\documentstyle{article}


\begin{document}
\def\R{\hbox{\it I\hskip -2pt R}}
\def\N{\hbox{\it I\hskip -2pt N}}
\centerline{Concours Communs Polytechniques 1996}
\centerline{ Epreuve sp{\'e}cifique PH-P,CH-P,CH-P'}
\def\build#1_#2^#3{\mathrel{\mathop{\kern 0pt#1}\limits_{#2}^{#3}}}
$1.1.1. g(t)=tht $, g est continue sur $\R^+$ d'o{\`u} $g_1$ est d{\'e}finie sur $\R^{+*}$ et\\
$\forall T \in \R^{+*} , g_1(T)={\ln(chT)\over T} $\\
$$\lim_{T\rightarrow +\infty}g_1(T)=1$$\\
$$V_m(g)=1$$
$1.1.2.$ Soit g , $g(t)=\arccos (\cos t )$ ,  g est continue sur $\R$\\
$1.1.2.1. g_1 $ est d{\'e}finie sur $\R^{+*}$ et
$\forall n \in N^* , g_1(2n\pi )={1\over {2n\pi }}\int_0^{2n\pi} \arccos (\cos t)dt$\\
g est $2\pi $-p{\'e}riodique\\
d'o{\`u} $ g_1(2n\pi )={1\over {2\pi }}\int_0^{2\pi} \arccos (\cos t)dt$\\
$\forall t\in \lbrack 0,2\pi \rbrack , g(t)=g(2\pi -t)$\\
et $\forall t\in \lbrack 0,\pi \rbrack ,g(t)=t$\\
d'o{\`u}$$ g_1(2n\pi )={\pi \over 2}$$\\
$1.1.2.2.$ Soit $ T\in \R^{+*},n=E({T\over {2\pi}}),$\\
$ g_1(T)={1\over T}(\int_0^{2n\pi} g(t)dt +\int_{2n\pi}^T g(t)dt)$\\
or $\forall t\in \R^{+*},g(t)\succeq 0$
\\d'o{\`u} $0\preceq \int_{2n\pi}^T g(t)dt \preceq \int_{2n\pi}^{2(n+1)\pi} g(t)dt$\\
${1\over T}\int_0^{2n\pi} g(t)dt\preceq g_1(t)\preceq {1\over T}\int_0^{2(n+1)\pi} g(t)dt$\\
${n\pi^2\over T}\preceq g_1(T) \preceq {(n+1)\pi^2\over T}$\\
d'o{\`u} $$V_m(g)={\pi\over 2}$$\\
\\
$$1.2.1.\lim_{T\rightarrow +\infty}\int_0^Tg(t)dt=\int_0^{+\infty}g(t)dt$$\\
d'o{\`u} $$V_m(g)=0$$\\ \\
$1.2.2.\forall \epsilon \in \R^{+*},\exists A\in \R^{+*}/\forall T\in \R^{+*} T\succeq A ,\mid g(t)\mid \preceq {\epsilon \over 2}$\\
$\mid g_1(t)\mid \preceq 1/T\int _0^A\mid g(t)\mid dt +1/T\int _A^T\mid g(t)\mid dt$\\
$\exists B\in \R^{+*} / \forall T\in \R^{+*} , T\succeq B \mid 1/T\int _0^A\mid g(t)\mid dt \mid 
\preceq \epsilon/2$\\
et $1/T\int _A^T\mid g(t)\mid dt\preceq 1/T\int_A^T\epsilon /2 dt\preceq \epsilon /2$\\
d'o{\`u} $\exists C\in \R^{+*},C=Sup\{A,B\} /\forall T\in \R , T\succeq C \ \mid g_1(t)\mid \preceq \epsilon $\\
donc $$V_m(g)=0$$
$1.2.3.$ Soit h,$h(t)=g(t)-l , t\in \R^{+}$\\
$\forall T\in \R^{+*} h_1(T)=g_1(T)-l$\\
or h est telle que $$\lim_{+\infty}h=0$$
d'o{\`u} d'apr{\`e}s $1.2.2. \; V_m(g)=l$\\
$1.2.4.$Soit $T\in \R^{+*}$ et $n=E({T\over \tau})$\\
$n\tau \preceq T\prec (n+1)\tau$\\
$ g_1(T)={1\over T}\int_0^{n\tau} g(t)dt +{1\over T}\int_{n\tau}^T g(t)dt$\\
g est $\tau$-p{\'e}riodique d'o{\`u} $1/T\int_0^{n\tau}g(t)dt=n/T\int_0^{\tau}g(t)dt$\\
g est continue sur $\R^+,\tau$-p{\'e}riodique donc born{\'e}e sur $\R^+$\\
$\exists M\in \R^+ /\forall t\in\R ^+ \mid g(t)\mid \preceq M$\\
