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% num\'erotation
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\renewcommand{\labelenumi}{\theenumi )}
\renewcommand{\labelenumii}{\theenumii )}
\renewcommand{\labelenumiii}{(\theenumiii )}

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% nouvelles commandes maths
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\def\K{\mbox{I\hspace{-.15em}K}}
\def\R{\mbox{I\hspace{-.15em}R}}
\def\N{\mbox{I\hspace{-.15em}N}}
\def\Z{\mathbb{Z}}
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\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dsum{\displaystyle\sum\limits}
\def\dlim{\displaystyle\lim}
\def\dprod{\displaystyle\prod\limits}
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% abr\'eviations
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\def\dse{d\'eveloppable en  s\'erie enti\`ere }
\def\DSE{d\'eveloppement en  s\'erie enti\`ere }
\def\DSF{d\'eveloppement en  s\'erie de Fourier }
\def\ED{ \'equation diff\'erentielle }
\def\fct{ fonction }
\def\fcts{ fonctions }
\def\Mq{Montrer que }
\def\mq{montrer que }
\def\RdC{rayon de convergence }
\def\SE{ s\'erie enti\`ere }
\def\ssi{ si et seulement si }
\def\sev{sous-espace vectoriel }
\def\ev{espace vectoriel }
\def\sevs{sous-espaces vectoriels }
\def\evn{espace vectoriel norm\'e }
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% en t\^ete et pied de page
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\rhead{\small page \thepage}\chead{\tiny CCP 1996 Fili\`ere M
Deuxi\`eme \'epreuve} \lhead{} \cfoot{}\pagestyle{fancy}

%d\'ebut-------------------------------------------------------
\begin{document}

\begin{center}
\large{\textbf{CCP 1996 Fili\`ere M Deuxi\`eme \'epreuve}}
\end{center}

La qualit\'e de la r\'edaction et de la pr\'esentation, la clart\'e et la
pr\'ecision des raisonnements entreront pour une part importante
dans l'appr\'eciation des copies.
 \section*{Pr\'eambule}

  L'objectif de ce probl\`eme est d'\'etudier l'\'equation diff\'erentielle suivante, qui
r\'egit le mouvement d'un pendule :
$$(1) \;  x" + \omega^2 \sin x =O$$
o\`u $\omega$ est un nombre r\'eel strictement positif et
$t\rightarrow x(t)$ est une fonction de la variable r\'eelle t. \nl
On considere le probl\`eme de Cauchy $$(2) \;  x" + \omega^2 \sin x
= 0,~ x(0) =0, ~ x'(0) = a ,$$ o\`u $a$ est un nombre r\'eel.\nl  Dans
la premi\`ere partie, on montre que l'unique solution maximale
$t\rightarrow \varphi(t)$ du probl\`eme de Cauchy (2) est d\'efinie
sur $\R$ tout entier, et qu'elle est impaire. Dans la seconde
partie, on d\'etermine les trois types de mouvements possibles,
selon le signe de $a - 2\omega$. Dans la troisi\`eme partie, on
approfondit l'\'etude du cas o\`u le mouvement est p\'eriodique.

\section*{Premi\`ere partie}
\begin{enumerate}
\item[1)]\begin{enumerate} \item[a)] \Mq le probl\`eme de Cauchy (2)
admet une solution maximale $\varphi$ et une seule, d\'efinie sur un
intervalle ouvert $I=]\beta,\gamma[$ contenant 0. Que peut-on dire
d'une solution $\psi$ de (2) d\'efinie sur un intervalle J contenant
0 ?

\item[b)]  Montrer que $\varphi$ est de classe $C^{\infty}$ sur I.

\item[c)] D\'eterminer c$\varphi$ lorsque $a = 0$.
  \end{enumerate}

\item[2)]\begin{enumerate} \item[a)] Montrer que la fonction $t
\rightarrow \varphi'^2(t)-2\omega^2\cos \varphi(t)$ est constante
sur I et \'egale \`a $a^2 - 2\omega^2$.

