%Corrig� de l'�preuve commune de l'ENSIETA 1996 �crit par:
%Robert CHARDARD
%11, all�e Pottier
%91620 NOZAY

%Ne sachant pas encore comment faire, l'auteur n'a pas r�alis� 
%les graphiques demand�s. Il s'en excuse aupr�s de ses lecteurs




\centerline{Corrig\'e de la premi\`ere \'epreuve de l'ENSIETA 96}
\bigskip
\hrule
\bigskip

{\bf Exercice}
\bigskip

\item{1} $f$, \'etant la somme d'une s\'erie enti\`ere de rayon de 
convergence $R$, est continue sur le disque ouvert de centre $O$, et de 
rayon $R$. On en d\'eduit que l'application $t\mapsto f(re^{it})$ est 
continue sur $\lbrack 0,2\pi\rbrack$.

\item{} Donc, l'application $t\mapsto \displaystyle {re^{it}f(re^{it}) \over 
re^{it}-Z}$ est continue sur $\lbrack 0,2\pi\rbrack$ comme quotient de 
deux fonctions continues dont le d\'enominateur ne s'annule pas.
\medskip
{\it Donc $I(r)$ est bien d\'efinie.}
\bigskip

\item{2}
Posons: $u=\displaystyle{Ze^{-it}\over r}$. $u$ est un complexe dont le 
module est strictement inf\'erieur \`a 1. On en d\'eduit la convergence de 
$\displaystyle\sum_{n\geq 0}u^n$ et l'\'egalit\'e $\displaystyle  
\sum_{n=0}^{+\infty} u^n = \displaystyle {1\over 1-u}$
\medskip
{\it Pour tout r\'eel $t$, la s\'erie $\displaystyle\sum_{n\geq 0} 
{Z^n\over r^n} e^{-int}$ converge et : \ \ $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}
{Z^n\over r^n} e^{-int} = \displaystyle{1\over 1-\displaystyle{Ze^{-it}\over  
r}}=\displaystyle{re^{it}\over re^{it}-Z}$}
\bigskip

\item{3}On reconnait dans $\displaystyle\sum_{p=0}^n a_{n-p} \displaystyle
{r^{n-p}\over r^p} e^{i(n-p)t}e^{-ipt}Z^p$ le terme g\'en\'eral de la 
s\'erie-produit des deux s\'eries $\displaystyle\sum_{n\geq 0} 
{Z^n\over r^n} e^{-int}$ et $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_nz^n$, 
avec $z=re^{it}$, ces 
deux s\'eries \'etant absolument convergentes. On sait alors d'apr\`es le 
cours que:
\medskip
{\it la s\'erie $\displaystyle\sum_{n\geq 0} u_n$ converge absolument et , 
pour tout r\'eel $t$, $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} u_n(t)=
\displaystyle {re^{it}f(re^{it}) \over re^{it}-Z}$}
\bigskip

\item{4}On a: $\forall t\in\rbrack-\infty,+\infty\lbrack \quad 
|u_n(t)| \leq \displaystyle \sum_{p=0}^n |a_{n-p}| \displaystyle{r^{n-p}\over 
r^p} |Z|^p$

\item{} Posons: $v_n=\displaystyle \sum_{p=0}^n |a_{n-p}| 
\displaystyle{r^{n-p}\over r^p} |Z|^p$. \ \ On reconnait dans $v_n$ le terme 
g\'en\'eral de la s\'erie-produit de $\displaystyle\sum_{n\geq 0} 
{|Z|^n\over r^n}$ et de $\displaystyle\sum_{n\geq 0} |a_n|r^n$, dont on sait 
qu'elles convergent absolument.On en d\'eduit la convergence de $\displaystyle
\sum_{n\geq 0} v_n$.
\medskip
\item{} {\it Puisque \ $\left\{
                 \vcenter{\hbox{$\forall t\in\rbrack-\infty,+\infty\lbrack \quad 
                         |u_n(t)| \leq v_n$}
                        \hbox{$\displaystyle\sum_{n\geq 0} v_n$ converge}}
\right\}$ $\displaystyle\sum_{n\geq 0}u_n$ converge uniform\'ement sur l'ensemble  
des r\'eels.}
\medskip
\item{} On a donc, d'apr\`es 3:

$I(r)=\displaystyle\int_0^{2\pi} \sum_{n=0}^{+\infty}u_n(t)$

$\displaystyle\sum_{n\geq 0}u_n$ converge uniform\'ement sur l'ensemble  
des r\'eels, donc uniform\'ement sur $\lbrack 0,2\pi\rbrack$. D'o\`u:

$I(r)= \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \int_0^{2\pi} u_n(t)\, dt$

$\displaystyle\int_0^{2\pi} u_n(t) \, dt = \displaystyle\sum_{p=0}^n 
a_{n-p}r^{n-2p}Z^p\int_0^{2\pi}e^{i(n-2p)t}dt$

Si $n$ est impair, $\displaystyle\int_0^{2\pi} u_n(t) \, dt = 0$

Si $n$ est pair, \'egal \`a $2k$, $\displaystyle\int_0^{2\pi} u_n(t) \, dt = 
2\pi a_kZ^k$ 
\medskip
{\it D'o\`u, finalement: $I(r)=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}2\pi a_kZ^k=
2\pi f(Z)$}
\bigskip