$\mid \int_{n\tau}^T g(t)dt\mid \preceq \int_{n\tau}^T \mid g(t)\mid dt\preceq M(T-n\tau)\preceq M\tau$\\
d'o{\`u} $\mid {1\over T}\int_{n\tau}^T g(t)dt\mid \preceq {M\tau\over T}$\\
et $$ \lim_{T\rightarrow +\infty}{1\over T}\int_{n\tau}^T g(t)dt=0$$
d'autre part $$\lim_{T\rightarrow +\infty}({n\over T})={1\over \tau}$$\\
finalement $$V_m(g)={1\over \tau}\int_0^\tau g(t)dt$$\\
$II.2.1.$ Soit $y=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$ de rayon de convergence $R$\\
$(1)$ y est solution de (E) $\Longleftrightarrow xy''-y'+4x^3y=0 $ pour $\mid x\mid\prec R$\\
$(1) \Longleftrightarrow  \sum_{n=0}^{+\infty}(n^2-1)a_{n+1}x^n+4\sum_{n=3}^{+\infty}a_{n-3}x^n=0,\mid x\mid\prec R$\\
$$(1) \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}a_1=0\\a_3=0\\a_{n+4}={-4\over (n+2)(n+4)}a_n&n\in\N\end{array}\right.$$\\
$2.2$ Par r{\'e}currence triviale , on {\'e}tablit que \\
$\forall p\in \N , a_{4p+1}=0 , a_{4p+3}=0 $\\
$2.3.$ Soit P(p) la proposition de r{\'e}currence : $a_{4p}={(-1)^p\over (2p)!}a_0 , p\in\N$\\
P($0$) est vraie\\
Hypoth{\`e}se:P(p) est vraie pour p$\in \N$\\
$a_{4p+4}={(-1)\over (2p+1)(2p+2)}a_{4p}$\\
d'o{\`u} $a_{4p+4}={(-1)^{p+1}\over (2p+2)!}a_0$ ,  P(p+1) est vraie
\\Gr{\^a}ce au th{\'e}or{\`e}me de r{\'e}currence P(p) est vraie pour tout p $\in \N$\\
$\forall p\in \N ,a_{4p}={(-1)^p\over (2p)!}a_0$\\
de m{\^e}me par r{\'e}currence $\forall p\in \N ,a_{4p+2}={(-1)^p\over (2p+1)!}a_2$\\
$2.4.$ Les fonctions d{\'e}veloppables en s{\'e}rie enti{\`e}re solutions de (E) sont les fonctions de 
la forme :$y=\sum_{p=0}^{+\infty}a_px^p$ avec \\
$\forall p\in \N , a_{4p+1}=0 , a_{4p+3}=0$\\
$a_{4p}={(-1)^p\over (2p)!}a_0,a_{4p+2}={(-1)^p\over (2p+1)!}a_2$\\
or les s{\'e}ries enti{\`e}res $\sum_{p\in\N}{(-1)^p\over (2p)!}x^{4p}$ et$\sum_{p\in\N}{(-1)^p\over (2p+1)!}x^{4p+2}$\\
ont $+\infty$ pour rayon de convergence d'o{\`u} le rayon de convergence 
de la s{\'e}rie obtenue est $+\infty$\\
et $\forall x\in \R , y=a_0\sum_{p=0}^{+\infty}{(-1)^p\over (2p)!}x^{4p}+a_2\sum_{p=0}^{+\infty}{(-1)^p\over (2p+1)!}x^{4p+2}$\\
donc $ y=a_0cos(x^2)+a_2sin(x^2)$
\\
$2.5.$ Soit $I_1=\R^{-*}$ et  $I_2=\R^{+*}$ \\
y est solution de (E) sur $I_i,i\in \{1,2\} \Longleftrightarrow y''-{1\over x}y'+4x^2y=0$\\
or $x\rightarrow -{1\over x}$ et  $x\rightarrow 4x^2$  sont continues sur $I_i,i\in \{1,2\} $ 
d'o{\`u} l'ensemble de solutions de (E) sur $I_i,i\in \{1,2\}$ est un plan vectoriel ,
or $x\rightarrow cos(x^2)$ et  $x\rightarrow sin(x^2)$  sont solutions ind{\'e}pendantes de (E) sur $\R$
