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\def\fbox#1{\setbox1=\hbox{\kern3pt{#1}\kern3pt}%
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\nopagenumbers

\def\hautdepage#1{\headline={\vbox{~{#1} \hfill \fbox{\folio}\qquad
             \smallskip \hrule}}\bigskip}

\def\num #1{\medskip \hskip-8mm{{\bf #1}~}}

\def\Frac#1#2{\displaystyle{#1\over#2}}

\def\fin{\centerline{$\bullet$ {\bf FIN} $\bullet$}}



\def\^#1{\if#1i{\accent"5E\i}\else{\accent"5E #1}\fi}
\def\"#1{\if#1i{\accent"7F\i}\else{\accent"7F #1}\fi}

\frenchspacing



\def\q#1#2{\hskip -#1mm{\bf #2.~~~}}




% quelques ensembles

\def\barre{\vbox{\hrule height 2mm depth -0.3mm width 0.1mm}}
\def\Barre{\vbox{\offinterlineskip
           \hsize 0.7mm\hrule height 0.1mm width 0.6mm
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\def\R{{\bf R}}
\def\N{{\bf N}}
\def\C{{\bf C}}
\def\Q{{\bf Q}}
\def\Z{{\bf Z}}
\def\U{{\bf U}}
\def\K{{\bf K}}
\def\Rr{\Barre\hskip -0.2mm{\rm R}}
\def\Nn{\Barre\hskip -0.1mm{\rm N}}
\def\Cc{{\rm C}\hskip -1.5mm\barre\hskip 1.4mm}
\def\Qq{{\bf Q}\hskip -1.7mm\barre\hskip 1.6mm}
\def\Kk{\Barre\hskip -0.1mm{\rm K}}

\hautdepage{Corrig{\'e} de la composition ECRIN Math I 1996}
\centerline{\bf Corrig{\'e} de la composition ECRIN Math I 1996 }
\bigskip
\bigskip

\centerline{ \fbox{Partie I }}
\bigskip
\bigskip
\q 91
$C_n=\displaystyle{\sin(n+1)x \over \sin x}\cos(n+1)x=\displaystyle{\sin 2(n+1)x \over 2\sin x}$
et 
$S_n=\displaystyle{\sin^2(n+1)x \over \sin x}=\displaystyle{1-\cos2(n+1)x \over 2\sin x}$\par
\bigskip
\q 92
Par int{\'e}gration par parties,~~$t\to \displaystyle{1 \over \sin t}$ et $t\to  \cos(2nt)$
{\'e}tant de classe ${\cal C}^1$ sur $ [a,b]\subset]0,\pi[$.\par
$I_n=\displaystyle\int_{a}^{b}\displaystyle{\cos(2nt) \over \sin t}=
\displaystyle{1 \over 2n}\left[\displaystyle{\sin 2nb \over \sin b} -\displaystyle{\sin 2na \over \sin a}\right]+
\displaystyle{1 \over 2n}\displaystyle\int_{a}^{b}\displaystyle{\cos t \over \sin^2 t }\sin(2nt)\,dt$\par
$|I_n|\le\displaystyle{1 \over 2n}\left[\displaystyle{1 \over \sin a} 
+\displaystyle{1 \over \sin b}+\displaystyle\int_{a}^{b}\displaystyle{dt \over \sin^2 t}\right]=\displaystyle{K \over 2n}$
 donc \fbox{$\displaystyle\lim_{+\infty }I_n=0$.}\par
\bigskip
\q 93
Par hypoth{\`e}se, $A_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_k=O(1)$ et $a_0=A_0$.\par
$S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\displaystyle{a_k \over 2k+1}=
a_0+\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\displaystyle{A_k-A_{k-1} \over 2k+1}=
\displaystyle{2 \over 3}a_0+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}
\left(\displaystyle{1 \over 2k+1}-\displaystyle{1 \over 2k+3}\right)
A_k+\displaystyle{A_n \over 2n+1}$.\par
$S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\displaystyle{2A_k \over (2k+1)(2k+3)}+\displaystyle{A_n \over 2n+1}$.\par
La suite $(A_n)$ est born{\'e}e donc $\displaystyle\lim_{n\to \infty }\displaystyle{A_n \over 2n+1}=0$
et $w_k=\displaystyle{2A_k \over (2k+1)(2k+3)}=\displaystyle{O(1) \over k^2}
=o\left( \displaystyle{1 \over k^2}\right)$ 
donc $\displaystyle\sum w_k$ converge c{\`a}d la suite $(S_n)$ ou la s{\'e}rie $\displaystyle\sum\displaystyle{a_k \over 2k+1}$ 
converge de limite $\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \displaystyle{2A_k \over (2k+1)(2k+3)}$.\par
\smallskip
$\forall\,p>n+1,~\displaystyle
\sum_{k=n+1}^{p}\displaystyle{a_k \over 2k+1}=
\displaystyle\sum_{k=n+1}^{p}\displaystyle{A_k-A_{k-1} \over 2k+1}=
-\displaystyle{A_n \over 2n+3}+\displaystyle\sum_{k=n+1}^{p-1}w_k+
\displaystyle{A_p \over 2p+1}$.\par
$n$ {\'e}tant fix{\'e}, en faisant tendre $p$ vers $\infty$, on trouve 
\fbox{$\displaystyle\sum_{k=n+1}^{\infty }\displaystyle{a_k \over 2k+1}=
-\displaystyle{A_n \over 2n+3}+\displaystyle\sum_{k=n+1}^{\infty }\displaystyle{2A_k \over (2k+1)(2k+3)}$.}
\bigskip
\bigskip

