
%CG96corr.tex 29 mars 96 22h24 version 3 Avril 1996 12h13
\input liv.mac
\let\cadrejoli=\cadrefin

\def\titreimpair{\line{ {\fiverm d: cg96corr.tex \hskip 3mm}
{\bf SOLUTION du CONCOURS G\'EN\'ERAL 1996
\hskip 3mm\Carre \hfil Mr VIDIANI Sp{\'e} M1 CARNOT  \hskip 2mm\liond\ \folio}}  }

\def\titrepair{\line{\bf\folio  \hfill %{\fiverm  \ \ \  }   %Underfull hbox si  ce { m�me vide mais avec fonte} pas mis
                                    % en fait line demande une ligne compl{\`e}te : il faut hfill
{\bf CORRIG\'E du probl{\`e}me de CONCOURS G\'EN\'ERAL 1996
\hskip 3mm\Carre Mr VIDIANI \hskip 2mm\liong}}  }
%\vskip -6mm\noindent{\fiverm (version \date\ : \heure )}   %{\"y}{\"y}{\"y}{\"y}{\"y}

\hfill\cadrejoli{\bf EXERCICE I}\hfill{}

\traitgras
\lettrine{Repr{\'e}sentons} les points par leur affixe respective, minuscule de leur
lettre ; On  prend l'origine O du rep{\`e}re au centre du cercle circonscrit au triangle
ABC ; On a h=a+i(c-a) = a(1-i)+ic  ; d=a-i(b-a)=a(1+i)-ib ; g=c+i(b-c)=c(1-i)+ib ;

\lettrine{{\`A}} une similitude  pr{\`e}s de centre O, (ou encore {\`a} un changement d'unit{\'e} pr{\`e}s),
on peut supposer que  $a=1$, $b=e^{iu}$ et $c=e^{iv}$ ; et ainsi :

\hskip 5mm $\bullet\  h=1-i+ie^{iv}= 1-i+i(\cos v+i\sin v)=1-\sin v+i(\cos v-1)$

\hskip 5mm $\bullet\  d=1+i-ie^{iu} =1+i-i(\cos u+i\sin u) = 1+\sin u+i(1-\cos u)$

\hskip 5mm $\bullet\  g=e^{iv}(1-i)+ie^{iu}=(\cos v+i\sin v) (1-i)+i(\cos u+i\sin v) =
                     \cos v +i\sin v-i\cos v+\sin v+i\cos u-\sin u =
                     \cos v+\sin v-\sin u+i(\sin v-\cos v+\cos u)$

\lettrine{La } condition OH=OD donne :

\hskip 10mm $1+\sin^2 v-2\sin v+\cos^2 v+1-2\cos v=1+\sin^2 u+2\sin u+\cos^2 u+1-2\cos u$
 ; soit $3-2\sin v-2\cos v=3+2\sin u-2\cos u \Longleftrightarrow
 \sin v+\cos v=\cos u-\sin u \Longleftrightarrow  \sin u+\sin v=\cos u-\cos v
 \Longleftrightarrow   \sin\big({u+v\over 2}\big)\cos\big({v-u\over 2}\big)
 =-\sin\big({u+v\over 2}\big)\sin\big({u-v\over 2}\big)$~;
 Soit \cadrefin{$\bf \sin\big({u+v\over 2}\big)\big[\cos\big({v-u\over 2}\big)
 -\sin\big({v-u\over 2}\big)\big)=0$\ \vrule\liond}

\lettrine{Ainsi} la condition OH=OD {\'e}quivaut {\`a} :
$\cases{\sin\big({u+v\over 2}\big)=0 & (1) u+v=0 modulo $2\pi$\cr
\cos\big({v-u\over 2}\big)=\cos\big({\pi\over 2}-{v-u\over 2}\big) & (2) $v-u={\pi\over 2}$ mod
$2\pi$\cr}$.