\item[b)]  En d\'eduire que $\varphi'$ est born\'ee sur I.
\end{enumerate}

\item[3)]On se propose de prouver que $I = \R$. A cet effet, on
raisonne par l'absurde en supposant, par exemple, que $\gamma$ est
un nombre r\'eel
\begin{enumerate} \item[a)]  Montrer que $\varphi$ admet une limite finie lorsque
t tend vers $\gamma$ par valeurs inf\'erieures.

\item[b)]  En d\'eduire que $\varphi"$, puis $\varphi'$, admet une
limite finie lorsque t tend vers $\gamma$ par valeurs inf\'erieures.

\item[c)]  Prouver que $\varphi$ se prolonge en une fonction de
classe $C^2$ sur $ ]\beta, \gamma]$.

\item[d)] D\'emontrer finalement que $I = \R$.
\end{enumerate}

\item[4)]\begin{enumerate} \item[a)] D\'eterminer en fonction de
$\varphi$ la solution maximale du probl\`eme de Cauchy $$(3) \;  x"
+ \omega^2 \sin x = 0,\;  x(\delta) = 0,\;  x'(\delta) = a,$$
 o\`u $\delta$ est un instant donn\'e.

\item[b)] Prouver que $\varphi$ est une fonction impaire.

\item[c)] D\'eterminer en fonction de $\varphi$ la solution maximale
du probl\`eme de Cauchy $$x" + \omega^2 \sin x = 0,\;  x( 0 ) = 0,
\;  x'( 0 ) = - a.$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\textbf{Dans toute la suite du probl\`eme, on suppose que $a$ est
strictement positif.}
\section*{Deuxi\`eme Partie}

\begin{enumerate}
\item[1)] Montrer que si $\varphi'$ s'annule \`a l'instant $\alpha$,
o\`u $\alpha$ appartient \`a $\R$, alors $a$ appartient \`a $]0,
2\omega]$.

\item[2)] \textbf{ Etude du cas o\`u $a = 2\omega$.}
\begin{enumerate} \item[a)] On se propose de montrer que,
pour tout nombre r\'eel t, $\varphi(t)$ appartient \`a $]-\pi, \pi [$.
Pour cela, on suppose par l'absurde qu'il existe un instant
$\delta$ tel que $\varphi(\delta)=\pi$. Montrer que $\varphi'
(\delta)=0$. Etablir que $\varphi$ est constante (on pourra
utiliser l'unicit\'e des solutions d'un probl\`eme de Cauchy associ\'e \`a
(1) \`a l'instant $\delta$). Conclure.

\item[b)]  Prouver que, pour tout nombre r\'eel t, $\varphi'(t) >
0$. En d\'eduire que $\varphi$ est la solution maximale sur $\R$ du
probl\`eme de Cauchy $$x' = 2\omega \cos \dfrac{x}{2}, \; x(0) =
0.$$

\item[c)] Expliciter cette solution $\varphi$, \'etudier ses
variations et son comportement asymptotique au voisinage de
$+\infty$.
\end{enumerate}
\item[3)]\textbf{ Etude du cas o\`u $a > 2 \omega$}
\begin{enumerate} \item[a)] Prouver que, pour tout nombre r\'eel  t, $\varphi'(t)\se \sqrt{
m}$, o\`u $m = a^2 - 4\omega^2$.\nl Etablir que $\varphi$ est un
diff\'eomorphisme de classe $C^{\infty}$ de $\R$ sur lui-m\^eme. En
d\'eduire que $\varphi$ est la solution maximale sur $\R$ du
probl\`eme de Cauchy $$x' = \sqrt{m + 2\omega^2 ( 1 + \cos x )}, \;
x ( 0 ) = 0.$$