\vfill\eject
{\bf Probl\`eme}
\bigskip
\item{I 1a}
Soit $\varphi$ une solution de ${\cal E}$. La d\'eriv\'ee de $t\mapsto 
{\cal E}(\varphi (t),\varphi '(t))$ vaut:

$\varphi '(t)\varphi ''(t)+\varphi '(t) U'(\varphi (t))=
\varphi '(t) \bigl( \varphi ''(t)+U'(\varphi (t) \bigr) =0$
\medskip
{\it Donc, $t\mapsto {\cal E}(\varphi (t),\varphi '(t))$ est constante sur 
$\rbrack-\infty,+\infty\lbrack$.}
\bigskip

\item{I 1b}
{\it Le r\'esultat d\'ecoule directement de la question pr\'ec\'edente: toute 
trajectoire de $(E)$ est incluse dans une ligne de niveau de ${\cal E}$.}
\bigskip

\item{I 2a}
$E_k$ est d'\'equation : $\displaystyle{1\over 2}y^2+\displaystyle{1\over 2}
\omega^2x^2=k$
\medskip
{\it
$E_k$ est donc: $\left\{
                \vcenter{\hbox{l'ensemble vide pour $k<0$}
                         \hbox{le point $O$ pour $k=0$}
                         \hbox{l'ellipse d'\'equation: 
           $\displaystyle{\omega^2x^2\over 2k}+\displaystyle{y^2\over 2k}=1$ 
            pour $k>0$}}
                  \right.$
\medskip
Dans le cas o\`u $E_k$ est une ellipse, son centre est $O$ et son 
excentricit\'e $e$ vaut:

pour $\omega \geq 1$: $e= \sqrt{\displaystyle{2k-{2k\over \omega^2}}\over 
\strut\displaystyle 2k}=
\displaystyle{\sqrt{\omega^2-1}\over \omega}$

pour $\omega \leq 1$: $e= \sqrt{\displaystyle{-2k+{2k\over \omega^2}}\over 
\strut\displaystyle{2k\over \omega^2}}=\displaystyle{\sqrt{1-\omega^2}}$}
\bigskip

\item{I 2b}
$(E)$ est l'\'equation diff\'erentielle: $x''=-\omega^2 x$
\medskip
\item{} 
{\it Les solutions de $(E)$ sont : $\varphi (t) = A\cos\omega t \, + B\sin
\omega t $. Dans le cas o\`u ces solutions ne sont pas la fonction nulle, 
elles sont p\'eriodiques, de plus petite p\'eriode strictement positive 
$T=\displaystyle{2\pi\over\omega}$}
\bigskip

\item{I 2c}
{\it Il est clair ici que les lignes de niveau de ${\cal E}$ sont confondues 
avec les trajectoires de $(E)$ (on reconnait dans les trajectoires de $(E)$ 
les repr\'esentations param\'etriques d'une ellipse, en \'ecrivant:
 $\varphi (t)=r\sin (\omega(t-t_0)) \ \ \varphi '(t)=\omega 
\cos (\omega (t-t_0)$). }
\bigskip

\item{I 3a}
{\it 
D'apr\`es l'hypoth\`ese (1), la fonction $U$ est strictement d\'ecroissante 
sur $\rbrack a,c \lbrack$. Etant de plus continue sur cet intervalle, 
elle admet une limite $l$ en $a$, avec $l\in\, \rbrack U(c),+\infty\rbrack$.


\item{} De m\^eme, $U$ est strictement croissante et continue sur 
$\rbrack c,b\lbrack$ et admet une limite $l'$ en $b$,
 avec $l'\in\rbrack U(c),+\infty\rbrack$.}
\bigskip

\item{I 3b}
De la question pr\'ec\'edente, on d\'eduit que $w$ est strictement 
croissante et continue sur $\rbrack a,c \lbrack$, strictement croissante 
et continue sur $\rbrack c,b \lbrack$. De plus, $w$ est continue en $c$, 
puisque $U$ est continue en $c$ et s'annule en ce point.

Donc, $w$ est strictement croissante et continue sur $\rbrack a,b\lbrack$.
\medskip
\item{}
{\it $w$ r\'ealise donc un hom\'eomorphisme de $I$ sur l'intervalle $J=
\rbrack -\sqrt{2(l-U(c)},\sqrt{2(l'-U(c)} \lbrack$ , 
cet intervalle contenant $0$.}
\bigskip

\item{I 3c}
On a:

$\displaystyle\int_0^1g'\bigl(c+t(x-c)\bigr)dt=\ \left\{
\vcenter{\hbox{$\displaystyle{g(x)\over x-c}$ pour $x\neq c$}
         \hbox{ }
         \hbox{$g'(c)$ pour $x=c$}}\right.$

Nous posons donc: $g_1(x)=\displaystyle\int_0^1g'\bigl(c+t(x-c)\bigr)dt$
\bigskip
On a: $\left\{
\vcenter{\hbox{$g_1(x)=\displaystyle\int_0^1h(t,x)dt$ \ \ avec :\ \  
      $h(t,x)=g'\bigl((c+t(x-c)\bigr)$}
      \hbox{$h$ est continue sur $\lbrack 0,1\rbrack\times I$}
      \hbox{pour $p\leq n-1$ $\displaystyle{\partial ^ph
            \over \partial x^p}$ existe et 
             est continue sur $\lbrack 0,1\rbrack\times I$, avec 
             $\displaystyle{\partial ^ph\over \partial x^p}= 
             t^pg^{(p+1)}\bigl(c+t(x-c)\bigr)$}}\right.$

