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\documentclass[a4paper]{article}
%\usepackage{a4wide}                             %sans importance reelle
\begin{document}
\renewcommand{\thesubsection}{\thesection.\alph{subsection}}
\newcommand{\Image}{\ensuremath{\mathrm{\,Im\;}}}
\newcommand{\sstitre}[1]{\par\pagebreak[2]\medskip%
        \begin{center}\textbf{\LARGE #1}\end{center}\nopagebreak[3]\par}

\title{\'Ecole Polytechnique M' 1996 Deuxi{\`e}me {\'e}preuve\\
        Sous alg{\`e}bres commutatives nilpotentes de $\mathcal{L}(E,E)$}
\author{}
\maketitle

Cette solution a {\'e}t{\'e} r{\'e}dig{\'e}e comme un document de travail et non comme un
corrig{\'e} mod{\`e}le. Certaines remarques ou mises en garde seraient d{\'e}plac{\'e}es
dans une copie de concours, certaines questions sont r{\'e}dig{\'e}es de fa{\c c}on
beaucoup trop sommaire.


\sstitre{Premi{\`e}re partie}

\section{Un endomorphisme nilpotent}
\subsection{}
$\ker T$ est au plus de dimension 1, sinon $T$ serait nul, et au moins de dimension 1,
sinon $T$ serait inversible, donc non nilpotent. Donc
\[\dim(\ker T) = \dim(\Image T) =1\]

\subsection{}
Montrons d'abord que $\ker T = \Image T$. $\ker T \cap \Image T$ n'est 
pas r{\'e}duit {\`a} z{\'e}ro, sinon les images it{\'e}r{\'e}es d'un {\'e}l{\'e}ment pris hors du noyau
seraient toutes non nulles. N'{\'e}tant pas r{\'e}duite {\`a} z{\'e}ro, l'intersection
ne peut  tre que de dimension $1$, donc {\'e}gale {\`a} $\ker T$ et $\Image T$.
On prend pour premier vecteur de base un vecteur $v$ quelconque hors du noyau.
Son image $w=T(v)$ est dans le noyau, 
on la prend comme second vecteur de base ($v$ et $w$ sont bien ind{\'e}pendants).
Il est alors clair que $r=2$.

On aurait aussi pu remarquer qu'un endomorphisme nilpotent admet 
$E$ comme sous-espace caract{\'e}ristique pour la valeur propre $0$;
la base demand{\'e}e s'obtient trivialement par r{\'e}duction triangulaire. Pour un 
espace de dimension $2$, la r{\'e}f{\'e}rence aux sous espaces 
caract{\'e}ristiques\footnote{qui disparaissent du programme en septembre 1996}
est un peu disproportionn{\'e}e avec le but {\`a} atteindre.


\section{Une alg{\`e}bre nilpotente}
On sait d{\'e}j{\`a}, d'apr{\`e}s \hbox{I.1.b}, que tous les {\'e}l{\'e}ments non nuls de $\mathcal{A}$
sont 2-nilpotents. Soient $U$ et $V$ deux {\'e}l{\'e}ments de $\mathcal{A}$, 
comme l'alg{\`e}bre est commutative, on peut appliquer la formule du bin{\^o}me,
$(U+V)^2=U^2+V^2+2UV$ , mais $U^2,V^2$ et $(U+V)^2$ sont nuls, donc $UV=0$.
\textit{L'alg{\`e}bre est 2-nilpotente}

Choisissons un {\'e}l{\'e}ment $T$ non nul de $\mathcal{A}$ et prenons pour $T$ une base
du type {\'e}tudi{\'e} en \hbox{I.1.b} Dans cette base, un autre {\'e}l{\'e}ment $U$ de 
$\mathcal{A}$ aura une matrice de la forme 
$\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)$.
En {\'e}crivant que $TU=UT=0$ (car $\mathcal{A}$ est 2-nilpotente)
 on constate que seul $c$ peut  tre non nul.