\item[b)]  Soit $\psi$ la fonction r\'eciproque de $\varphi$.
Montrer que pour tout nombre r\'eel $\theta$,
$$\psi(\theta)=\dint_0^{\theta}\dfrac{du}{\sqrt{m + 2\omega^2 ( 1 + \cos u)}}$$
On pose $T = \psi(2\pi)$. Prouver que, pour tout nombre r\'eel
$\theta$, $\psi(\theta + 2\pi) = \psi(\theta) + T $; en d\'eduire
que, pour tout nombre r\'eel t, $\varphi(t + T ) = \varphi( t ) +
2\pi$.
\end{enumerate}

\item[4)]\textbf{ Etude du cas o\`u $a < 2 \omega$}
\begin{enumerate} \item[a)]  Prouver qu'il existe un nombre r\'eel $\alpha$ et un seul
appartenant \`a $]0, \pi[$ tel que, pour tout nombre r\'eel t,
$\varphi'^2(t)=2\omega^2(\cos \varphi(t)-\cos \alpha).$

\item[b)]  Soit $\psi$ la fonction d\'efinie sur $]- \alpha,
\alpha[$ par :
$$\psi(\theta)=\dint_0^{\theta}\dfrac{du}{\sqrt{2\omega^2(\cos u-\cos \alpha)}}$$ Prouver que
$\psi$ admet une limite finie, not\'ee $\tau$, lorsque $\theta$ tend
vers $\alpha$. Etablir enfin que $\psi$ est un diff\'eomorphisme de
classe $C^{\infty}$ de $]- \alpha, \alpha[$ sur $]- \tau, \tau[$.

\item[c)] On note $\chi$ l'application r\'eciproque de $\psi$.
Montrer que $\chi$ est solution du probl\`eme de Cauchy (2) sur
l'intervalle $]- \tau, \tau[$, et se prolonge en une fonction de
classe $C^2$ sur $[- \tau, \tau]$, encore not\'ee $\chi$. Prouver
que la restriction de $\varphi$ \`a $[- \tau, \tau]$ est \'egale \`a
$\chi$.

\item[d)] Soit $\widehat{\chi}$ la fonction d\'efinie sur $[\tau,
3\tau]$ par $\widehat{\chi}(t) = - \chi(t - 2 \tau )$ . Prouver
que $\widehat{\chi}$ est solution sur $[\tau, 3\tau]$ d'un
probl\`eme de Cauchy associ\'e \`a l'\'equation (1) \`a l'instant $\tau$. En
d\'eduire que la restriction de $\varphi$ \`a $[\tau, 3\tau]$ est
\'egale \`a $\widehat{\chi}$.

\item[e)] Soit $\widehat{\varphi}$ la fonction d\'efinie sur $\R$
par $\widehat{\varphi}(t) = \varphi(t + 2\tau)$. Prouver que
$\widehat{\varphi}= - \varphi$ ; en deduire que $\varphi$ est
$4\tau$-p\'eriodique.

\item[f)] D\'eterminer en fonction de $\tau$ les nombres r\'eels t
tels que $\varphi(t) = 0$, puis les nombres r\'eels t tels que
$\varphi'(t) = 0$.

\item[g)] Donner l'allure de $\varphi$ sur l'intervalle
$[-\tau,3\tau]$, dans le plan rapport\'e \`a un rep\`ere orthonormal.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Troisi\`eme Partie}

 Dans cette partie, on suppose que $a < 2\omega$. Pour tout
\'el\'ement $\alpha$ de $]0, \pi[$, on pose :
$$T(\alpha)=4\dint_0^{\alpha}\dfrac{du}{\sqrt{2\omega^2(\cos u-\cos \alpha)}}
$$
On note $f$ la fonction d\'efinie sur $]-1, 1[$ par :
$$f(\lambda)=\dint_0^{\pi/2}\dfrac{d\theta}{\sqrt{1-\lambda^2\cos^2 \theta}} $$
\begin{enumerate}
\item[1)]\textbf{ D\'eveloppement de $f$ en s\'erie enti\`ere}
\begin{enumerate} \item[a)]  Montrer que la fonction $\upsilon \rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{1-\upsilon^2}}$
est d\'eveloppable en s\'erie enti\`ere sur $]-1, 1[$ et expliciter ce
d\'eveloppement, que l'on \'ecrira sous la forme
$\dsum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a_n}{n!} \upsilon^{2n}$

