

\input amssym





%%%macros

\def\ev{ espace vectoriel }
\def\sev{ sous espace vectoriel }
\def \Exp{\mathop{\rm Exp}\nolimits}
\def\pf{+\infty}
\def\mf{-\infty}
\mathchardef\[="065B          % crochet ouvrant [ pour les maths
\mathchardef\]="065D          % crochet fermant ] pour les maths
%
% Num�rotation en gras type RMS
\def \noa#1{{\bf #1.}}
\def \nob#1#2{{\bf {#1}.{#2}.}}

%%%quotients:
\def\quot#1#2{\mathchoice
{\vbox{\hbox{$\displaystyle #1$}\kern -.5ex}%
\over
\vbox{\kern 0pt\hbox{$\displaystyle #2$}}%
}%
{\vbox{\hbox{$\displaystyle #1$}\kern .25ex}%
\over
\vbox{\kern .5ex\hbox{$\displaystyle #2$}}%
}%
{#1/#2}%
{#1/#2}%
}



 %Les blackboard
\def \dr {{\Bbb R}}
\def \dn {{\Bbb N}}
\def \dz {{\Bbb Z}}
\def \dq {{\Bbb Q}}
\def \dc {{\Bbb C}}
\def \dh {{\Bbb H}}
\def \df {{\Bbb F}}
\def \dk {{\Bbb K}}
\def \du {{\Bbb U}}
\def \dne {{\Bbb N}^{\ast}}
\def \dre {{\dr}^{\ast}}
\def \dqe {{\dq}^{\ast}}
\def \dqep {{\dq}_{\ast}^+}
\def \drep {{\dr}_{\ast}^+}
\def \dzem {{\dz}_{\ast}^-}
\def \dqem {{\dz}_{\ast}^-}
\def \drem {{\dr}_{\ast}^-}
\def \drp {{\dr ^+}}
\def \dqp {{\dq ^+}}
\def\cl#1{{\cal C}^{#1}}
\def\C{\dc}

% - somme de #1=#2 � #3
\def \Som#1#2#3{{\displaystyle \sum_{#1=#2}^{#3}}\, }




\def \suit#1{(#1 _n)_{n\in\dn}}
% Les intervalles

\def \seg#1#2{\[ #1,#2 \]}         % segment [#1,#2]
\def \ouv#1#2{\]\, #1,#2 \,\[}         % intervalle ]#1,#2[
\def \intof#1#2{\]\, #1,#2 \,\]}       % intervalle ]#1,#2]
\def \intfo#1#2{\[\, #1,#2 \,\[}       % intervalle [#1,#2[
\def \segN#1#2{{\[\![#1,#2]\!\]}}    % segment [#1,#2] dans \dn






\def\M{{\cal M}}
\def\L{{\cal L}}
\def\V{{\cal V}}
\def\B{{\cal B}}
\def\lam{\lambda}
\def\set#1{\{\,#1\,\}}


%Ensembles de matrices

\def\MR#1{{\cal M}_{#1}(\dr)}
\def\MC#1{{\cal M}_{#1}(\dc)}
\def\MK#1{{\cal M}_{#1}(K)}
%Ensembles d'applications lin�aires
\def\endo#1{{\cal L}(#1)}
\def\L#1#2{{\cal L}(#1,#2)}

\def \GL{\mathop{\rm GL}\nolimits}



%%----MATRICES ET VECTEURS 

%%%vecteurs
\def\vect#1{\vec{#1\vphantom{B}}}
\def\vecd#1{\overrightarrow{#1}}
\def\vecdd#1{\mskip.2mu\overrightarrow{#1}}
\def\vecp#1{\mkern1mu\overrightarrow{\mkern-1mu #1\mkern1mu}\mskip-1mu}
\def\vecpp#1{\mkern 2.2mu\overrightarrow{\mkern-2.2mu #1\mkern 2mu}\mskip-2mu}

\let\vc =\overrightarrow



%colonnes de 3 et 2 scalaires
\def\col#1#2#3{\pmatrix{#1\cr#2\cr#3\cr}}
\def\2col#1#2{\pmatrix{#1\cr#2\cr}}


%blocs4-4
\def\tvi{\vrule height 12pt depth 5pt width 0pt}
\def\tv{\tvi\vrule}
%points antidiagonaux pour les matrices
\def\adots{\mathinner{\mkern2mu\raise1pt\hbox{.}%
\mkern3mu\raise4pt\hbox{.}\mkern1mu\raise7pt\hbox{.}}}


\def\bloc#1#2#3#4{{\normalbaselineskip=15pt
 \pmatrix{\tvi & #1&\tv& #3&\tvi\cr
	  \noalign{\hrule}
         \tvi & #2&\tv& #4&\tvi\cr}}}

