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%\def\"#1{\if#1i{\accent"7F\i}\else{\accent"7F #1}\fi}

\frenchspacing


\def\barre{\vbox{\hrule height 2mm depth -0.3mm width .1mm}}

\def\Rr{\Barre\hskip -0.2mm{\rm R}}
\def\Nn{\Barre\hskip -0.1mm{\rm N}}

\def\NN{\rm I\hskip -.1em{\rm N}}
\def\RR{\rm I\hskip -.1em{\rm R}}




\def\+{\infty}



\def\l{\lambda}
\def\p{\pi}
\def\a{\alpha}
\def\b{\beta}
\def\e{\varepsilon}
\def\n{\nu}
\def\m{\mu}
\def\t{\theta}
\def\G{\Gamma}
\def\g{\gamma}
\def\f{\varphi}
\def\r{\rho}
\def\O{\Omega}
\def\s{\sigma}
\def\ex{\exists}
\def\fr{\forall}


\def\lb{\lbrack}
\def\rb{\rbrack}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\def\tabvar#1{{%
%                                                     macros locales
\def\LL{\ \cr\noalign{\hrule}}%                        % trait horizontal
\def\ll{\ \cr\noalign{\vskip -6pt}}%                   % trait vertical
\def\dd{\searrow}%                                     % fl{\`e}che descendante
\def\u{\nearrow}%                                     % fl{\`e}che montante
\def\v{\vrule}%                                       % trait vertical
\def\V{\vrule\hskip2pt\vrule}%                        % double trait vertical
\def\Vg{\V\hfill}%                                    % double trait {\`a} gauche
\def\Vd{\hfill\V}%                                    % double trait {\`a} droite
\def\q{\qquad}%                                       % cale de largeur
%
\leavevmode                                           % mode horizontal
\hbox{\vrule                                          % cadre (trait gauche)
\vbox{\hrule                                          % cadre (trait haut)
\vtop{\offinterlineskip                               % lignes jointives
\halign{\strut                                        % cale de hauteur
\ \hfil$##$\hfil\                                     % colonne 1
\vrule\                                               % s{\'e}paration 1-2
&&\hfil$##$\hfil\cr                                   % colonnes 2,3,..
#1%                                                   % contenu du tableau
\noalign{\hrule}%                                     % cadre (trait bas)
}}}\vrule}}}                                          % cadre (trait droit)







\long\def\cadre#1{%

\hbox{
\vrule                                 % trait gauche
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\vskip1mm                              % cale bas
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}

\long\def \cadrec #1{
\vskip 2mm plus 1mm minus 1mm          % espace vertical
\centerline{\cadre{#1}}
\vskip 2mm plus 1mm minus 1mm          % espace vertical
}


\def\Frac#1#2{\dst{{#1}\over{#2}}}


\def\Sum{\displaystyle\sum}

\def\Lim{\displaystyle\lim}

\def\Int{\displaystyle\int}


\def\MnR{{\cal M}_n(\RR)}



\def\fld{\rightarrow}
\def\Fld{\longrightarrow}
\def\flg{\leftarrow}
\def\Flg{\longleftarrow}
\def\donne{\mapsto}
\def\Donne{\,\longmapsto\,}
\def\dst{\displaystyle}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\newtoks\nom
\nom={ENSAIT1 96 }


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% Symboles et fonctions                                           %%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%\headline={\ifnum \pageno=1 
%		      \hbox{\vbox{\vskip 3mm \advance \hsize by -0.4mm 
%				  \hbox to \hsize
%				       {\noindent Corrig\'e du probl\`eme \the\nom
%						  \hfill}
%				  \vskip 1mm%
%				  \hrule}
%				  }
%	    \else \hfil  
%	    \fi
%	    }
%
%\footline={\ifnum \pageno=1 \hfil \global \pageunfalse
%	    \else \the\nom \hfill \cadre{page: \folio}
%	    \fi}



