolongement d\'ej\`a cit\'e : \sslig{$\ccc$ se prolonge}
en une fonction $C^2$ sur $[-\tau,\tau]$ , solution de (2) . \par
\blanc
\quad {\raise -1mm\cadre{2pt}{\ $\ccc$ est la restriction de
$\fff$ \`a $[-\tau,\tau]$\ }}\par
\Blanc
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ind {\gbf \hbox{Question 4 d : }}\par\blanc
$\cccc$ est $C^2$ sur $[\tau,3\tau]$ et $\cccc(t)=\ccc(2\tau-t)$
par imparit\'e de $\ccc$\par
Le graphe de $\cccc$ est \sslig{sym\'etrique} de celui de $\ccc$ par
rapport \`a la \sslig{verticale $t=\tau$} .\par
$\cccc\,'(t)=-\ccc\,'(t-2\tau) \quad et \ \cccc\,''(t)=-\ccc\,''(t-2\tau)
=-[-\ooo^2\sin(\ccc(t-2\tau))] \quad sur \ [\tau,3\tau]$\par
D'o\`u : $\cccc(\tau)=\aaa \quad \cccc\,'(\tau)=0 \quad \cccc\,''(t)
=-\ooo^2\sin(\cccc(t))\ sur \ [\tau,3\tau]$\par
$\cccc$ est la solution d'un probl\`eme de Cauchy associ\'e \`a (1)
avec :\par
$x(\tau)=\aaa=\fff(\tau)\quad x'(\tau)=0=\fff'(\tau)$ .\par
\blanc
Donc \quad {\raise -1mm\cadre{2pt}
{\ $\cccc$
co\" \i ncide avec la restriction de $\fff$ \`a $[\tau,3\tau]$ .\ }}\par
(Par unicit\'e de solution de (1) en $t=\tau$ ).\par
\Blanc
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ind {\gbf \hbox{Question 4 e : }}\par\blanc
$\ffff$ est $C^{\infty}$ sur $\rmat$ et $\ffff\,''(t)=\fff''(t+2\tau)
=-\ooo^2\sin(\fff(t+2\tau))=-\ooo^2\sin(\ffff(t))$ .\par
$\ffff(0)=\fff(2\tau)=\cccc(2\tau)=-\ccc(0)=0 \quad et \ \ffff\,'(0)=
\fff'(2\tau)=\cccc\,'(2\tau)=-\ccc\,'(0)=-a$ .\par
$\ffff$ est solution de (1) sur $\rmat$ : c'est la solution \'etudi\'ee
au I-4-c) :
\quad {\raise -1mm\cadre{2pt}{\ $\forall t \in \rmat \quad
\ffff(t)=-\fff(t)$\ }}\par
Ainsi $\forall t \in \rmat \quad \fff(t+2\tau)=-\fff(t)$ , donc
$2\tau$ est une \sslig{antip\'eriode} de $\fff$ \par
\blanc
et :
\quad {\raise -1mm\cadre{2pt}{\ $\fff$ est de p\'eriode $4\tau$\ }}\par
\Blanc
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ind {\gbf \hbox{Question 4 f \quad et \ 4 g : }}\par\blanc
\setbox6=\vtop{}
\ht6=35mm \dp6=20mm \wd6=90mm
\setbox7=\vtop{\hsize=55mm
\hbox{}\par
\hbox{}\par
\hbox{}\par
{$\fff$ est $4\tau$ p\'eriodique}\par
{Sur $[-\tau,\tau]$ : $\fff(t)=\ccc(t)$ }\par
{\qquad impaire et $\fff'(t)>0$}\par
{\qquad $(\fff(t)=0)\SSI (t=0)$}\par
{\qquad $(\fff'(t)=0)\SSI (t=\tau \ ou\ -\tau)$\ }\par
{Sur $[\tau,3\tau]$ : $\fff(t)=\cccc(t)$ }\par
{Sym\'etrique du graphe}\par
{\qquad pr\'ec\'edent par rapport}\par
{\qquad\`a la verticale $t=\tau$ }\par }
\hbox {\raise 60mm\box7\quad\cadre{2pt}{\box6}}
\vskip 2mm
\quad {\raise -1mm\cadre{2pt}
{\ $\bigl(\fff(t)=0 \bigr)\SSI \bigl(t \in 2\tau \zmat \bigr)
\qquad et \quad \bigl(\fff'(t)=0 \bigr)\SSI
\bigl(t \in \tau+2\tau \zmat \bigr)$\ }}\par
\Blanc \trait \Blanc\Blanc