\sstitre{Deuxi{\`e}me partie}
\section{d{\'e}composition de $E$ en somme directe}
Prendre $T_{i,j}=P_i \circ T \circ P_j$

\section{produit par blocs}
 \begin{eqnarray*}
(ST)_{i,j} & =& P_i \circ ST \circ P_j \\
       & = & P_i \circ S \circ (\sum_k P_k) \circ (\sum_l P_l) \circ T \circ P_j  \\
       & = & \sum_k \sum_l P_i \circ S \circ P_k \circ P_l \circ T \circ P_j  \\
       & = & \sum_k (P_i \circ S \circ P_k) \circ (P_k \circ T \circ P_j) \qquad
        = \qquad  \sum_k S_{i,k}T_{k,j}
       \end{eqnarray*}
       en effet $\sum_k P_k = Id$ \quad et \quad $(k\not=l) \Rightarrow (P_k \circ P_l=0)$

\sstitre{Troisi{\`e}me partie}
\section{}
Si $E_3=E$ on a {\`a} la fois $\ker T \supset E$ et $\Image T \supset E\,$,
c'est {\`a} dire $\ker T = \Image T =E\,$, ce qui est incompatible avec
$\dim \ker T + \dim \Image T = \dim E\,$.

Si $E_3=0$ on v{\'e}rifie par r{\'e}currence que si $x \not \in \ker T$, toutes
les images it{\'e}r{\'e}es de $x$ sont non nulles, donc $T$ n'est pas nilpotent.

\section{2-nilpotence}
On v{\'e}rifie facilement que $E_3=\Image T$ ssi $r=2$ ($r=1$ est exclu 
car $T\not=0$).

\section{repr{\'e}sentation triangulaire par blocs}
$E_1$ est un suppl{\'e}mentaire de $\Image T$ dans $E$, donc les images des 
vecteurs de base ont des projections nulles sur $E_1$; la premi{\`e}re
ligne de la matrice par blocs est donc nulle. $E_3$ est inclus 
dans le noyau, donc tous les vecteurs de $E_3$ ont des images nulles;
la derni{\`e}re colonne de la matrice par blocs est donc nulle.

\section{r{\'e}duction triangulaire {\`a} diagonale nulle}
$T^k$ est repr{\'e}sent{\'e} par une matrice de la forme
$\left(\begin{array}{ccc}0&0&0\\?&T_{2,2}^k&0\\?&?&0\end{array}\right)$
donc pour $k \geq r$ , $T_{2,2}^k=0$. 
{\itshape Comme on l'a d{\'e}j{\`a} remarqu{\'e}, le polyn{\^o}me caract{\'e}ristique d'un
endomorphisme nilpotent est $\lambda^n$, donc
n'importe quelle base de <<triangularisation>> de $T$ r{\'e}pond {\`a} la question.
Cette d{\'e}monstration, conforme au programme, n'utilise rien de ce qui
pr{\'e}c{\`e}de. Si on tient {\`a} utiliser les questions pr{\'e}c{\'e}dentes, on peut raisonner
comme suit:}

Raisonnons par r{\'e}currence sur $n$. Pour $n=1$ le probl{\`e}me est sans int{\'e}r t
et pour $n=2$ il a {\'e}t{\'e} r{\'e}solu {\`a} la premi{\`e}re partie. Supposons le r{\'e}sultat 
d{\'e}montr{\'e} dans $K^d$ pour tout $d<n$. Soit $T\not=0$ nilpotent dans $K^n$.

Si $T$ est 2-nilpotent, on a vu en \textbf{Q8} que $E_3=\Image T$, donc
on peut faire une d{\'e}composition analogue {\`a} celle de \textbf{Q7}, avec
$E_2$ r{\'e}duit {\`a} $\{0\}$, donc de la forme :
$\left(\begin{array}{cc}0&0\\T_{3,1}&0\end{array}\right)$ qui r{\'e}pond {\`a} la
question.

Si $T$ est $r$-nilpotent, avec $r>2$, la d{\'e}composition faite en \textbf{Q7}
ram{\`e}ne au m me probl{\`e}me pour $T_{2,2}$, dans $E_2$ qui est de dimension
strictement inf{\'e}rieure {\`a} $n$ : on applique l'hypoth{\`e}se de r{\'e}currence.