 d'o{\`u} \\y est solution de (E) sur $I_i,i\in \{1,2\} \Longleftrightarrow \exists (a_i,b_i)\in \R^2 / y=a_icos(x^2)+b_isin(x^2),x\in I_i$\\
Pour {\'e}tudier les solutions de (E) sur $\R$ , une condition n{\'e}cessaire est la continuit{\'e}
de y en 0 d'o{\`u} $a_1=a_2$, de y' en 0 toujours v{\'e}rifi{\'e}e et la double d{\'e}rivabilit{\'e} en 0 d'o{\`u}
$b_1=b_2$\\
L'ensemble de solutions de (E) sur $\R$ est le $\R$-espace vectoriel S de dimension 2 engendr{\'e}
par $x\rightarrow cos(x^2)$ et  $x\rightarrow sin(x^2)$\\
$III.3.1. \alpha \in ]0,1[ , t\rightarrow {cost\over t^\alpha}$ et  $t\rightarrow {sint\over t^\alpha}$ sont continues
sur $\R^{+*}$ \\$${cost\over t^\alpha}\build\sim_0^{}{1\over t^\alpha}$$ \\
or $\alpha \prec 1$ donc $\int_0^1{1\over t^\alpha}dt$ converge d'o{\`u} $\int_0^1{cost\over t^\alpha}dt$ converge\\
Soit $A \in ]1,+\infty[$ , sin et $t\rightarrow {1\over t^\alpha}$ sont $C_1$ sur $[1,A]$ d'o{\`u}\\
$\int_1^A{cost\over t^\alpha}dt=\Bigl[{sint\over t^\alpha}\Bigr]_1^A +\alpha\int_1^A{sint\over t^{\alpha+1}}dt$\\
$\int_1^A{cost\over t^\alpha}dt={sinA\over A^\alpha}-sin1 +\alpha\int_1^A{sint\over t^{\alpha+1}}dt$\\
$\mid {sinA\over A^\alpha} \mid \preceq {1\over A^\alpha} \quad \alpha\succ 0 $ d'o{\`u} $$\lim_{A\rightarrow +\infty}({sinA\over A^\alpha})=0$$
et $\mid {sint\over t^{\alpha+1}} \mid \preceq {1\over t^{\alpha+1}}$ or $\alpha +1 \succ 1$ donc
$\int_1^{+\infty}{1\over t^{\alpha+1}}dt$ converge , on en conclut que :\\$\int_1^{+\infty}{sint\over t^{\alpha+1}}dt$ converge absolument
d'o{\`u} $\int_1^{+\infty}{cost\over t^{\alpha}}dt$ converge et $\int_0^{+\infty}{cost\over t^{\alpha}}dt$ converge .\\
$${sint\over t^\alpha}\build\sim_0^{}{1\over t^{\alpha-1}}$$ or $\alpha \prec 1$  d'o{\`u} $\int_0^1{sint\over t^\alpha}dt$ converge\\ 
on {\'e}tudie la convergence de $\int_1^{+\infty}{sint\over t^\alpha}dt$  comme pr{\'e}c{\'e}demment d'o{\`u}\\
$\int_0^{+\infty}{sint\over t^{\alpha}}dt$ converge\\
$3.1.2.\quad {1\over 2}\in ]0,1[ , I({1\over 2})=\int_0^{+\infty}{cost\over \sqrt{t}}dt$\\
par le changement de variable $u=\sqrt{t}$ $C_1$-diff{\'e}omorphisme de $R^{+*}$ dans $R^{+*}$
$I({1\over 2})=2\int_0^{+\infty}cos(u^2)du$ d'o{\`u} $\int_0^{+\infty}cos(u^2)du$ converge et \\
$\gamma={1\over 2}I({1\over 2})$ \\de m{\^e}me $\int_0^{+\infty}sin(u^2)du$ converge et $\sigma={1\over 2}J({1\over 2})$ \\
$3.1.3.\forall x\in \R ,-1\preceq cos(x^2)\preceq 1$\\

$cos((\sqrt{2n\pi})^2)-cos((\sqrt{(2n+1/2)\pi})^2)=1$\\
et $$\lim_{n\rightarrow +\infty}\sqrt{2n\pi}=+\infty$$d'o{\`u} le crit{\`e}re de Cauchy est mis en d{\'e}faut et $x\longrightarrow cos(x^2)$ n'a pas
pas de limite en $+\infty$ , de m{\^e}me pour la fonction $x\longrightarrow sin(x^2)$\\