On en d\'eduit que $g_1$ est de classe ${\cal C}^{n-1}$ sur $I$.
\medskip
\item{}{\it On a donc d\'emontr\'e l'existence d'une application $g_1$ de 
$I$ dans $\rbrack -\infty , +\infty \lbrack$, de classe ${\cal C}^{n-1}$ 
telle que pour tout $x$ \'el\'ement de $I$,\ \  $g(x)=(x-c)g_1(x)$}
\bigskip

\item{I 3d}
En posant $g(x)=U(x)-U(c)$, g est une application de $I$ dans 
$\rbrack -\infty , +\infty \lbrack$ de classe ${\cal C}^3$
s'annulant en $c$. D'apr\`es la question pr\'ec\'edente, il existe 
une application $U_1$ de $I$ dans 
$\rbrack -\infty , +\infty \lbrack$ de classe ${\cal C}^2$ telle que pour 
tout $x$ \'el\'ement de $I$ \ \ $g(x)=(x-c)U_1(x)$.

\item{}
On a: $\forall x\in I \ U'(x)=g'(x)=U_1(x)+(x-c)U_1'(x)$.\ \ On en d\'eduit 
que $U_1$ s'annule en $c$ (d'apr\`es la propri\'et\'e (2)). En appliquant de 
nouveau la question pr\'ec\'edente, il existe 
une application $U_2$ de $I$ dans 
$\rbrack -\infty , +\infty \lbrack$ de classe ${\cal C}^1$ telle que pour 
tout $x$ \'el\'ement de $I$: \ \ $U_1(x)=(x-c)U_2(x)$. 
\medskip
\item{}
{\it Il existe 
une application $U_2$ de $I$ dans 
$\rbrack -\infty , +\infty \lbrack$ de classe ${\cal C}^1$ telle que pour 
tout $x$ \'el\'ement de $I$ $U(x)-U(c)=(x-c)^2U_2(x)$. 
$U_2$ est \`a valeurs strictement positives puisque:

\ $\left\{
\vcenter{\hbox{ pour tout \'el\'ement $x$ de $I-\{ c\} $ $U(x)> U(c)$}  
      \hbox{$U_2(c)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow c}U_2(x)
      =\displaystyle\lim_{x\rightarrow c}
      \displaystyle{U(x)-U(c)\over (x-c)^2}=\displaystyle{1\over 2} U''(c)$
}}\right.$}
\medskip
De ce qui pr\'ec\`ede, on d\'eduit que: $\forall x\in I \ \ 
w(x) = (x-c)\sqrt{2U_2(x)}$
\medskip
\item{} {\it Donc, $w$ est de classe ${\cal C}^1$ sur $I$ comme produit de 
fonctions de classe ${\cal C}^1$ sur $I$.}
\bigskip

\item{I 3e}
On a vu en I 3b que $w$ est un hom\'eomorphisme de $I$ sur $J$ et en I 3d 
que $w$ est de classe ${\cal C}^1$ sur $I$.

\item{}$w'$ ne s'annule pas sur $I-\{ c\} $, puisque pour tout $x$ 
 de $I-\{ c\} $ $w'(x)= {\rm sgn}(x-c)\displaystyle{U'(x)\over 
\sqrt{2(U(x)-U(c))}}$.

\item{}De plus, pour tout $x$ \'el\'ement de $I$: $w'(x)=(x-c)\displaystyle{
U_2'(x)\over \sqrt{2U_2(x)}}+\sqrt{2U_2(x)}$

Donc, $w'(c)=\sqrt{2U_2(c)}\neq 0$

\item{}
$w$, \'etant un hom\'eomorphisme de $I$ sur $J$, de classe ${\cal C}^1$ sur 
$I$, dont la d\'eriv\'ee ne s'annule pas sur $I$, est donc un 
diff\'eomorphisme de $I$ sur $J$.
\medskip
\item{}{\it On d\'eduit facilement de ce qui pr\'ec\`ede que $W$ est un 
diff\'eomorphisme de classe ${\cal C}^1$ de $I\times 
\rbrack -\infty , +\infty \lbrack$ sur $J\times
\rbrack -\infty , +\infty \lbrack$}
\bigskip

\item{I 3f}
On a:

$$\eqalign{
 X=w^{-1}(x) 
&
\Longrightarrow x={\rm sgn}(X-c)\sqrt{2(U(X)-U(c)}
\cr
 &
\Longrightarrow x^2=2((U(X)-U(c))
\cr
 &
\Longrightarrow U(X)=\displaystyle{x^2\over 2} +U(c)
\cr
}$$
\item{}Donc:
$$\eqalign{
(x,y)\in W(E_k) 
&
\Longrightarrow  (w^{-1}(x),y) \in E_k
\cr
 &
\Longrightarrow \displaystyle{1\over 2}y^2+U\bigl(w^{-1}(x)\bigr)=k
\cr
 &
\Longrightarrow \displaystyle{1\over 2}y^2+\displaystyle{x^2\over 2} +U(c)
=k
\cr } 
$$