%syst�mes


\def\system#1{\left\{\null\,\vcenter{\openup1\jot\m@th%
\ialign{\strut\hfil$##$&$##$\hfil&&\enspace$##$\enspace&%
\hfil$##$&$##$\hfil\crcr#1\crcr}}\right.}

%%%%PRESENTATION

%Encadrer
\def\boxit#1#2{\setbox1=\hbox{\kern#1{#2}\kern#1}%
\dimen1=\ht1 \advance\dimen 1 by #1 \dimen2=\dp1 \advance\dimen2 by #1
\setbox1=\hbox{\vrule height\dimen1 depth\dimen2\box1\vrule}%
\setbox1=\vbox{\hrule\box1\hrule}%
\advance\dimen1 by .4pt \ht1=\dimen1
\advance\dimen2 by .4pt \dp1=\dimen2 \box1\relax}
% centrer
\def\ct#1{\par\centerline{#1}\par}
%souligner
\def \souligne#1{$\underline{\vphantom y \smash{\hbox{#1}}}$}

 %-superposer des symboles
\def\build#1_#2^#3{\mathrel{\mathop{\kern 0pt#1}\limits_{#2}^{#3}}}

%%%%fin des macros perso
 

%%%%---------ALGEBRE LINEAIRE



% Le noyau : op�rateur Ker
\def \Ker {\mathop{\rm Ker}\nolimits }
% Image d'une application
\def \Im {\mathop{\rm Im}\nolimits }    
% Le rang : op�rateur rg
\def \rg{\mathop{\rm rg}\nolimits}
%
% Op�rateur Vect (sev engendr�)
\def \Vect{\mathop{\rm Vect}\nolimits}
% L'op�rateur diag (matrice diagonale)
\def \diag{\mathop{\rm Diag}\nolimits}
%
% La transposition
\def \TR{{}^{\rm t}}
%
% L'op�rateur mat
\def \mat{\mathop{\rm mat}\nolimits}
% L'op�rateur Mat
\def \Mat{\mathop{\rm Mat}\nolimits}
%L'op�rateur dim
\def\dim{\mathop{\rm dim}\nolimits}
%direction d'un s.e.a
\def\dir{\mathop{\rm dir}\nolimits}

%Trace
\def \tr{\mathop{\rm Tr}\nolimits}
%Determinant
\def\det{\mathop{\rm det}\nolimits}
%comatrice
\def\Com{\mathop{\rm Com}\nolimits}


\centerline{\boxit{5pt}{\bf E.N.S.I.E.T.A 96 Math\'ematiques 2}}\medskip
\centerline{Options M et P- Dur\'ee~: 4 heures}\bigskip
%%Le m�me sujet � la virgule pr�s a �t� donn� � Centrale dans les ann�es 70. 
L'objectif du probl\`eme est d'\'etudier certains endomorphismes de
 l'espace vectoriel des matrices carr\'ees d'ordre 2 \`a coefficients complexes.
\smallskip
La partie IV peut \^etre trait\'ee ind\'ependamment des autres parties.
\bigskip
\souligne{ {\bf Pr\'eliminaires}}\smallskip
$\M$ d\'esigne l'espace vectoriel sur $\C$ des matrices carr\'ees d'ordre 2
\`a coefficients complexes. On consid\`ere les matrices~:\smallskip
$E_1=\pmatrix{1&0\cr
 0&0\cr}\;,\ E_2=\pmatrix{0&0\cr
 1&0\cr}\;,\
E_3=\pmatrix{0&1\cr
 0&0\cr}\;,\ E_4=\pmatrix{0&0\cr
 0&1\cr}$.
$I$ d\'esigne la matrice $\pmatrix{1&0\cr
0&1\cr}$.
\smallskip

$\L$ d\'esigne l'ensemble des endomorphismes de $\M$.\smallskip
Si $U_1$, $U_2$, $U_3$, $U_4$ sont 4 matrices de $\M$, on consid\`ere la matrice bloc carr\'ee
d'ordre 4~:
\ct{$M=\bloc{U_1}{U_2}{U_3}{U_4}$.}
Donner la valeur du d\'eterminant de $M$ en fonction des d\'eterminants des $U_i$ lorsque
$U_2$ est la matrice nulle. On notera $\det (A)$ le d\'eterminant d'une matrice carr\'ee $A$.
\bigskip