%

\catcode`\@=12









*****
\def\Equ{\Longleftrightarrow}
\def\equ{\Leftrightarrow}
\def\impl{\Rightarrow}
\def\Impl{\Longrightarrow}
\def\fld{\rightarrow}
\def\Fld{\longrightarrow}
\def\flg{\leftarrow}
\def\Flg{\longleftarrow}
\def\donne{\mapsto}
\def\Donne{\,\longmapsto\,}
\def\dst{\displaystyle}
\cadrec{ {\bf ENSAIT 1996 --- MATH\'EMATIQUES 1}}
L'objet du probl{\`e}me est l'{\'e}tude et le calcul des int{\'e}grales g{\'e}n{\'e}ralis{\'e}es:
\cadrec{{\bf$I_{n,\a}=\Int_0^{\+} \Frac{sin^n(t)}{t^\a} dt$}}
\centerline{\bf I}

{\bf 1.1.}
 \'Etude de la convergence de $I_{1,\a}=\Int_0^{\+} \Frac{sin(t)}{t^\a} dt$

{\bf 1.1.1.}
 $\a>1$  

Au voisinage de l'$\+$ 

on a 
$|\Frac{sin(t)^n}{t^\a}|\leq |\Frac{1}{t^\a}|$ et d'apr{\`e}s le crit{\`e}re de comparaison
on a la convergence de $I_{1,\a}$ au voisinage de l'$\+$.

Au voisinage de $0$ 

On a $\Frac{sin(t)}{t^\a}\sim_0 \Frac{1}{t^{\a-1}}$
d'o{\`u} on a convergence pour $1<\a<2$ et divergence pour $\a \geq 2$

{\bf 1.1.2.}
 $0<\a \leq 1$

$\bullet$  {\bf Convergence de $I_{1,\a}=\Int_0^{\+} \Frac{sin(t)}{t^\a} dt$:}

$\bullet$ Au voisinage de $0$: 

$\Frac{sin(t)}{t^\a}\sim_0 \Frac{1}{t^{\a-1}}$ et 
$\Lim_{t\fld 0}t^{1-\a}=0$ donc $t \donne \Frac{sin(t)}{t^\a}$
 est prolongeable par continuit{\'e} au voisinage de $0$.

$\bullet$ Au voisinage de $\+$:
  
$\Int_1^{X} \Frac{sin(t)}{t^\a} dt 
= \lbrack \Frac{-cos(t)}{t^\a}\rbrack_1^X-
\Int_1^{X} \a \Frac{(cos(t))}{t^{\a+1}} dt$
    

or  $|\Frac{(cos(t))}{t^{\a+1}}| \leq \Frac{1}{|t|^{\a+1}}$  et  $\a +1 >1$
d'o{\`u} la convergence absolue de $\Int_1^{X} \a \Frac{(cos(t))}{t^{\a+1}} dt$ 
donc on a
la convergence de $\Int_1^{X} \Frac{(cos(t))}{t^{\a+1}} dt$ et comme 
$\Lim_{X \fld \+}\lbrack \Frac{-cost}{t^\a}\rbrack_1^X=cos(1)$ on a
la convergence de $\Int_1^{\+} \Frac{sin(t)}{t^\a} dt$ 


$\bullet$ Soit $u_n=\Int_{n\p}^{(n+1)\p} \Frac{sin(t)}{t^\a} dt$

$|u_n|\leq \Int_{n\p}^{(n+1)\p}|\Frac{sin(t)}{t^\a}| dt
\leq \Int_{n\p}^{(n+1)\p} |\Frac{sin(t)}{t^\a}| dt
\leq \Frac{1}{n^\a \p^\a}\Int_{n\p}^{(n+1)\p} |sin(t)| dt=\Frac{2}{n^\a \p^\a}$