\item{}
R\'eciproquement, soit $(x,y)$ un point du cercle d'\'equation : 
$\displaystyle{x^2+y^2\over 2}+U(c)=k$. On a alors : $x^2<2(k-U(c))$. On 
en d\'eduit que $x$ appartient \`a $J=w(I)$ (cf question I 3b). On alors:
$$\eqalign {
\displaystyle{x^2\over 2}+\displaystyle{y^2\over 2}+k
& 
\Longrightarrow \displaystyle{y^2\over 2}+U\bigl(w^{-1}(x),y\bigr)=k
\cr 
&
\Longrightarrow (w^{-1}(x),y) \in E_k 
\cr
 &
\Longrightarrow (x,y) \in W(E_k)
\cr}$$ 
\medskip
{\it $W(E_k)$ est donc le cercle d'\'equation $x^2+y^2=2(k-U(c))$}
\bigskip

\item{I 4a}
On a: $U'(x)=\displaystyle{1\over x^2}-\displaystyle{{\cal M}^2\over x^3} 
\quad U''(x)=\displaystyle{-2\over x^3}+\displaystyle{3{\cal M}^2\over x^4}$

\item{}Donc: \ \vtop{\hbox{$U'$ est strictement n\'egatif sur 
$\rbrack 0,{\cal M}^2\lbrack$, strictement positif  sur $\rbrack {\cal M}^2,
+\infty\lbrack$}
                     \hbox{$U'({\cal M}^2)=0$, \ \ $U''({\cal M}^2)>0$}}
\medskip
{\it $U$ v\'erifie bien les hypoth\`eses (1) et (2)}
\medskip
\item{}
On d\'eduit facilement de ce qui pr\'ec\`ede le tableau de variation de $U$ 
et sa repr\'esentation graphique.

On a choisi ${\cal M}=1$ pour la repr\'esentation graphique.
\vfill\eject

\item{I 4b}
Pour \ \ $k=-\displaystyle{1\over 4{\cal M}^2}$, \ \ $E_k$ est d'\'equation: 
\ \ $\displaystyle{y^2\over 2}+\displaystyle{{\cal M}^2\over 2x^2}-
\displaystyle{1\over x}=-\displaystyle{1\over 4{\cal M}^2}$
\medskip
$E_k$ est d'\'equation : $y=\pm\sqrt{h(x)}$ \ \ avec \ \ $h(x)=\displaystyle
{-2{\cal M}^4+4x{\cal M}^2-x^2\over 2{\cal M}^2x^2}$
\medskip 
$h$ est positive pour $x\in\left\lbrack\left(2-\sqrt{2}
\right){\cal M}^2,\left(2+\sqrt{2}
\right){\cal M}^2\right\rbrack$
\medskip
$h'(x)= \displaystyle{(4{\cal M}^2-2x)x^2-2x(-2{\cal M}^4+4x{\cal M}^2-x^2)
\over 2{\cal M}^2 x^4}=\displaystyle{-2x{\cal M}^2+2{\cal M}^4\over
 {\cal M}^2x^3}$ 
\medskip
On en d\'eduit le trac\'e de $E_k$.
\bigskip

\item{} On a choisi ${\cal M}=1$ pour la repr\'esentation graphique. On 
a \'evidemment des tangentes verticales aux points d'abscisses $2-\sqrt{2}$  
et $2+\sqrt{2}$
\vfill\eject

\item{I 5a}
{\it D'apr\`es I 1, pour tout $t$ \ \
${\cal E}(\varphi (t),\varphi '(t))={\cal E}(\varphi (0),
\varphi '(0))=U(c)+\displaystyle{1\over 2}\beta^2=k$
\medskip
Donc, pour tout $t$: $U(\varphi (t))+\displaystyle{1\over 2}\varphi '^2(t)=k$

$\varphi '^2(t)=2\bigl(k-U(\varphi (t))\bigr)$

\medskip
\item{}
On d\'eduit des variations de $U$ sur $I$ (revoir I 3a) qu'il existe un 
unique couple $(x_m,x_M)$ d'\'el\'ements de $I$ tel 
que $x_m<c<x_M$ et $U(x_M)=U(x_m)=k$}
 \bigskip

\item{I 5b}
De la m\^eme mani\`ere, on d\'eduit des variations de $U$ que: 
\ \ $\forall \xi \in \rbrack x_m,x_M\lbrack \ \ U(x)<k$
 
Donc, l'application $\xi\mapsto \displaystyle{1\over\sqrt{2(k-U(\xi )}}$ est 
d\'efinie et continue sur $\rbrack x_m,x_M\lbrack $
\medskip
\item{}{\it Donc, l'application $\tau$ d\'efinie par $\tau (x) = 
\displaystyle\int_c^x \displaystyle{d\xi\over\sqrt{2(k-U(\xi )}}$ est 
d\'efinie sur $\rbrack x_m,x_M\lbrack $}
\medskip
Au voisinage de $x_m$, $U'$ ne s'annulant pas en $x_m$: 
\ \vtop{\hbox{$U(\xi )-U(x_m)\sim (\xi-x_m)U'(x_m)$}
        \hbox{$\displaystyle{1\over\sqrt{2(k-U(\xi )}}\sim
               \displaystyle{1\over\sqrt{-2U'(x_m)(x_m-\xi)}}$}}

\item{}Donc, d'apr\`es le crit\`ere de Riemann, 
$\displaystyle\int_{x_m}^c \displaystyle{d\xi\over\sqrt{2(k-U(\xi )}}$ est 
convergente.