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% partie 3
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\noindent{{\gbf $\underline{\hbox{Troisi\`eme Partie .}}$}
\qquad {\raise -1mm\cadre{2pt}{Cas : $a < 2\omega$}} \par
$T(\aaa)$ est donc la \sslig{p\'eriode de $\fff$}
associ\'ee \`a $a=\fff'(0)$ et $\dps{\aaa=sup_{\rmat}(\fff(t))}$ .\par
\Blanc\Blanc
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ind {\gbf \hbox{Question 1 a : }}\par\blanc
Pour $k \in \rmat \setminus \nmat$ on sait que $(1+t)^{k}$ est
\sslig{d\'eveloppable en s\'erie enti\`ere} \par
de rayon de convergence $R=1$\par
En appliquant ce r\'esultat \`a :
$k=-{1 \over 2}\quad t=-v^2\quad v\in ]-1,1[$\par
$\dps{1 \over {\sqrt {1-v^2}}}
=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n} \over {n!}}v^{2n}\quad sur \ ]-1,1[$ \par
avec : \quad {\raise -1mm\cadre{2pt}
{\ $\dps \forall n \in \nmat \quad a_n=(-1)^{n}\bigl({-1 \over 2} \bigr)
\bigl({-3 \over 2} \bigr)\cdots \bigl({{1-2n} \over 2} \bigr)
={{(2n)!} \over {4^n\ n!}} $\ }} \par
\Blanc
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ind {\gbf \hbox{Question 1 b : }}\par\blanc
\sslig{$\lll$ est fix\'e} dans $]-1,1[$ :
$\dps \forall \ttt \in [0,\pi/2]\ ,\quad |u_{n}(\ttt)|
\leq {a_{n} \over {n!}}{|\lll|}^{2n}$\par
Ainsi : $\dps N_{\infty} (u_n)=sup_{[0,\pi/2]}\ |u_{n}(\ttt)|\quad $ existe
et est major\'e par $\dps {a_{n} \over {n!}}{|\lll|}^{2n}$\par
Or la s\'erie majorante est convergente $\Bigl($ vers
$\dps{1 \over {\sqrt {1-{\lll}^2}}}$ $\Bigr)$\par
donc la s\'erie
$\sum N_{\infty} (u_n)$ est convergente:\par
\blanc
La s\'erie de fonctions $\sum \ u_n$ \sslig{converge normalement}
sur $[0,\pi/2]$\par
\Blanc
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ind {\gbf \hbox{Question 1 c : }}\par\blanc
On a ainsi convergence uniforme sur $[0,\pi/2]$ et on peut intervertir
les signes : $\int$ et $\sum$ . L'int\'egrale de la somme totale de la
s\'erie est la somme totale de la s\'erie des int\'egrales:\par
\blanc
\quad {\raise -1mm\cadre{2pt}
{Pour $\dps \lll \in ]-1,1[\quad f(\lll)
=\int_0^{\pi/2}\bigl[\ \sum_0^{\infty}u_{n}(\ttt)\bigr]\ d\ttt
=\sum_0^{\infty}{a_n \over {n!}}\bigl[
\int_0^{\pi/2}\cos^{2n}\ttt \ d\ttt \bigr]\lll^{2n} $}} \par
De plus : $\dps I_{2n}=\int_0^{\pi/2}\sin^{2n}(\ttt)\ d\ttt
=\int_0^{\pi/2}\cos^{2n}(u)\ du$\par
par changement de variable : $u={\pi/2}-\ttt$\par
Donc : $f$ est d\'eveloppable en s\'erie enti\`ere de rayon
{\raise -1mm\cadre{2pt}{\ $R\geq 1$\ }}
(car elle converge sur $]-1,1[$ )\par
\blanc
\qquad \qquad avec:
\quad {\raise -4mm\cadre{2pt}
{$\dps f(\lll)=\sum_0^{\infty}{a_n \over {n!}}\ I_{2n}\ \lll^{2n}$}}\par
\Blanc