D'autre part en posant $u=t-n\p$ 

$|u_n|=|\Int_{n\p}^{(n+1)\p}\Frac{sin(t)}{t^\a} dt|=
|\Int_{0}^{\p}\Frac{(sin(u+n\p)}{(u+n\p)^\a} du| > \Frac{2}{(\p+n\p)^\a}
=\Frac{2}{(n+1)^\a\p^\a}$

d'o{\`u} l'encadrement $\Frac{2}{(n+1)^\a\p^\a}\leq|u_n|\leq\Frac{2}{n^\a \p^\a}$

et de l'encadrement
 
$\bullet$  $\Frac{2}{(n+1)^\a\p^\a}\leq\Frac{|sint|}{t^\a}\leq\Frac{2}{n^\a \p^\a}$
 sur l'intervalle $\rb n\p,(n+1)\p \lb$  $ \ni t$

on d{\'e}duit que l'int{\'e}grale $\Int_{0}^{\+}\Frac{|sint|}{t^\a} dt$ est de m{\^e}me nature que la s{\'e}rie de Riemann 
$\dst\sum_1^\+\Frac{1}{n^\a}$  qui diverge car $0<\a \leq 1$  donc \cadrec{$I_{1,\a} $ est semi-convergente.}

{\bf 1.1.3. 
$\a \leq 0$.}
     $\n_n=\Int_{\p}^{n\p}\Frac{sin(t)}{t^\a} dt$.

${|\n_{n+1}-\n_n|}={|\Int_{\p}^{(n+1)\p}
\Frac{sin(t)}{t^\a} dt-\Int_{\p}^{n\p}\Frac{sin(t)}{t^\a} dt|}
={|\Int_{n\p}^{(n+1)\p}\Frac{sin(t)}{t^\a} dt|}={|u_n|}\leq \Frac{2}{n^\a \p^\a}$
 qui tend vers $0$ quand $n$ tend vers l'infini.

$I_{1,\a} =\Int_{0}^{\p}\Frac{sin(t)}{t^\a} dt+\Int_{\p}^{n\p}\Frac{sin(t)}{t^\a} dt
=\Int_{0}^{\p}\Frac{sin(t)}{t^\a} dt+\n_n$.

La suite $w_n=\n_{n+1}-\n_n=\Int_{n\p}^{(n+1)\p}\Frac{sin(t)}{t^\a} dt
=\Int_{0}^{\p}\Frac{sin(u+n\p)}{(u+n\p)^\a} dt=
(-1)^n\Int_{0}^{\p}\Frac{sin(u)}{(u+n\p)^\a} du$

est le terme g{\'e}n{\'e}ral d'une s{\'e}rie altern{\'e}e:

En effet,
 
$\bullet$ $(-1)^nw_n$ est positif.

$\bullet$ $w_n$ est d{\'e}croissante.

$\bullet$ $w_n$  tend vers $0$ quand n tend vers l'infini.

donc d'apr{\`e}s le crit{\`e}re (le th{\'e}or{\`e}me) des s{\'e}ries alt{\'e}rn{\'e}es on a la s{\'e}rie 
de terme g{\'e}n{\'e}ral $w_n$ est convergente.

Soit $S_n$ la somme partielle de cette s{\'e}rie 
on a 

$S_n=\Sum_{k=1}^nw_k=w_1+w_2+\ldots+w_n=\n_{n+1}-\n_1=
\n_{n+1}=\Int_{\p}^{(n+1)\p}\Frac{sin(t)}{t^\a} dt$

et comme $S_n$ est convergente on a la convergence de $I_{1,\a}$.



{\bf 1.2.}

$\bullet$ $a$ et $b$ deux r{\'e}els, on consid{\`e}re l'int{\'e}grale:
{\bf $J_{a,b}=\Int_0^\+t^b sin(t^a)dt.$}

$\bullet$ $J_{0,b}=\Int_0^\+t^b sin(1)dt$ est 
une int{\'e}grale de Riemann divergente.



$\bullet$  $J_{a,0}=\Int_0^\+ sin(t^a)dt$

On suppose $a>0$ , et on pose $u=t^a$, d'o{\`u} 
$J_{a,0}=\Int_0^\+ sin(u)\Frac{1}{a}u^{\Frac{1}{a}-1}du.$

Pour $a>1$, une int{\'e}gration par parties donne la convergence.

Pour $a\leq 1$ on a $\Int_{n\p}^{(n+1)\p}sin(u)u^{\Frac{1}{a}-1}du$ 
ne tend pas vers $0$, d'o{\`u} la divergence de l'int{\'e}grale.

Pour $a<0$  , on pose $u=t^{-a}$, et on est ramen{\'e} {\`a} des int{\'e}grales 
du type pr{\'e}c{\'e}dent, ainsi on a convergence si et seulement si $a<-1$.