\section{ordre de nilpotence et dimension}
En \textbf{Q8} on a repr{\'e}sent{\'e} $T$ par une matrice triangulaire inf{\'e}rieure
{\`a} diagonale nulle. On constate alors que $T^k$ est repr{\'e}sent{\'e} par une
matrice dont les $k-1$ premi{\`e}res sous-diagonales sont nulles, $T^n$ est 
donc rep{\'e}sent{\'e} par la matrice nulle : $r\leq n$

\section{exemple num{\'e}rique}
Il suffit de changer l'ordre des vecteurs de base: en les {\'e}crivant dans
l'ordre $e_1,e_3,e_4,e_2$ on obtient pour $T$ une r{\'e}duction de Jordan
$\left(\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{array}\right)$

\sstitre{Quatri{\`e}me partie}
\section{}
$r$ {\'e}tant l'ordre de nilpotence, c'est {\`a} dire \textit{le plus petit entier} tel que le 
produit de $r$ {\'e}l{\'e}ments quelconques de $\mathcal{A}$ soit nul, il existe
$r-1$ {\'e}l{\'e}ments de $\mathcal{A}\:,\: T_1 \dots T_{r-1}$ dont le produit $P$ n'est 
pas nul. Le noyau de $P$ est donc \textit{strictement} inclus dans $E$.
Ce noyau contient $\mathcal{I}(\mathcal{A})$ car pour tout $T$ de 
$\mathcal{A}$ il contient $\Image T$ (en effet $P \cap T=0$ comme produit
de $r$ {\'e}l{\'e}ments de $\mathcal{A}$). $\mathcal{I}(\mathcal{A})$ est donc
distinct de $E$.

$E_3$ est inclus dans $\mathcal{I}(\mathcal{A})$, il est donc distinct de
$E$. Comme en \textbf{Q5}, si $E_3=\{0\}$ les images d'un {\'e}l{\'e}ment non nul
de $\mathcal{I}(\mathcal{A})$ par n'importe quel {\'e}l{\'e}ment de $\mathcal{A}$
seraient non nulles et dans $\mathcal{I}(\mathcal{A})$, donc par r{\'e}currence
les images it{\'e}r{\'e}es seraient toutes non nulles, donc $\mathcal{A}$ ne serait
pas nilpotente.

\section{2-nilpotence}
$E_3=\mathcal{I}(\mathcal{A})$ ssi $r=2$ .

\section{g{\'e}n{\'e}ralisation de la question~8}
\subsection{}
$\mathcal{A}_{2,2}$ est une sous-alg{\`e}bre commutative nilpotente d'ordre
$r'\le r$ , cela d{\'e}coule trivialement des formules de produit de matrices 
par blocs (voir \textbf{Q4}).

\subsection{}
On utilise exactement la m me technique de r{\'e}currence qu'en \textbf{Q8};
\textit{la d{\'e}monstration directe signal{\'e}e pour \textbf{Q8} ne se 
g{\'e}n{\'e}ralise pas}.

\subsection{}
Comme en \textbf{Q8}, on constate que dans la base construite ci-dessus,
tous les produits de $k$ {\'e}l{\'e}ments de $\mathcal{A}$ sont repr{\'e}sent{\'e}s par
des matrices triangulaires inf{\'e}rieures ayant leur diagonale et $k-1$
sous-diagonales nulles. On en d{\'e}duit que $r\le n$.