\centerline{\fbox{ Partie II}}
\bigskip

\q 91
Si $f\in{\cal D}$ et $f$ de classe ${ \cal C}^1$ par morceaux sur $\Rr$, alors 
\underbar{le th{\'e}or{\`e}me de Dirichlet} assure que la s{\'e}rie de Fourier de $f$ converge simplement
sur $\Rr$.
Or ici $\displaystyle\sum_{n\ge 0}u_n(0)=
\displaystyle\sum_{n\ge 0}\displaystyle{1 \over 2n+1}$ diverge donc 
la s{\'e}rie de fonctions $\sum u_n$ \underbar{ ne converge pas simplement sur $\Rr$}
et ne peut donc pas {\^e}tre la s{\'e}rie de Fourier d'une fonction 
$f\in{\cal D}$ et $f$ de classe ${ \cal C}^1$ par morceaux sur $\Rr$.
\bigskip
\q 9{2.a} 
Fixons $x\in]0,\pi[$. Ici, $a_n(x)=\cos(2n+1)x$ et $A_n(x)=C_n(x)=\displaystyle{\sin 2(n+1)x \over 2\sin x}$. \par
Or $\sin x\ge 0$  donc $\forall\,n\in\Nn, ~|A_n|\le \displaystyle{1 \over \sin x}$
donc la suite $\left(A_n(x) \right)$est born{\'e}e. \par
En appliquant le $I.3$,
on en d{\'e}duit que $\displaystyle\sum \displaystyle{a_n(x) \over 2n+1}$ converge.\par
\underbar{BILAN : }\fbox{La s{\'e}rie de fonctions $\sum u_n$ 
converge simplement sur $]0,\pi[$.}\par
\q 9{2.b}
Posons $U_n(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_k(x).$
$\forall\,x\in]0,\pi[,~U'_n(x)=-\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\sin (2k+1)x
=\displaystyle{\cos 2(n+1)x-1 \over 2\sin x}.$\par
Comme $U_n$ est de classe ${\cal C}^{\infty }$sur $\Rr$, $U'_n$ est \underbar{continue} sur $\left[\displaystyle{\pi \over 2},x \right]$.\par
Ainsi $U_n(x)=U_n(x)-U_n\left(\displaystyle{\pi \over 2} \right)=
\displaystyle\int_{\pi/2}^{x}U'_n(t)dt=
\displaystyle\int_{\pi/2}^{x}\displaystyle{\cos 2(n+1)t \over 2\sin t}dt-
\displaystyle{1 \over 2}\displaystyle\int_{\pi/2}^{x}
\displaystyle{dt \over \sin t}$.\par
Or $\displaystyle\int_{\pi/2}^{x}\displaystyle{dt \over \sin t}=
\left[\ln\left(\tan\displaystyle{t \over 2} \right) \right]_{\pi/2}^x=
\ln\left(\tan\displaystyle{x \over 2} \right)$ d'o{\`u} le r{\'e}sultat.\par
\smallskip
Si $x>\displaystyle{\pi \over 2}$, d'apr{\`e}s I.2 ($a=\displaystyle{\pi \over 2},~~b=x$) 
$\displaystyle\lim_{n\to \infty }\displaystyle{\cos 2(n+1)t \over \sin t}dt=0$.\par
Ceci est encore vrai si $0<x<\displaystyle{\pi \over 2}$ en appliquant
I.2 avec $a=x$ et $b=\displaystyle{\pi \over 2}$.\par
\smallskip
\smallskip
\underbar{Bilan} : \fbox{$\forall\,x\in]0,\pi[,~~
\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty }}
\displaystyle{\cos(2n+1)x \over 2n+1}=-\ln\left(\tan \displaystyle{x \over 2}\right)$.}\par
\bigskip
\q 93
Pour $x\in[\alpha,\pi-\alpha],~R_n(x)=\displaystyle\sum_{k=n+1}^{\infty }
u_k(x)=-\ln\left(\tan\displaystyle{x \over 2} \right)-
\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_k(x)$\par
donc $R_n(x)=-\displaystyle\int_{\pi/2}^{x}\displaystyle{\cos 2(n+1)t \over 2\sin t}dt$.\par
Une int{\'e}gration par parties donne $R_n(x)=\displaystyle{-1 \over 4(n+1)}
\left[\displaystyle{\sin 2(n+1)x \over \sin x}+
\displaystyle\int_{\pi/2}^{x}\displaystyle{\cos t\,\sin 2(n+1)t \over \sin^2 t}dt \right]$.\par
Comme $x\in[\alpha,\pi-\alpha],~~0<\sin\alpha\le\sin x$
d'o{\`u} $|R_n(x)|\le \displaystyle{1 \over 4(n+1)}\left[
\displaystyle{1 \over \sin \alpha} +\displaystyle\int_{\pi/2}^{\pi-\alpha}\displaystyle{dt \over \sin^2 \alpha}\right]$ 
majorant ind{\'e}pendant de $x$ de limite nulle en $+\infty $ :\par