Pour $a=0$ l'int{\'e}grale diverge.

donc la condition n{\'e}cessaire et suffisante de convergence est $|a|>1$.

Si $a>0$ on pose $u=t^a$   $du=at^{a-1}dt$ d'o{\`u}

$J_{a,b}=\Int_0^\+t^b sin(t^a)dt=
\Int_0^\+u^{\Frac{b}{a}} sin(u) u^{\Frac{a-1}{a}}du=
\Int_0^\+\Frac{sin(u)}{u^{\Frac{1-a-b}{a}}}  du$.

Et on revient au cas pr{\'e}c{\'e}dent.

\centerline{\bf II}
\cadrec{$n=3;\a=2$}

{\bf 2.1}

{\bf Convergence de $I_{3,2}$}

Au voisinage de $0$:

 La fonction $f$: $t \donne \Frac{sin^3(t)}{t^2}$ est continue
sur $\rb 0,\+\lb$, et comme $\Lim_{t\fld 0}\Frac{sin^3(t)}{t^2}=0$ on a $f$ est 
prolongeable par continuit{\'e}.

Au voisinage de $\+$: 

on a $f(t)=o(\Frac{1}{t^2})$, $I_{3,2}$ est donc absolument
convergente, donc convergente.

{\bf 2.2.}

{\bf 2.2.1.}

Soit $f$ la fonction d{\'e}finie par:

$f$:  $\rb 0,\Frac{\p}{2}\rb \fld \RR$
$f(t)=\Frac{sin(t)}{t}$ d'o{\`u} $f'(t)=\Frac{tcos(t)-sin(t)}{t^2}
=\Frac{cos(t)}{t^2}(t-tan(t))$

Posons $\f(t)=t-tan(t)$ alors $\f'(t)=1-1-tan^2(t)=-tan^2(t)<0$
$\f(t)=t-tan(t)$ est alors d{\'e}croissante et comme $\f(0)=0$ on a $\f(t)=t-tan(t)<0$
d'o{\`u} la d{\'e}croissance de $f$:

 
 
  d'o{\`u} le tableau de variation de $f$.
  

$$\tabvar{t &0  & \q &\Frac{\p}{4} & \q  &\Frac{\p}{2}   \LL
         \f&\q & -  &-                 & -   &\q  \LL
          f&1 &   &\dd                 & 
            &\Frac{2}{\p}\cr}$$


{\bf 2.2.2.}
  


$\bullet$ Soit $F_{a,b}(x)=\Int_{ax}^{bx}\Frac{sin(t)}{t^2}dt$,

$F_{a,b}(-x)=\Int_{-ax}^{-bx}\Frac{sin(t)}{t^2}dt$ posons $u=-x$

$F_{a,b}(-x)=-\Int_{ax}^{bx}\Frac{sin(-t)}{t^2}dt
=\Int_{ax}^{bx}\Frac{sin(t)}{t^2}dt=F_{a,b}(x)$
donc $F_{a,b}$ est paire.

$\bullet$ $\Lim_{x \fld 0}F_{a,b}(x)=
\Lim_{x \fld 0}\Int_{ax}^{bx}\Frac{sin(t)}{t^2}dt$

On pose $t=ux$ et alors $\Int_{ax}^{bx}\Frac{sin(t)}{t^2}dt
=\Int_{a}^{b}\Frac{sin(xu)}{u^2x^2}xdu=
\Frac{1}{x}\Int_{a}^{b}\Frac{sin(xu)}{u^2}du$

Or $\Frac{sin(xu)}{u^2}=\Frac{xu}{u^2}+\Frac{o(x^2u^2)}{u^2}
=\Frac{1}{u}+\psi(x,u)$ o{\`u} $\psi(x,u)$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $0$.

d'o{\`u} $F_{a,b}(x)=\Int_{a}^{b}\Frac{1}{u}du+\Psi(x)$
 avec $\Lim_{x \fld 0}\Psi(x)=0$ d'o{\`u}

 \cadrec{$\Lim_{x \fld 0}F_{a,b}(x)=[ln(u)]_a^b=ln(\Frac{b}{a})$}


{\bf 2.3.}

Soit {\bf $I(\e)=\Int_{\e}^{\+}\Frac{sin^3(t)}{t^2}dt$}

$\bullet$ Au voisinage de $0$:

La fonction $f$:  $t \donne \Frac{sin^3(t)}{t^2}$ est continue sur $]0,\+[$, et elle
est prolongeable par continuit{\'e} en $0$ car 
$\Lim_{t \fld 0}\Frac{sin^3(t)}{t^2}=0$.