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ind {\gbf \hbox{Question 1 d : }}\par\blanc
On retrouve les \sslig{int\'egrales de Wallis}:\par
pour $p \geq 1$ :\quad$I_{p+1}
=\int_0^{\pi/2}\sin^{p-1}(\ttt)\sin^{2}(\ttt)\ d\ttt
=I_{p-1}-\int_0^{\pi/2}[\ \sin^{p-1}(\ttt)cos(\ttt)\ ]\cos(\ttt)\ d\ttt$ \par
\qquad \qquad \qquad \qquad
$=I_{p-1}-\bigl[\ {{\sin^{p}(\ttt)}\over{p}}\cos(\ttt)\ \bigr]_0^{\pi/2}
-{1 \over p}\int_0^{\pi/2}\sin^{p}(\ttt)\sin(\ttt)\ d\ttt$\par
par int\'egration par partie (fonctions $C^{1}$ sur un segment).\par
\blanc
D'o\`u \quad {\raise -4mm\cadre{2pt}
{$\ \dps \forall p \in \nmat^{*}\quad I_{p+1}={p \over p+1}I_{p-1}\ $}}\par
\blanc
Avec la r\`egle de d'Alembert , pour $\lll$ non nul :\par
$\dps \biggl( {a_{n+1} \over {(n+1)!}}I_{2n+2}\lll^{2n+2}\biggr)
\biggl( {{n!} \over {{a_n}I_{2n}\lll^{2n}}}\biggr)\vers \lll^2$ \quad
quand $n\vers \infty$ . \par
\blanc
donc : \quad {\raise -1mm\cadre{2pt}
{$\ R=1$ rayon de convergence du d\'eveloppement
en s\'erie enti\`ere de $f$ \ }}\par
Avec $\dps I_0={\pi \over 2}$ et une r\'ecurrence claire :
$\dps \forall n \in \nmat \quad I_{2n}
={{(2n)!}\over {(2^{n}n!)^{2}}}{\pi \over 2}$\par
Ainsi : \quad {\raise -6mm\cadre{2pt}
{$\ \dps sur \ ]-1,1[ \quad f(\lll)={\pi \over 2}\sum_0^{\infty}
\bigl[{{(2n)!} \over {4^{n}(n!)^{2}}}\bigr]^{2}\ \lll^{2n}$\ }}\par
\Blanc
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ind {\gbf \hbox{Question 2 a ) }}\quad {\raise -1mm\cadre{2pt}
{\ pour de petites oscillations ($\aaa$ proche de $0$ )}}\par
\blanc
$\dps T(\aaa)=4\int_0^{\aaa}{du \over {\sqrt {2\ooo^2(\cos(u)-\cos(\aaa)}}}$
int\'egrale g\'en\'eralis\'ee convergente .\par
Pour : $\dps {\aaa \over 2}\in\ ]0,\pi/2[$ \quad
et \quad $\dps \sin({\aaa \over 2})\in\ ]0,1[$:\par
on a un $C^{1}$-diff\'eomorphisme :
$\dps \biggl( t={{\sin({u \over 2})} \over {\sin({\aaa \over 2})}}
\quad u\in[0,\aaa]\ \biggr)\SSI
\biggl( u=2\arcsin\bigl[t\sin({\aaa \over 2})\bigr]\quad
t \in [0,1] \ \biggr)$\par
Avec : $\dps \cos(u)-\cos(\aaa)
=2\bigl[\sin^{2}({\aaa \over 2})-\sin^{2}({u \over 2})\bigr]\qquad
{du \over dt}
=2\sin({\aaa \over 2}){1 \over {\sqrt{1-\sin^{2}({\aaa \over 2})t^2}}}$\par
et la conservation de la convergence par changement de variables:\par
\blanc
\quad {\raise -1mm\cadre{2pt}
{$\ \dps T(\aaa)
={2 \over \ooo}\int_0^{1}{2dt \over
{\sqrt {1-t^2}\sqrt{1-\sin^{2}({\aaa \over 2})t^2}}}$}}\par
Dans $f(\lll)$ on effectue le changement de variable :\par
$\dps \biggl( t=\cos(\ttt) \quad \ttt \in ]0,\pi /2]\ \biggr)\SSI
\biggl( \ttt=\arccos(t) \quad t \in [0,1[ \ \biggr)$\par
on a encore un $C^{1}$-diff\'eomorphisme
et la conservation de la convergence par changement de variables .\par
Ainsi : $\dps f(\lll)=-\int_1^{0}{dt \over