\medskip \item{}
{\it On en d\'eduit que $\tau$ admet une limite $t_m$ lorsque $x$ tend vers 
$x_m$.
 Par un raisonnement analogue, $\tau$ admet une limite $t_M$ lorsque $x$ tend vers 
$x_M$.}
\bigskip
\item{NB} Il y avait dans I 5b une petite erreur d'\'enonc\'e (l'une des 
bornes de l'int\'egrale).
\bigskip
\item{I 5c}{\it
D'apr\`es l'\'etude pr\'ec\'edente, $\tau$ est de classe ${\cal C}^1$ sur 
$\rbrack x_m,x_M\lbrack$. De plus, $\tau '(x)=\displaystyle{1\over\sqrt{
2(k-U(x))}}$. Cette d\'eriv\'ee ne s'annulant pas, $\tau$ r\'ealise un 
${\cal C}^1$-diff\'eomorphisme de $\rbrack x_m,x_M\lbrack$ sur 
$\rbrack t_m,t_M\lbrack$.} 
\medskip
\item{} Il est clair, d'apr\`es la question pr\'ec\'edente, que $\tau^{-1}$ 
se prolonge en une application continue $\varphi_1$ sur $\lbrack t_m,t_M
\rbrack$. Il reste \`a montrer que $\varphi_1$ est d\'erivable en $t_m$ et 
$t_M$. Pour cela, $\varphi_1$ \'etant continue sur $\lbrack t_m,t_M\rbrack$ 
et de classe ${\cal C}^1$ sur $\rbrack t_m,t_M\lbrack$,  
il suffit de d\'emontrer que $\varphi_1'$ admet une limite en $t_m$ et 
$t_M$.

$\displaystyle\lim_{t\rightarrow t_m}(\varphi_1)'(t)=
\displaystyle\lim_{t\rightarrow t_m} \displaystyle{1\over \tau '
\left(\tau^{-1}(t)\right)}=
\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_m}\displaystyle{1\over \tau '(x)}=0$

On a une d\'emonstration identique pour $t_M$.
\medskip
{\it On a donc d\'emontr\'e que $\tau^{-1}$ se prolonge en une application
 $\varphi_1$ de classe ${\cal C}^1$ sur $\lbrack t_m,t_M\rbrack$.}
\bigskip 

\item{I 5d} 
$\varphi_1$ \'etant de classe ${\cal C}^1$ sur $\lbrack t_m,t_M\rbrack$, on 
en d\'eduit que $\tilde\varphi$ est de classe ${\cal C}^1$ sur 
$\rbrack t_m,2t_M-t_m\lbrack -\{ t_M\} $ .

\item{}
On a vu \`a la question pr\'ec\'edente que: $\varphi_1'(t_m)=\varphi_1'(t_M)=
0$. On en d\'eduit que $\varphi_1$ est d\'erivable en $t_M$, de d\'eriv\'ee
$0$, puis que $\varphi_1$ est de classe ${\cal C}^1$ sur 
$\lbrack t_m,2t_M-t_m\lbrack$.

\item{}
$\tilde\varphi$ \'etant p\'eriodique de p\'eriode $2(t_M-t_m)$, de classe 
${\cal C}^1$ sur $\lbrack t_m,2t_M-t_m\rbrack$, sa d\'eriv\'ee \` a 
droite en $t_M$ \'etant \'egale \`a sa d\'eriv\'ee \`a gauche en $2t_M-t_m$, 
on en d\'eduit que $\tilde\varphi$ est de classe ${\cal C}^1$ sur 
$\rbrack -\infty,+\infty\lbrack$.
\medskip
{\it $\tilde\varphi$ est de classe ${\cal C}^1$ sur {\bf R}.
\medskip
Pour $x \in \rbrack t_m,t_M\lbrack$, on a: 

$\tilde\varphi '(t)=\left(\tau^{-1}\right)'(t)
=\displaystyle{1\over \tau '\left(\tau^{-1}(t)\right)}
=\sqrt{2(k-U\left(\tau^{-1}(t)\right)}$

$\left(\tilde\varphi '(t)\right)^2=2(k-U\left(\tilde\varphi(t)\right)$
\ \ \ (1)

\item{} $\tilde\varphi$, gardant un signe constant sans s'annuler sur 
$\rbrack t_m,t_M\lbrack$, est donc de classe ${\cal C}^2$ sur 
$\rbrack t_m,t_M\lbrack$, avec:

$\tilde\varphi ''(t)=-U'\left(\tilde\varphi (t)\right)$ \ \ \ (2) 

\item{}
On v\'erifie facilement que l'\'egalit\'e (1) reste vraie pour $t=t_m$ et 
$t=t_M$. D'apr\`es l'\'egalit\'e (2), $\tilde\varphi ''$ admet une limite 
en $t_m$ et $t_M$. $\tilde\varphi '$ \'etant de classe ${\cal C}^1$ sur 
$\rbrack t_m,t_M\lbrack$, continue sur $\lbrack t_m,t_M\rbrack$, sa 
d\'eriv\'ee admettant une limite en $t_m$ et $t_M$, on en d\'eduit que 
$\tilde\varphi$ est de classe ${\cal C}^2$ sur $\lbrack t_m,t_M\rbrack$. 
De plus, $\tilde\varphi$ v\'erifie l'\'egalit\'e (2) sur 
$\lbrack t_m,t_M\rbrack$.
\medskip
\item{}
De l'\'egalit\'e $\tilde\varphi(t)=\varphi_1(2t_M-t)$
 pour $t$ \'el\'ement de $\lbrack t_m,2t_M-t_m\rbrack$, et du fait que 
$\tilde\varphi$ est $2(t_M-t_m)$-p\'eriodique, on d\'eduit que 
$\tilde\varphi$ est de classe ${\cal C}^2$ et v\'erifie l'\'egalit\'e 
(2) sur $\rbrack-\infty,+\infty\lbrack$.
\medskip