\centerline{{\bf Partie I}}\medskip
Soient $A$ et $B$ deux matrices donn\'ees de $\M$.\par
 On d\'esigne par $\Phi$ l'application de $\M$
dans $\M$ d\'efinie par: $\Phi(X)=AXB$ pour toute matrice $X$ de $\M$.\medskip
\noa 1
Montrer que $\Phi$ appartient \`a $\L$.\smallskip
\noa 2
L'espace vectoriel $\M$ \'etant rapport\'e \`a la base $\B=(E_1,E_2,E_3,E_4)$,
 on d\'esigne par $A\circ B$
la matrice carr\'ee d'ordre 4 associ\'ee \`a $\Phi$ dans la base $\B$.\smallskip
On pose $B=\pmatrix{b_1&b_3\cr
 b_2&b_4\cr}$. Montrer que
$A\circ B=\bloc{b_1\,A}{b_3\,A}{b_2\,A}{b_4\,A}$.\medskip\smallskip
\noa 3
Montrer que si $A$, $B$, $P$, $Q$ sont quatre \'el\'ements quelconques de $\M$,
on a~:
\ct{$(P\circ Q).(A\circ B)=(P.A)\circ (B.Q)$.}\medskip
\noa 4
Calculer $\det(A\circ I)$, $\det(I\circ A)$ et $\det(A\circ B)$ en fonction de
$\det(A)$ et $\det(B)$.
\bigskip\medskip
\centerline{{\bf Partie II}}\medskip\smallskip
\noa 1
Soient $A_1,\,A_2,\ldots,\,A_k,\,B_1,\,\ldots,\,B_k$ des matrices non nulles
de $\M$. \par
On leur associe
l'application $H$ de $\M$ dans $\M$ d\'efinie par:
$${\forall X\in\,\M\quad H(X)=\sum_{i=1}^k A_i\,X\,B_i}.$$\smallskip
V\'erifier que $H\in\,\L$.\smallskip
Soit $\hat H$ la matrice associ\'ee \`a $H$ dans la base $\B$.\medskip
On note $\hat H=\bloc{U_1}{U_2}{U_3}{U_4}$ et
$B_i=\pmatrix{b_1^{(i)}&b_2^{(i)}\cr
 b_3^{(i)}&b_4^{(i)}\cr}$ pour tout $1\leq i\leq k$\smallskip
Exprimer les matrices $U_i$ \`a l'aide des matrices $A_i$ et des \'el\'ements des matrices
$B_j$.\medskip

\noa 2
On suppose que les matrices $A_j\ (1\leq j\leq k)$ constituent dans $\M$ un syst\`eme
libre et que les matrices $B_1,\ldots,B_k,\,B'_1,\ldots,\,B'_k$
 de $\M$ sont telles que
pour toute matrice X de $\M$,
\ct{$\Som{i=1}k A_i\,X\,B_i=\Som{i=1}k A_i\,X\,B'_i$.}\smallskip
Montrer alors que $B_i=B'_i$ pour tout $i\in\,\{1,\ldots,k\,\}$.\medskip
Peut-on en d\'eduire des propri\'et\'es analogues pour les matrices
 $A_j$ et ${A'}_j$, ($i\in\,\{1,\ldots,k\,\}$) lorsque les matrices
 $B_i\ (1\leq i\leq k)$ constituent dans $\M$ un syst\`eme
libre~?
\medskip
\noa 3
Soit $L\in\,\L$, $L\not=0$, de matrice associ\'ee $\hat L=\bloc{V_1}{V_3}{V_2}{V_4}$ relativement
\`a $\B$ .\par
Montrer qu'il existe un entier $\beta\in\{\,1,2,3,4\,\}$ et des
 matrices $C_1,\ldots,C_\beta,D_1,\ldots,D_\beta$
de $\M$ v\'erifiant pour toute matrice $X$ de $\M$ la relation:\par
$(1)\ L(X)=\sum_{i=1}^\beta C_i\,X\,D_i$ ou de fa\c{c}on
\'equivalentela relation \par
 $(1')\quad\hat L=\sum_{i=1}^\beta C_i\circ D_i$.\smallskip
On dira que {\bf (1)} d\'efinit une d\'ecomposition de $L$ de longueur $\beta$.\medskip

Montrer que si $\beta$ a la plus petite valeur possible dans
 toutes les d\'ecompositions
de $L$, \'el\'ement de $\L$, alors les familles $(C_1,\ldots,C_\beta)$ et
$(D_1,\ldots,D_\beta)$ constituent des familles libres de $\M$.\medskip
\nob 4 a
Soit $T$ la transformation qui associe \`a toute matrice $X$ de $\M$ la
matrice $T(X)=\TR X$. Donner l'expression de $T(X.Y)$ en fonction de $T(X)$ et de $T(Y)$ pour
tout couple $(X,Y)$ de matrices de $\M$.\smallskip