{\sqrt {1-t^2}\sqrt{1-\lll^{2}t^{2}}}}$ et donc :
\quad {\raise -4mm\cadre{2pt}
{$\ \dps T(\aaa)
={4 \over \ooo}f(\sin{\aaa \over 2})\quad sur \ [0,\pi[\ $}} \par
\Blanc\Blanc
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ind {\gbf \hbox{Question 2 b ) : }}\par\blanc
$f$ est d\'eveloppable en s\'erie enti\`ere , donc $C^{\infty}$ sur $]-1,1[$ .\par
Donc $\dps f(\sin({\aaa \over 2}))$ admet des \sslig{d\'eveloppements limit\'es}
\`a \sslig{tous les ordres} au voisinage de $0$ .\par
( par Taylor-Young ) . Et $T(\aaa) $ aussi . \par
$f$ est \sslig{paire} et $T(\aaa)$ de m\^eme . \par
Avec les coefficients du D.S.E.:\par
\blanc
on obtient \quad {\raise -4mm\cadre{2pt}
{$\ \dps T(\aaa)
={{2\pi} \over \ooo}+{{\pi\aaa^2}\over {8\ooo}}+O(\aaa^4)
\qquad $ au voisinage de $0$\ }}\par
\Blanc
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ind {\gbf \hbox{Question 3 a ) : }}\par\blanc
$\mu > 0$ donc $\dps h(\mu)
=\int_0^{\pi/2}{d({\ttt \over \mu})\over {\sqrt{1+({\ttt \over \mu})^2}}}
=\int_0^{\pi/{2\mu}}{dt \over {\sqrt{1+t^2}}}$\par
Ainsi : \quad {\raise -5mm\cadre{2pt}
{$\ \dps h(\mu)=\argsh({\pi \over {2\mu}})
=\ln({\pi \over {2\mu}}+{\sqrt{1+{\pi^2 \over {4\mu^2}}}})
\qquad sur\ ]0,\infty[\ $}}\par
Donc :
$\dps h(\mu)+\ln(\mu)=\ln({\pi \over 2}+{\sqrt{\mu^2+{\pi^2 \over 4}}})$
et \quad {\raise -3mm\cadre{2pt}
{$\ \dps \lim_{\mu \vers 0^{+}} h(\mu)+\ln(\mu)=\ln(\pi) \ $}}\par
\Blanc
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ind {\gbf \hbox{Question 3 b ) : }}\par\blanc
En r\'eduisant au m\^eme d\'enominateur et en multipliant par l'expression
conjugu\'ee:\par
$\dps (g-h)(\mu)=\int_0^{\pi/2}{{\ttt^2(1-\rho^2(\ttt))\ d\ttt}\over
{\sqrt{\mu^2+\ttt^2}\sqrt{\mu^2+\ttt^2\rho^2(\ttt)}
\bigl[\sqrt{\mu^2+\ttt^2}+\sqrt{\mu^2+\ttt^2\rho^2(\ttt)} \bigr]}}$\par
Appelons \sslig{$p(\ttt)$ la fonction int\'egr\'ee} . \par
Il existe $q(\ttt)$ \sslig{continue} sur $[0,\pi/2]$ , d\'efinie par :
$\dps q(0)=\rho'(0)\quad
q(\ttt)={{\rho(\ttt)-1}\over \ttt}\ sur \ ]0,\pi/2]$\par
Alors : $\dps 1-\rho^2(\ttt)=-2\ttt q(\ttt)+\ttt^{2}q^{2}(\ttt)\qquad
\sqrt{\mu^{2}+\ttt^{2}}\geq 0 \qquad
\sqrt{\mu^{2}+\ttt^{2}\rho^{2}}\geq \ttt\rho(\ttt) \geq m\ttt $\par
\blanc
avec \sslig{$m=inf(\rho)$} sur $[0,\pi/2]$ et $m>0$\par
\blanc
Donc $\dps |p(\ttt)|\leq {{|2q(\ttt)-\ttt q^{2}(\ttt)|}\over m}$ pour tout $\mu>0$ .\par
Enfin le num\'erateur est continu donc born\'e sur le segment $[0,\pi/2]$:\par
\qquad $\dps \exists M \in \rmat \quad \forall \mu >0 \quad \forall \ttt \in [0,\pi/2]
\quad |p(\ttt)|\leq {M \over m}$\par
et : \quad {\raise -3mm\cadre{2pt}
{$\ \dps \forall \mu >0 \qquad
|(g-h)(\ttt)|\leq {{M\pi}\over {2m}}\qquad (g-h)$ est donc born\'ee