De plus: $\tau (c) = 0$. Donc, $\tilde\varphi (0)=c$ et 
$\tilde\varphi '(0) = \sqrt{2(k-U(\varphi (0))}=\beta$

\medskip
\item{}{\it Donc, $\tilde\varphi=\varphi$. De plus, $\varphi$ est 
p\'eriodique de p\'eriode:
$$ T= 2(t_M-t_m) = 2\displaystyle\int_{x_m}^{x_M} \displaystyle
{d\xi\over\sqrt{2(k-U(\xi))}}$$
\item{}C'est bien la plus petite p\'eriode strictement positive de 
$\varphi$, puisque $\varphi$ est strictement croissante sur 
$\lbrack t_m,t_M\rbrack$ et strictement d\'ecroissante sur 
$\lbrack t_M,2t_M-t_m\rbrack$}

\bigskip

\item{II 1}
{\it ${\cal V}$ est de classe ${\cal C}^3$ sur ${\bf R}^2-\{ (0,0)\}$ 
comme compos\'ee de $V$, de classe ${\cal C}^3$ sur ${\bf R}^{+*}$, et de 
l'application $Z\mapsto \vert Z \vert$, de classe ${\cal C}^\infty$ sur 
${\bf R}^2-\{ (0,0)\}$, \`a valeurs dans ${\bf R}^{+*}$.

De plus, ${\rm grad}\,{\cal V}\, (Z)=V'(\Vert Z\Vert)\displaystyle
{Z\over \Vert Z\Vert}$} \ \ (calculs faciles \`a faire)}
\bigskip

\item{II 2a}On a : ${\cal H}'(t)=X'(t).X''(t)+X'(t).\, {\rm grad}\, {\cal V}
\, (X(t))=0$
\medskip
{\it Donc, ${\cal H}$ est constante sur ${\bf R}$}
\bigskip

\item{II 2b}
On a: $\sigma '(t)= \det (X'(t),X'(t)) + \det (X(t),X''(t))=
-\det (X(t),{\rm grad}\, {\cal V}\,(X(t))=0$
\medskip
{\it Donc, $\sigma$ est constante sur ${\bf R}$.}
\bigskip

\item{II 3a}
On a : $X'(t)=r'(t)\, \bigl(\cos (\theta (t)),\sin (\theta (t))\bigr)+
         r(t)\theta '(t)\, \bigl(-\sin (\theta (t)),\cos (\theta (t))\bigr)$

Donc : $\det (X(t),X'(t))=r(t)^2 \theta '(t)$

D'o\`u : $\theta '(t)=\displaystyle{{\cal M}\over r(t)^2}$ 
\medskip
\item{}
On a : $X''(t)=(r''(t)-r(t)\theta '(t)^2)
               \, \bigl(\cos (\theta (t)),\sin (\theta (t))\bigr)+
                (2r'(t)\theta '(t)+r(t)\theta ''(t)) 
               \, \bigl(-\sin (\theta (t)),\cos (\theta (t))\bigr)$

Or : ${\rm grad}\,{\cal V}\,(X(t))=V'(\Vert X(t)\Vert ) \displaystyle{X(t)
\over \Vert X(t)\Vert} = V'(r(t)) \, 
\bigl(\cos (\theta (t)),\sin (\theta (t))\bigr)$

Donc : $r''(t)-r'(t)\theta '(t)^2=-V'(r(t))$
\medskip
{\it Donc, pour tout $t$ \'el\'ement de ${\bf R}$:

$\theta '(t)=\displaystyle{{\cal M}\over r(t)^2}$  \ \ \  \ et \ \ \ \
$r''(t)=-V'(r(t))+\displaystyle{{\cal M}^2\over r(t)^3}$}
\bigskip

\item{II 3b}
La d\'eriv\'ee de $t\mapsto \displaystyle{1\over 2} r'(t)^2+U(r(t))$ est 
\'egale \`a:

$r'(t)r''(t)+r'(t)U'(r(t))=r'(t) \left(r''(t)+V'(r(t))-\displaystyle{
{\cal M}^2\over r(t)^3}\right) =0$
\medskip
{\it Donc, $t\mapsto \displaystyle{1\over 2} r'(t)^2+U(r(t))$ est 
constante sur ${\bf R}$, cette constante ayant pour valeur 

$\displaystyle{1\over 2}r'(0)^2+V(r(0))+\displaystyle{
{\cal M}^2\over 2r(0)^2}=
V(r(0))+\displaystyle{1\over 2}\left(r'(0)^2+r(0)^2\theta '(0)^2\right)=
V(r(0))+\displaystyle{1\over 2}\Vert X'(0)\Vert 
^2$  

On reconnait donc dans cette constante la 
constante de ${\cal H}$.}
\bigskip 

\item{II 4a}
Notons $\varphi$ l'unique solution du syst\`eme: 
$\left\{\vcenter{\hbox{$\varphi ''(t)=-U'(\varphi (t))$}


             \hbox{$\varphi(0)=0 \quad \varphi '(0)=k$}}\right.$

\item{}
D'apr\`es l'\'etude faite en I 5:

\ \ Il existe un unique couple $(x_m,x_M)$ tel que: \ \
$x_m<c<x_M$ \ \ et \ \ $U(x_m)=U(x_M)=k$. 