\item[b)] Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la fonction
d\'efinie sur $[0, \pi/2]$ par $u_n(\theta) =\dfrac{a_n}{n!}
\lambda^{2n}\cos ^{2n}\theta $. Montrer que la s\'erie de fonctions
$\dsum u_n$ est normalement convergente sur $[0, \pi/2]$

\item[c)] En d\'eduire que la fonction $f$ est d\'eveloppable en s\'erie
enti\`ere sur $]-1, 1[$, sous la forme $f ( \lambda) =
\dsum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a_n}{n!} I_{2n}\lambda^{2n}$ o\`u, pour
tout entier $p \se 0$, $I_p = \dint_0^{\pi/2}\sin^p\theta
d\theta$.

\item[d)]  Etablir une relation de r\'ecurrence entre $I_{p+1}$ et
$I_{p - 1}$. En d\'eduire que le rayon de convergence de la s\'erie
enti\`ere pr\'ec\'edente est \'egal \`a 1. Calculer $I_{2n}$ et expliciter
cette s\'erie enti\`ere.
\end{enumerate}

\item[2)] \textbf{Etude de $T(\alpha)$ au voisinage de $\alpha =
0$.}
\begin{enumerate} \item[a)] Montrer que : $$T(\alpha)=\dfrac{4}{\omega}f\left( \sin
\dfrac{\alpha}{2}\right) $$ On pourra utiliser, en le l\'egitimant,
le changement de variable $t =
\dfrac{\sin\frac{u}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}}$

\item[b)]  Etablir que $T$ admet un d\'eveloppement limit\'e \`a tout
ordre au voisinage de $\alpha =0$ et expliciter les termes d'ordre
inf\'erieur ou \'egal \`a 3 de ce d\'eveloppement.
\end{enumerate}

\item[3)] \textbf{Recherche d'une partie principale.} \nl Soit
$\rho$ une fonction de classe $C^1$ sur $[0,\pi /2]$ \`a valeurs
strictement positives telle que $\rho (0) = 1$. On note $g$ et $h$
les fonctions d\'efinies sur $]0, +\infty[$ par :
$$g(\mu)=\dint_0^{\pi /2}\dfrac{d\theta}{\sqrt{\mu^2+\theta^2\rho^2(\theta)}} \; \; \text{ et } \;
h(\mu)=\dint_0^{\pi /2}\dfrac{d\theta}{\sqrt{\mu^2+\theta^2}}$$
\begin{enumerate} \item[a)] Calculer $h(\mu)$. Prouver que $\mu\mapsto h(\mu)+\ln(\mu)
$ admet une limite finie lorsque $\mu$ tend vers 0.

\item[b)] Montrer que $g - h$ est born\'ee.

\item[c)] En d\'eduire un \'equivalent de $g(\mu)$ au voisinage de
$\mu = 0$.
\end{enumerate}

\item[4)] \textbf{ Etude de $T(\alpha)$ au voisinage de $\alpha =
\pi$.}
\begin{enumerate} \item[a)]  \Mq $T(\alpha) =\dfrac{4}{\omega}\dint_0^{\pi/2}\dfrac{d\theta}
{\sqrt{\cos^2(\alpha/2)+\sin^2(\alpha/2)\sin^2\theta}}$

\item[b)] D\'eterminer le comportement asymptotique de $T(\alpha)$
au voisinage de $\alpha = \pi$ (pour cela, on utilisera les
r\'esultats de la question 3).
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}