\smallskip
La suite $(R_n)$ converge uniform{\'e}ment vers la fonction nulle sur 
$[\alpha,\pi-\alpha]$\par
 donc \fbox{la s{\'e}rie de fonctions $\sum u_n$
converge uniform{\'e}ment  sur $[\alpha,\pi-\alpha]$.}
\bigskip
\q 9{4.a}
 - Posons $w_n(x)=\displaystyle{\sin (2n+1)x \over (2n+1)^2}$, 
$\|w_n\|_{\infty }=\displaystyle{1 \over (2n+1)^2}=O(\displaystyle{1 \over n^2})$.
$\sum w_n$ converge normalement donc uniform{\'e}ment sur $\Rr$.
De plus, chaque $w_n$ est continue sur $\Rr$ donc \underbar{$f$ est continue sur $\Rr$.}\par
 - Chaque $w_n$ est $2\pi$ p{\'e}riodique, \underbar{$f$ est $2\pi$ p{\'e}riodique.}\par
 - $f$ {\'e}tant continue sur $\Rr$, $\forall\,x\in\Rr, \displaystyle{f(x^+)+f(x^-) \over 2}=
\displaystyle{f(x)+f(x) \over 2}=f(x)$ donc \fbox{$f$appartient {\`a} ${\cal D}$}.\par
 \bigskip
\q 9{4.b}
 - $\forall\,n,~~w_n$ est de classe ${\cal C}^1$ sur $[\alpha,\pi-\alpha]$\par
 - la s{\'e}rie num{\'e}rique $\sum w_n(\pi/2)$ converge.\par
 - la s{\'e}rie de fonctions $\sum w'_n=\sum u_n$ converge uniform{\'e}ment sur $[\alpha,\pi-\alpha]$\par
\smallskip
Le th{\'e}or{\`e}me de d{\'e}rivabilit{\'e} de la somme des s{\'e}ries de fonctions permet d'affirmer que \par
$f\in{\cal C}^1\left([\alpha,\pi-\alpha] \right)$ et que 
$\forall\,x\in [\alpha,\pi-\alpha],~f'(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty }w'_n(x)$.\par
\smallskip
Ceci {\'e}tant vrai pour tout $\alpha\in\left]0,\displaystyle{\pi \over 2}\right[,$ on a :\par
\underbar{{\bf Bilan : }} \fbox{$f\in{\cal C}^1\left(]0,\pi[ \right)$ et $\forall\,x\in]0,\pi[,~f'(x)=-\ln\left(\tan\displaystyle{x \over 2} \right)$.}\par
\smallskip
$f$ est continue en $0$, d{\'e}rivable sur $]0,\pi[$ et $\displaystyle\lim_{0^+}f'=+\infty $ donc
\fbox{$f$ n'est pas d{\'e}rivable {\`a} droite en $0$.}\par
\smallskip
\q 9{4.c}
La continuit{\'e} de $f$ autorise {\`a} calculer les coefficients de Fourier 
de $f$.\par
$f$ est paire donc $a_n(f)=0$.\par
$b_n(f)=\displaystyle{1 \over \pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}
\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty } \displaystyle{\sin(2k+1)x\,\sin nx 
\over (2k+1)^2}dx$.\par
$n$ fix{\'e}, la s{\'e}rie pr{\'e}c{\'e}dente converge normalement sur $\Rr$ : 
on peut donc permuter sommation et int{\'e}gration :\par
$b_n(f)=\displaystyle{1 \over \pi}\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty }
\displaystyle{1 \over (2k+1)^2}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}
\sin(2k+1)x\,\sin nx\, dx$.
Or $\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin px\sin qx=0$ si $q\ne p, q,p