$\bullet$ Au voisinage de$\+$: 

On a $f(t)=o(\Frac{1}{t^2})$, 
l'int{\'e}grale est donc absolument
convergente.

On a $I=\Lim_{\e \fld 0^+}I(\e)$  avec $\Int_{\e}^{\+}\Frac{sin^3(t)}{t^2}dt=
\Int_{\e}^{\+}(\Frac{3}{4}\Frac{sin(t)}{t^2}-\Frac{sin(3t)}{4t^2})dt$,   $\e>0$

Les int{\'e}grales  $\Int_{\e}^{\+}\Frac{sin(t)}{t^2}dt$  et  
$\Int_{\e}^{\+}\Frac{sin(3t)}{t^2}dt$ sont absolument convergentes, donc

$I(\e)=\Frac{3}{4}\Int_{\e}^{\+}\Frac{sin(t)}{t^2}dt-
\Frac{1}{4}\Int_{\e}^{\+}\Frac{sin(3t)}{t^2}dt$ et de plus on a

$\Int_{\e}^{\+}\Frac{sin(3t)}{t^2}dt=3\Int_{3\e}^{\+}\Frac{sin(u)}{u^2}du$, d'o{\`u}
 $I(\e)=\Frac{3}{4}\Int_{\e}^{3\e}\Frac{sin(t)}{t^2}dt.$
Donc \cadrec{$k=\Frac{3}{4}$}
Posons $\f(t)=\Frac{sin(3t)}{t}$  si  $t \not =0$,  $\f(0)=1$.

$\f$ est continue sur $\RR$ et de plus la fonction $t \donne \Frac{1}{t}$ 
est positive sur $[\e,3\e]$(pour $\e>0$), 
donc d'apr{\`e}s la formule de la moyenne:
$\ex$ $ c$ $\in [\e,3\e]$,t.q. $I(\e)=\Frac{3}{4}\Int_{\e}^{3\e}\Frac{\f(t)}{t}dt=
\Frac{3}{4}\f(c)\Int_{\e}^{3\e}\Frac{1}{t^2}dt=\Frac{3}{4}\f(c)ln3$.

d'o{\`u} $\Lim_{\e \fld 0^+}\f(c)=\f(0)=1$  et 
alors \cadrec{$I_{3,2}=\Lim_{\e \fld 0^+}I(\e)=\Frac{3ln3}{4}.$}

\centerline{\bf III}
\cadrec{$\a=n$}
{\bf $$A_n=I_{n,n}=\Int_0^\+(\Frac{sin(t)}{t})^ndt \ \ et \ 
\ A_1=I_{1,1}=\Int_0^\+\Frac{sin(t)}{t}dt=\Frac{\p}{2}$$}

{\bf 3.1.}
{\bf $x>0$}

$$\Int_0^\+\Frac{sin(xt)}{t}dt=\Int_0^\+\Frac{sin(u)}{u}du=\Frac{\p}{2}$$
ceci en posant $xt=u$

{\bf 3.2.}

On suppose {\bf $n \geq 2$   $A_n=I_{n,n}=\Int_0^\+(\Frac{sin(t)}{t})^ndt$}

   
$\bullet$ Au voisinage de $\+$: 

$|(\Frac{sin(t)}{t})^n|\leq \Frac{1}{t^n}$ donc on a
convergence au voisinage de $\+$ (d'apr{\`e}s le crit{\`e}re de comparaison 
avec des int{\'e}grales de Riemann $n\geq 2$)

$\bullet$ Au voisinage de $0$: 

$\fr n\geq 2$
$$\Lim_{t \fld 0}(\Frac{sin(t)}{t})^n=
\Lim_{t \fld 0}|(\Frac{sin(t)}{t})^n|=1$$ 

donc la fonction $f$ :$t \donne (\Frac{sin(t)}{t})^n$  est prolongeable par continuit{\'e} en $0$.
Ainsi $A_n=I_{n,n}=\Int_0^\+(\Frac{sin(t)}{t})^ndt$ est absolument convergente
donc convergente.