sur $]0,\infty[$ \ }}
\Blanc
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ind {\gbf \hbox{Question 3 c ) : }}\par\blanc
Pour $\mu>0$ consid\'erons :$\dps {{g(\mu)}\over {-\ln(\mu)}}
={{(g-h)(\mu)+h(\mu)+\ln(\mu)-\ln(\mu)}\over {-\ln(\mu)}}$\par
Ainsi : $\dps {{g(\mu)}\over {-\ln(\mu)}}
=1+{{(g-h)(\mu)}\over {-\ln(\mu)}}
+{{h(\mu)+\ln(\mu)}\over {-\ln(\mu)}}\quad \vers 1$ \qquad
quand $\mu \vers 0^{+}$\par
\blanc
Enfin : \quad {\raise -2mm\cadre{2pt}
{$\ \dps g(\mu)\sim -\ln(\mu) \quad $ quand $\mu \vers 0^{+}\ $}}
\Blanc
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ind {\gbf \hbox{Question 4 a ) : }}\par\blanc
Avec les changements de variables du III 2 a ) :
$\dps T(\aaa)={4 \over \ooo}
\int_0^{\pi/2}{{d\ttt}\over
{\sqrt{1-\sin^{2}({\aaa \over 2})\cos^{2}(\ttt)}}}$\par
et $\cos^{2}(\ttt)=1-\sin^{2}(\ttt)$ d'o\`u
$\dps T(\aaa)={4 \over \ooo}
\int_0^{\pi/2}{{d\ttt}\over
{\sqrt{\cos^{2}({\aaa \over 2})+\sin^{2}({\aaa \over 2})\sin^{2}(\ttt)}}}$
sur $]0,\pi[$\par
\Blanc
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ind {\gbf \hbox{Question 4 b ) : }}\par\blanc
Ainsi : \quad {\raise -4mm\cadre{2pt}
{$\ \dps T(\aaa)
={4 \over {\ooo\sin({\aaa \over 2})}}g\bigl[\cotan({\aaa \over 2})
\bigr] \ $}}\par
En prenant $\dps \rho(\ttt)={{\sin(\ttt)}\over {\ttt}}$ sur $]0,\pi/2]$
et $\rho(0)=1$:\par
$\rho$ ainsi d\'efinie est D.S.E. sur $\rmat$ donc $C^{\infty}$ et $C^{1}$
sur $[0,\pi/2]$ ,\par
elle est strictement positive, et $\rho(0)=1$ :les r\'esultats de
III 3 ) s'appliquent .\par
On a donc , quand $\aaa \vers \pi^{-}$ :
$\dps \cotan({\aaa \over 2}) \vers 0^{+}$
et $ \dps g(\cotan({\aaa \over 2}))\sim -\ln(\cotan({\aaa \over 2}))$\par
Or $\dps \ln(\cotan({\aaa \over 2}))=\ln(\cos({\aaa \over 2}))
\Bigl[1-{{\ln(\sin({\aaa \over 2}))}\over
{\ln(\cos({\aaa \over 2}))}}\Bigr]
\sim \ln(\cos({\aaa \over 2}))$\par
Avec , quand $\aaa \vers \pi$ : $\dps \cos({\aaa \over 2})\vers 0$
et $\dps \sin({\aaa \over 2})\vers 1$ \qquad donc
$\dps {{\ln(\sin({\aaa \over 2}))}\over
{\ln(\cos({\aaa \over 2}))}} \vers 0$ \par
De plus : $\dps \ln(\cos({\aaa \over 2}))=\ln(\sin({{\pi-\aaa} \over 2}))
=\ln({u\over 2}(1-{{u^2} \over 24}+O(u^4)))$\par
Enfin : $\dps \ln(\cos({\aaa \over 2}))=\ln(u)-\ln(2)+\epsilon (u)\sim \ln(u)$
en posant $u=\pi-\aaa$ et $\epsilon (u)\vers 0$ quand $u\vers 0$.\par
Donc : \quad {\raise -4mm\cadre{2pt}
{$\quad \dps T(\aaa)
\sim {-4 \over {\ooo}}\ln(\cos({\aaa \over 2}))
\sim {-4 \over {\ooo}}\ln(\pi-\aaa)$\quad quand $\aaa \vers \pi^{-}$}}\par
\Blanc
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% F %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% I %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% N %%
\bye