\ \ $\
tau_m=\displaystyle\int^{x_m}_c \displaystyle{d\xi\over\sqrt{2(k-U(\xi )}}$ ,
\ \ $\tau_M=\displaystyle\int_{c}^{x_M} \displaystyle{d\xi\over\sqrt{2(k-U(\xi )}}$, 

\ \ $\varphi$ est p\'eriodique de p\'eriode $2(\tau_M-\tau_m)$

\ \ $\varphi$ est strictement croissante sur 
$\lbrack \tau_m,\tau_M\rbrack$ et strictement d\'ecroissante sur 
$\lbrack \tau_M,2\tau_M-\tau_m\rbrack$ 

\ \ $\varphi (\tau_m)=x_m \quad \varphi (\tau_M)=x_M$

\ \ $\forall t \in {\bf R} \ \ \displaystyle{1\over 2} \varphi '(t)^2+
U(\varphi (t))=k$ \ \ (question I 1a)
\medskip \item{}
D'apr\`es II 3b: $k=\displaystyle{1\over 2} \Vert V_0\Vert^2 +{\cal V}(X_0)=
\displaystyle{1\over 2} \bigl(r'(0)^2+U(r(0))\bigr)$

\item{}
On peut supposer que $r'(0)$ est positif (un raisonnement analogue aurait 
lieu dans le cas o\`u $r'(0)$ est strictement n\'egatif)
\medskip
$r$ est solution de: $\left\{
\vcenter{\hbox{$r''(t)=-U'(r(t))$}
         \hbox{$r(0)=\Vert X_0\Vert$}
         \hbox{$r'(0)=\displaystyle\sqrt{2\bigl(k-U(r(0))\bigr)}$}}
\right.$\ \ \ (1)

On a: $U(c)\leq U(r(0)) \leq k$.

$U$, est strictement d\'ecroissante sur $\rbrack 0,c\lbrack$ et strictement
d\'ecroissante sur $\rbrack c,+\infty\lbrack$. Donc:

$r(0) \in \lbrack x_m,x_M\rbrack$

$\varphi$ \'etant croissante sur $\lbrack \tau_m,\tau_M\rbrack$, 
il existe $t_0$ 
dans $\lbrack t_m,t_M\rbrack$ tel que:

$\varphi (t_0)=r(0)$

De plus: $\varphi '(t_0)=\displaystyle\sqrt{2\bigl(k-U(r(0))\bigr)}=r'(0)$

\item{}
Donc, $t\mapsto \varphi (t+t_0)$ est solution de (1). Par unicit\'e de la
solution de (1): $r(t)=\varphi (t+t_0)$
\medskip
{\it On en d\'eduit que $\varphi$ est $2(t_M-t_m)$-p\'eriodique}
\bigskip

\item{II 4b}
Avec les notations employ\'ees dans la question pr\'ec\'edente;

$r_m=x_m \quad r_M=x_M \quad t_m=\tau_m-t_0 \quad T=2(t_M-t_m)$
\medskip

{\it Il est clair alors que: $r(t_M)=r_M$}
\medskip

On a, d'apr\`es II 3a:

$\theta (t_M)-\theta (t_m)=\displaystyle\int_{t_m}^{t_M}\displaystyle{
{\cal M}\over r(t)^2} dt $

\item{}
On rappelle que d'apr\`es II 3b $\displaystyle{1\over 2}r'(t)^2+U(r(t))=k$.
De plus, $r'$ est positif sur $\lbrack t_m,t_M\rbrack$. Donc $r'(t)=
\sqrt{2(k-U(r(t)))}$

En posant le changement de variable $\xi=r(t)$, on obtient:

$\theta (t_M)-\theta (t_m)=\displaystyle\int_{r_m}^{r_M}\displaystyle{
{\cal M}\over \xi^2} \displaystyle{d\xi\over \sqrt{2(k-U(\xi ))}} $
\bigskip

\item{II 4c}
Notons ${\cal I}$ cette int\'egrale. On a, par un raisonnement analogue 
\`a celui fait en II 4b:

$\theta \left(t_M+\displaystyle{T\over 2}\right)-\theta (t_M)={\cal I}$

Donc: $\theta (t_m+T)-\theta (t_m)=2{\cal I}$

$r$ \'etant $T$-p\'eriodique, on a, pour tout $t$:

$\theta (t+T) -\theta (t) = \int_t^{t+T} \displaystyle{{\cal M}\over 
r(u)^2}  du= \int_{t_m}^{t_m+T}\displaystyle{{\cal M}\over r(u)^2} du = 2
{\cal I}$

Donc, pour tout $t$: $\theta (t+nT)=\theta (t)+2n{\cal I}$ \ \ \ (2)

\item{}
Si $\displaystyle{{\cal I}\over \pi}$ est un rationnel 
$\displaystyle{p\over q}$, alors $X$ est 
p\'eriodique de p\'eriode $qT$, puisque $r$ et $\theta$ le sont.