\section{}
\textit{Le r{\^o}le de l'hypoth{\`e}se $r\geq 4$ est dissimul{\'e} dans ce qui suit
par les points de suspension: il faut que, lorsque dans un produit de
$r-1$ {\'e}l{\'e}ments on supprime le premier et le dernier, il reste au moins
un terme, c'est {\`a} dire $r-1\geq 3\, $}.
\\
Il est trivial que $r'\leq r$ et que $r'\leq \dim E_2\leq n-2$;
Montrons que $r'\leq r-2$
\\
Par d{\'e}finition de $r'$ il existe $x\in E_2$ et $r'-1$ {\'e}l{\'e}ments de
$\mathcal{A}$ , not{\'e}s $T^1,T^2, \dots ,T^{r'-1}$ tels que
$T^{r'-1}_{2,2}\circ T^{r'-2}_{2,2} \circ \dots \circ T^2_{2,2} \circ T^1_{2,2} (x)\not=0$
(\textit{aucune confusion de notation n'est {\`a} craindre avec des exposants:
il n'y a aucun exposant dans la solution de cette question}).
$x$ appartient {\`a} $E_2$ donc il existe $y\in E$ et $T^0\in \mathcal{A}$
tels que $x=T^0(y)$ . On en d{\'e}duit que
\begin{eqnarray*}
T^{r'-1}_{2,2}\circ T^{r'-2}_{2,2} \circ \dots \circ T^2_{2,2} 
\circ T^1_{2,2} \circ T^0(y) & \not= & 0 \mbox{\ c'est {\`a} dire}\\
P_2 \circ T^{r'-1}\circ P_2\circ T^{r'-2}\circ P_2 \circ \dots 
\circ P_2 \circ T^2 \circ P_2 \circ T^1 \circ P_2 \circ T^0(y)& \not= & 0
\mbox{\quad donc}\\
z=P_2 \circ T^{r'-1}\circ T^{r'-2} \circ \dots \circ T^2
\circ T^1 \circ T^0(y) & \not= & 0
\end{eqnarray*}
en effet, {\`a} chaque {\'e}tape de composition, la suppression du projecteur
$P_2$ introduit une composante parasite dans $E_3$, mais cette composante
est annul{\'e}e {\`a} l'{\'e}tape suivante car la troisi{\`e}me colonne de la matrice
par blocs de $T^k$ est nulle.
$z$ ainsi d{\'e}fini est dans $E_2$ , suppl{\'e}mentaire de $E_3$ dans
$\mathcal{I}(\mathcal{A})$ , or $E_3=\mathcal{I}(\mathcal{A}) \cap
\mathcal{K}(\mathcal{A})\,$, donc $z$ n'appartient pas {\`a}
$\mathcal{K}(\mathcal{A})\,$, donc il existe $T \in \mathcal{A}$ 
tel que $T(z)\not=0\,$ donc
\begin{eqnarray*}
T \circ P_2 \circ T^{r'-1}\circ T^{r'-2} \circ \dots \circ T^2
\circ T^1 \circ T^0(y) & \not= & 0 \mbox{\qquad donc}\\
T \circ T^{r'-1}\circ T^{r'-2} \circ \dots \circ T^2
\circ T^1 \circ T^0(y) & \not= & 0
\end{eqnarray*}
(m me explication que ci-dessus pour la suppression de $P_2$) 
\qquad donc \qquad $r \geq r'+2$

Un raisonnement analogue montre que $r'\geq r-2$ donc $r'=r-2$ :\\
d'apr{\`e}s la d{\'e}finition de $r$, il existe $x\in E$ et 
$T^1 \dots T^{r-1}\in \mathcal{A}$ tels que
$z=T^{r-1} \circ \dots \circ T^1(x) \not = 0\,$.
Le m me raisonnement que ci-dessus sur $P_2$ nous permet cette fois
d'intercaler $P_2$ {\`a} chaque {\'e}tape de la composition:
$z=T^{r-1} \circ P_2 \circ T^{r-2}\circ P_2 \dots
\circ P_2 \circ T^1(x) \not = 0\,$
On ne peut pas intercaler $P_2$ entre $T^1$ et $x$ car $x$ peut avoir
une composante dans $E_1$ qu'on ne peut pas annuler sans changer la
valeur de $z$. Posons donc $y=P_2\circ T^1(x)$.
On est ramen{\'e} {\`a} la situation de la premi{\`e}re partie de la d{\'e}monstration,
$T^{r-2}_{2,2}\circ \dots \circ T^2_{2,2}(y)\not=0$
(remarquer que $P_2$ est un projecteur, donc est {\'e}gal {\`a} son carr{\'e}).
\textit{la d{\'e}monstration est achev{\'e}e}
 
On peut remarquer, bien que ce ne soit pas utile ici,
 que $z$ appartient {\`a} $E_3$ (il est clair que
$z$ appartient {\`a} $\mathcal{I}(\mathcal{A})$, et s'il n'appartenait pas
{\`a} $\mathcal{Z}(\mathcal{A})$ on pourrait trouver $T\in \mathcal{A}$ tel
que $T(z)\not=0\,$, $\mathcal{A}$ ne serait pas $r$-nilpotente).