$3.1.4.1. t\longrightarrow {sint\over t^\alpha}$ est continue sur $\R^{+*}$ et $\int_0^\pi {sint\over t^\alpha}dt$ converge
d'o{\`u} la suite U est d{\'e}finie sur $\N$ \\
$\forall n\in \N ,U_n(\alpha]=\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}{sint\over t^\alpha}dt$\\
par le changement de variable $t=u+n\pi , u\in [0,\pi]$\\
$U_n(\alpha)=(-1)^n\int_0^\pi {sinu\over (u+n\pi)^\alpha} du ,n\in \N^*$\\
et $U_0(\alpha)=\int_0^\pi {sint\over t^\alpha}dt,U_0\in \R^+$\\
$\forall u\in [0,\pi],\forall n\in \N^* {sinu\over (u+n\pi)^\alpha}\in \R ^+$ d'o{\`u} la s{\'e}rie $$\sum_{n\in \N}U_n(\alpha)$$ est altern{\'e}e\\
$\mid U_n\mid=\int_0^\pi {sinu\over (u+n\pi)^\alpha}du $ \\
or $\forall n\in\N^* ,\forall u\in [0,\pi],0\preceq {sinu\over (u+n\pi)^\alpha}\preceq {1\over (n\pi)^\alpha}$
donc $\mid U_n\mid\preceq {\pi^{1-\alpha}\over n^\alpha}$ et $$\lim_{n\rightarrow +\infty}U_n=0$$\\
$\forall n\in\N ,\forall u\in ]0,\pi], {sinu\over (u+n\pi)^\alpha}\succeq {sinu\over (u+(n+1)\pi)^\alpha}$\\
d'o{\`u} $\mid U_n\mid\succeq \mid U_{n+1}\mid$\\
la s{\'e}rie $$\sum_{n\in \N}U_n(\alpha)$$ v{\'e}rifie les crit{\`e}res de convergence des s{\'e}ries altern{\'e}es
et converge .\\
$$\sum_{n=0}^{+\infty}U_n(\alpha)$$ est du signe de $U_0(\alpha)$ d'o{\`u} $$\sum_{n=0}^{+\infty}U_n(\alpha)\succeq 0$$\\
$3.1.4.2.$. $$ \sum_{n=0}^{+\infty}U_n(\alpha)=J(\alpha)$$ d'o{\`u} $J(\alpha)\succeq 0$\\
et $\sigma={1\over 2}J({1\over 2})$ d'o{\`u} $\sigma\succeq 0$ \\
$3.2. \alpha \succeq 1$ et $t\longrightarrow {sint\over t^\alpha}$ et $t\longrightarrow {cost\over t^\alpha}$ sont continues sur $\R^{+*}$ 
d'o{\`u}  $\int_1^{+\infty}{sint\over t^\alpha}dt$  et $\int_1^{+\infty}{cost\over t^\alpha}dt$ convergent d'apr{\`e}s $3.1.1.$
\\$${cost\over t^\alpha}\build\sim_0^{}{1\over t^\alpha}$$ or $\alpha\succeq 1$ d'o{\`u} $\int_0^1{cost\over t^\alpha}dt$ diverge\\
$${sint\over t^\alpha}\build\sim_0^{}{1\over t^{\alpha-1}}$$ or $\alpha -1\prec 1\Leftrightarrow \alpha \prec 2$\\
on en conclut que $\int_0^{+\infty}{cost\over t^\alpha}dt$ converge pour $1\preceq \alpha \prec 2$ et diverge pour $ \alpha \succeq 2$  \\
$IV.4.1. \forall (x,y)\in \R^2,cos(x^2+y^2)=cos(x^2)cos(y^2)-sin(x^2)sin(y^2)$\\
$sin(x^2+y^2)=sin(x^2)cos(y^2)+cos(x^2)sin(y^2)$\\
d'o{\`u} $K(t)=C^2(t)-S^2(t)$ et $L(t)=2C(t)S(t)$\\
$4.2.$.$$\lim_{t\rightarrow +\infty}C(t)=\gamma$$ et $$\lim_{t\rightarrow +\infty}S(t)=\sigma$$ 
d'o{\`u} $$\lim_{t\rightarrow +\infty}K(t)=\gamma^2-\sigma ^2$$ et $$\lim_{t\rightarrow +\infty}L(t)=2\gamma\sigma$$ \\