\in\Nn$ donc $b_{2n}(f)=0$  et $b_{2n+1}(f)=
\displaystyle{1 \over \pi(2n+1)^2}
\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin^2(2n+1)x\,dx=
\displaystyle{1 \over (2n+1)^2}$.\par
Ainsi, \fbox{la s{\'e}rie de Fourier de $f$ est la s{\'e}rie $\sum w_k$.} 
Comme elle  converge uniform{\'e}ment (donc simplement ) sur $\Rr$ vers 
$f$,\par
 on en d{\'e}duit que \fbox{$f$ est d{\'e}veloppable en s{\'e}rie de Fourier sur 
$\Rr$.} \par
(et cela, sans {\^e}tre dans les hypoth{\`e}ses du th{\'e}or{\`e}me de Dirichlet.)\par
 \bigskip
\bigskip
\centerline{\fbox{ Partie III}}
\bigskip
\q 91
$g\in{\cal D}$ donc le th{\'e}or{\`e}me de Dirichlet s'applique :\par
Les calculs donnent : \fbox{$\forall\,x\in\Rr,~g(x)=
\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty }\displaystyle{\sin(2p+1)x \over 2p+1}$.}\par
\bigskip
\q 92
Pour $x=\displaystyle{\pi \over 2}$, on obtient 
\fbox{$\sigma_1=g\left(\displaystyle{\pi \over 2}\right)=\displaystyle{\pi \over 4}$.}\par
L'{\'e}galit{\'e} de Parseval $\left(\displaystyle{1 \over 2\pi}
\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f^2(t)dt =\displaystyle{ 1\over 2}
b_n^2(f)\right)$ donne \fbox{$\sigma_2=\displaystyle{\pi^2 \over 8}$.}\par
$\sigma_3=\sigma_2+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }
\displaystyle{1 \over (2n)^2}=\sigma_2+\displaystyle{1 \over 4}\sigma_3$.~~\fbox{$\sigma_3=\displaystyle{\pi^2 \over 6}$}.\par
\bigskip
\q 93
Ici $a_n(x)=\sin(2n+1)x$ et $A_n(x)=S_n(x)=\displaystyle{\sin^2(n+1)x \over \sin x}$.\par
En notant $v_k(x)=\displaystyle{\sin(2k+1)x \over 2k+1}$ et 
$R_n(x)=\displaystyle\sum_{k=n+1}^{\infty } v_k(x)$ et montrons que 
la suite de fonctions $(R_n)$ converge uniform{\'e}ment vers $0$ sur 
$[\alpha,\pi-\alpha]$.\par
D'apr{\`e}s la formule (2) du I.3, on  a
$R_n(x)=-\displaystyle{A_n(x) \over 2n+3}+\displaystyle\sum_{k=n+1}^{\infty } \displaystyle{2A_k(x) \over (2k+1)(2k+3)}$.\par
$\forall\,x\in[\alpha,\pi-\alpha], |A_n(x)|\le\displaystyle{1 \over \sin \alpha}$
donc $|R_n(x)|\le \displaystyle{1 \over \sin\alpha}
\left(\displaystyle{1 \over 2n+3}+2\displaystyle\sum_{k=n+1}^{\infty} 
\displaystyle{1 \over (2k+1)(2k+3)} \right)$.\par
On a obtenu un majorant, ind{\'e}pendant de $x$, qui tend vers 0 quand $n\to \infty $:\par
La suite de fonctions $(R_n)$ converge uniform{\'e}ment vers la fonction nulle  sur 
$[\alpha,\pi-\alpha]$ donc \par
\fbox{la s{\'e}rie de Fourier de $g$,  $\sum v_n$, converge 
uniform{\'e}ment vers $g$ sur $[\alpha,\pi-\alpha]$}.\par
\smallskip