{\bf 3.3.}

{\bf Calcul de $A_2=I_{2,2}=\Int_0^\+\Frac{sin^2(t)}{t^2}dt$}

Par des int{\'e}grations par parties (tous les termes convergent) on obtient:

$\Int_0^\+\Frac{sin^2(xt)}{t^2}dt=[-\Frac{1}{t}sin^2(xt)]_0^\+
+2x\Int_0^\+\Frac{cos(xt)sin(xt)}{t}dt
=x\Int_0^\+\Frac{sin(2xt)}{t}dt=x\Frac{\p}{2}$ 

donc pour $x=1$ on a \cadrec{$A_2=I_{2,2}=\Int_0^\+\Frac{sin^2(t)}{t^2}dt=\Frac{\p}{2}$}

{\bf 3.4.}

{\bf Calcul de $A_4=I_{4,4}=\Int_0^\+\Frac{sin^4(t)}{t^4}dt$}

Par des int{\'e}grations par parties successives (tous les termes convergent) on
obtient:

$A_4=\Int_0^\+\Frac{sin^4(t)}{t^4}dt
=+\Int_0^\++\Frac{4}{3}\Frac{cos(t)sin^3(t)}{t^3}dt
\Frac{4}{3}(-\Int_0^\+\Frac{sin^4(t)}{2t^2}-\Frac{3}{2}\Frac{cos^2(t)sin^2(t)}{t^2}dt)
=-\Frac{2}{3}\Int_0^\+\Frac{sin^4(t)}{t^2}dt+
\Frac{1}{2}\Int_0^\+\Frac{4cos^2(t)sin^2(t)}{t^2}dt)
=-\Frac{2}{3}\Int_0^\+\Frac{sin^4(t)}{t^2}dt+\Frac{1}{2}\Int_0^\+\Frac{sin^2(2t)}{t^2}dt
 $  
 
$\bullet$ Calcul de $\Int_0^\+\Frac{sin^4(t)}{t^2}dt$

et comme $$sin^4(t)=sin(t)sin^3(t)=sin(t)(\Frac{3}{4}sin(t)-\Frac{1}{4}sin(3t))
=\Frac{3}{4}sin^2(t)-\Frac{1}{4}sin(t)sin(3t)$$

Calculons d'abord :

$\Int_0^\+\Frac{sin(t)sin(3t)}{t^2}dt$  

par des int{\'e}grations par parties successives (tous les termes convergent) on
obtient:

$\Int_0^\+\Frac{sin(t)sin(3t)}{t^2}dt=
+\Int_0^\+\Frac{cos(t)sin(3t)}{t}dt+3 \Int_0^\+\Frac{sin(t)cos(3t)}{t}dt
=\Frac{3}{2}(\Int_0^\+\Frac{sin(4t)}{t}dt+\Int_0^\+\Frac{sin(2t)}{t}dt)+
\Frac{1}{2}(\Int_0^\+\Frac{sin(4t)}{t}dt+\Int_0^\+\Frac{sin(-2t)}{t}dt)
=\Frac{1}{2}(\Frac{\p}{2}-\Frac{\p}{2})+\Frac{3}{2}(\Frac{\p}{2}+\Frac{\p}{2})
=\Frac{3\p}{2}.$

D'o{\`u} $\Int_0^\+\Frac{sin^4(t)}{t^4}dt=\Frac{\p}{2}-
\Frac{2}{3}\Frac{3}{4}\Frac{\p}{2}+\Frac{2}{3}\Frac{1}{4}\Frac{3\p}{2}
=\Frac{\p}{2}$
\cadrec{$\Int_0^\+\Frac{sin^4(t)}{t^4}dt  =\Frac{\p}{2}$}






















\end