\section{}
\subsection{}
Fixons $T\in \mathcal{A}$ et notons $U$ l'{\'e}l{\'e}ment g{\'e}n{\'e}rique de $\mathcal{A}$ ;
comme $\mathcal{A}$ est une alg{\`e}bre, $TU$ appartient {\`a} $\mathcal{A}$ .
$TU$ s'{\'e}crit
$\left(\begin{array}{ccc}
        0&0&0 \\
        T_{2,2}U_{2,1}&T_{2,2}U_{2,2}&0 \\
        T_{3,2}U_{2,1}&T_{3,2}U_{2,2}&0
        \end{array}
        \right)$
Lorsque $U$ d{\'e}crit $\mathcal{A}$\ ,\ $T_{2,2}U_{2,1}$ 
d{\'e}crit $T_{2,2}(\mathcal{A}_{2,1})$ et tous ces {\'e}l{\'e}ments sont, par
d{\'e}finition, dans $\mathcal{A}_{2,1}$ car $TU$ appartient {\`a} $\mathcal{A}$.

\subsection{}
Suivant l'indication de l'{\'e}nonc{\'e}, d{\'e}composons 
$E_2=E_2'\oplus \mathcal{I}(\mathcal{A}_{1,2})\,$. Dans le calcul de \textbf{Q15a} le terme
$T_{2,2}U_{2,1}$ ne doit pas faire appara{\^i}tre de composante sur $E_2'$
donc $T_{2,2}$ doit  tre de la forme
$\left(\begin{array}{cc}A&0\\C&D\end{array}\right)$ donc T de la forme
$\left(\begin{array}{cccc}
        0&0&0&0\\
        0&A(T)&0&0\\
        T_{2,1}'&C(T)&D(T)&0\\
        T_{3,1}&T_{3,2}'&T_{3,2}''&0
        \end{array}
        \right)$
\\
Choisissons un vecteur non nul $U$ dans $E'_2$; par d{\'e}finition de $E'_2$
il appartient {\`a} $\mathcal{I}(\mathcal{A})$ donc il existe un endomorphisme
$T_1\in\mathcal{A}$ et un vecteur $U'\in E$ tels que $U=T_1(U')$ et la forme 
de la matrice de $T_1$ montre que $U'$ doit avoir une projection non nulle
sur $E'_2\,$.\\
Notons $U'=U_1+V_1+W_1\; ,\; U_1\in E'_2\;(U_1\not=0)\; , \; V_1\in E_1\; ,
\; W_1\in \mathcal{I}(\mathcal{A}_{1,2})\,$
une {\'e}ventuelle composante sur $E_3$ peut  tre n{\'e}glig{\'e}e car elle serait
annul{\'e}e par $T_1$.
De m me $U_1$ {\'e}tant dans $E'_2$ est l'image par un endomorphisme
$T_2\in\mathcal{A}$ d'un vecteur $U'_1$ qu'on peut d{\'e}composer en\\
$U'_1=U_2+V_2+W_2\; ,\; U_2\in E'_2\;(U_2\not=0)\; , \; V_2\in E_1\; ,
\; W_2\in \mathcal{I}(\mathcal{A}_{1,2})\,$. On construit ainsi par r{\'e}currence
$U_1,U_2 \dots U_r\,$, mais en rempla{\c c}ant successivement les $U_i$ par leur
valeur on arrive {\`a}
$U=T_1\circ T_2 \dots \circ T_r(U_r)+V+W\; ,\; V\in E_1\; ,\; 
        W\in \mathcal{I}(\mathcal{A}_{1,2})\,$. C'est {\`a} dire, puisque
$\mathcal{A}$ est $r$-nilpotente, $U=V+W$ ce qui est absurde.

\section{}
\subsection{}
Assez facile {\`a} d{\'e}montrer pour une alg{\`e}bre nilpotente monog{\`e}ne (engendr{\'e}e
par les puissances d'un endomorphisme nilpotent $T$) en utilisant la
r{\'e}duite de Jordan de $T$ (hors programme). Pour une alg{\`e}bre commutative
nilpotente quelconque, je ne sais pas.

\subsection{}
Prenons l'alg{\`e}bre engendr{\'e}e par l'endomorphisme {\'e}tudi{\'e} en \textbf{Q10},
dans la base r{\'e}ordonn{\'e}e, on constate que $T'=T^3$ s'exprime par
$\left(\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{array}\right)$
avec $T_{2,1}',T_{2,2}',T_{3,2}'$ nuls, mais $T_{3,1}'$ non nul.

\end{document}