La convergence n'est pas uniforme sur $[0,\pi]$ car les $v_n$ sont continues
sur $[0,\pi]$ et la somme $g$ n'est pas continue en $0$.\par
\bigskip
\q 94
$V_n$ est $2\pi$-p{\'e}riodique, impaire et 
$\forall\,x\in[0,\pi],~V_n(\pi-x)=V_n(x)$.\par
 - on obtient la repr{\'e}sentation graphique de $V_n$ sur 
$[\displaystyle{\pi \over 2},\pi]$ en effectuent une sym{\'e}trie par rapport
 {\`a} la droite d'{\'e}quation $x=\displaystyle{\pi \over 2}$ de la 
repr{\'e}sentation graphique de $V_n$ sur $[0,\displaystyle{\pi \over 2}]$.\par
 - on obtient la repr{\'e}sentation graphique de $V_n$ sur 
$[-\pi ,0]$ en effectuant une sym{\'e}trie par rapport l'origine $O$
de la repr{\'e}sentation graphique de $V_n$ sur $[0,\pi]$.\par
 - On termine par des translations de vecteurs $2k\pi\vec i,~~k\in\Z$.\par
\bigskip
\q 95
$\forall\,x\in\left]0,\displaystyle{\pi \over 2}\right[,~
V'_n(x)=C_n(x)=\displaystyle{\sin 2(n+1)x \over \sin x}$~~et~~$V'_n(0)=n+1$.\par
$V'_n(x)=0\Leftrightarrow \exists\,k\in\Nn,~~2(n+1)x=k\pi$. 
Comme $V'_n(x)\ge 0$ au voisinage de $0$, $f$ est croissante au voisinage de $O$
 donc : \fbox{$\lambda_n=\displaystyle{\pi \over2(n+1) }$ et 
$\mu_n=\displaystyle{\pi \over n+1}$}.\par
\bigskip
\bigskip
\centerline{\fbox{Partie IV}}\par
\bigskip
\q 91
En effectuant le changement de variable $u=2(n+1)t$ on a :\par
\fbox{$W_n(\lambda_n)=\displaystyle\int_{0}^{{\pi \over 2(n+1)}}
\displaystyle{\sin 2(n+1)t \over 2t}dt=
\displaystyle\int_{0}^{\pi}\displaystyle{\sin u \over u}du=a$.~~~
$W_n(\mu_n)=\displaystyle\int_{0}^{{\pi \over n+1}}
\displaystyle{\sin 2(n+1)t \over 2t}dt=
\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\displaystyle{\sin u \over u}du=b$.}\par
\bigskip
\q 92
$\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle{\sin t \over t}dt$ est faussement impropre en $0$.\par
Soit $F~:~x\mapsto \displaystyle\int_{1}^{x}\displaystyle{\sin t \over t}dt$.
Par int{\'e}gration par parties, on a $F(x)=\displaystyle{-\cos(x) \over x}+\cos 1-
\displaystyle\int_{1}^{x}\displaystyle{\cos t \over t^2}dt$.\par
$\displaystyle\int_{1}^{\infty }\displaystyle{\cos t \over t^2}dt$
est absolument convergente car $\displaystyle{\cos t \over t^2}=
O\left(\displaystyle{1 \over t^2}\right)$ au voisinage de $+\infty $.\par
Donc $\displaystyle\lim_{x\to +\infty } F(x)$ existe et est finie :
\fbox{$\displaystyle\int_{0}^{+\infty} \displaystyle{\sin t \over t}dt$ est convergente}.\par
\bigskip
En effectuant le changement de variable $u=2(n+1)t$ on a :
$W_n(x)=\displaystyle\int_{0}^{2(n+1)x}\displaystyle{\sin u \over u}du$ \par