$4.3.t\longrightarrow sin(t^2)$ et $t\longrightarrow cos(t^2)$ sont continues sur $\R^+$d'o{\`u}
les fonctions C et S sont continues sur $\R^+$ et les fonctions $C^2-S^2$ et $2CS$ sont continues sur $\R^+$ 
d'o{\`u} les fonctions K et L sont continues sur $\R^+$.\\
$4.4.$ d'apr{\`e}s $1.2.2.,4.2$ et $4.3$ $V_m(K)=\gamma^2-\sigma ^2$ et $V_m(L)=2\gamma\sigma$\\
$4.5.1.\theta \longrightarrow {1\over cos(\theta)}$est continue sur $[0,\pi/4]$ et $\theta \longrightarrow {1\over sin(\theta)}$est continue sur $[\pi/4,\pi/2]$ 
\\or $cos(\pi/4)=sin(\pi/4)$ d'o{\`u} f est continue sur $[0,\pi/2]$ et 
$\forall \theta\in [0,\pi/2] f(\theta)\not = 0$ d'o{\`u} $1/f$ est continue sur $[0,\pi/2]$\\
$4.5.3.\quad K(t)=\int\!\!\!\int_{{\cal D}(t)}cos(x^2+y^2)dxdy$\\
$K(t)=\int\!\!\!\int_{\Delta(t)}\rho cos(\rho ^2)d\rho d\theta$ o{\`u} 
$$\Delta(t)=\{(\rho,\theta),0\preceq\theta\preceq {\pi\over 2} ,0\preceq\rho\preceq tf(\theta)\}$$\\
$K(t)=\int_0^{{\pi\over 2}}\int_0^{tf(\theta)}\rho cos(\rho ^2)d\rho d\theta$\\
$K(t)=\int_0^{{\pi\over 2}}[{1\over 2}sin(\rho ^2)]_0^{tf(\theta)} d\theta$\\
$K(t)={1\over 2}\int_0^{{\pi\over 2}}sin(t^2f^2(\theta)) d\theta$\\
$4.6.K_1(T)={1\over T}\int_0^TK(t)dt$ or Kest continue sur $\R^+$ d'o{\`u} $K_1$ est 
d{\'e}finie sur $\R^{+*}$ et $\forall T\in \R^{+*} K_1(T)={1\over 2T}\int_0^T\int_0^{{\pi\over 2}}sin(t^2f^2(\theta)) d\theta dt$\\
or f est continue sur $[0,\pi/2]$ d'o{\`u} $(t,\theta)\longrightarrow t^2f^2(\theta)$est continue sur $[0,T]\times[0,\pi/2]$
 sin est continue sur $\R$ d'o{\`u} $(t,\theta)\longrightarrow sin(t^2f^2(\theta))$est continue sur $[0,T]\times[0,\pi/2]$
et $\forall T\in \R^{+*} K_1(T)={1\over 2T}\int_0^{{\pi\over 2}}\int_0^Tsin(t^2f^2(\theta))dt d\theta$\\
en posant le changement de variable $t={1\over f(\theta)}u$\\
$\forall T\in \R^{+*} K_1(T)={1\over 2T}\int_0^{{\pi\over 2}}{1\over f(\theta)}\int_0^{T f(\theta)}sin(u^2)du d\theta$\\
$\forall T\in \R^{+*} K_1(T)={1\over 2}\varphi (t)$\\
$4.6.2.\quad\forall t\in \R^{+}, S(t)=\int_0^tsin(x^2)dx$
d'apr{\`e}s $3.1.2. \quad\sigma={1\over 2}J({1\over 2})$ \\
d'o{\`u} $$\lim_{t\rightarrow +\infty}S(t)={1\over 2}J({1\over 2})$$ \\
or S est une application continue sur $\R^+$ comme primitive de $x\longrightarrow sin(x^2)$ sur $\R^+$ d'o{\`u} S est born{\'e}e sur $\R^+$\\
$4.6.3.\exists M\in \R^+/\forall t\in \R^+ \mid S(t)\mid \preceq M$\\
$\forall T\in \R^{+*} \varphi (T)={1\over T}\int_0^{{\pi\over 2}}{1\over f(\theta)}S(T f(\theta)) d\theta$\\
$\forall T\in \R^{+*} \mid \varphi (T)\mid\preceq {1\over T}\int_0^{{\pi\over 2}}{1\over f(\theta)}\mid S(T f(\theta)) \mid d\theta$\\