\vskip 3mm
\lettrine{De m�me} exprimons OG=OH :
$3-2\sin v-2\cos v= \cos^2v+\sin^2v+\sin^2u+2\cos v\sin v-2\sin v\sin u-2\cos v\sin u
+\sin^2v+\cos^2v+\cos^2u+2\sin v\cos u-2\cos v\cos u -2\sin v\cos v $ soit :

$3-2\sin v-2\cos v=3-2\cos (u-v)-2\sin (u-v)$ ou encore
$\sin(u-v)-\sin v=\cos v-\cos (u-v)$ soit  par identitit{\'e} trigonom{\'e}trique :
$\sin \big({u-v-v\over 2}\big)\cos{u\over 2}=-\sin \big({v-u+v\over 2}\big)
\sin{u\over 2}\Longleftrightarrow $ \cadrefin{$\bf
\sin \big({u-2v\over 2}\big)\big[\cos {u\over 2}-\sin{u\over 2}\big]=0$\ \vrule\ \liong}

\lettrine{Et} la condition OG=OH {\'e}quivaut {\`a} :
$\cases{\sin \big({u-2v\over 2}\big)=0 & (3) u=2v  modulo $2\pi$ \cr
\cos {u\over 2}=\sin{u\over 2}=\cos({\pi\over 2}-{u\over 2})& (4) $u={\pi\over 2}$\cr}$

\Carre\ (1) et (3) donnent $3u=2k\pi$ {\bf triangle \'EQUILAT\'ERAL}

\Carre\ (1) et (4) donnent $-v=u={\pi\over 2}$ {\bf triangle RECTANGLE en A}

\Carre\ (2) et (3) donnent $v=u+{\pi\over 2}$ $v-{\pi\over 2}-2v=2k\pi$
$v=-{\pi\over 2} $ et $v=-\pi$ {\bf triangle RECTANGLE en C}

\Carre\ (2) et (4) donnent $v-u={\pi\over 2} $ $v=\pi$ {\bf triangle RECTANGLE en B}







 \traitgras
\hfill\cadrejoli{\bf EXERCICE II}\hfill{}

\lettrine{{1)}} L'ensemble des valeurs impaires de la suite u n'est pas vide,
sinon, pour tout n on aurait $u_{n+1}={u_n\over 2}$, ce qui serait absurde d{\`e}s
que n d{\'e}passe l'exposant de 2 dans b, puisque $u_n$ doit rester entier.

\lettrine{Consid{\'e}rons} $(v_n)$ la sous suite de $(u_n)$ form{\'e}e par les
valeurs impaires prises par $u_n$ ; Si $v_n>a$ alors il existe ($v_n$ est
un des termes impairs de la suite $(u_k)$) k tel que $v_n=u_k$ et donc
$u_{k+1}=a+u_k$ est pair (a et $u_k$ impairs), par suite $u_{k+2}={a+u_k\over 2}
<u_k$ et $v_{n+1}={u_{k+2}\over 2^{un\ entier}}<v_n$.

La suite $(v_n)$ est strictement d{\'e}croissante tant qu'elle reste $>a$.
Cela implique qu'il existe un terme $v_n$ tel que $v_n\leq a$ ( donc un $u_k\leq a$),
et par le m�me raisonnement que pr{\'e}c{\'e}demment, tous les $v_p$ suivants sont $\leq a$.

\lettrine{{2)}} D'apr{\`e}s le principe des TIROIRS (pigeonhole)  comme il y a une
infinit{\'e} d'indices, et seulement a valeurs possibles  de $v_p$ {\`a} partir du rang
pr{\'e}c{\'e}dent, il y a deux $v_p$ {\'e}gaux : $v_p=v_q$ avec $p<q$, et donc deux $u_k$
{\'e}gaux, ce qui prouve bien la p{\'e}riodicit{\'e}.
\vskip 3mm
\traitgras
\vfill
\fondpage={\ps{lion,\hsize,\vsize,,90}}
\eject

\hfill\cadrejoli{\bf EXERCICE III}\hfill{}

\lettrine{{1-2)}} La figure ci- dessous donne imm{\'e}diatement le r{\'e}sultat.
\vskip 30mm
\lettrine{{3)}} Le tableau ci dessous donne les diverses possibilit{\'e}s :
\vskip 3mm

$$\vbox{\offinterlineskip
\halign{\tv#   &\ \bf# &\tv# &\ $#$ &\tv # &\ $#$ &\tv# &\ $#$ &\tv # &\ \it # & \tv #\cr
\noalign{\hrule}
& Face && \omit\ \bf ar�te 1 && \omit\ \bf ar�te 2 && \omit\ \bf ar�te 3 && \omit\ \bf CNS face Isoc{\`e}le &\cr
\noalign{\hrule height 2mm}
& (1)  &&  b                 && a                  &&  \sqrt{a^2+b^2}    && b=a &\cr
\noalign{\hrule}
& (2)  &&  c                 && \sqrt{a^2+b^2+c^2} &&  \sqrt{a^2+b^2}    && $c^2=a^2+b^2$ &\cr
\noalign{\hrule}
& (3)  &&  a                 && \sqrt{b^2+c^2}     &&  \sqrt{a^2+b^2+c^2}&& $a^2=b^2+c^2$ &\cr
\noalign{\hrule}
& (4)  &&  c                 && b                  &&  \sqrt{b^2+c^2}    && b=c &\cr
\noalign{\hrule}
}}$$

On a donc $C_4^2$ choix possibles pour exprimer que deux faces parmi les 4 sont isoc{\`e}les.