donc \fbox{$\forall\,x>0,~~\displaystyle\lim_{n\to \infty }W_n(x)=
\displaystyle\int_{0}^{+\infty }\displaystyle{\sin u \over 2u}du=
\displaystyle{I \over 2}$}.\par
\fbox{La suite $(W_n)$ converge simplement sur 
$\left[0,\displaystyle{\pi \over 2} \right] $ vers  $W$ d{\'e}finie 
par $W(0)=0$ et $\forall\,x\in\left]0,\displaystyle{\pi \over 2} \right],
~~W(x)=\displaystyle{I \over 2}$.}\par
\bigskip
\q 9{3.a}
$h$ est clairement de classe ${\cal C}^1$ sur $\left]0,\displaystyle{\pi \over 2} \right]$.\par
$\forall\,t\in\left]0,\displaystyle{\pi \over 2} \right],~~
h(t)=\displaystyle{t-\sin t \over t\sin t}=
\displaystyle{O(t^2) \over t^2+o(t^2)}=O(1)$.\par
$\displaystyle\lim_{t\to 0^+}h(t)=0=h(0)$ donc $h$ est continue en $0$.\par
$\forall\,t\in\left]0,\displaystyle{\pi \over 2} \right],~~
h'(t)=-\displaystyle{\cos t \over \sin^2 t}+\displaystyle{1 \over t^2}=
\displaystyle{\sin^2t-t^2\cos t \over t^2\sin^2 t}=\displaystyle{1 \over 6}+O(1)$.\par
$\displaystyle\lim_{t\to 0^+}h'(t)$ existe et est finie donc 
\fbox{$h$ est de classe  ${\cal C}^1$ sur $\left[0,\displaystyle{\pi \over 2} \right]$}.\par
\bigskip
\q 9{3.b}
$\forall\,x\in\left[0,\displaystyle{ \pi\over 2}\right],~~
V_n(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\displaystyle{\sin(2k+1)x \over 2k+1}
=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\displaystyle\int_{0}^{x}\cos(2k+1)t\,dt
=\displaystyle\int_{0}^{x}C_n(t)\,dt$.\par
$V_n(x)-W_n(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}
\displaystyle{\sin 2(n+1)t \over 2\sin t }dt-\displaystyle\int_{0}^{x}
\displaystyle{\sin 2(n+1)t \over 2t}dt=\displaystyle{1 \over 2}
\displaystyle\int_{0}^{x}h(t)\sin 2(n+1)t\,dt$.\par
\smallskip
$h$ {\'e}tant ${\cal C}^1$, on peut effectuer une int{\'e}gration par parties.\par
Si $M={\rm Sup}\left\{|h(t)|,t\in\left[0,\displaystyle{\pi \over 2}
\right]\right\}$, on a \par
$\forall\,x\in\left[0,\displaystyle{ \pi\over 2}\right],~~
|V_n(x)-W_n(x)|\le \displaystyle{1 \over 4(n+1)}
\left(2M+\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}|h'(t)|\,dt \right)$ majorant
ind{\'e}pendant de $x$ qui tend vers $0$ quand $n\to +\infty $.
Donc \fbox{la suite de fonctions $(V_n-W_n)$ converge uniform{\'e}ment vers 
la fonction nulle sur $\left[0,\displaystyle{ \pi\over 2}\right]$.}\par
\bigskip
\q 94
$\forall\,\varepsilon>0,~~\exists\,N\in\Nn,\forall\,n\ge N,~~\forall\,x\in
\left[0,\displaystyle{ \pi\over 2}\right],~~|V_n(x)-W_n(x)|<\varepsilon$.\par
donc $\forall\,\varepsilon>0,~~\exists\,N\in\Nn,\forall\,n\ge N,~~