$\mid \varphi (T)\mid\preceq {M\over T}\int_0^{{\pi\over 2}}{1\over f(\theta)}d\theta$\\
d'o{\`u} $$\lim_{T\rightarrow +\infty}\varphi (T)=0$$ \\
or $\forall T\in \R^{+*} K_1(T)={1\over 2}\varphi (T)$\\d'o{\`u}
$$V_m(K)=0$$
$4.6.4. V_m(K)=\gamma^2-\sigma ^2$ d'o{\`u} $\gamma^2=\sigma ^2$ 
\\$4.6.5.\quad\forall t\in\R^+, L(t)=\int\!\!\!\int_{{\cal D}(t)}sin(x^2+y^2)dxdy$\\
d'o{\`u} $L(t)=\int_0^{{\pi\over 2}}\int_0^{tf(\theta)}\rho sin(\rho ^2)d\rho d\theta$\\
$L(t)=-{1\over 2}\int_0^{{\pi\over 2}}(cos(t^2f^2(\theta))-1) d\theta$\\
$L(t)={\pi\over 4}-{1\over 2}\int_0^{{\pi\over 2}}cos(t^2f^2(\theta)) d\theta$\\
d'o{\`u} $\forall T\in \R^{+*},L_1(T)={\pi\over 4}-{1\over 2T}\int_0^T\int_0^{{\pi\over 2}}cos(t^2f^2(\theta)) d\theta dt$\\
$(t,\theta)\longrightarrow cos(t^2f^2(\theta))$est continue sur $[0,T]\times[0,\pi/2]$
d'o{\`u} \\$L_1(T)={\pi\over 4}-{1\over 2T}\int_0^{{\pi\over 2}}\int_o^Tcos(t^2f^2(\theta))dt d\theta$\\
$\forall t\in \R^{+} C(t)=\int_0^tcos(x^2)dx$ or C est une application continue sur $\R^+$ 
et $$\lim_{t\rightarrow +\infty}C(t)={1\over 2}I({1\over 2})$$ donc C est born{\'e}e sur $\R^+$\\
$\exists N\in \R^+/\forall t\in \R^+ \mid C(t)\mid \preceq N$\\
or $\int_0^{{\pi\over 2}}\int_0^Tcos(t^2f^2(\theta))dt d\theta=\int_0^{{\pi\over 2}}{1\over f(\theta)}C(T f(\theta)) d\theta$\\
$\mid {1\over T}\int_0^{{\pi\over 2}}\int_0^Tcos(t^2f^2(\theta))dt d\theta\mid\preceq{N\over T}\int_0^{{\pi\over 2}}{1\over f(\theta)} d\theta$\\
d'o{\`u} $$\lim_{T\rightarrow +\infty}[{1\over T}\int_0^{{\pi\over 2}}\int_0^Tcos(t^2f^2(\theta))dt d\theta]=0$$
$$\lim_{T\rightarrow +\infty}L_1(T)={\pi\over 4},\quad V_m(L)={\pi\over 4}$$\\
d'o{\`u} $$\gamma\sigma={\pi\over 8}$$
$4.6.7.$ d'apr{\`e}s $3.1.4.2. \quad \sigma \succeq 0$ or $\gamma\sigma\succeq 0$ d'o{\`u} $\gamma\succeq 0$\\
$\gamma^2=\sigma ^2$ donc $\gamma=\sigma $ et $\gamma^2={\pi\over 8}$\\
On en conclut que $\gamma={\sqrt{2\pi}\over 4}$ et $\sigma={\sqrt{2\pi}\over 4}$ \\
$4.7.\quad \forall t\in \R^+,S(t)=\int_0^tsin(x^2)dx$\\
S est continue et de classe $C_1$ sur $\R^+$ et\\
$\forall t\in \R^+,S'(t)=sin(t^2)$$\\
$Sur un intervalle $I_n=[\sqrt{2n\pi},\sqrt{2(n+1)\pi}],n\in \N$, les variations de S sont :
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|lllll|}
\hline
t&$\sqrt{2n\pi}$&&$\sqrt{(2n+1)\pi}$&&$\sqrt{2(n+1)\pi}$\\
\hline
S'(t)&0&+&0&-&0\\
\hline
S(t)&$U_n$&$\nearrow$&$V_n$&$\searrow$&$U_{n+1}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
On peut montrer que la suite U est croissante sur $\N$, que la suite V est d{\'e}croissante
sur $\N$, qu'elles convergent vers ${\sqrt{2\pi}\over 4}$,...
























\end{document}