Ce qui donne les possibilit{\'e}s :
$\cases{   \hbox{faces 1 et 2}\ \bullet\ \bf  b=a c=\sqrt{2} a & \cr
           \hbox{faces 1 et 3}\ \bullet\ \bf  b=a c=\sqrt{2} a & impossible car c=0\cr
           \hbox{faces 1 et 4}\ \bullet\ \bf  c= b=a  & cas du CUBE \cr
           \hbox{faces 2 et 3}\ \bullet\ \bf  c^2=a^2+b^2,\ a^2=b^2+c^2b=a & impossible car b=0\cr
           \hbox{faces 2 et 4}\ \bullet\ \bf  c^2=a^2+b^2,\ b=cb=a & impossible car a=0\cr
           \hbox{faces 3 et 4}\ \bullet\ \bf  a^2=b^2+c^2,\ a=b\sqrt{2},\ b=c  & \cr}$


\traitgras
\hfill\cadrejoli{\bf EXERCICE IV}\hfill{}

\lettrine{{1)}} On {\'e}tudie la variation de $f(x)=e^{x\ln (x)}$ ; $f'(x)=f(x)(
\ln(x)+1) $ d'o� le tableau de variation :

\hskip 10mm
$\tabvar{\bf x & 0 &\q&{1\over e}&\q&1&\q&+\infty\L
         f'(x) &  - - - &\q&0&\q&+ + +&&\q&+++ \L
         \bf f(x) & 1 &\d&e^{-1\over e}&\u&1&\u&+\infty\cr}$
 \cadrefin{\bf La valeur minimale  de f sur $\bf \R^+$ est donc $\bf e^{-1\over e}$}

\lettrine{{2)}} La minoration demand{\'e}e est {\'e}vidente si au moins un des deux nombres x ou
y est $\geq 1$ ; S'ils sont {\'e}gaux, d'apr{\`e}s la premi{\`e}re question $2x^x\geq 2e^{-1\over e}=
2\times 0.692200628=1.384401255>1$ ;
Compte tenu de leur r{\^o}le sym{\'e}trique on peut m�me supposer que :
$0<x<y<1$. Mais cela s'av{\`e}re inutile.

Posons $g(x)=x^y+y^x=x^y+e^{x \ln(y)}  $ ; $g'(x)=yx^{y-1}+\ln(y)e^{x\ln(y)}=
e^{x\ln(y)}(\ln(y)+ye^{-x\ln(y)}x^{y-1})=
y^xh(x) $. \'Etudions h(x) pour avoir son signe ; $h'(x)=-\ln(y)ye^{-x\ln(y)}x^{y-1}+
(y-1)ye^{-x\ln(y)}x^{y-2}=ye^{-x\ln(y)}x^{y-2}\big[-x\ln(y)+(y-1)\big] =y^e{-x\ln(y)}x^{y-2}r(x)$
o� $r(x)=y-1-x\ln(y)\geq 0$ ; or r, affine en x croissante (car $\ln(y) >0$),
v{\'e}rifie $r(0)=y-1<0$, $r(1)=y-1-\ln(y)=s(y)$, qui est positif, soit par {\'e}tude directe,
que le graphe de $Y=\ln(X)$ est en dessous de sa tangente en $X=1$.