|V_n(\lambda_n)-W_n(\lambda_n)<\varepsilon$ et 
$|V_n(\mu_n)-W_n(\mu_n)|<\varepsilon$.\par
Or $W_n(\lambda_n)=a$ et $W_n(\mu_n)|=b$ donc \par
$\forall\,\varepsilon>0,~~\exists\,N\in\Nn,\forall\,n\ge N,~~
|V_n(\lambda_n)-a|<\varepsilon$ et 
$|V_n(\mu_n)-b|<\varepsilon$.\par
\smallskip
Ceci prouve que \fbox{$\displaystyle\lim_{n\to \infty }V_n(\lambda_n)=a$ et
$\displaystyle\lim_{n\to \infty }V_n(\mu_n)=b$.} (Ph{\'e}nom{\`e}ne de Gibbs)\par
\smallskip
La suite $W_n\left(\displaystyle{\pi \over 2}\right)$ converge vers $\displaystyle{I \over 2}$ (IV.2)
donc  la suite $V_n\left(\displaystyle{\pi \over 2}\right)$ converge vers $\displaystyle{I \over 2}$.\par
Or $\displaystyle\lim_{n\to \infty }V_n\left(\displaystyle{\pi \over 2}\right)=
\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty }\displaystyle{(-1)^k \over 2k+1}=
\displaystyle{\pi \over 4}$ donc \fbox{$I=\displaystyle{\pi \over 2}$.}\par
\q 9{5.a}
$\alpha_n=\displaystyle\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}
\displaystyle{\sin t \over 2t}=\displaystyle\int_{0}^{\pi}
\displaystyle{\sin (u+n\pi) \over 2(u+n\pi)}=
(-1)^n\displaystyle\int_{0}^{\pi}
\displaystyle{\sin u \over 2(u+n\pi)}.$\par
$\forall\,u\in [0,\pi],~~\sin u\ge 0,$ donc
 $|\alpha_n|=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\displaystyle{\sin u \over 2(u+n\pi)}.$
La s{\'e}rie $\sum \alpha_n$ est donc altern{\'e}e.\par
 $\forall\,u\in ]0,\pi[,~~\displaystyle{\sin u \over u+(n+1)\pi}
<\displaystyle{\sin u \over u+n}$ d'o{\`u} par conservation des in{\'e}galit{\'e}s 
strictes pour les applications continues, on a $\alpha_{n+1}<\alpha_n$.\par
En outre $\forall\,n\ge 1,~~\alpha_n\le\displaystyle\int_{0}^{\pi}\displaystyle{du \over n\pi}=\displaystyle{1 \over 2n}$
donc $\displaystyle\lim_{n\to \infty }\alpha_n=0$.\par
\smallskip
$\displaystyle\lim_{n\to \infty }\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\alpha_n=
\displaystyle\lim_{n\to \infty }\displaystyle\int_{0}^{(n+1)\pi}
\displaystyle{\sin t \over 2t}dt=\displaystyle{I \over 2}=
\displaystyle{\pi \over 4}$. Donc \fbox{$\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty }\alpha_n=\displaystyle{\pi \over 4}$.}\par

\q 9{5.b}
D'apr{\`e}s le th{\'e}or{\`e}me sp{\'e}cial des s{\'e}ries altern{\'e}es, 
$\alpha_0+\alpha_1\le
\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty }\alpha_n\le\alpha_0$ les in{\'e}galit{\'e}s {\'e}tant strictes 
car la suite $(|\alpha_n|)$ est strictement d{\'e}croissante.\par
Donc \fbox{$b=\alpha_0+\alpha_1<\displaystyle{\pi \over 4}<\alpha_0=a$}
\bigskip
\fin






\bye