\item{}
R\'eciproquement, si $X$ est p\'eriodique de p\'eriode $P$, alors, $r$ et 
$\theta$ le sont. 
On en d\'eduit que $P$ est \'egal \`a $pT$, o\`u $p$ est entier. 
Par cons\'equent, gr\^ace \`a l'\'egalit\'e (2): $2q{\cal I}=2p\pi$
\medskip \item{}
{\it Donc, $X$ est p\'eriodique si et seulement si l'int\'egrale de II 4c 
est un rationnel $\displaystyle{p\over q}$} 
\bigskip

\item{II 5a}
En posant $V(s)=-\displaystyle{1\over s}$, on a: $U(s)=-\displaystyle
{1\over s}+\displaystyle{{\cal M}^2\over 2s^2}$.
\medskip \item{}
{\it On a d\'emontr\'e en I 4a que $U$ d\'efinie au II 3b satisfait bien 
pour ce choix de $V$ aux hypoth\`eses de la premi\`ere partie.}
\bigskip

\item{II 5b}
Posons: $\theta_1(t)= \arccos\left(\displaystyle{
\displaystyle{{\cal M}\over r(t)}-\displaystyle{1\over {\cal M}} \over 
\sqrt{2k+\displaystyle{1\over {\cal M}^2}}}\right)
$

$\theta_1$ est bien d\'efinie car: 

$\left(\displaystyle{{\cal M}\over r(t)}-\displaystyle{1\over {\cal M}}
\right)^2-\left(2k-\displaystyle{1\over {\cal M}^2}\right)=
\displaystyle{{\cal M}^2\over r(t)^2}-\displaystyle{2\over r(t)}-2k=
2U(r(t))-2k=-r'(t)^2\leq 0$

De plus, pour tout $t$ tel que $r'(t)>0$:

$$\eqalign{
\theta_1'(t)
&
=\displaystyle{
                 {\cal M
                 }r'(t)\over \sqrt
                       {2k+\displaystyle{1\over 
                                               {\cal M
                                               }^2
                                         }
                       }r(t)^2
               }
\displaystyle{1\over 
                \sqrt{1-\displaystyle
                      {\displaystyle
                             {{\cal M
                              }^2\over r(t)^2
                              }
                          +\displaystyle{1\over 
                                          {\cal M
                                          }^2
                                         }
                          -\displaystyle{2\over r(t)
                                         } 
                           \over 2k+\displaystyle{
                                                  1\over{\cal M
                                                         }^2
                                                  }
                         }
                        }
               }
\cr 
& 
=\displaystyle{{\cal M}\sqrt{2(k-U(r(t))}\over 
r(t)^2\sqrt{2k+\displaystyle{2\over r(t)}-\displaystyle{{\cal M}^2\over
r(t)^2}}}
\cr
 &
= \displaystyle{M\over r(t)^2}
\cr
 &
= \theta '(t)
\cr}
$$

De m\^eme, pour tout $t$ tel que $r'(t)<0$ : $\theta _1'(t)=-\theta'(t)$

\medskip
\item{}
{\it Donc, sur tout intervalle o\`u $r'(t)$ ne s'annule pas:

$\theta (t)=\pm \arccos\left(\displaystyle{
\displaystyle{{\cal M}\over r(t)}-\displaystyle{1\over {\cal M}} \over 
\sqrt{2k+\displaystyle{1\over {\cal M}^2}}}\right)+C
$}
\bigskip

\item{II 5c}
D'apr\`es l'\'etude faite \`a la question pr\'ec\'edente, $r'(t)$ s'annule 
lorsque:

$\arccos\left(\displaystyle{
\displaystyle{{\cal M}\over r(t)}-\displaystyle{1\over {\cal M}} \over 
\sqrt{2k+\displaystyle{1\over {\cal M}^2}}}\right)=0$ ou $\pi$

On en d\'eduit que la constante $C$ est d\'efinie modulo$2\pi$.

Donc, il existe un r\'eel $\theta_0$ tel que, pour tout $t$:

$\cos (\theta (t)-\theta_0)=\displaystyle{\displaystyle{{\cal M}\over r(t)}-
\displaystyle{1\over{\cal M}}\over \sqrt{2k+\displaystyle{1\over 
{\cal M}^2}}}$

 $\displaystyle{{\cal M}\over r(t)}-\displaystyle{1\over{\cal M}}=
\sqrt{2k+\displaystyle{1\over{\cal M}^2}}\cos (\theta (t)-\theta_0)$

D'o\`u: $r(t)=\displaystyle{{\cal M}^2\over 1+\sqrt{1+2k{\cal M}^2}\cos (
\theta (t)-\theta_0)}$
\medskip \item{}
{\it On en d\'eduit que pour tout $k$ strictement n\'egatif et strictement 
sup\'erieur \`a $U(c)$, $X(t)$ d\'ecrit l'ellipse d'\'equation polaire 
$\rho = \displaystyle{p\over 1+e\cos (\theta )}$ avec $p={\cal M}^2$ 
$e=\sqrt{1+2k{\cal M}^2}$. Cette ellipse est de foyer $O$, de param\`etre 
$p$ et d'excentricit\'e $e$.}


\bye