On a donc le tableau suivant :
$\tabvar{\bf x    & 0    &\q  &  a     &\q     &1   \L
             r(x) & y-1<0&\u  &  0     &\u     & >0 \L
         \bf g(x) & 1    &\u  &        &\d     &1+y>1\cr}$

Par cons{\'e}quent on a bien \cadrefin{\bf Pour tous r{\'e}els x et y $\bf >0$ on a
$\bf x^y+y^x>1$\ \vrule\ \liond}


\leavevmode  \cadrefin{B\.IBL\.IOGRAPH\.IE} O182ED95.tex, P{\'e}r{\'e}alo ; ensae 1977 ; APM 284 287 332 ;
Bouligant p 86 ; American Mathematical Monthly avril 1981 p 235-252
AMM sept 85 (julia) ; AMM avril 90 p 343 ;  RMS oral 92 sp{\'e} 1-93 non r{\'e}solu ; Sierpinski p 35 note manu ;
 Nombres remarquables Le Lionnais p 22 ; Pour la science nov+dec 79 exos ; Pb Hormi{\`e}re 29 Nob 95 ;
 Concours g{\'e}n{\'e}ral 95 exercice IV ;

\traitgras
\vfill
\fondpage={\ps{carnot,\hsize,\vsize,,90}}
\eject
\hfill\cadrejoli{\bf EXERCICE V}\hfill{}


\lettrine{{1)}} Comme les  $a_j+b_j$  snt k entiers distincts et strictement inf{\'e}rieurs {\`a} n, on a
$\displaystyle \sum_{j=1}^n (a_j+b_j)\leq \sum_{p=n-k}^{n-1} p=
 {(n-1)n\over 2}-{(n-k)(n-k+1)\over 2}
={-k^2+(2n+1)-2n\over 2}$.

\lettrine{Comme} les $a_j$ et les  $b_j$ sont 2k entiers naturels  distincts, on a
$\displaystyle \sum_{j=1}^n (a_j+b_j)\geq \sum_{i=1}^{2k}i=k(2k+1)$.

Ainsi $k(2k+1)\leq {-k^2+(2n+1)-2n\over 2} $ soit $5k^2+(-2n+1)k+2n\leq 0$.

Or $T(k)=5k^2+(-2n+1)k+2n$ est une trin{\^o}me en k, qui apour racines :
$u(n)={2n-1-\sqrt{4n^2-44n+1}\over 10}$ et $v(n)={2n-1+\sqrt{4n^2-44n+1}\over 10}$.
Comme $T(k)\leq 0$, il vient $u(n)\leq k\leq v(n)$.

Or ${2n-3\over 5}-v(n)={2n-5-\sqrt{4n^2-44n+1}\over 10}\geq 0$ (puisque $(2n-5)^2-
(4n^2-44n+1)=24(n+1)$. Donc \cadrefin{$\bf k\leq {2n-3\over 5}$\ \vrule\ \liong}.

\lettrine{{2)}} Yaka prendre les 5 couples $(a_i,b_i)$ suivants :
\cadrefin{\bf (10,3),(9,2),(8,1),(7,5),(6,4)\ \vrule\ \liong}.
\vskip 5mm

\lettrine{{3)}} $2n-3=5k\Longleftrightarrow 2(n+1)=5(k+1)$.
Un raisonnement classique, utilisant  le th{\'e}or{\`e}me de GAUSS,
montre que ceci a lieu si et seulement si il existe un entier $p$ tel que
$k=2p-1$ et $ n=5p-1$. {\it(Ou plus simplement la premi{\`e}re montre que k est impair :
$k=2p-1$, et la seconde donne en simplifiant par 2 : $n+1=5p$)}.

On consid{\`e}re alors les $k$ couples $(a_i,b_i)$ suivants :

\hskip 20mm $\bullet\ $ pour $j\in [[1,p]],$ le couple $(j,3p-2+j)$,
qui a pour somme $3p-2+2j\leq 5p-2$.

\hskip 20mm $\bullet\ $ pour $j\in [[p+1,2p-1]],$ le couple $(j,j+p-1)$ qui a pour somme
$p-1+2j\leq 5p-3$.

On a bien ainsi $2k$ naturels non nuls tous distincts $a_1,...,a_k,b_1,...,b_k,$
avec les sommes $a_i+b_i$ toutes ditinctes (puisque $3p-2+2a=p-1+2b$ soit $2p-1=2(b-a)$
est impossible : le membre de gauche est impair et celui de droite pair)  et
strictement inf{\'e}rieurs {\`a} n.
\traitgras
\vfill
\leavevmode\hfill\transforme*{2 0 -2 3,70}{\bf CONCOURS G\'EN\'ERAL 1996 }
\transforme{2 0 0 2}{\bf CONCOURS G\'EN\'ERAL 1996 }

\vfill
\fondpage={\ps{lion,\hsize,\vsize,-1 0 0 1,90}}
 \bye