Prouver que $T\in\L$. Quelle est la matrice $\hat T$ associ\'ee \`a
 $T$ dans la base $\B$~?\medskip
\nob 4 b
Montrer que la longueur de toute d\'ecomposition de $T$ est 4.\medskip
\nob 4 c
D\'eterminer $D_1,D_2,D_3,D_4$ quatre matrices de $\M$ telles
 que $\hat T=\sum_{i=1}^4 E_i\circ D_i$.\bigskip
\centerline{\bf Partie III}\medskip\smallskip
Dans cette partie , $\Gamma$ d\'esigne un \'el\'ement de $\L$ v\'erifiant les propri\'et\'es suivantes:\par
\hskip 1truecm(2)(1) $\quad\Gamma$ est bijective.
\hskip 1truecm(2) $\quad\forall(X,Y)\,\i,\,{\M}^2,\ \Gamma(X\,Y)=\Gamma(X)\,\Gamma(Y)$. \medskip
On se propose de d\'eterminer l'expression de $\Gamma(X)$.\medskip
\noa 1 Question pr\'eliminaire~:\par
Soit $n$ un entier strictement positif, soit $\V$ un \ev de dimension $n$ sur $\dc$ et $f$ un endomorphisme
 de $\V$ repr\'esent\'e par la m\^eme matrice dans toutes les bases de $\V$. Montrer qu'il existe $\lam\in\dc$
tel que
\ct{ pour tout $V\in\V,\quad f(V)=\lam.V$}
(consid\'erer les \'el\'ements propres de $f$). Que peut-on dire d'une matrice $X$ carr\'ee d'ordre $n$
\`a coefficients complexes telle que $SXS^{-1}=X$ pour toute matrice $S$
carr\'ee d'ordre $n$, \`a coefficients complexes et inversible~?
\medskip
\nob 2 Montrer que $\Gamma$ v\'erifie les propri\'et\'es suivantes~:
\smallskip
a- $\Gamma(X_0)=I\Longrightarrow X_0=I$.\smallskip
b-$X$ est inversible $\Longleftrightarrow \Gamma(X)$ est inversible.
\medskip
\noa 3
On consid\`ere une d\'ecomposition de $\Gamma$ de longueur $\beta$ minimale ($1\le\beta\le 4 $ ) not\'ee~:\par
$ \Gamma(X)=\sum_{i=1}^\beta A_i\,X\,B_i$ (3) pour toute matrice $X$ de $\M$.\par
En exprimant, sur cette d\'ecomposition la propri\'et\'e {\bf (2)},
 montrer que l'on a~:
\ct{$\forall i\in\set{1,\ldots,\beta},\ \forall Y\,\in\M\quad Y\,B_i=B_i\,\Gamma(Y)\ \hbox{et }
A_i\,Y=\Gamma(Y)\,A_i$}\medskip
\noa 4
Calculer pour toute matrice $Y$ inversible de $\M$ le produit:\par
\ct{$\Gamma(Y^{-1})\,A_i\,B_j\,\Gamma(Y),\quad i\in\set{1,\ldots,\beta},\quad j\in\set{1,\ldots,\beta}$.}
\par
Montrer que toutes les matrices $A_i\,B_j$ sont scalaires.\par
Montrer que si toutes les matrices $A_i.B_j$ \'etaient nulles, $\Gamma$ ne serait pas
bijective.\par
Donner la valeur de $\beta$ et la forme g\'en\'erale de $\Gamma$.\bigskip
\centerline{\bf Partie IV}
\medskip
A toute matrice $X$ de $\M$, on associe son d\'eterminant $\Delta(X)=\det(X)$ ;
$\Delta$ est une application de $\M$ dans $\dc$.
\medskip
\noa 1
Montrer que $\Delta$ est une forme quadratique sur $\M$.\par
Quelle est la matrice de $\Delta$ relativement \`a la base $\B$~?
\medskip
Quel est le rang de cette matrice~? Soit $\tilde \Delta$ la forme bilin\'eaire sym\'etrique associ\'ee \`a la forme quadratique $\Delta$.\par
Ecrire $\tilde \Delta(X,Y)$ en fonction des coefficients des matrices $X$ et $Y$, \'el\'ements de $\M$.
\medskip
\noa 2
On se propose de d\'eterminer les formes quadratiques non nulles $\Phi$ sur
$\M$ qui v\'erifient~:
\ct{$\forall (X,Y)\in\M^2,\ \Phi(X,Y)=\Phi(X)\Phi(Y)$}
\par
D\'emontrer les propri\'et\'es suivantes~:
\smallskip
a-$\Phi(I)=1$.\par
b-Si $X$ est inversible, alors $\Phi(X)\not=0$.\par
c-Si $X$ est non inversible, alors $\Phi(X)=0$.\par
On pourra d\'emontrer que si le rang de $X$ est 1, alors il existe $(P,Q)\in\M^2$ telles que
$PXQ=E_2$.
\par
d- En consid\'erant les deux \'equations en $\lam$~:
$\Delta(X+\lam I)=0$ et $\Phi(X+\lam I)=0$, montrer que l'on a
$\Phi=\Delta$.


\end


\end

